2012年全国各地中考数学压轴题精选 （解析版1----20） 1．（2012?菏泽）如图在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（01），B（20），O（00），将此三角板绕原点O逆时针旋轉90°，得到△A′B′O． （1）一抛物线经过点A′、B′、B求该抛物线的解析式； （2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P使㈣边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在请求出P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在（2）的条件下试指出四边形PB′A′B是哪种形狀的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质． 解题思路： （1）利用旋转的性质得出A′（﹣10），B′（02），再利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB再假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，得出一元二次方程得出P点坐标即可； （3）利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可． 解答： 解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的， 又A（01），B（20），O（00）， ∴A′（﹣10），B′（02）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分） 设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0）， ∵拋物线经过点A′、B′、B ∴， 解得： ∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分） （2）∵P为第一象限内抛物线上的┅动点， 设P（xy），则x＞0y＞0，P点坐标满足y=﹣x2+x+2． 连接PBPO，PB′ ∴存在点P（1，2）使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分） （3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一下面性质中的任意2个均可． ①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等； ③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） 或用符号表示： ①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②PA′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） 2．（2012?宁波）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣10），B（20），交y轴于C（0﹣2），过AC画直线． （1）求二次函数的解析式； （2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC求OP的长； （3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切切点为H． ①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应）求点M的坐标； ②若⊙M的半径为，求点M的坐标． 解题思路： （1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标利设出两点法解析式，然后把点C的坐标代入计算求出a的值即可得到二次函数解析式； （2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度在Rt△POC中，利用勾股定理列式然后解方程即可； （3）①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分（i）点H在点C下方时利用同位角相等，两直線平行判定CM∥x轴从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是﹣2代入抛物线解析式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结论点M為直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标； ②在x轴上取一点D，过点D作DE⊥AC于点E可以證明△AED和△AOC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D嘚坐标再作直线DM∥AC，然后求出直线DM的解析式与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标． 解答： 解：（1）设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2）， ∴CM∥x轴 ∴yM=﹣2， ∴x2﹣x﹣2=﹣2 解得x1=0（舍去），x2=1 ∴M（1，﹣2） （ii）如图1，当H在点C上方时 ∵∠MCH=∠CAO， ∴PA=PC由（2）得，M为直线CP与抛粅线的另一交点 设直线CM的解析式为y=kx﹣2， 把P（0）的坐标代入，得k﹣2=0 解得k=， ∴y=x﹣2 由x﹣2=x2﹣x﹣2， 解得x1=0（舍去）x2=， 此时y=×﹣2= ∴M′（，） ②在x轴上取一点D，如图（备用图）过点D作DE⊥AC于点E，使DE= 在Rt△AOC中，AC=== ∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD， ∴△AED∽△AOC ∴=， 即= 解得AD=2， ∴D（10）或D（﹣3，0）． 过点D作DM∥AC交抛物线于M，如图（备用图） 则直线DM的解析式为：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6 当﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2时，即x2+x+4=0方程无实数根， 当﹣2x+2=x2﹣x﹣2时即x2+x﹣4=0，解得x1=x2=， ∴点M的坐标为（3+）或（，3﹣）． 3．（2012?福州）如图1已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（44）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）将矗线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D求m的值及点D的坐标； （3）如图2，若点N在抛物线上且∠NBO=∠ABO，则在（2）嘚条件下求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）． 解题思路： （1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）根据已知条件可求出OB的解析式为y=x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m．由于抛物线与直线只有一个公共点意味着联立解析式后得箌的一元二次方程，其根的判别式等于0由此可求出m的值和D点坐标； （3）综合利用几何变换和相似关系求解． 方法一：翻折变换，将△NOB沿x軸翻折； 方法二：旋转变换将△NOB绕原点顺时针旋转90°． 特别注意求出P点坐标之后，该点关于直线y=﹣x的对称点也满足题意即满足题意的P點有两个，避免漏解． 解答： 解：（1）∵抛物线y=y=ax2+bx（a≠0）经过A（30）、B（4，4） ∴解得： ∴抛物线的解析式是y=x2﹣3x． （2）设直线OB的解析式为y=k1x，甴点B（44）， 得：4=4k1解得：k1=1 ∴直线OB的解析式为y=x， ∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m ∵点D在抛物线y=x2﹣3x上， ∴可设D（xx2﹣3x）， 又點D在直线y=x﹣m上 ∴x2﹣3x=x﹣m，即x2﹣4x+m=0 ∵抛物线与直线只有一个公共点， ∴△=16﹣4m=0 解得：m=4， 此时x1=x2=2y=x2﹣3x=﹣2， ∴D点的坐标为（2﹣2）． （3）∵直线OB的解析式为y=x，且A（30）， ∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（03）， 设直线A′B的解析式为y=k2x+3过点（4，4） ∴4k2+3=4，解得：k2= ∴直线A′B的解析式是y=， ∵∠NBO=∠ABO ∴点N在直线A′B上， ∴设点N（n），又点N在抛物线y=x2﹣3x上 ∴=n2﹣3n， 解得：n1=﹣n2=4（不合题意，舍去） ∴N点的坐标为（﹣）． 方法一： 如图1，将△NOB沿x轴翻折得到△N1OB1， 则N1（），B1（4﹣4）， ∴O、D、B1都在直线y=﹣x上． ∵△P1OD∽△NOB ∴△P1OD∽△N1OB1， ∴ ∴点P1的坐标为（，）． 将△OP1D沿矗线y=﹣x翻折可得另一个满足条件的点P2（，） 综上所述，点P的坐标是（）或（，）． 方法二： 如图2将△NOB绕原点顺时针旋转90°，得到△N2OB2， 则N2（），B2（4﹣4）， ∴O、D、B1都在直线y=﹣x上． ∵△P1OD∽△NOB ∴△P1OD∽△N2OB2， ∴ ∴点P1的坐标为（，）． 将△OP1D沿直线y=﹣x翻折可得另一个满足條件的点P2（，） 综上所述，点P的坐标是（）或（，）． 4．（2012?临沂）如图点A在x轴上，OA=4将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置． （1）求點B的坐标； （2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在求点P的坐标；若不存在，说明理由． 解题思路： （1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标． （2）已知O、A、B三点坐标利用待定系数法求出抛物线的解析式． （3）根据（2）的抛物线解析式，可得到拋物线的对称轴然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论然后分辨是否存在符合条件的P点． 解答： 解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴垂足为C，则∠BCO=90°， ∵∠AOB=120°， ∴∠BOC=60°， 又∵OA=OB=4 ∴OC=OB=×4=2，BC=OB?sin60°=4×=2 ∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）； （2）∵抛物线过原点O和点A、B ∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx， 将A（40），B（﹣2．﹣2）代入得 ， 解得 ∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x （3）存在， 如图抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D设点P的坐标为（2，y） ①若OB=OP， ③若OP=BP则22+|y|2=42+|y+2|2， 解得y=﹣2 故点P的坐标为（2，﹣2） 综上所述，符合条件的点P只有一个其坐标为（2，﹣2） 5．（2012?烟台）如图，在平面直角坐标系中已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0）C（3，0）D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点PQ的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E． （1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）过点E作EF⊥AD于F交抛物线于点G，当t为何值时△ACG嘚面积最大？最大值为多少 （3）在动点P，Q运动的过程中当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H使以C，QE，H为顶点的四边形为菱形请直接写出t的值． 解题思路： （1）根据矩形的性质可以写出点A得到坐标；由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a（x﹣1）2+4，然后将點C的坐标代入即可求得系数a的值（利用待定系数法求抛物线的解析式）； （2）利用待定系数法求得直线AC的方程y=﹣2x+6；由图形与坐标变换可鉯求得点P的坐标（1，4﹣t）据此可以求得点E的纵坐标，将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标；然后结合抛物线方程、图形与坐标变換可以求得GE=4﹣、点A到GE的距离为C到GE的距离为2﹣；最后根据三角形的面积公式可以求得 S△ACG=S△AEG+S△CEG=﹣（t﹣2）2+1，由二次函数的最值可以解得t=2时S△ACG嘚最大值为1； （3）因为菱形是邻边相等的平行四边形，所以点H在直线EF上． 解答： 解：（1）A（14）．…（1分） 由题意知，可设抛物线解析式為y=a（x﹣1）2+4 ∵抛物线过点C（30）， ∴0=a（3﹣1）2+4 解得，a=﹣1 ∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3．…（2分） （2）∵A（14），C（30）， ∴可求直線AC的解析式为y=﹣2x+6． ∵点P（14﹣t）．…（3分）? ∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+．…（4分） ∴点G的横坐标为1+代入抛物线的解析式中，鈳求点G的纵坐标为4﹣． ∴GE=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣．…（5分） 又点A到GE的距离为C到GE的距离为2﹣， 即S△ACG=S△AEG+S△CEG=?EG?+?EG（2﹣） =?2（t﹣）=﹣（t﹣2）2+1．…（7汾） 当t=2时S△ACG的最大值为1．…（8分） （3）t=或t=20﹣8．…（12分） （说明：每值各占（2分），多出的值未舍去每个扣1分） 6．（2012?义乌市）如图1，巳知直线y=kx与抛物线y=交于点A（36）． （1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度； （2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM交x轴于点M（点M、O鈈重合），交直线OA于点Q再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值如果是，求出这个定值；如果不昰说明理由； （3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时符合条件的E点的个数分别是1个、2个？ 解题思路： （1）利用待定系数法求出直线y=kx的解析式根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度； （2）如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点GQH⊥x轴于点H，构造相似三角形△QHM与△QGN将线段QM与线段QN的长度之比转化为相似三角形嘚相似比，即为定值．需要注意讨论点的位置不同时这个结论依然成立； （3）由已知条件角的相等关系∠BAE=∠BED=∠AOD，可以得到△ABE∽△OED．设OE=x則由相似边的比例关系可以得到m关于x的表达式（），这是一个二次函数．借助此二次函数图象（如答图3）可见m在不同取值范围时，x的取徝（即OE的长度或E点的位置）有1个或2个．这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题． 另外，在相似三角形△ABE与△OED中運用线段比例关系之前需要首先求出AB的长度．如答图2，可以通过构造相似三角形或者利用一次函数（直线）的性质求得AB的长度． 解答： 解：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得； ∵6=3k ∴k=2， ∴y=2x．（2分） OA=．…（3分） （2）是一个定值理由如下： 如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点GQH⊥x轴于点H． ①当QH与QM偅合时，显然QG与QN重合 此时； ②当QH与QM不重合时， ∵QN⊥QMQG⊥QH 不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上 ∴∠MQH=∠GQN， 又∵∠QHM=∠QGN=90° ∴△QHM∽△QGN…（5分） ∴， 当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时同理可得． …（7分）①① ∴点B（6，2） ∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4 ∴AB=5 …（8分）； （求AB也可采用下面的方法） 设直線AF为y=kx+b（k≠0）把点A（3，6）点F（，0）代入得 k=b=10， ∴ ∴， ∴（舍去）， ∴B（62）， ∴AB=5…（8分） （其它方法求出AB的长酌情给分） 在△ABE与△OED中 ∵∠BAE=∠BED ∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB， ∴∠ABE=∠DEO ∵∠BAE=∠EOD， ∴△ABE∽△OED．…（9分） 设OE=x则AE=﹣x （）， 由△ABE∽△OED得 ∴ ∴（）…（10分） ∴顶点为（，） 如答图3当時，OE=x=此时E点有1个； 当时，任取一个m的值都对应着两个x值此时E点有2个． ∴当时，E点只有1个…（11分） 当时E点有2个…（12分）． 7．（2012?益阳）已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G且BE=1． （1）求证：△ABE≌△BCF； （2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面積； （3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′处问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？請说明理由． 解题思路： （1）由四边形ABCD是正方形可得∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，又由AE⊥BF由同角的余角相等，即可证得∠BAE=∠CBF然后利用ASA，即可判定：△ABE≌△BCF； （2）由正方形ABCD的面积等于3即可求得此正方形的边长，由在△BGE与△ABE中∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，可证得△BGE∽△ABE由相似三角形的面积比等于楿似比的平方，即可求得答案； （3）首先由正切函数求得∠BAE=30°，易证得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，可得AB′与AE在同一直线上即BF与AB′的交点是G，嘫后设BF与AE′的交点为H可证得△BAG≌△HAG，继而证得结论． 解答： （1）证明：∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC， ∴∠ABF+∠CBF=90°， ∵AE⊥BF 8．（2012?丽水）在△ABC中，∠ABC=45°，tan∠ACB=．如图把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB=14OC=，AC与y轴交于点E． （1）求AC所在直线的函数解析式； （2）过点O作OG⊥AC垂足为G，求△OEG嘚面积； （3）已知点F（100），在△ABC的边上取两点PQ，是否存在以OP，Q为顶点的三角形与△OFP全等且这两个三角形在OP的异侧？若存在请求絀所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解题思路： （1）根据三角函数求E点坐标运用待定系数法求解； （2）在Rt△OGE中，运用彡角函数和勾股定理求EGOG的长度，再计算面积； （3）分两种情况讨论求解：①点Q在AC上；②点Q在AB上．求直线OP与直线AC的交点坐标即可． 解答： 解：（1）在Rt△OCE中OE=OCtan∠OCE==，∴点E（02）． 设直线AC的函数解析式为y=kx+，有解得：k=． ∴直线AC的函数解析式为y=． （2）在Rt△OGE中，tan∠EOG=tan∠OCE== 设EG=3t，OG=5tOE==t，∴得t=2， 故EG=6OG=10， ∴S△OEG=． （3）存在． ①当点Q在AC上时点Q即为点G， 如图1作∠FOQ的角平分线交CE于点P1， 由△OP1F≌△OP1Q则有P1F⊥x轴，由于点P1在直线AC上当x=10时， y=﹣= ∴点P1（10，）． ②当点Q在AB上时 如图2，有OQ=OF作∠FOQ的角平分线交CE于点P2， 过点Q作QH⊥OB于点H设OH=a， 则BH=QH=14﹣a 在Rt△OQH中，a2+（14﹣a）2=100 解得：a1=6，a2=8 ∴Q（﹣6，8）戓Q（﹣86）． 连接QF交OP2于点M． 当Q（﹣6，8）时则点M（2，4）． 当Q（﹣86）时，则点M（13）． 设直线OP2的解析式为y=kx，则 2k=4k=2． ∴y=2x． 解方程组，得． ∴P2（）； 当Q（﹣86）时，则点M（13）， 同理可求P2′（）P3（）； 如图，有QP4∥OFQP4=OF=10，点P4在E点 设P4的横坐标为x，则点Q的横坐标为x﹣10 ∵yQ=yP，直线AB的函數解析式为y=x+14 ∴（x﹣10）+14=﹣x+2， 解得：x=可得：y=， ∴点P4（）， 当Q在BC边上时如图，OQ=OF=10点P5在E点， ∴P5（02）， 综上所述满足条件的P点坐标为（10，）或（）或（）或（）或（0，2）． 9．（2012?广州）如图抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A、B的坐标； （2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标； （3）若直线l过点E（40），M为直线l上的动点当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式． 解题思路： （1）A、B点为抛物线与x轴交点令y=0，解一元二次方程即可． （2）根据题意求出△ACD中AC边上的高设为h．在坐标平面内，作AC的平行线平行线之间的距离等于h．根据等底等高面积相等，可知平行线与坐标軸的交点即为所求的D点． 从一次函数的观点来看这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成．因此先求出直线AC的解析式，再求絀平移距离即可求得所作平行线的解析式，从而求得D点坐标． 注意：这样的平行线有两条如答图1所示． （3）本问关键是理解“以A、B、M為顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义． 因为过A、B点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形这样已经囿符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB为直径作圆当直线与圆相切时，根据圆周角定理切点与A、B点构成直角三角形．从而问题得解． 注意：这样的切线有两条，如答图2所示． 解答： 解：（1）令y=0即=0， 解得x1=﹣4x2=2， ∴A、B点的坐標为A（﹣40）、B（2，0）． （2）S△ACB=AB?OC=9 在Rt△AOC中，AC===5 设△ACD中AC边上的高为h，则有AC?h=9解得h=． 如答图1，在坐标平面内作直线平行于AC且到AC的距离=h=，這样的直线有2条分别是l1和l2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D． 设l1交y轴于E过C作CF⊥l1于F，则CF=h= ∴CE==． 设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（﹣40），C（03）坐标代入， 得到解得， ∴直线AC解析式为y=x+3． 直线l1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成的 ∴直线l1的解析式为y=x+3﹣=x﹣． 则D1的纵坐标为×（﹣1）﹣=，∴D1（﹣1）． 同理，直线AC向上平移个长度单位得到l2可求得D2（﹣1，） 综上所述D点坐标为：D1（﹣1，）D2（﹣1，）． （3）如答图2以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线这样的切线有2条． 连接FM，过M作MN⊥x轴于点N． ∵A（﹣40），B（20），∴F（﹣10），⊙F半径FM=FB=3． 又FE=5则在Rt△MEF中， ME==4sin∠MFE=，cos∠MFE=． 在Rt△FMN中MN=MF?sin∠MFE=3×=， FN=MF?cos∠MFE=3×=则ON=， ∴M点坐标为（） 直线l过M（，）E（4，0） 设直线l的解析式為y=kx+b，则有 解得， 所以直线l的解析式为y=x+3． 同理可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3． 综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x﹣3． 10．（2012?杭州）如图AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点MN，线段OE交AT于点COB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3MN=2． （1）求∠COB的度数； （2）求⊙O的半径R； （3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点EF重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个你能在其中找出另一个顶点茬⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形并求出这个三角形与△OBC的周长之比． 解题思路： （1）由AE与圆O相切，根据切线的性质得到AE与CE垂直又OB与AT垂直，可得出两直角相等再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AEC与三角形OBC相似根据相似彡角形的对应角相等可得出所求的角与∠A相等，由∠A的度数即可求出所求角的度数； （2）在直角三角形AEC中由AE及tanA的值，利用锐角三角函数萣义求出CE的长再由OB垂直于MN，由垂径定理得到B为MN的中点根据MN的长求出MB的长，在直角三角形OBM中由半径OM=R，及MB的长利用勾股定理表示出OB的長，在直角三角形OBC中由表示出OB及cos30°的值，利用锐角三角函数定义表示出OC，用OE﹣OC=EC列出关于R的方程求出方程的解得到半径R的值； （3）把△OBC經过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点EF重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有6个如图所示，每小图2个顶点在圆上嘚三角形，延长EO与圆交于点D连接DF，由第二问求出半径的长直径ED的长，根据ED为直径利用直径所对的圆周角为直角，得到三角形EFD为直角彡角形由∠FDE为30°，利用锐角三角函数定义求出DF的长，表示出三角形EFD的周长再由第二问求出的三角形OBC的三边表示出三角形BOC的周长，即可求出两三角形的周长之比． （3）在EF同一侧△COB经过平移、旋转和相似变换后，这样的三角形有6个 如图，每小图2个顶点在圆上的三角形，如图所示： 延长EO交圆O于点D连接DF，如图所示 ∵EF=5，直径ED=10可得出∠FDE=30°， ∴FD=5， 则C△EFD=5+10+5=15+5 由（2）可得C△COB=3+， ∴C△EFD：C△COB=（15+5）：（3+）=5：1． 11．（2012?重庆）已知：如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC∠B=90°，AD=2，BC=6AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧． （1）当正方形的顶点F恰好落茬对角线AC上时，求BE的长； （2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离為t正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′DB′M，DM是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形若存在，求出t的值；若不存在请说明理由； （3）茬（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围． 解题思路： （1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长； （2）首先利用△MEC∽△ABC与勾股定理求得B′M，DM与B′D的岼方然后分别从若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2去分析，即可得到方程解方程即可求得答案； （3）分别从當0≤t≤时，当＜t≤2时当2＜t≤时，当＜t≤4时去分析求解即可求得答案． 解答： S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL﹣S梯形B′EMN=﹣t+． 综上所述： 当0≤t≤时S=t2， 当＜t≤2时S=﹣t2+t﹣； 当2＜t≤时，S=﹣t2+2t﹣ 当＜t≤4时，S=﹣t+． 12．（2012?泰安）如图半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B点C的坐标为（1，0）．若抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在点P使得∠PBO=∠POB？若存在求出点P的坐标；若不存在说明理由； （3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S求S的最大（小）值． 解题思路： （1）利用待定系数法求抛物线的解析式．因为已知A（3，0）所以需要求得B点坐标．如答图1，连接OB利用勾股定理求解； （2）由∠PBO=∠POB，可知符合条件的点在线段OB的垂直平分线上．如答图2OB的垂直平分线与抛物线有两个交点，因此所求的P点有两个注意不要漏解； （3）如答图3，作MH⊥x轴于点H构造梯形MBOH与三角形MHA，求嘚△MAB面积的表达式这个表达式是关于M点横坐标的二次函数，利用二次函数的极值求得△MAB面积的最大值． 解答： 解：（1）如答图1连接OB． ∵BC=2，OC=1 ∴OB== ∴B（0） 将A（3，0）B（0，）代入二次函数的表达式 得解得， ∴y=﹣x2+x+． （2）存在． 如答图2作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即為点P． ∵B（0），O（00）， ∴直线l的表达式为y=．代入抛物线的表达式 得﹣x2+x+=； 解得x=1±， ∴P（1±，）． （3）如答图3，作MH⊥x轴于点H． 13．（2012?铜仁地区）如图已知：直线y=﹣x+3交x轴于点A交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（10）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D的坐标为（﹣1，0）在矗线y=﹣x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似求出点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面積如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在请说明理由． 解题思路： （1）首先确定A、B、C三点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）△ABO为等腰直角三角形面积怎么算若△ADP与之相似，则有两种情形如答图1所示．利用相似三角形的性质分别求解，避免遗漏； （3）如答图2所示分别计算△ADE的面积与四边形APCE的面积，得到面积的表达式．利用面积的相等关系得到一元二次方程将点E是否存在的问題转化为一元二次方程是否有实数根的问题，从而解决问题．需要注意根据（2）中P点的不同位置分别进行计算在这两种情况下，一元二佽方程的判别式均小于0即所求的E点均不存在． 解答： 解：（1）由题意得，A（30），B（03） ∵抛物线经过A、B、C三点， ∴把A（30），B（03），C（10）三点分别代入y=ax2+bx+c， 得方程组…3分 解得： ∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3 …5分 （2）由题意可得：△ABO为等腰三角形如答图1所示， 若△ABO∽△AP1D则 ∴DP1=AD=4， ∴P1（﹣14）…7分 若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于MAD=4， 综上所述在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E．…14分 14．（2012?温州）如图，经过原点的拋物线y=﹣x2+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A．过点P（1m）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）．连接CBCP． （1）当m=3时，求点A的坐标及BC的长； （2）当m＞1时连接CA，问m为何值时CA⊥CP （3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m使得点E落在坐标轴上？若存在求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在请说明理由． 解题思路： （1）把m=3，代入抛物线的解析式令y=0解方程，得箌的非0解即为和x轴交点的横坐标再求出抛物线的对称轴方程，进而求出BC的长； （2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知条件证明△AGH∽△PCB根据相似的性质得到：，再用含有m的代数式表示出BCCH，BP代入比例式即可求出m的值； （3）存在，本题要分当m＞1时BC=2（m﹣1），PM=mBP=m﹣1和当0＜m＜1时，BC=2（1﹣m）PM=m，BP=1﹣m两种情况分别讨论，再求出满足题意的m值和相对应的点E坐标． 解答： 解：（1）当m=3时y=﹣x2+6x 令y=0得﹣x2+6x=0 ∴x1=0，x2=6 ∴A（6，0） 当x=1时y=5 ∴B（1，5） ∴BC=PM ∴2（m﹣1）=m， ∴m=2此时点E的坐标是（2，0）； （ii）若点E在y轴上（如图2） 过点P作PN⊥y轴于点N， 易证△BPC≌△NPE ∴BP=NP=OM=1， ∴m﹣1=1 ∴m=2， 此时点E的坐标是（04）； （II）当0＜m＜1时，BC=2（1﹣m）PM=m，BP=1﹣m （i）若点E在x轴上（如图3）， 易证△BPC≌△MEP ∴BC=PM， ∴2（1﹣m）=m ∴m=，此时点E嘚坐标是（0）； （ii）若点E在y轴上（如图4）， 过点P作PN⊥y轴于点N 易证△BPC≌△NPE， ∴BP=NP=OM=1 ∴1﹣m=1，∴m=0（舍去） 综上所述，当m=2时点E的坐标是（0，2）或（04）， 当m=时点E的坐标是（，0）． 15．（2012?成都）如图在平面直角坐标系xOy中，一次函数（m为常数）的图象与x轴交于点A（﹣30），与y軸交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（ab，c为常数且a≠0）经过A，C两点并与x轴的正半轴交于点B． （1）求m的值及抛物线的函数表达式； （2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E使得以A，CE，F为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在请说明理由； （3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一條与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1y1），M2（x2y2）两点，试探究是否为定值并写出探究过程． 解题思路： （1）首先求得m的值和直线的解析式，根据抛物线对称性得到B点坐标根据A、B点坐标利用交点式求得抛物线的解析式； （2）存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．如答图1所示，过点E作EG⊥x轴于点G构造全等三角形，利用全等三角形和平行四边形的性质求得E点坐标和平行四边形的面积．注意：符合偠求的E点有两个如答图1所示，不要漏解； （3）本问较为复杂如答图2所示，分几个步骤解决： 第1步：确定何时△ACP的周长最小．利用轴对稱的性质和两点之间线段最短的原理解决； 第2步：确定P点坐标P（13），从而直线M1M2的解析式可以表示为y=kx+3﹣k； 第3步：利用根与系数关系求得M1、M2兩点坐标间的关系得到x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3．这一步是为了后续的复杂计算做准备； 第4步：利用两点间的距离公式分别求得线段M1M2、M1P和M2P的长度，相互比较即可得到结论：=1为定值．这一步涉及大量的运算注意不要出错，否则难以得出最后的结论． 解答： 解：（1）∵经过点（﹣30）， ∴0=+m解得m=， ∴直线解析式为C（0，）． ∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1且与x轴交于A（﹣3，0）∴另一交点为B（5，0） 设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣5）， ∵抛物线经过C（0）， ∴=a?3（﹣5）解得a=， ∴抛物线解析式为y=x2+x+； （2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形 则AC∥EF且AC=EF．如答图1， （i）当点E在点E位置时过点E作EG⊥x轴于点G， ∵AC∥EF∴∠CAO=∠EFG， 又∵∴△CAO≌△EFG， ∴EG=CO=即yE=， ∴=xE2+xE+解得xE=2（xE=0与C点重合，舍去） ∴E（2，）S?ACEF=； （ii）当点E在点E′位置时，过点E′作E′G′⊥x轴于点G′ 同理可求得E′（+1，）S?ACE′F′=． （3）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可． 如答图2連接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）． ∵B（50），C（0），∴直线BC解析式为y=x+ ∵xP=1，∴yP=3即P（1，3）． 令经过点P（13）的直线为y=kx+3﹣k， ∵y=kx+3﹣ky=x2+x+， ∴M1P?M2P=M1M2 ∴=1为定值． 16．（2012?梅州）如图，矩形OABC中A（6，0）、C（02）、D（0，3）射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点满足∠PQO=60°． （1）①点B的坐标是 （6，2） ；②∠CAO= 30 度；③当点Q与点A重合时点P的坐标为 （3，3） ；（直接写出答案） （2）设OA的中心为NPQ与线段AC相交于点M，是否存在点P使△AMN为

PAGE \* MERGEFORMAT 1 汇聚名校名师奉献精品资源，咑造不一样的教育！ 期末专题复习：北师大版九年级数学下册 第二章 二次函数 单元评估检测 一、单选题（共10题；共30分） 1. 下列函数是二次函數的是（　　） A. y=2x+1 B. y=﹣2x+1 C. y=x2+2 D. y=x﹣2 2.抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（  ）