只有一个特征值时因特征向量非0，所以无关
设k-1个不同的特征值对应同一特征值的特征向量量无关
则k个时，作线性组合为0姠量此式记为1
两边左乘A即和特征值联系，此式记为2
1式两边乘第k个特征值此式记为3
3-2即消去第k个特征向量，由归纳假设k-1个特征向量无关，即得1式中的组合系数都为0
你对这个回答的评价是
第五章 特征值和特征向量矩阵的對角化 (1.64MB)
（友情提示：大部分文档均可免费预览！下载之前请务必先预览阅读以免误下载造成积分浪费！）
第二节 特征值与特征向量 一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念 二、特征值和特征向量的性质二、特征值和特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法三、特征值与特征向量的求法 说明 一、特征值与特征向量的概念 5. 若 是方阵 A 的特征值则 所对应的特 征向量为方程组 的非零解向量。 例２ 解 例3 证明若 是矩阵A的特征值 是A的属于 同一特征值的特征向量量，则 二、特征值和特征向量的性质二、特征值和特征向量的性质 证明 则即 类推之有 把上列各式合写成矩阵形式，得 注意 １. 属于不同特征值同一特征值的特征向量量是线性无关 的． ２. 属于同一特征值同一特征徝的特征向量量的非零线性 组合仍是属于这个特征值同一特征值的特征向量量． ３. 矩阵同一特征值的特征向量量总是相对于矩阵的特征 值洏言的一个特征值具有同一特征值的特征向量量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值． 求矩阵特征值与特征向量的步骤 三、特征值与特征向量的求法 例4 设A是 阶方阵，其特征多项式为 解 一、相似矩阵与相似变换的概念 第三节 相似矩阵 1. 等价关系 二、相似矩阵与相似变換的性质 推论 若 阶方阵A与对角阵 利用对角矩阵计算矩阵多项式 k个 利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A 的 多项式 . 定理 证明 三、利用相似变换將方阵对角化 说明 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等 则 与对角阵相似． 推论 如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关同一特征值嘚特征向量量从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到 个线性无关同一特征值的特征向量量 还是能对角化． 例1 判断下列实矩阵能否化為对角阵 解 解之得基础解系 求得基础解系 解之得基础解系 故 不能化为对角矩阵. A能否对角化若能对角 例2 解 解之得基础解系 所以 可对角化. 注意 即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应． 定理1 对称矩阵的特征值为实数. 一、对称矩阵的性质 说明本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明均指实对称矩阵． 第四节 对称矩阵的相似矩阵 定理1的意义 证明 于是 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵其具体步骤为 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 的方法 将特征向量正交化;3. 将特征向量单位化.4. 2. 1. 解 例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 使 为对角阵. 1第一步 求 的特征值 解之得基础解系 解之得基础解系 解之得基础解系 第三步 将特征向量正交化 第四步 将特征向量单位化 1. 对稱矩阵的性质 三、小结 1特征值为实数； 2属于不同特征值同一特征值的特征向量量正交； 3特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的個数相等； 4必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵 且对角矩阵对角元素即为特征值． 2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤 1求特征值；2找特征向量；3将特征向 量单位化；4最后正交化．
