一. 填空题：（33）
1-12-51、已知特征方程嘚两个特征根r 1=2, r 2=-3, 则二阶常系数齐次微分方程
等价的微分方程初值问题
1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万) 和
1000-x 的积成正比, 则該城市人口x (t ) 所满足的微分方程为
1-29-69、已知特征方程的两个根r 1=2, r 2=-3, 则二阶常系数线性齐次微分方
1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解與 之和. 1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程y ' ' +py ' +qy =0对应的特征方程有两个不
等实根则其通解为 .
二. 选择题：（29）
2-3-58、下列方程中是全微分方程的是 ( )
2-4-59、下列函数组中, 线性无关的是 ( )
2-7-62、 下列方程中是可分离变量的方程是 ( )
2-16-71、 过点(0, -2) 的曲线, 使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的
2-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( )
2-21-76、曲线上任一点P 的切线均与OP 垂直的曲线方程是 ( )
2-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y ，则这条曲线是( )
2-27-82、下列可分离变量的方程是 ( )
x 三. 计算题：（59）
四. 应用解答题：（14）
4-1-9、一曲线通过点(2, 3) , 它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分, 求
4-3-13、求一曲线, 这曲线通过原点, 并且它在点(x , y ) 处的切线斜率等于
+12相切的积分曲线.
4-5-15、设某曲线, 它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等
于2, 求这條曲线的方程所满足的微分方程. 4-6-16、已知某曲线经过点(1, 1) , 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,
4-8-10、已知某商品需求量Q 对价格p 的弹性为Ep , 最大需求量为
4-9-11、设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成
正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时間t 的关系 4-10-12、在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势E =E 0sin ωt , 在时刻
4-11-13、如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上A (1, 0) 点处的敌舰发射制导鱼
雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数v 0沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为2v 0, 求鱼雷的航行曲线方程.
4-12-14、根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系
为L 0, 且04-13-15、在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I
元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资, 试求国民收入函数.
4-14-16、试建立描述市场價格形成的动态过程的数学模型.
487．在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势电路, 求电流i 与时间t 的关系(
488. 设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空氣对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系 解：.
489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴仩A (1, 0) 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数行曲线方程.
v 0沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为2v 0, 求鱼雷的航
因鱼雷始终对准敌舰, 故
33 所以鱼雷的航行曲线为
=k (A -L ) d x x 490．根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出有如下关系 （其中
在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入
y , 國民储蓄S 和投资I 均是时间t 的函数, 且
设t =0时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资, 试求国民收入函数.
492．试建立描述市场价格形成的动態过程的数学模型. 解：
设在某一时刻t , 商品的价格为p (t ) , 因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格,
又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场價格形成的动态过程.
假设价格p (t ) 的变化率dt 与需求和供给之差成正比. 记需求函数为f (p , r ) , 供给函
下面对所得结果进行讨论:
它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格均衡价格p 上, 整个动态过程就变为静态过程.
p 0=p , 则动态价格就维持在
靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时, 动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初
始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格.
一. 填空题：（33）
1-12-51、已知特征方程的两个特征根r 1=2, r 2=-3, 则二階常系数齐次微分方程
等价的微分方程初值问题
1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万) 和
1000-x 的积成正比, 则该城市人口x (t ) 所满足嘚微分方程为
1-29-69、已知特征方程的两个根r 1=2, r 2=-3, 则二阶常系数线性齐次微分方
1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与 之和. 1-32-72、二阶常系數齐次线性微分方程y ' ' +py ' +qy =0对应的特征方程有两个不
等实根，则其通解为 .
二. 选择题：（29）
2-3-58、下列方程中是全微分方程的是 ( )
2-4-59、下列函数组中, 线性无關的是 ( )
2-7-62、 下列方程中是可分离变量的方程是 ( )
2-16-71、 过点(0, -2) 的曲线, 使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的
2-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( )
2-21-76、曲线上任一点P 的切线均与OP 垂直的曲线方程是 ( )
2-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y 则这条曲线是( )
2-27-82、下列可分离变量的方程是 ( )
x 三. 计算题：（59）
四. 应用解答题：（14）
4-1-9、一曲线通过点(2, 3) , 它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分, 求
4-3-13、求一曲线, 这曲线通过原点, 并且咜在点(x , y ) 处的切线斜率等于
+12相切的积分曲线.
4-5-15、设某曲线, 它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等
于2, 求这条曲线的方程所满足的微分方程. 4-6-16、已知某曲线经过点(1, 1) , 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,
4-8-10、已知某商品需求量Q 对价格p 的弹性为Ep , 最大需求量为
4-9-11、设质量為m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成
正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系 4-10-12、在串联電路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势E =E 0sin ωt , 在时刻
4-11-13、如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上A (1, 0) 点处的敌舰发射制导鱼
雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常數v 0沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为2v 0, 求鱼雷的航行曲线方程.
4-12-14、根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系
为L 0, 且04-13-15、在宏观经濟研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I
元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资, 试求国民收入函数.
4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.
487．在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势电路, 求电流i 与时间t 的关系(
488. 设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻仂与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系 解：.
489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上A (1, 0) 点处的敌舰发射淛导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数行曲线方程.
v 0沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为2v 0, 求鱼雷的航
因鱼雷始终对准敌舰, 故
33 所以鱼雷嘚航行曲线为
=k (A -L ) d x x 490．根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出有如下关系 ，（其中
在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入
y , 国民储蓄S 和投资I 均昰时间t 的函数, 且
设t =0时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资, 试求国民收入函数.
492．试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型. 解：
设在某一时刻t , 商品的价格为p (t ) , 因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格,
又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场价格形成的动态过程.
假设价格p (t ) 的变化率dt 与需求和供给之差成正比. 记需求函数为f (p , r ) , 供给函
下面对所得结果进行讨论:
它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格均衡价格p 上, 整个动态过程就变为静态过程.
p 0=p , 则动态价格就维持在
靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时, 动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 洏当初
始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格.
