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&>&&>&高等数学复习题及答案
高等数学复习题及答案_25200字
中南大学现代远程教育课程考试复习题及参考答案
一、填空题：
1.设f(x)?，则函数的图形关于
2?sinx-2?x?0?
2.若y??2，则y()?2?x?10?x?2
。 4.已知lim2
5.已知x?0时，(1?ax)?1与cosx?1是等价无穷小，则常数a 6.设x?z?y?()，其中?可微，则
7.设u?exyz2，其中z?z(x,y)由x?y?z?xyz?0确定的隐函数，则?。
8.设z?f(xy)?y?(x?y),f,?具有二阶连续导数，则?
9.函数f(x,y)?xy?xy2?x2y的可能极值点为。 10.设f(x,y)?x2siny?(x2?1)xy|则f'y(1,0)? 。
11.xsin2xdx?
12.在区间[0,?]上曲线y?cosx,y?sinx之间所围图形的面积为
14.设Ｄ：x?y?1，则由估值不等式得
?15.设D由y?x,y?2x,y?1,y?2围成（x?0），则
?4y2?1)dxdy?
??f?x,y?d?在直角坐标系下的两种积分次序
16.设D为0?y?1?x,0?x?1，
dxdy的极坐标形式的二次积分为
收敛，则常数p的最大取值范围是
????)dx?。 18.?x(1?
?0的通解为
20．微分方程4y???20y??25?0的通解为
时，方程y'?p(x)y?q(x)yn 为一阶线性微分方程。 22.若4?4阶矩阵A的行列式为|A|?3,A*是A的伴随矩阵,则|A*|?
。 23.设An?n与Bm?m均可逆，则C=?
也可逆，且C＝
24.设A??31?，且AX?E?3X，则X =
25.矩阵?402?的秩为
1),其内积为
。 26.向量?=(-1,0,3,-5),?=(4,-2,0,
27.n阶方阵A的列向量组线性无关的充要条件是
。 28.给定向量组?1??111?,?2??a
0b?,?3??132?,，若?1,?2,?3线性相关，则a，b满
29.已知向量组(I)与由向量组(II)可相互线性表示，则r(I)与r(II)之间向量个数的大小关系是
。 30.向量?=(2,1)T 可以用?=(0,1)T与 ?=(1,3)T线性表示为
。 31.方程组Ax=0有非零解是非齐次方程组AB=b有无穷组解的
32.设A为m×n矩阵,非齐次线性方程组Ax?b有唯一解的充要条件是r(A)
。 33.已知n元线性方程组AX?b有解，且r(A)?n，则该方程组的一般解中自由未知量的个数为
。 34.设?0是方阵A的一个特征值，则齐次线性方程组??0E?A?x?0的都是A的属于?0的特征向量. 35.若3阶矩阵A的特征值为1，2，-3，则A?1的特征值为
36.设A是n阶方阵，|A|≠0,A为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵，若A有特征值?0,则A*?2E必
有特征值??.
37.?，?分别为实对称矩阵A的两个不同特征值?1,?2所对应的特征向量,则?与? 的内积（?,?）
38.二次型f(x1,x2,x3,x4)?x1x4?x2x3的秩为
39.矩阵A=?24λ?为正定矩阵,则?的取值范围是
40.二次型f(x1,x2,x3)?2x1?3x2?tx3?2x1x2?2x1x3是正定的,则t的取值范围是
41.A、B、C代表三事件，事件“A、B、C至少有二个发生”可表示为
。 42.事件A、B相互独立，且知P?A??0.2,P?B??0.5则P?A?B??
43.若随机事件A和B都不发生的概率为p，则A和B至少有一个发生的概率为
。 44.在相同条件下，对目标独立地进行5次射击，如果每次射击命中率为0.6，那么击中目标k次的概
45.设随机变量X服从泊松分布，且P?X=1?=P?X=2?，则P?X=3?=
46.设随机变量X的分布密度为f(x)??a?x?1?x?2，则a=
47.若二维随机变量（X，Y）的联合分布律为：
且X，Y相互独立，则常数a =
。 48.设X的分布密度为f(x)，则Y?X的分布密度为。 49.二维随机变量（X，Y）的联合分布律为：
则?与?应满足的条件是
，当X，Y相互独立时，?＝
1)。令Z=-Y+2X+3，则D(Z)=
。50.设随机变量X与Y相互独立，且X~N(1,2),Y~N(0,
51.已知随机变量X的数学期望E(X)?1,E(X2)?4.令Y＝2X－3，则D(Y)。 二、单项选择题：
1.设f(x)?x?1，则f(f(x)?1)=
2.下列函数中，（
）不是基本初等函数。
D.y?x5 3.下列各对函数中，（
）中的两个函数相等。
与g?ln(1?x)2
B.y?lnx与g?2lnx C.y??sin2x与g?cosx
D.y?x(x?1)与y?x(x?1)
4.设f(x)在x?x0处间断，则有
A.f(x)在x?x0处一定没有意义；
B.f(x0?0)?f(x?0); (即xlim?x?f(x)?lim?
C.limx?xf(x)不存在，或limf(x)??；
D.若f(x)在x?x0处有定义，则x?x0时，f(x)?f(x0)不是无穷小
5.函数f(x)??
?,x?0 在x = 0处连续，则k =
6.若f(x)?ex?a
，x?0为无穷间断点，x?1为可去间断点，则a?
] A.x2?y2?2
8.二重极限lim
9.利用变量替换u?x,v?
y?z?z，一定可以把方程x?y?z化为新的方程
D.v?z ?u?v?v?u
10．若f(x)??f(?x)，在(0,??)内f'(x)?0,f''(x)?0,则f(x)在(??,0)内
A.f'(x)?0,f''(x)?0
B.f'(x)?0,f''(x)?0 C.f'(x)?0,f''(x)?0
D.f'(x)?0,f''(x)?0 11.设f(x)在x?0的某个邻域内连续,且f(0)?0,lim
?1,则在点x?0处f(x)
B.可导,且f?(0)?0
C.取得极大值
D.取得极小值
12.设函数f(x),g(x)是大于零的可导函数，且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0，则当a?x?b时，有
A.f(x)g(b)?f(b)g(x)
B.f(x)g(a)?f(a)g(x) C.f(x)g(x)?f(b)g(b)
D.f(x)g(x)?f(a)g(a) 13.设f(x)是连续函数,且F(x)?A.?eC.e
f(t)dt,则F?(x)?
f(e?x)?f(x)
B.?e?xf(e?x)?f(x)
f(e?x)?f(x)
D.e?xf(e?x)?f(x)
14.设f(x)在?1,2?上具有连续导数，且f(1)?1,f(2)?1,
f(x)dx??1，则?xf?(x)dx?
D.-2 15.设f(x)在?a,b?上二阶可导，且f(x)?0,f?(x)?0,f??(x)?0.记
S1??f(x)dx，S2?f(b)(b?a)，S3?
(b?a)，则有
A.S1?S2?S3
B.S2?S3?S1
C.S3?S1?S2
D.S1?S3?S2 16.设幂级数
(x?1)n在x??1处收敛，则此级数在x?2处
A.绝对收敛
B.条件收敛
D.收敛性不能确定
17.下列命题中,正确的是
的一般项有un?vn(n?1,2?),则有
n?1?un?n?1
B.若正项级数?uu?
n满足?1(n?1,2,?),则n?1u?un发散
C.若正项级数
?un收敛，则lim
D.若幂级数
?an的收敛半径为R(0?R???)，则annxnlim
收敛，则级数
A.绝对收敛
B.条件收敛
D.敛散性不确定
19.微分方程?x?y??dx?dy??dx?dy的通解是
]A.x?y?ln?x?y??c
B.x?y?ln?x?y??c C.x?y?ln?x?y??c
D.x?y?ln?x?y??c
20.设y?f(x)满足微分方程y???5y??5y?0，若f?x0??0,f??x0?
?0，则函数f?x?在点x0 [
]A.取极大值
B.取极小值
C.附近单调增加
D.附近单调减少. 21.函数y?y?x?在点x处的增量满足?y?
?o??x???x?0?且y?0???，则y?1??（D）[
22.若含有s个向量的向量组线性相关，且该向量组的秩为r，则必有
D.r<s 23.已知向量组?1?(1,1,1,0),?2?(0,k,0,1),?3?(2,2,0,1),?4?(0,0,2,1)线性相关,则k=
24.向量组?1,?2,?,?s线性相关的充分必要条件是
]A.?1,?2,?,?s中含有零向量
B.?1,?2,?,?s中有两个向量的对应分量成比例
C.?1,?2,?,?s中每一个向量都可由其余s?1个向量线性表示 D.?1,?2,?,?s中至少有一个向量可由其余s?1个向量线性表示
25.对于向量组(α1,α2,?,αr),，因为0α1?0α2???0αr?0，所以α1,α2,?,αr是
]A.全为零向量
B.线性相关
C.线性无关
26.设A，B均为n阶矩阵，且AB=O，则必有
A.A=O或B=O
B.|A|=0或|B|=0
D.|A|+|B|=0
27.若非齐次线性方程组Am×n X = b的(
)，那么该方程组无解
A.秩(A) ＝ n
B.秩(A)＝m
C.秩(A）?秩()
D.秩(A）=秩()
28.若线性方程组的增广矩阵为??
，则当?＝（
）时线性方程组有无穷多解。
29.设λ=2是非奇异矩阵A的特征值,则(12?1
A)有一个特征值是
430.若二次型f(xx22(k?3)x2
1,2,x3)?(k?1)x1?(k?2)x2?3
?21131.已知??(1,k,1)T是矩阵A=???121?的特征向量,则k=
32.在随机事件A，B，C中，A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为[
C.ABC?ABC?ABC
33.袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为[
B.??3?14?3?15?8??8
C.C8??8??8
34.设A、B互为对立事件，且P?A??0,P?B??0,则下列各式中错误的是
B.P?A|B??0
D.P?A?B??1
35.离散型随机变量X的分布列为P{ X = k } =ak, k = 1,2,3,4.则a?
36.设随机变量X的分布函数为F(x)?a?1
??arctanx(???x??,a为常数
)则P?-?3<X<= [
37.设随机变量X服从N??,4?,则P?X?2???，的值
]A.随?增大而减小
B.随?增大而增大
C.随?增大而不变
D.随?减少而增大.
38.设随机变量X~N(?,?2)，则Y?aX?b服从
D.N(a??b,a2?2) ?ab?
39.对目标进行3次独立射击，每次射击的命中率相同，如果击中次数的方差为0.72，则每次
射击的命中率等于
40.设随机变量X
的概率密度为f(x)?|x|?a,a?0，则E(X)=
D.以上结论均不正确
三、解答题：
?a?x2x?01.设f(x)??
x?0，已知f(x)在x?0处连续可导，
ln(b?x2)x?0试确立a,b并求f?(x)
设z?f(2x?y,ysinx)，其中f(u,v)具有二阶连续偏导数，求?22.z
f(x,y)?x2?y2?0讨论f(x,y)在（0，0） ?0,x2?y2
（1）偏导数是否存在。 （2）是否可微。
4.在过点P(1,3,6)的所有平面中,求一平面,使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小。
?4|d?，其中D为圆域x2?y2?9。 7.设f(x,y)在x2?y2
?1上连续，求证：lim
f(x,y)d???f(0,0)。
证明：D?{(x,y)|x2?y2?R2}
8.求幂级数?(x?4)n收敛区间及和函数S(x)：
9.求解y??,y(1)?0。 3
10.求解xy??xtan
y??y?0,y(1)?。 x2
11.求解4y???4y??y?0满足y?0??2,y??0??0。 12.求解y???3y??2y?2ex满足y?0??1,y??0???1。
13.设二阶常系数线性微分方程y????y???y??ex的一个特解为y?e2x??1?x?ex，试确定?,?,?，
并求该方程的通解。 14.计算下列行列式
15.计算下列行列式
16.证明：a
c=(a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)
17.设AX+E=A2+X，且A=?020?，求X 。
18.已知矩阵?
?a1??b1??67?
，求常数a，b。 ??2?????a0630b??????
? (1? ? 2 ? (1? 3 ? ( 0,?2
19.将向量?表示成?1,?2,?3的线性组合：（1）? 1 20.问?，?取何值时，齐次方程组
??x1?x2?x3?0
?x1??x2?x3?0?x?2?x?x?0
有非零解？
21.设线性方程组
?2x1?x2?x3?1?
??x1?2x2?x3??1 ?x?3x?2x?c
试问c为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解。
22.求一个正交变换化下列二次型为标准型：
f?2x?3x?3x?4x2x3 123（1）
23.某工人看管甲、乙、丙3台机器，在1小时内，这3台机器不需照管的概率分别为0.8，0.9，0.6，
设这三台机器是否需照管是相互独立的，求在1小时内：(1)有机床需要工人照管的概率；(2) 机床因无人照管而停工的概率？ 24.设随机变量X的分布密度为f(x)?
(???x???)求：(1)常数A； (2) X的分布函数；
25.设二维随机变量（X，Y）在区域0?x?1,y2?x内服从均匀分布。求：
(1)（X，Y）的联合分布密度；
(2)X与Y的边缘分布密度，并问它们是否相互独立？ 26.设X，Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为
?e?y,y?0?1,0?x?1
fY(y)?? fX(x)??
?0,其它?0,y?0
求随机变量Z＝X＋Y的概率密度函数。
27.某工厂生产的一种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，密度函数为f(x)??4
为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换，若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元.求工厂出售一台设备赢利的数学期望。
28.设随机变量（X，Y）服从正态分布，且X和Y分别服从正态分布N(1,3)和N(0,4)，X与Y的相
关系数?XY??
,Z??,求Z的数学期望E(Z)和方差D(Z)； 232
一、填空题：
1.设f(x)?，则函数的图形关于对称。
解：f(x)的定义域为(??,??) ，且有
a?x?a?(?x)a?x?axax?a?x
f(?x)????f(x)
即f(x)是偶函数，故图形关于y轴对称。
?sinx?2?x?0
?lim(xsin1x)?limxsin1?limx?0?1?0 解：lim
x?0x?0x?0sinxxsinxxx?0sinx
注意：limxsin?0（无穷小量乘以有界变量等于无穷小量）
x111sinx?lim???1，其中lim=1是第一个重要极限。
x?0sinxx?0sinxx?0sinx1x
?2，则a?_____, b?_____。 4.已知lim2
由所给极限存在知,4?2a?b?0,得b??2a?4,又由
x2?ax?bx?a?2a?4lim2?lim??2, 知a?2,b??8 x?2x?x?2x?2x?13
5.已知x?0时，(1?ax)?1与cosx?1是等价无穷小，则常数a
?1?ax解：?lim
?limx?0cosx?1
?x??1?ax???1?ax?2
23??a?1,?a??.
6.设x?z?y?()，其中?可微，则?z
解：2z???y???
7.设u?exyz2，其中z?z(x,y)由x?y?z?xyz?0确定的隐函数，则解：
?u?z?exyz2?2zexy? ?x?x
?z?1?yz?z?z
? ?yz?xy?0，
?x1?xy?x?x
?exyz2?2zex?y ?x1?xyx?0,y?1时，z??1
8.设z?f(xy)?y?(x?y),f,?具有二阶连续导数，则?
f(xy)?f(xy)?y?(x?y)xx?
?1'1''''''
f(xy)?f(xy)?yf(xy)??(x?y)?y?(x?y) xx
?y[f(xy)??(x?y)]??(x?y)
9.函数f(x,y)?xy?xy?xy的可能极值点为和 ??fx?y?y?2xy?y(1?2x?y)?0解：? 2
f?x?2xy?x?x(1?x?2y)?0??y
fxx??2y，fxy?1?2y?2x，fyy??2x，H??
1?2y?2x???2y
? 1?2y?2x?2x??
?01???2?1?
H?不是，???
3??2/??1/311
H??? 33??1/3?2/3?
不是?1?2??
负定，极大值
10.设f(x,y)?x2siny?(x2?1)xy|则f'y(1,0)?
解：因为f(1,y)?siny，故fy?(1,0)?cosyy?0?1
11.xsin2xdx?
xd(?cos2x)??xcos2x??xcos2xdx ?2211111
??x2cos2x??xd(sin2x)??x2cos2x?xsin2x??sin2xdx
??x2cos2x?xsin2x?cos2x?C.
12.在区间[0,?]上曲线y?cosx,y?sinx之间所围图形的面积为
cosx?sinxdx??4(cosx?sinx)dx???(sinx?cosx)dx
?(sinx?cosx)0?(?cosx?sinx)??2?1?1?2?22.
2??11b?kx1?kx?kx
答案：∵??edx?lim??ed(?kx)?lim?e
0b???b???2k0k
111?lime?kb? kb???kk
14.设Ｄ：x?y?1 ,则由估值不等式得?
(x?4y?1)dxdy? ??D
解：f(x,y)?x2?4y2?1?4(x2?y2)?1，又
?max{f(x,y)}?4?1?1?5，min{f(x,y)}?1
由m????f(x,y)d??M?，??SD???1??
15.设D由y?x,y?2x,y?1,y?2围成（x?0），则
?x?1??1?x?解：D：（X—型）=D1+D2
D2?2?1?y?2x2?x?y?2
??f?x,y?d?在直角坐标系下的两种积分
I?x?1xf(x,y)dy?x?xf(x,y)dy
I??1d2f(x,y)d x
16.设D为0?y?1?x,0?x?
dxdy的极坐标形式的二次积分为
0???1???2sin??
解：D：?，I??02d??0cos?f(r)rdr
?sin??cos??17.设级数
收敛，则常数p的最大取值范围是
解：由p级数的敛散性知，仅当2?p?1即p??1时，级数
收敛，其他情形均发散.
????)dx?。 18.?x(1?
1??????e解：因为，
所以原积分xe?x
dx???ed(?x)??202
?0的通解为arcsinx?arcsiny?c;
20.微分方程4y???20y??25?0的通解为y??c1?c2x?e
21.当n=_________时，方程y'?p(x)y?q(x)y 为一阶线性微分方程。
22.若4?4阶矩阵A的行列式为|A|?3,A是A的伴随矩阵,则|A|?__________。
23.设An?n与Bm?m均可逆，则C =?
C也可逆，且＝
24.设A??31?，且AX?E?3X，则X =
?2?12???25.矩阵402的秩为
。 ????0?33??
解答：将矩阵化成阶梯形，可知填写：2。
26.向量??(?1,0,3,?5),??(4,?2,0,1),其内积为____________。
27.n阶方阵A的列向量组线性无关的充要条件是
答案：r=n,或|A|≠0;
28.给定向量组?1??111?,?2??a
0b?,?3??132?,，若?1,?2,?3线性相关，则a，b满
。 答案：a-2b=0
29.已知向量组(I)与由向量组(II)可相互线性表示，则r(I)与r(II)之间向量个数的大小关系是
答案：相等
30.向量?=(2,1)T 可以用?=(0,1)T与 ?=(1,3)T线性表示为
答案：???5??2?;
31.方程组Ax=0有非零解是非齐次方程组AB=b有无穷组解的
答案：必要不充分;
32.设A为m×n矩阵,非齐次线性方程组Ax?b有唯一解的充要条件是r(A)
答案： r(A)?r(A?b)?n;
33.已知n元线性方程组AX?b有解，且r(A)?n，则该方程组的一般解中自由未知量的个数为
解答：n?r(A)
34.设?0是方阵A的一个特征值，则齐次线性方程组??0E?A?x?0的都是A的属于?0的特征向量。
答案：非零解;
35.若3阶矩阵A的特征值为1，2，-3，则A?1的特征值为。
答案：1,1,?1 ;
36.设A是n阶方阵，|A|≠0,A为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵，若A有特征值?0,则A*
有特征值??.
37.?，?分别为实对称矩阵A的两个不同特征值?1,?2所对应的特征向量,则?与? 的内积（?,?）
38.二次型f(x1,x2,x3,x4)?x1x4?x2x3的秩为
39.矩阵A??24??为正定矩阵,则?的取值范围是_________。
答案：??222
40.二次型f(x1,x2,x3)?2x1?3x2?tx3?2x1x2?2x1x3是正定的,则t的取值范围是_____。
41.A、B、C代表三事件，事件“A、B、C至少有二个发生”可表示为AB+BC+AC
。 42.事件A、B相互独立，且知P?A??0.2,P?B??0.5则P?A?B??
解：∵A、B相互独立，
∴P(AB)=P(A)P(B)
∴P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.2+0.5–0.1=0.6
43.若随机事件A和B都不发生的概率为p，则A和B至少有一个发生的概率为
解：P(A+B)=1–P(A?B)?1?P()?1?p
44.在相同条件下，对目标独立地进行5次射击，如果每次射击命中率为0.6，那么击中目标k次的概
解：设X表示击中目标的次数，则X服从二项分布，其分布律为：
45.设随机变量X服从泊松分布，且P?X=1??P?X=2?,则P?X=3?=
解：∵X服从泊松分布，其分布律为P{X=k}=（k=0, 1, 2，?,?>0）
e???1e???2
?由已知得：，求得?=2 1!2!
?∴ P{X=3}= 3!3
1?x?2，则a=
. 46.设随机变量X的分布密度为f(x)??a?x
解：由性质
?0dx??xdx??(a?x)dx??
??0dx?0??0 0??ax??22?1?
?2a?2?a??a?1?1 22
47.若二维随机变量（X，Y）的联合分布律为：
且X，Y相互独立，则常数a =
解：∵ X，Y相互独立
∴ P(X=1，Y=1)=P(X=1) · P(Y=1)
??????a? 16?1616??16?
??a?b?1 1616
48.设X的分布密度为f(x)，则Y?X的分布密度为解：∵P{Y≤y}=P(X3≤y)=P(X≤y)=Fx(y)
∴Y=X3的分布密度为
?(y)?y3f(y3)，y≠0 ?(y)=FX
49.二维随机变量（X，Y）的联合分布律为：
则?与?应满足的条件是
，当X，Y相互独立时，?＝
∴ ????0.2?0.3=1
即有???=0.5
当X，Y相互独立
∴P(X=1, Y=1)= P(X=1)P(Y=1)
∴a=(a+0.2)(a+?)
50.设随机变量X与Y相互独立，且X~N(1,2),Y~N(0,1).令Z = -Y + 2X +3，则D(Z)=
。 解：∵ X与Y相互独立，∴ D(Z)=D(–Y+2X+3)=D(–Y)+D(2X+3)
=(–1)2D(Y)+4D(X)=1+4×
51.已知随机变量X的数学期望E(X)?1,E(X2)?4.令Y＝2X－3，则D(Y)。 解：D(Y)=D(2X–3)=4D(X)=4{E(X2)–[E(X)]2}=4(4–12)=12。
二、单项选择题：
1.设f(x)?x?1 ，则f(f(x)?1)=（
解:由于f(x)?x?1，得 f(f(x)?1)?(f(x)?1)?1＝f(x)?2 将f(x)?x?1代入，得f(f(x)?1)=(x?1)?2?x?3 正确答案：D
2.下列函数中，（
）不是基本初等函数。 A.y?()
D.y?x5 cosx
解：因为y?lnx是由y?lnu，u?x复合组成的，所以它不是基本初等函数。
正确答案：B
3.下列各对函数中，（
）中的两个函数相等。 A.y?
xln(1?x)ln(1?x)2
B.y?lnx与g?2lnx 2
C.y??sin2x与g?cosx
D.y?解： A
4.设f(x)在x?x0处间断，则有（
x(x?1)与y?x(x?1)
A.f(x)在x?x0处一定没有意义；
f(x)?limf(x))； B.f(x0?0)?f(x?0); (即lim??
C.limf(x)不存在，或limf(x)??；
D.若f(x)在x?x0处有定义，则x?x0时，f(x)?f(x0)不是无穷小 答案：D
5.函数f(x)?? 在x = 0处连续，则k =
6.若f(x)?，x?0为无穷间断点，x?1为可去间断点，则a?（
解：由于x?0为无穷间断点, 所以(e?a)
?0, 故a?1. 若a?0, 则x?1也是无穷间断点.
由x?1为可去间断点得a?e.故选(C).
z?ln(x2?y2?2)?4?x2?y2
的定义域为（
x?y?2x?y?4x?y?22?x?y?4 A．
22??x?y?2?0解：z的定义域为：?
?2?x2?y2?4
8.二重极限lim2（
D.不存在 2
?解：lim2与k相关，因此该极限不存在
(选D) 2x?kyx?y41?ky?0
9.利用变量替换u?x,v?
?y?z化为新的方程(
) ，一定可以把方程x
?z?z?z?z?z
D.v?z ?u?v?v?u
可得x?u，y?uv，故z是u，v的函数，又u?x，v?故xx
解：z是x，y的函数，从u?x，v?
z是x,y的复合函数，故左边=x
?z?z?z1?z?z?z?y
??0??，从而 ??1??2，
?y?u?vx?x?u?vx
?z?z?zy?zy?z?z?z
?y?x???x?u ?x?y?ux?vx?v?u?u
因此方程变为：
10.若f(x)??f(?x)，在(0,??)内f'(x)?0,f''(x)?0,则f(x)在(??,0)内（
A.f'(x)?0,f''(x)?0;
B.f'(x)?0,f''(x)?0; C.f'(x)?0,f''(x)?0,
D.f'(x)?0,f''(x)?0, 解：(选C)
11.设f(x)在x?0的某个邻域内连续，且f(0)?0，lim
f(x)x2sin2
?1，则在点x?0处
B.可导,且f?(0)?0
C.取得极大值
D.取得极小值 解：因为lim
?1,则f(x)?0?f(0)在x?0的邻域内成立, 所以f(0)为f(x)的极小值,
12.设函数f(x),g(x)是大于零的可导函数，且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0，则当a?x?b时，有（
A.f(x)g(b)?f(b)g(x)
B.f(x)g(a)?f(a)g(x) C.f(x)g(x)?f(b)g(b)
D.f(x)g(x)?f(a)g(a) 解：考虑辅助函数F(x)?
f(x)f?(x)g(x)?f(x)g?(x)
,则F?(x)??0, 2
?, g(x)g(b)
则F(x)严格单调减少函数。当x?b时即有f(x)g(b)?g(x)f(b).应选(A).
f(t)dt,则F?(x)?(
)。 13.设f(x)是连续函数,且F(x)?? x
A.?e?xf(e?x)?f(x)
B.?e?xf(e?x)?f(x) C.e?xf(e?x)?f(x)
D.e?xf(e?x)?f(x) 解：由积分上限函数的导数可得F?(x)??e?xf(e?x)?f(x)，故选（A）. 14.设f(x)在?1,2?上具有连续导数，且f(1)?1,f(2)?1,
。 f(x)dx??1，则?xf?(x)dx?（
D.-2 解：因为
xf?(x)dx??xdf(x)?xf(x)1??f(x)dx?2f(2)?f(1)??f(x)dx
?2?1?(?1)?2，故应选（A）
15.设f(x)在?a,b?上二阶可导，且f(x)?0,f?(x)?0,f??(x)?0.记
S1??f(x)dx
S2?f(b)(b?a)， S3?
(b?a)，则有（
A.S1?S2?S3
B.S2?S3?S1
C.S3?S1?S2
D.S1?S3?S2
解：依题意，函数在上严格单调减少，且其图形是向上凸的曲线。依据几何图形可得S2?S3?S1，
16.设幂级数
(x?1)n在x??1处收敛。则此级数在x?2处(
A.绝对收敛
B.条件收敛
C.收敛性不能确定 解：选A。
17.下列命题中,正确的是（
的一般项有un?vn(n?1,2?),则有
B.若正项级数?un满足?1(n?1,2,?),则?un发散
C.若正项级数
?un收敛，则lim
D.若幂级数
?anxn的收敛半径为R(0?R???)，则lim
解：由因此limun?0，从而?un发散。故选（B）. ?1(n?1,2,?)有un?u1?0(n?1,2,?)，
收敛，则级数
A.绝对收敛
B.条件收敛
D.敛散性不确定 解：因为
收敛，即幂级数
xn在x??2处收敛，由Able定理知，幂级数在x?1处
绝对收敛，亦即
绝对收敛.故选（A）.
19.微分方程?x?y??dx?dy??dx?dy的通解是（
A.x?y?ln?x?y??c;
B.x?y?ln?x?y??c; C.x?y?ln?x?y??c;
D.x?y?ln?x?y??c. 解：D
20.设y?f(x)满足微分方程y???5y??5y?0,若f?x0??0,f??x0??0,则函数f?x?在点x0（
A.取极大值
B.取极小值
C.附近单调增加
D.附近单调减少.
21.函数y?y?x?在点x处的增量满足?y?
??x?0?且y?0???，则y?1??（D）
dydxarctanx
??解：令?x?0，得 ，C??，y?1???e4，故选（D）。 y?Ce2y1?x
22.若含有s个向量的向量组线性相关，且该向量组的秩为r，则必有(
). (A) r=s
(D) r<s 答案：D;
23.已知向量组?1?(1,1,1,0),?2?(0,k,0,1),?3?(2,2,0,1),?4?(0,0,2,1)线性相关,则k=(
24.向量组?1,?2,?,?s线性相关的充分必要条件是(
?1,?2,?,?s中含有零向量
(B) ?1,?2,?,?s中有两个向量的对应分量成比例
(C) ?1,?2,?,?s中每一个向量都可由其余s?1个向量线性表示 (D) ?1,?2,?,?s中至少有一个向量可由其余s?1个向量线性表示
25.对于向量组(α1,α2,?,αr),，因为0α1?0α2???0αr?0，所以α1,α2,?,αr是[
( A )全为零向量;
( B )线性相关; ( C )线性无关;
( D )任意. 答案： D;
26.设A，B均为n阶矩阵，且AB=O，则必有
） (A) A=O或B=O
(B)|A|=0或|B|=0
( C) A+B=O
(D) |A|+|B|=0 答案：B
27.若非齐次线性方程组Am×n X = b的(
)，那么该方程组无解．
A．秩(A) ＝ n
B．秩(A)＝m
C．秩(A）? 秩 ()
D．秩(A）= 秩()
解：根据非齐次线性方程组解的判别定理，得 Am×n X = b无解?秩(A) ? 秩()
正确答案：C
28.若线性方程组的增广矩阵为???2
?，则当?＝（
）时线性方程组有无穷多解。
D．解：将增广矩阵化为阶梯形矩阵，
?2??1?2??1
???01?2?0?? ?214????
此线性方程组未知量的个数是2，若它有无穷多解，则其增广矩阵的秩应小于2，即1?2??0，从而?＝
，即正确的选项是D。 2
29.设λ=2是非奇异矩阵A的特征值,则(A)有一个特征值是
30.若二次型f(x1,x2,x3)?(k?1)x1正定，则（
） ?(k?2)x2?(k?3)x3
（D）k?3 答案：(D)
31.已知??(1,k,1)T是矩阵A??121?的特征向量,则k=(
(B) ?1或?2
32.在随机事件A，B，C中，A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为（
（A）AC?BC
（C）ABC?ABC?ABC （D）A?B?C 解：由事件间的关系及运算知，可选（A）
33.袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为（
35?3?14?3?1（A）
（D） ??48C8888????8
解：基本事件总数为C8，设A表示“恰有3个白球”的事件，A所包含的基本事件数为C5=5，故
，故应选（D）。 4C8
34.设A、B互为对立事件，且P?A??0,P?B??0,则下列各式中错误的是（
（A）PB|A?0
（B）P?A|B??0
（C）P?AB??0
（D）P?A?B??1 解：因为A、B互为对立事件，所以P(A+B)=1，P(AB)=0，又P(A)?0，P(B)>0，
所以=A，因而P(|A)=P(A|A)=1，故选（A）
35.离散型随机变量X的分布列为P{ X = k } =ak, k = 1,2,3,4.则a?(
) （A）0.05
（D）0.25 解：由概率分布性质可知，常数a应满足
?P(X?k)?1，∴ a+2a+3a+4a=1，即有a=0.1，故应选
36.设随机变量X的分布函数为F(x)?a?
arctanx(???x??,a为常数)则
??P???X?＝（
） ??3（A）
（D） 6323
? ?x?3??F()?F????3??3?
????1??1???a?
???a???arctan???????????3??
。 ?????????，故应选（C）
37.设随机变量X服从N??,4?,则P?X?2???，的值（
） （A）随?增大而减小；
（B）随?增大而增大； （C）随?增大而不变；
（D）随?减少而增大.
X～N(?, 4)
P[X≤2+?]=P?
?X??2?????
而?(1)值不随?的变化而??1???(1)，
P{X≤2+?}值随?增大而不变，故应选（C）。 38.设随机变量X~N(?,?2)，则Y?aX?b服从(
) （A）N(?,?2)
（B）N(0,1)
（D）N(a??b,a2?2) ?ab?
选（D），∵ E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=a?+b
D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)=a2?
∴ Y～N(a?+b，a2?)。
39.对目标进行3次独立射击，每次射击的命中率相同，如果击中次数的方差为0.72，则每次射击的命中率等于（
( D ) 0.4 解：选（D）；由题意知：X～B(3, p)，而D(X)=3 · p · (1–p)=0.72
∴ p=0.4。
40.设随机变量X
的概率密度为f(x)?0?
|x|?a|x|?a
,a?0，则E(X)=(
（D）以上结论均不正确 解：选（B）；∵E(X)=三、解答题：
而被积函数为对称区间上的奇函数，∴ E(X)=0。 ，
1.设f(x)??1
x?0，已知f(x)在x?0处连续可导，
?ln(b?x2)x?0?
试确立a,b并求f?(x)
f?x??limlnb?x解：lim??
??lnb，limf?x??lim?a?x??a，?f?x?在x?0处连续，
∴lnb?a?1，即a?1,b?e。
当x?0时，f??x??lne?x
当x?0时，f??x??2x，
f?0?x??f?0?lne?x2?1
?lim?0， 当x?0时，f???0??lim
x?0?x?0?xxf?0?x??f?0?1?x2?1
f???0??lim?lim?0，故 ?
。 f??x???2x,x?0
2.设z?f(2x?y,ysinx), 其中f(u,v)具有二阶连续偏导数，求.
?2f1?ycosxf2, ?x
?2(?f11?sinxf12)?cosxf2?ycosx(?f21?sinxf22) ?x?y
??2f11?(2sinx?ycosx)f12?cosxf2?ysinxcosxf22.
,x2?y2?0讨论f(x,y)在（0，0） ?23.设
f(x,y)??x?y2
（1）偏导数是否存在。 （2）是否可微。 解：（1）fx(0,0)?lim
f(?x,0)?f(0,0)0?0
?lim?0 ?x?0?x?x
同理可得fy(0,0)?0，偏导数存在。 （2）若函数f在原点可微，则
?z?dz?f(0??x,0??y)?f(0,0)?fx?(0,0)?x?fy?(0,0)?y?
应是较?高阶的无穷小量，为此，考察极限lim此极限不存在，因而函数f在原点不可微。
，由前面所知，
(?x,?y)?(0,0)?x2??y2
4.在过点P(1,3,6)的所有平面中,求一平面, 使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小。 解：设平面方程为Ax?By?Cz?1, 其中A,B,C均为正, 则它与三坐标平面围成四面体的体积
,且A?3B?6C?1,令F(A,B,C,?)?ABC??(A?3B?6C?1),则由
1???A?BC???0A???3
?F???AC?3??01??
?AB?6??01??
C??A??18???A?3B?6C?1
由于问题存在最小值, 因此所求平面方程为
???1, 且Vmin??3?9?18?81. 39186
2112xcos2xdx解：?=xsin2x??2sin2xdx
2111?0?cos2x?(?1?1)??
D，其中为圆域x?y?9。 |x?y?4|d???
解：将区域D分为D1,D2，其中D1?(x,y)|x?y?4,D2?(x,y)|4?x?y?9。于是
?y2?4|d????(4?x2?y2)d????(x2?y2?4)d?
?2?(2r2?r4)0?2?(r4?2r2)
7.设f(x,y)在x?y?1上连续，求证：
??f(x,y)d???f(0,0)。
证明：D?{(x,y)|x2?y2?R2}
由重积分中值定理，?(?,y)?D，使得??f(x,y)d??f(?,y)???R2f(?,y)，当R?0时，(?,y)?(0,0)
由f的连续性，知limf(?,y)?f(0,0)，从而有：
??f(x,y)d?
?R2f(?,y)??limf(?,y)2r?0R
?R2f(?,y)??limf(?,y)2k?0RR?0
??f(0,0)?lim
8.求幂级数?(x?4)n收敛区间及和函数S(x)：
ann?1?lim?1，所以，?1?x?4?1，3?x?5.
n??an??nn?1
(?)，由调和级数知发散； ?nn?1
当x?3时，级数成为
当x?5时，级数成为?，由交错级数的Leibniz判别法知此级数是收敛的. 所以收敛区间为
11(?1)n?1n
设S(x)??， ?(x?4)，则S?(x)??(?1)n?1(x?4)n?1?
1?(x?4)x?3nn?1n?1
(3?x?5). 所以，S(x)?ln(x?3),
9.求解y??,y(1)?0;
解：原方程可化为
，两边积分得 ?
1?y2x21?x2
11x?y?ln?lnc，即。由y?1??0得c?1，故1?y1?x?cx,c?c11221?x2
?1?y??1?x??x
即为所求。
10.求解xy??xtan
?y?0,y(1)?。 x2
yyycosududx
??, 两边积分解：原式可化为y??tan??0，令?u，得xu???tanu，即
得 lnsinu??lnx?lnc，即sinu?，sin?，由y(1)?得c?1，
故所求特解为
11.求解4y???4y??y?0满足y?0??2,y??0??0.
??，故通解为y??C1?C2x?e2，由y?0??2,y??0??0
?1,2解：特征方程为4??4??1?0，
得C1?2,C2?1，故y??2?x?e
为所求特解。
12.求解y???3y??2y?2ex满足y?0??1,y??0???1;
解：对应的齐次方程的通解为Y?C1ex?C2e2x，设特解为y*?Axex代入原方程得A??2，故原方程通解为y?C1ex?C2e2x?2xex，由y?0??1,y??0???1得C1?1,C2?0， ∴y??1?2x?e。
13.设二阶常系数线性微分方程y????y???y??ex的一个特解为y?e2x??1?x?ex，试确定?,?,?，
并求该方程的通解.
解：将y?e2x??1?x?ex，y??2e2x?ex??1?x?ex，y???4e2x?2ex??1?x?ex，代入原方程
得?4?2????e2x
?4?2????0?
??3?2?????1?????x?ex??ex，故?3?2?????
????3,??2,???1，方程为y???3y??2y??ex，故通解为
y?C1ex?C2e2x?e2x??1?x?ex。
14.计算下列行列式
=cos2?+sin2?=1
15.计算下列行列式
a3a16.证明：
c?(a?b?c)(b?a)(c?a)(c?b)c3
c?0b?ac?a?(b?a)(c?a)
b(b?a)c(c?a)
c30b(b2?a2)c(c2?a2)
?(b?a)(c?a)
?(a?b?c)(b?a)(c?a)(c?b)
0c(c?a)?b(b?a)
17.设AX+E=A2+X，且A=?020?，求X 。
解：由AX+E=A+X，得(A–E)X=A–E，而A–E可逆，故X=A+E=?030?。
18.已知矩阵
?a1??b1??67?
，求常数a，b ． ??2??????a0630b??????
?a1??b1??aba?b2??67?
解：因为? ?????????2?
a??63??a0??0b??ab
a?3,ab?6，得b = 2 ． 19.将向量?表示成?1,?2,?3的线性组合：
（1）?1?(1,1,?1),?2?(1,2,1),?3?(0,0,1),??(1,0,?2) 解：设??k1?1?k2?2?k3?3，按分量展开得到
?k1?2k2?0??k?k?k??2
求解得到k2??1,k1?2,k3?1，即??2?1??2??3
20.问?，?取何值时，齐次方程组
??x1?x2?x3?0??x1??x2?x3?0
?x?2?x?x?023?1
有非零解？
解：齐次方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零，故
11101???1???1?12?10??10????1???0???(1??)
即??0或??1齐次方程组有非零解。
21.设线性方程组
?2x1?x2?x3?1???x1?2x2?x3??1 ?x?3x?2x?c23?1
试问c为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解。 ?2?111???1?21?1??12?11???????解：A??1?21?1?0?53?1?0?53?1 ????????0c???1?32c???0?53c?1???00?
可见，当c = 0时，方程组有解。且
1?10?5?3A??01?5??000
原方程组的一般解为 3?5?1?? 5?0???
31?x??x??1553
（x3是自由未知量）
??x?1?3x23?55?
22.求一个正交变换化下列二次型为标准型：
222f?2x?3x?3x?4x2x3 123（1）
解：对应的矩阵为
2??00?200???A??032?A??E?03??2?(2??)(5??)(1??)?0
?023?023????，
特征值为?1?2,?2?5,?3?1 ??0?1??2?1??222?2?，标准型为f?2y1?5y2?y3 ???1?P??0??0??正交矩阵为01212
23.某工人看管甲、乙、丙3台机器，在1小时内，这3台机器不需照管的概率分别为0.8，0.9，0.6，设这三台机器是否需照管是相互独立的，求在1小时内：(1)有机床需要工人照管的概率；(2)机床因无人照管而停工的概率.
解：(1)设Ai表示“甲、乙、丙三台机床无需照管”i=1, 2, 3，则有机床需要工人照管的事件为A1A2A3，
P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)?1?0.8?0.9?0.6=0.568
(2)以B表示“机床因无人照看而停工”
P(B)?P(12A3)?P(A123)?P(1A23)?P(123)
=0.2×0.1×0.6+0.2×0.9×0.4+0.8×0.1×0.4+0.2×0.1×0.4
24.设随机变量X的分布密度为f(x)?
即：??A1?x2(???x???)求：(1)常数A；(2)X的分布函数； . ?????f(x)dx?1 ??
∴ A=A???1?x2dx?A?arctanx1?A??1
(2)由(1)知f(x)=1 2?1?x1
??x??f(x)dx??x??1?arctanx1dx ???1?x211??arctanx?? ??2x1?11?arctanx
(–∞<x<+∞) 2?
25.设二维随机变量（X，Y）在区域0?x?1,y2?x内服从均匀分布.求
(1)（X，Y）的联合分布密度；
(2)X与Y的边缘分布密度，并问它们是否相互独立？
解：(1)区域0≤x≤1，y2≤x的面积A由图如示： 则：A?2?1
0xdx?4/3 ?122?,0?x?1,y?x?3/4,0?x?1,y?x依题意有：f(x,y)??A ???0,其它??0,其它
(2)∵fX(x)????
??3?x3dy?x,0?x?1???x f(x,y)dy??42?其它?0,
3?132????y2dx?(1?y),?1?y?1 fY(y)??f(x,y)dy??44???其它?0,
?3?32x,0?x?1??(1?y),?1?y?1∴fX(x)??2
??其它其它?0,?0,
又∵fX(x)?fY(y)?f(x,y)
∴X, Y不相互独立.
26.设X，Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为
?e?y,y?0?1,0?x?1
fY(y)?? fX(x)???0,其它?0,y?0
求随机变量Z＝X＋Y的概率密度函数.
解：设Z的密度函数为fZ(z)，则由卷积公式得
fZ(z)??fY(z?x)dx??????01令z?x?tzz?1fY(t)dt
a)当z<0时，fY(t)=0，∴fZ(z)=0
b)当0≤z<1时，z-1<0，z≥0
fZ(z)??0z?10dt??e?tdt?1?e?z 0zc)当z≥1时，z-1≥0 z
z?1e?tdt?e1?z?e?z?(e?1)e?z
0,z?0???z0?z?1 综述：fZ(z)??1?e,
?(e?1)e?z,z?1?
27.某工厂生产的一种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，密度函数为
4?ef(x)??4?0?0?xx?0
为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换，若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元.求工厂出售一台设备赢利的数学期望.
解：法一：P{X≥1}=???
1f(x)dx????1?1?4edx?e4，设Y表示厂方出售一台设备的赢利数，则Y4x1
的分布律为
∴ E(Y)=100?e?1
4?(?200)(1?e)?300e
1x?200?33.64。 x??1?41?4
法二：E(Y)=?(?200)?edx??100?edx 0144
=200e?100e?300e?200?33.64。
228.设随机变量（X，Y）服从正态分布，且X和Y分别服从正态分布N(1,3)
1XY和N(0,42)，X与Y的相关系数?XY??,Z??,求Z的数学期望E(Z)和方差D(Z)； 232
解：E(Z)=E?1111?XY?1???E(X)?E(Y)??1??0?；
??Y??XY???D???2cov?,? ??2??32?D(Z)=D??XY??X???D??32??3
1111D(X)?D(Y)?2??cov(X,Y)????32??42???XY?D(X)?D(Y)?1?4??????3?4?39433?2??
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