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大一高数期末考试题及答案(精doc
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官方公共微信高数，怎么判断这个函数有无铅直渐近线 _百度作业帮
高数，怎么判断这个函数有无铅直渐近线
高数，怎么判断这个函数有无铅直渐近线&
专属味道362
a十大王企鹅去请问请问去
铅直线只可能在间断点出现。题目函数间断点是x=0，只要求lim（x→0）的结果是不是无穷，如果是，那么就是铅直渐近线。本题x→0极限为0（无穷小x有界量=0），故不存在铅直渐近线
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高数题.求水平渐近线和铅直渐近线
高数题.求水平渐近线和铅直渐近线
1、垂直渐近线有的话必然是无穷间断点而该曲线只有在x=-1处趋于无穷,所以呢该曲线有垂直渐近线x=-12、水平渐近线lim(x→无穷)(x-1)/(x+1)=1,所以有水平渐近线y=13、斜渐近线因为一个曲线,同侧水平渐近线和斜渐近线,只能有其中的一种,该曲线两侧都有水平渐近线,所以两侧均无斜渐近线
水平渐近线就是x->无穷时的极限，1垂直渐近线就是分母没有定义的那个点即x+1=0,x=-1
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大一高数期末考试题(精)
一、单项选择题 (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 1. 设f ( x ) ? cos x( x ? sin x ), 则在x ? 0处有(（A） f ?(0) ? 2 （B） f ?(0) ? 1 （C） f ?(0) ? 0 1? x 设? ( x ) ? ，? ( x ) ? 3 ? 33 x，则当x ? 1时（ ） 1? x 2. . （A） ? ( x)与? ( x) 是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B） ? ( x)与? ( x) 是等价无穷小； （C） ? ( x) 是比 ? ( x) 高阶的无穷小； （D） ? ( x) 是比 ? ( x) 高阶的 无穷小. ). （D） f ( x ) 不可导.3. 若F ( x) ? ? (2t ? x) f (t )dt0x， 其 中 f ( x ) 在 区 间 上 (?1,1) 二 阶 可 导 且f ?( x ) ? 0 ，则（）. （A）函数 F ( x) 必在 x ? 0 处取得极大值； （B）函数 F ( x) 必在 x ? 0 处取得极小值； （C）函数 F ( x) 在 x ? 0 处没有极值，但点 (0, F (0)) 为曲线 y ? F ( x) 的拐点； （D） 函数 F ( x) 在 x ? 0 处没有极值， (0, F (0)) 也不是曲线 y ? F ( x) 的拐点。 点4.设f ( x )是连续函数，且 f ( x ) ? x ? 2? f (t )dt , 则 f ( x ) ? (01)x2 （A） 2x2 ?2 （B） 2 （C） x ? 12 sin x（D） x ? 2 .二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 5. 6.lim(1 ? 3 x )x ?0?.已知cos x 是 f ( x ) 的一个原函数 , x .则? f ( x ) ?cos x dx ? x7.n??1 2lim?n(cos 2?n? cos 2dx ?2? n ?1 ? ? ? cos 2 ?) ? n n.8. . 三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分） x? y 9. 设函数 y ? y( x ) 由方程 e ? sin( xy ) ? 1 确定，求 y?( x ) 以及 y?(0) .1 ? x7 求? dx. x (1 ? x 7 ) 10. ? xe ? x， x ? 0 1 ? 设f ( x ) ? ? 求 ? f ( x )dx ． ?3 ? 2 x ? x 2， 0 ? x ? 1 ? 11.1 － 2?x 2 arcsin x ? 1 1 ? x2 0 12. 设函数 f (x ) 连续， ， x ?0 且 g?( x ) 并讨论 g?( x ) 在 x ? 0 处的连续性.g ( x ) ? ? f ( xt )dt1limf ( x) ?A x ，A 为常数. 求13. 求微分方程 xy? ? 2 y ? x ln x 满足y(1) ? ?1 9 的解.四、 解答题（本大题 10 分） 14. 已知上半平面内一曲线 y ? y( x) ( x ? 0) ，过点 (0,1) ，且曲线上任一点M ( x 0 , y0 ) 处切线斜率数值上等于此曲线与 x 轴、 y 轴、直线 x ? x0 所围成面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题 10 分）15. 过坐标原点作曲线 y ? ln x 的切线，该切线与曲线 y ? ln x 及 x 轴围(1) 成平面图形 D. 求 D 的面积 A；(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V.六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 8 分）16. 设 函 数 f ( x ) 在 ? 0,1? 上 连 续 且 单 调 递 减 ， 证 明 对 任 意 的 q ?[0, 1] ，?0qf ( x ) d x ? q ? f ( x )dx01.17. 设函数 f ( x ) 在 ?0, ? ? 上连续， 且?0?f ( x) d x ? 0，0??f ( x ) cos x dx ? 0.证明： ?0, ? ? 内至少存在两个不同的点 ? 1 , ? 2 ，使 f (? 1 ) ? f (? 2 ) ? 0.（提 在F ( x) ?示：设?0xf ( x )dx）一、单项选择题(本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） ? ? 1 cos x 2 ( ) ?c 6 e 3 2 . 8. 5. . 6. 2 x .7. 三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分） 9. 解：方程两边求导 ?( e x ? y ( 1? y? ? c oxy ( xy) ? y ? ) 0 ) se x ? y ? y cos( xy ) e x ? y ? x cos( xy ) x ? 0, y ? 0 ， y?(0) ? ?1 y ?( x ) ? ?. 7 7 x6 10. 解： u ? x dx ? du 1 (1 ? u) 1 1 2 原式 ? ? du ? ? ( ? )du 7 u(1 ? u) 7 u u?1 1 ? (ln | u | ?2ln | u ? 1 |) ? c 7 1 2 ? ln | x 7 | ? ln | 1 ? x 7 | ? C 7 711. 解： ??301f ( x )dx ? ? xe ? x dx ? ??3 1 00102 x ? x 2 dx? ? xd (?e ? x ) ? ??30 ?31 ? ( x ? 1)2 dx0 ? 2? ? ? xe ? x ? e ? x ? ? ? ? cos 2 ? d? x ? 1 ? sin ? ) (令 ? ?? 2e 3 ? 1 4 12. 解：由 f (0) ? 0 ，知 g(0) ? 0 。??g ( x ) ? ? f ( xt )dt ?0x1xt ? u? f ( u)du0xx(x ? 0 )g ?( x ) ?xf ( x ) ? ? f ( u)du0x2( x ? 0)g?(0) ? limx ?0? f (u)du0xx2? limx ?0 xf ( x) A ? 2x 2 ? A? A A ? 2 2 ， g?( x ) 在 x ? 0 处连续。lim g ?( x ) ? limx ?0 x ?0xf ( x ) ? ? f ( u)du x0 2dy 2 ? y ? ln x 13. 解： dx xy?e??? x dx2(? e? x dx2ln xdx ? C )1 1 x ln x ? x ? Cx ?2 3 9 1 1 1 y( 1 ) ? C ? 0 y ? x ln x ? x ? , 3 9 9 ， 四、 解答题（本大题 10 分）14. 解：由已知且 ， ?? ? 2 y ? y ? 将此方程关于 x 求导得 y02 特征方程： r ? r ? 2 ? 0y? ? 2 ? y d x ? yx解出特征根： r1 ? ?1, r2 ? 2. 其通解为y ? C1e ? x ? C 2 e 2 x代入初始条件 y(0) ? y ?(0) ? 1 ，得 2 1 y ? e?x ? e2x 3 3 故所求曲线方程为： 五、解答题（本大题 10 分）C1 ?2 1 , C2 ? 3 31 y ? ln x 0 ? ( x ? x0 ) x0 15. 解： 根据题意， （1） 先设切点为 ( x 0 , ln x 0 ) ， 切线方程： 1 y? x x 0 ? e ，从而切线方程为： e 由于切线过原点，解出则平面图形面积A ? ? (e y ? ey)dy ?011 e ?1 2（2）三角形绕直线 x = e 一周所得圆锥体体积记为 V1，则 曲线 y ? ln x 与 x 轴及直线 x = e 所围成的图形绕直线 x = e 一周所得旋转体体积 为 V2V 2 ? ? ? (e ? e y ) 2 dy0 1V1 ?1 ? e2 36 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 12 分）V ? V1 ? V2 ??(5e 2 ? 12e ? 3)16. 证明： 0q?qf ( x) d x ? q ? f ( x)dx ? ? f ( x) d x ? q ( ? f ( x) d x ? ? f ( x)dx)01 0 0 q1qq1? (1 ? q ) ? f ( x) d x ? q ? f ( x)dx0 q?1?[0, q ]?2 ?[ q ,1]?q(1 ? q) f (?1 ) ? q(1 ? q) f (?2 )1f (?1 ) ? f (?2 )?0故有：? f ( x ) d x ? q ? f ( x )dx0 0q证毕。x17.F ( x ) ? ? f ( t )dt , 0 ? x ? ? 0 证： 构造辅助函数： 。 其满足在 [0, ? ] 上连续， (0, ? ) 在 F ?( x ) ? f ( x ) ，且 F (0) ? F (? ) ? 0 上可导。 0?由题设，有?0?f ( x ) cos xdx ? ? cos xdF( x ) ? F ( x ) cos x | ? ? sin x ? F ( x )dx0 0 0???， 有0 ，由积分中值定理，存在 ? ? (0, ? ) ，使 F (? ) sin? ? 0 即 F (? ) ? 0 综上可知 F (0) ? F (? ) ? F (? ) ? 0, ? ? (0, ? ) .在区间 [0, ? ] , [? , ? ] 上分别应用罗 尔定理，知存在 ? 1 ? (0, ? ) 和 ? 2 ? (? , ? ) ，使 F ?(? 1 ) ? 0 及 F ?(? 2 ) ? 0 ，即 f (? 1 ) ? f (? 2 ) ? 0 .? F ( x ) sin xdx ? 0?高等数学 I 解答一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的 括号中） (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) ? x ,? x 1. 当 x ? x0 时， ? ? ? ? 都是无穷小，则当 x ? x0 时（ D ）不一定是 无穷小. (A) (C)? ?x ? ? ? ?x ?ln ?1 ? ? ( x) ? ? ( x)?1 x ?a(B) (D)? 2 ?x ? ? ? 2 ?x ?? 2 ( x) ? ( x)? sin x ? lim ? ? 2. 极限 x?a ? sin a ?（A） 1的值是（ C （B） e）. （C） ecot a（D） etan a? sin x ? e 2 ax ? 1 x?0 ? f ( x) ? ? x ? a x ? 0 在 x ? 0 处连续，则 a ? 3.=（D）.（C） e （D） ?1 f ( a ? h ) ? f ( a ? 2h) lim ? f (x) 在点 x ? a 处可导，那么 h?0 h 4. 设 （ （A） 3 f ?(a) （B） 2 f ?(a) （A） 1 （B） 0 (C)f ?(a)A）.1 f ?(a ) （D） 3二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） ln( x ? a) ? ln a 1 lim (a ? 0) x a. 5. 极限 x?0 的值是 e x y ? y ln x ? cos 2 x 确 定 函 数 y(x) ， 则 导 函 数 y ? ? y 2 sin 2 x ? ? ye xy x . ? xy xe ? ln x 7. 直线 l 过点 M(1,2,3) 且与两平面 x ? 2 y ? z ? 0,2 x ? 3y ? 5z ? 6 都平行，则直 x ?1 y ? 2 z ? 3 ? ? 1 ?1 ?1 线 l 的方程为 .6. 由 8. 求函数 y ? 2 x ? ln(4 x) 的单调递增区间为 （－?，0）和（1，+? ） 三、解答题（本大题有 4 小题，每小题 8 分，共 32 分）2.(1 ? x ) x ? e lim x 9. 计算极限 x ? 0 .1(1 ? x) ? e e ?1 ln(1 ? x) ? x e ? e lim ? e lim ?? 2 x ?0 x ?0 x x x 2 解： ? ? ? ? ? ? 10. 已知： | a |? 3 ， | b |? 26 ， a ? b ? 30 ，求 | a ? b | 。 ? ? a ?b 5 12 cos? ? ? ? ? , sin ? ? 1 ? cos2 ? ? ? ? 13 a b 13 a ? b ? 72 limx ?01 x1 ln(1? x ) ?1 x解：，11. 设 f (x) 在[a，b]上连续，且x xF ( x) ? ? ( x ? t ) f (t )dtaxx ? [ a, b]，试求出 F ??(x) 。解：F ( x) ? x ? f (t )dt ? ? tf (t ) dta aF ?( x) ? ? f (t )dt ? xf ( x) ? xf ( x) ? ? f (t )dta axxF ??( x) ? f ( x) cos x ? x sin3 xdx. 12. 求 cos x 1 ?2 ? x sin3 xdx ? ? 2 ? xd sin x 解： 1 1 1 1 ? ? x sin ?2 x ? ? sin ?2 xdx ? ? x sin ?2 x ? cot x ? C 2 2 2 2四、解答题（本大题有 4 小题，每小题 8 分，共 32 分）?22dx x x2 ?113.求 3 1 令 ? t x. 原式 ? ? 2323 211 tdt 1? t1 1 (? 2 )dt t 1 ?1 2 t?6 2x y? 1 ? x 2 的极值与拐点. 14. 求函数解：函数的定义域（－?，+?）?1 2? arcsin t23 2 1 2??? 4 x(3 ? x 2 ) 2(1 ? x)(1 ? x) y ?? ? (1 ? x 2 ) 3 (1 ? x 2 ) 2 令 y ? ? 0 得 x 1 = 1, x 2 = -1 y ??(1) ? 0 x = 1 是极大值点， y ??(?1) ? 0 x = -1 是极小值点 1 2 y (1) ? 1，极小值 y (?1) ? ?1 极大值y? ?令 y ?? ? 0 得 x 3 = 0, x 4 = x (-?,- 3 ) －3, x 5= - 3(0, －(- 3 ,0) +3)( 3 ,+?) +y ??3 3 故拐点（- 3 ，- 2 ）（0，0） 3 ， 2 ） ， （15.求由曲线y?x3 2 4 与 y ? 3x ? x 所围成的平面图形的面积.解:x3 ? 3x ? x 2 , x 3 ? 12 x ? 4 x 2 ? 0, 4 x( x ? 6)( x ? 2) ? 0, x1 ? ?6, x2 ? 0, x3 ? 2.02 x3 x3 ? 3x ? x 2 )dx ? ? (3x ? x 2 ? )dx ?6 4 0 4 4 3 3 x 3 x 3 x x4 2 0 ? ( ? x 2 ? ) ?6 ? ( x 2 ? ? ) 0 16 2 3 2 3 16 1 1 ? 45 ? 2 ? 47 3 3 2 16. 设抛物线 y ? 4 ? x 上有两点 A(?1, 3) ， B(3, ?5) ，在弧 A B 上，求一点 P( x, y ) 使 ?ABP 的面积最大.S?? (解：AB连线方程：y ? 2 x ? 1 ? 0 AB ? 4 5 点P到AB的距离 ?ABP的面积 2x ? y ? 1 5 ? ?x 2 ? 2x ? 3 5 ( ?1 ? x ? 3) S ( x ) ?1 ?x2 ? 2x ? 3 ?4 5? ? 2( ? x 2 ? 2 x ? 3) 2 5 S ?( x) ? ?4 x ? 4 当x ? 1 S ?( x) ? 0 S ??( x ) ? ?4 ? 0 当x ? 1时S ( x ) 取得极大值也是最大值此时y ? 3 所求点为(1，3)另解：由于?ABC的底AB一定, 故只要高最大而过C点的抛物线2 的切线与AB平行时, 高可达到最大值, 问题转为求C( x 0 ，4 ? x 0 ), 使f ?( x0 ) ? ?2 x 0 ? ?5 ? 3 3 ? 1 ? ?2, 解得x 0 ? 1, 所求C点为(1,3)六、证明题（本大题 4 分）17.2x 设 x ? 0 ，试证 e (1 ? x) ? 1 ? x .证明：设 f ( x) ? e (1 ? x) ? (1 ? x), x ? 02xf ?( x) ? e 2 x (1 ? 2 x) ? 1 ， f ??( x) ? ?4 xe 2 x ，x ? 0, f ??( x) ? 0 ，因此 f ?(x) 在（0，+?）内递减。2x在（0，+?）内， f ?( x) ? f ?(0) ? 0, f ( x) 在（0，+?）内递减， 在（0，+?）内， f ( x) ? f (0), 即 e (1 ? x) ? (1 ? x) ? 0 亦即当 x&0 时， e (1 ? x) ? 1 ? x2x。高等数学 I A一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 18. 函数? ln( x ? 1) ? x ?1 , x ? 1 ? ? ? f ( x) ? ?tan x, 0 ? x ? 1 2 ? ? x ? sin x, x ? 0 ? ? 的全体连续点的集合是 （ ） (A) (- ? ,+ ? ) (B) (- ? ,1) ? (1,+ ? )(C) (- ? ,0) ? (0, + ?) (D) (- ? ,0) ? (0,1) ? (1,+ ? )19.设 x ??lim (x2 ?1 ? ax ? b) ? 0 x ?1 ，则常数 a,b 的值所组成的数组（a,b）为（）（A） （1，0） （B） （0，1） （C） （1，1） （D） （1，-1） 20. 设在[0，1]上 f (x) 二阶可导且 f ??( x) ? 0 ，则（ ） （A） f ?(0) ? f ?(1) ? f (1) ? f (0) (B) f ?(0) ? f (1) ? f (0) ? f ?(1) (C) f ?(1) ? f ?(0) ? f (1) ? f (0)?（D） f (1) ? f (0) ? f ?(1) ? f ?(0)??3 4 ? (sin x ? cos x)dx P ? ? 2M ?2 2 21. 则（ ） （A） M & N & P （B） P & N & M （C） P & M & N （D） N & M & P 二 填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）2 1. 设 x ? 1 d ( x arctan x ? 1) ? （???2sin x cos4 x dx, N ? 1? x2???? ( x222sin 3 x ? cos4 x)dx） （ ）2. 设? f ( x)dx ? sin x ? c, 则 ? f(n)( x)dx ?x?4 y z ?5 ? ? 3. 直线方程 2 ? m n 6 ? p ，与 xoy 平面，yoz 平面都平行，那么 m, n, p 的值各为（n ?i?2）i ? ? lim ? 2 e ? n ? ? x ? ?? i ?1 n 4. （ ） 三 解答题（本大题有 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 1 ? ? 1 lim ? 2 ? 2 ? x ?0 s i n x x ? ? 1. 计算1 ? 2 ? x cos , x ? 0 f ( x) ? ? x ?x x ? 0 试讨论 f (x) 的可导性，并在可导处求出 f ?(x) ? 2. 设 3. 设函数 y ? f ( x)在(??,??) 连续，在 x?0 时二阶可导，且其导函数 f ?(x) 的图形如图所示，给出f (x) 的极大值点、极小值点以及曲线 y ? f (x) 的拐点。yxa O 四bcd解答题（本大题有 4 小题，每小题 9 分，共 36 分） x ? 2 2 dx ? ( x ?1) x 1. 求不定积分? ln x dx1e2. 计算定积分 e 3. 已知直线 l2 的平面方程。l1 :x y z ?1 ? ? 1 2 3l2 :x ?1 y ? 2 z ? 3 ? ? 2 5 4 , 求过直线 l1 且平行于直线4.81 ? 过原点的抛物线 y ? ax 及 y=0,x=1 所围成的平面图形绕 x 轴一周的体积为 5 ， 确定2抛物线方程中的 a，并求该抛物线绕 y 轴一周所成的旋转体体积。五、综合题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 8 分）2 1. 设 F ( x) ? ( x ? 1) f ( x) ，其中 f (x) 在区间[1,2]上二阶可导且有 f (2) ? 0 ，试证明存在 ? （ 1 ? ? ? 2 ）使得 F ??(? ) ? 0 。2.f ( x) ? ? (t ? t 2 ) sin 2 n tdt ( x ? 0)0x（1） 求 f (x) 的最大值点；f ( x) ?（2） 证明：1 (2n ? 2)( 2n ? 3)一、单项选择题BDBC.二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） x 1 ( ? 4 arctan x ? 1)dx x ?1 5. dy ? 2 .6. 7.n? n? ( x)dx ? ? cos(x ? 2 )dx ? sin(x ? 2 ) ? c ? . m ? 2, p ? ?6, n ? 0 .f(n)1 (e ? 1) 2 8. . 三、解答题（本大题有 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 1 1 lim( 2 ? 2 ) x ?0 sin x x . 9. (8 分)计算极限1 1 x 2 ? sin 2 x ? 2 ) ? lim 2 2 2 x ?0 x sin x 解： x?0 sin x x x ? sin x x ? sin x ? lim x ?0 x3 x 1 ? cos x 1 ? 2lim ? x ?0 3x 2 3 1 ? 2 ? x cos , x ? 0 f ( x) ? ? x ?x x ? 0 ，试讨论 f (x) 的可导性，并在可导处求出 ? 10. (8 分)设 lim(f ?(x) . 1 1 x ? 0 , f ?( x) ? 2 x cos ? sin x x ；当 x ? 0 , f ?( x) ? 1 解： 当 1 ?x 2 cos ?0 ?x ? 0 ?x x?0 f ? '(0) ? lim ? 0 f ? '(0) ? lim ?1 ?x ?0 ? ?x ?0 ? ?x ?x 1 1 ? x?0 ?2 x cos ? sin f ?? x ? ? ? x x ?1 x?0 ? 故 f (x)在 x=0 处不可导。11. (8 分)设函数 y ? f ( x) 在 (??, ??) 连续，在 x ? 0 时二阶可导，且其导函数f ?( x) 的图形如图.给出 f ( x) 的极大值点、极小值点以及曲线 y ? f ( x) 的拐点.yxa Obc d 极小值点： x ? b解：极大值点： x ? a x ? d 拐点 (0, f (0)),(c, f (c)) 四解答题（本大题有 4 小题，每小题 9 分，共 36 分）( x ? 2) 2 ? x( x ? 1)2 dx . 12. (9 分)求不定积分 4 1 ?3 ? ( x ? ( x ? 1)2 ? x ? 1 )dx 解：原式=4 ln x ?=1 ? 3 ln x ? 1 ? c x ?113. (9 分)计算定积分1?e1 eln x dx.e 1解：原式=? ? ? ln x ? dx ? ?1 e1 eln xdxe? ? ? ? x ln x ? x ?? 1 ? ? x ln x ? x ?1 ? ?? 2? 2 ex y z ?1 x ?1 y ? 2 z ? 3 ? ? l2 : ? ? 1 2 3 ， 2 5 4 ,求过直线 l1 且平行于 14. (9 分)已知直线 直线 l2 的平面方程. ? ? ? 解： n ? s1 ? s2 ? (1, 2,3) ? (2,5, 4) ? (?7, 2,1) l1 : 取直线 l1 上一点 M1(0,0,1) 于是所求平面方程为?7 x ? 2 y ? ( z ? 1 ) ? 015.(a ? 0 ) 及 y=0, x=1 所围成的平面图形绕 x (9 分)过原点的抛物线 y ? ax 81 ? 轴一周的体积为 5 . 求 a，并求该抛物线绕 y 轴一周所成的旋转体体积.2x5 V ? ? ? ( a x ) dx ? ? a 5 0 解：2 2 211?0? a25? a2由已知得5?81? 2 5 故 a = 9 抛物线为： y ? 9x11x4 V ? ? 2? x ? 9 x dx ? 18? 4 0 绕 y 轴一周所成的旋转体体积： 五 综合题（每小题 4 分，共 8 分）209 ? ? 216. (4 分)设 F ( x) ? ( x ? 1) f ( x) ， 其中 f (x) 在区间[1,2]上二阶可导且有 f (2) ? 0 .2证明：存在 ? （ 1 ? ? ? 2 ）使得 F ??(? ) ? 0 。 证明：由 f (x) 在[1，2]上二阶可导，故 F (x)在[1，2]二阶可导，因 f (2)=0,故 F (1)=F(2) = 0 在[1，2]上用罗尔定理，至少有一点 x0 , (1 ? x0 ? 2) 使 F ?( x0 ) ? 0F ?( x) ? 2( x ? 1) f ( x) ? ( x ? 1) 2 f ?( x)17. (4 分).得 F ?(1) ? 0在[1，x0]上对 F ?(x) 用罗尔定理，至少有点 ? (1 ? ? ? x0 ? 2) F ??(? ) ? 0解： （1） x ? 1 为 f ( x) 的最大值点。 f ?( x) ? ( x ? x 2 )sin 2 n x ， 当 0 ? x ? 1 ， f ?( x) ? ( x ? x 2 )sin 2 n x ? 0 ； 当 x ? 1 ， f ?( x) ? ( x ? x 2 )sin 2 n x ? 0 。 f (1) 为极大值，也为最大值。 （2）f ( x) ? ? (t ? t 2 )sin 2n tdt ? f (1)01 1 0 0xf (1) ? ? (t ? t 2 )sin 2 n tdt ? ? (t ? t 2 )t 2 n dt ?1 (2n ? 2)(2n ? 3)高等数学上 B（07）解答 一、填空题： （共 24 分，每小题 4 分） dy ? y ? sin[sin( x 2 )] ，则 dx 2 x cos[sin( x 2 )]cos x 2 。 1． ?? a ??? 1 ? x2 dx ? ? ， a =__1______。 2． 已知 e ?1e ln x dx ? 2 ? 2 e。 3． x 4． y ? e 过原点的切线方程为 y ? ex 。 x 5．已知 f ( x) ? e ，则 ? 3 9 ? 6． a ? 2 ， b ? 2f '(ln x) dx x = x?c。3 2 时，点 (1, 3) 是曲线 y ? ax ? bx 的拐点。 二、计算下列各题： （共 36 分，每小题 6 分） cos x 1．求 y ? (sin x) 的导数。解： y? ? (e 2．求 ? 解： ?cos x ln sin x)? ? ecos x ln sin x (? sin x ln sin x ? cot x cos x)sin ln xdx。sin ln xdx ? x sin ln x ? ? cos ln xdx? x sin ln x ? x cos ln x ? ? sin ln xdx1 ( x sin ln x ? x cos ln x) ? C 2 x?5 ? x 2 ? 1 dx 3．求 。 ?解：?x?51 d ( x 2 ? 1) 5 dx ? ? dx ? ? dx 2 2 2 x ?1 x ?1 x2 ?1x?0 x ? 0 在点 x ? 0 处可导，则 k 为何值？? x 2 ? 1 ? 5ln | x ? x 2 ? 1 | ?C?e x , ? f ( x) ? ? k ? x ? 1, ? 4．设解：f ??(0) ? limxk ? lim x k ?1 x ?0 ? x x ?0 ?f ??( 0 ) ?k ?15．求极限 解：lim(n ??ex ?1 lim ? x ?0 ? xlim(n ??11 n 2 ? 22 11 n 2 ? 12??? ?) n2 ? n2 。1 n 2 ? 12n k ?1n? 11 n 2 ? 22???1 n2 ? n2)? lim ?n ??? lim ?n ?? k ?1n2 ? k 2 1 1 k2 n 1? 2 n ??11 1 ? x20dx =? ln( x ? 1 ? x 2 ) |1 ? ln(1 ? 2) 0? x ? 2 y ? z ? 1 ? 0 ?2 x ? y ? z ? 0 ? ? 6．求过点 (2, 2, 0) 且与两直线 ? x ? y ? z ? 1 ? 0 和 ? x ? y ? z ? 0 平行的平面 方程。 解 ： 两 直 线 的 方 向 向 量 分 别 为 s1 ? (1, 2, ?1) ? (1, ?1,1) ? (1, ?2, ?3), s2 ? (2, ?1,1) ? (1, ?1,1) ? (0, ?1, ?1) ， 平面的法向量n ? (1, ?2, ?3) ? (0, ?1, ?1) ? (?1,1, ?1) 。平面方程为 x ? y ? z ? 0 。 三、解答下列各题： （共 28 分，每小题 7 分） ? x ? R cos t d2y ? 2 1．设 ? y ? R sin t ，求 dx 。dy ? ? cot t 解： dxd2y 1 1 ? (? cot t )? ?? t 2 dx ? R sin t R sin 3 t0 2．求 在 [?1, 2] 上的最大值和最小值。 解： F ?( x) ? x( x ?1) ? 0, x ? 0, x ? 11 1 F (0) ? 0, F (1) ? ? t (t ? 1)dt ? ? , 0 6 ?1 2 5 2 F (?1) ? ? t (t ? 1)dt ? ? , F (2) ? ? t (t ? 1)dt ? 0 0 6 3 2 5 ? 最大值为 3 ，最小值为 6 。2 2 3．设 y ? y( x) 由方程 x(1 ? y ) ? ln( x ? 2 y) ? 0 确定，求 y '(0) 。 2 2 解：方程 x(1 ? y ) ? ln( x ? 2 y) ? 0 两边同时对 x 求导F ( x) ? ? t (t ?1)dtx(1 ? y 2 ) ? 2 xyy? ?x ? 0, y ?2 x ? 2 y? ?0 x2 ? 2 y将1 2 代入上式5 8 2 2 4．求由 y ? x 与 y ? x 围成的图形绕 y 轴旋转所得的旋转体的体积。 y ' ( 0? )解：V ? ? ? ( y ? y 4 )dy013 ? 10 四、证明题：(共 12 分，每小题 6 分) ? 1．证明过双曲线 xy ? 1 任何一点之切线与 OX , OY 二个坐标轴所围成的三角 形的面积为常数。 证明：双曲线 xy ? 1 上任何一点 ( x, y ) 的切线方程为Y?y?? 1 ( X ? x) x21 (0, y ? ), (2 x, 0) x 切线与 x 轴、 y 轴的交点为 1 s ? x y? ) ? 2 ( x 故切线与 OX , OY 二个坐标轴所围成的三角形的面积为 2．设函数 f ( x) 与 g ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续，证明：至少存在一点 ? 使得f (? )? g ( x)dx ? g (? ) ? f ( x)dx?ab?证明：令F ( x) ? ? g ( x)dx ? f ( x)dxx abbxF (a) ? F (b) ? 0 ，由 Rolle 定理，存在一点 ? ?[a, b] ，使 F ?(? ) ? 0 ，即f (? )? g ( x)dx ? g (? ) ? f ( x)dx?a?高等数学上解答（07）一、单项选择题（每小题 4 分，共 16 分） ?|sin x| (?? ? x ? ??) 是 A 1． f ( x) ? x cos xe 。 （A）奇函数； （B）周期函数； （C）有界函数； （D）单调函数 2 2．当 x ? 0 时， f ( x) ? (1 ? cos x) ln(1 ? 2 x ) 与 B 是同阶无穷小量。 3 4 5 2 （A） x ； （B） x ； （C） x ； （D） x?x ? 2 y ? z ? 0 ? 3．直线 ? x ? y ? 2 z ? 0 与平面 x ? y ? z ? 1 的位置关系是（A）直线在平面内； （B）平行； 直。 ? ? ? ? ? a, b, c 。若 a ? b ? 0, 4．设有三非零向量 （A）0； （B）-1；（C）垂直；C 。 （D）相交但不垂 A 。 （D）3? ? ? ? ? a ? c ? 0 ，则 b ? c ?（C）1；二、 填空题（每小题 4 分，共 16 分）1．曲线 y ? ln x 上一点 P 的切线经过原点 (0, 0) ，点 P 的坐标为 (e,1) 。 tan x ? x 1 lim 2 x ? x ?0 x (e ? 1) 3。 2．y 2 3．方程 e ? 6 xy ? x ? 1 ? 0 确定隐函数 y ? y( x) ，则 y?(0) ? 0 。 2 4．曲线 y ? x 、 x ? 1 与 x 轴所围图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为? 5。 三、解下列各题（每小题 6 分，共 30 分） 1．已知 解：f ( x) ? lim (t ???t ? sin 2 x t ) t ，求 f ?( x) 。f ( x) ? lim (t ???22 t ? sin 2 x t ) ? e? sin x tf ?( x) ? ?e? sin x sin 2 x? [ln(ln x) ? ln x ]dx 。 2．求不定积分解:1? [ln(ln x) ? ln x ]dx ? ? ln(ln x)dx ? ? ln x dx? x ln(ln x) ? ?111 1 dx ? ? dx ln x ln x ? x ln(ln x) ? C 1 2 sin x 2 ??1 x (1 ? x4 ? 1 ? x )dx 。 3．计算定积分 1 1 1 2 sin x 2 2 2 2 sin x ??1 x (1 ? x4 ? 1 ? x )dx ? ??1 ( x 1 ? x )dx ? ??1 x 1 ? x4 dx 解：? ? ( x2 1 ? x2 )dx ? 0?1x ?sin t1? 2? 2 sin 2 t cos 2 tdt???08dx ? 4．求不定积分 1 ? cos x 。 dx ? ? dx ? ? dx ? 1 ? cos x 1 ? cos x 解： 1 ? cos x 1 d cos x 2 x ? sec 2 dx ? ? 1 ? cos x 2 x ? tan ? ln |1 ? cos x | ?C 2 f ?(ln x) ? x ，且 f (1) ? e ? 1 ，求 f ( x) 。 5．已知 t 解：令 ln x ? t ， f ?(t ) ? e ? 1 ? sin x 1 sin x1 ? sin xf ( x) ? e x ? Cf (1) ? e ? 1 ， f ( x) ? e x ? 1四、 （8 分） f ( x) 对任意 x 有 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) ， 设 且解：由 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) ， f (1) ? 2 f (0) f ( x) ? f (1) f ?(1) ? lim x ?1 x ?1 x ?t ?1 f (t ? 1) ? f (1) ? lim t ?0 tf ?0 ) (??1 2 。 f ?1 。 求 )( 2 f (t ) ? 2 f (0) t ? 2 f ?(0) ? ?1 ? limt ?02 2 五、 分）证明：当 x ? 1 时， ( x ? 1) ln x ? ( x ? 1) 。 （8证明：只需证明 ( x ? 1) ln x ? x ? 1 。 令 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 11 ?0 x ， f ( x) 在 [1, ??) 单调递增。 f (1) ? 0 ，当 x ? 1 时， f ( x) ? 0 。即 ( x 2 ? 1) ln x ? ( x ? 1) 2 。 f ?( x) ? ln x ?六、 （8 分）已知F ( x) ? ? ( x2 ? t 2 ) f ??(t )dt0x2 ， f ??( x) 连续，且当 x ? 0 时， F ?( x) 与 x为等价无穷小量。求 f ??(0) 。 F ?( x) lim 2 ? 1 解： x?0 xF ( x) ? ? ( x2 ? t 2 ) f ??(t )dt ? x2 ? f ??(t )dt ? ? t 2 f ??(t )dt0 0 0xxxF ?( x) ? 2 x ? f ??(t )dt ? x f ??( x) ? x f ??( x) ? 2x ? f ??(t )dt2 2 0 0xxlim2 x ? f ??(t )dt F ?( x) 0 ? lim ? 2 f ??(0) x ?0 x ?0 x2 x2 1 f ??(0) ? 2x七、 （8 分）2 设有曲线 y ? 4 x (0 ? x ? 1) 和直线 y ? c (0 ? c ? 4) 。 记它们与 y 轴所围 图形的面积为 A1 ，它们与直线 x ? 1 所围图形的面积为 A2 。问 c 为何值时，可使 A ? A1 ? A2 最小？并求出 A 的最小值。 解：A ? A1 ? A2 ? ?A?(c) ? c ? 1c 0 4 y y dy ? ? (1 ? )dy c 2 2令 A?(c) ? c ? 1 ? 0 ，得 c ? 1 。 1 A??(1) ? ? 0 2 ， c ? 1 为最小值点。4 y y dy ? ? (1 ? )dy ? 1 0 2 1 2 八、设 f ( x) 在 (a, b) 内的点 x0 处取得最大值，且 | f ??( x) |? K (a ? x ? b) 。 证明： | f ?(a) | ? | f ?(b) |? K (b ? a)min A ? ?1证明： f ?( x0 ) ? 0 在 [a, x0 ] 对 f ?( x) 应用拉格朗日定理 f ?( x0 ) ? f ?(a) ? f ??(?1 )( x0 ? a) (a ? ?1 ? x0 ) f ?(a) ? f ??(?1 )(a ? x0 ), |f ?(a) |? K ( x0 ? a) 在 [ x0 , b] 对 f ?( x) 应用拉格朗日定理 f ?(b) ? f ?( x0 ) ? f ??(?2 )(b ? x0 ) ( x0 ? ?2 ? b) f ?(b) ? f ??(?2 )(b ? x0 ), |f ?(b) |? K (b ? x0 )一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分 5 小题, 每小题 2 分, 共 10 分) 1、设I ? ?ex ?1 d x, 则I ? ex ?1 ( A) e x ? 1) ? c ) e x ? 1) ? ln( ( B ln( (C ) e x ? 1) ? x ? 2 ln( ( D) x ? 2 ln(e x ? 1) ? c.答( )2、1 n ?? 2lim e n ? e n ? en ?1 n?e ?( A)1 ( B ) e (C )e ( D)e 2 答（ ）3、1 的n阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项Rn ( x) ? ( )(式中0 ? ? ? 1) 1? x (?1) n 1 ( A) x n ?1 ) (B x n ?1 n ?1 n ?1 (n ? 1)(1 ? ?x) (n ? 1)(1 ? ?x) f ( x) ? (?1) n 1 (C ) x n ?1 ) (D x n ?1 n?2 n?2 (1 ? ?x) (1 ? ?x) 答 ) ( 4、设f ( x)在x ? 0的某邻域内连续, 且f (0) ? 0, limf ( x) ? 2 , 则点x ? 0 x ?0 1 ? cos x ( A) 是f ( x)的极大值点 ) 是f ( x)的极小值点 (B (C ) 不是f ( x)的驻点 ) 是f ( x)的驻点但不是极值点 (D 答 ) ( 5、曲线y ? x 2 ? 2 x ? 4上点M 0 (0,4)处的切线M 0T与曲线y 2 ? 2( x ? 1)所围成的平面 图形的面积A ? 21 4 9 13 ( A) ) ) ) (B (C (D 4 9 4 12答( ) 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分 5 小题, 每小题 3 分, 共 15 分)1 设 y ? ln 1 ? tan( x ? ) ，则y ? ? ＿＿＿＿ x 1、23 2、用切线法求方程x ? 2 x ? 5x ? 1 ? 0在(?1，内的近似根时, 选x0并相应求得下 0) 一个近似值x1 ? 则x0，x1分别为__________ ________? x ?1 y ?1 z ?1 ? ? 2 ? 与 x ? 1 ? y ? 1 ? z 相交于一点， ? ? ????? 。 3、 设空间两直线 1 则? sin x ? e 2 ax ? 1 ，当x ? 0 ? f ( x) ? ? , 在x ? 0处连续，则a ? __________ . _ x ?a ，当x ? 0 ? 4、5、 0 三、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )?bx dx ? __________ _______ ，其中b是实数．? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c ? 2i ? 6 j ? k 与 ? 与两个向量 a ? 3i ? j 和 b ? i ? j ? 4 k 平行， 设平面 证明： 向量 平面 ? 垂直。四、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )讨论积分?10五、解答下列各题 ( 本 大 题 11 分 )dx 的敛散性． xp导出计算积分I n ? ?六、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )dx xn x2 ?1的递推公式, 其中n为自然数。?x ? 2 y ? z ? 5 ? 0 l1 : ? ? z ? 10 ? 0 求过 P0 (4,2,?3) 与平面 ?: x ? y ? z ? 10 ? 0 平行且与直线 垂直的直线方程。 七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )计算极限 lim八、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )x ?01 ? x sin x ? cos 2 x x tan x试求I n ? ? (ln x) n dx 的递推公式(n为自然数)，并计算积分? (ln x) 3 dx ．1 1ee九、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )设f ( x) 在(a, b) 内可微, 但无界，试证明f ?( x) 在(a , b) 内无界。十、解答下列各题 ( 本 大 题5分 ) 设 lim ?( x) ? u 0， f (u ) ? f (u 0 ) , 证明： f ??( x)? ? f (u 0 ) lim limx ? x0 u ?u 0 x ? x0。十一、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )在半径为R的球内, 求体积最大的内接圆柱体的高十二、解答下列各题 ( 本 大 题5分 ) 重量为 p 的重物用绳索挂在 A, B 两个钉子上， 如图。 设 所受的拉力 f 1 , f 2 。cos ? ?12 4 ,cos ? ? 13 5 ， A, B 求A OBp十三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 ) 一质点 , 沿抛物线y ? x (10 ? x ) 运动 , 其横坐标随着 时间t的变化规律为x ? t t (t的单位是秒 , x的单位是米 ), 求该质点的纵坐标在点M (8， 6) 处的变化速率．十四、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )设曲线x ?y , x ? 2 ? y 2 及y ? 0,围成一平面图形.(1)求这个平面图形的面积;(2)求此平面图形绕x轴旋转而成的立体的体积.、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分 5 小题, 每小题 2 分, 共 10 分) 1、C 2、答：B 3、 C 10 分 4、 （Ｂ） 5、C 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分 5 小题, 每小题 3 分, 共 15 分)1 1 ) sec 2 ( x ? ) 2 x x 1 2(1 ? tan( x ? )) x 1、 (1 ?2、 x0 ? 010 分 5分 10 分x1 ? ?1 5 5 3、 44、-1? b2 ?? 2 ，b ? 0 ? ? ?0 ，b ? 0 ?b 2 ? ，b ? 0 ? 5、 ? 2三、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )10 分? ? ? n ? a ?b ? 3 1平面法向量? i? j? k 0 ? {?4,12,2}4分 8分 10 分1 1 ?4? 从而平面与 c 垂直。四、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )? ? n ? ?2c ? ? n 与 c 平行 当p ? 1时，?1 dx dx 1 1 ? lim ? p ? lim ( ? p ?1 ) 1 ? p 0 x ? ??0 ? x ? ??0 1 ? p x 1 1 ? lim (1 ? p ?1 ) ? ??0 1 ? p ? ? 1 ，p ? 1 ? ? ?1 ? p ???，p ? 1 ? 15分当p ? 1时，?1 dx dx ?? ? lim ln x 1 ? ?? ? p 0 x 0 x ? ??0 1 dx ?0 x p 当p ? 1时收敛，当p ? 1时发散. 17分 10 分五、解答下列各题 ( 本 大 题 11 分 )解 : 法一 In ? ? 1 xn ?1d x2 ?1?x2 ? 1 x2 ? 1 ? (n ? 1) ? dx x n ?1 x n?23分 ? ? ?x2 ? 1 1? x2 ? (n ? 1) ? dx x n ?1 x n?2 x 2 ? 1 x2 ? 1 1 dx ? (n ? 1) ? dx ? (n ? 1) ? n ?1 n?2 2 n x x x ?1 x x2 ? 1 x2 ? 1 ? (n ? 1) I n ? 2 ? (n ? 1) I n x n ?1x2 ? 1 n ? In n ?1 n ?1 (n ? 1) x7分故I n ? 2 ? ?1? x2 1 I 1 ? ln ? ?c x x ? In ? ? x2 ? 1 2 ? n ? I n ? 2 (n ? 2) I 0 ? ln 1 ? x 2 ? x ? c n ?1 n ?1 (n ? 1) x10 分 3分法二 令x ? tan t dx ? sec 2 tdt? In ? ?sec tdt sec t ?? dt n tan t sec t tan n t d sect ?? tan n ?1 t sect sec3 t ? ? ? (n ? 1) dt tan n ?1 t tan n ? 2 t sect sec3 t sect ? ? ? (n ? 1) dt ? (n ? 1) ? dt n ?1 n?2 tan t tan t tan n tx ?1 ? (n ? 1)( I n ? 2 ? I n ) x n ?1225分 ?? I n?2 ? ? ? In ? ?n x2 ? 1 In ? n ?1 (n ? 1) x n ?1x2 ? 1 2?n ? I n ? 2 ( n ? 2) n ?1 n ?1 (n ? 1) x7分1? x2 1 I 1 ? ln ? ?c x xI 0 ? ln 1 ? x 2 ? x ? c.六、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )10 分,, ? 的法向量为 n ? {111} ijk 1S1 ? 1 2 ?1 ? {2,?1,0}l1 的方向向量为所求直线方向向量为0 03分 7分S ? n ? S1 ? {1,2,?3}从而所求直线方程为10 分 七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )x?4 y?2 z?3 ? ? 1 2 ?3原式 ? limx ?01 ? x sin x ? cos2 2 x x tan x ( 1 ? x sin x ? cos 2 x )3分 7分 10 分1 x sin x sin 2 2 x lim( ? ) 2 x?0 x tan x x tan x 1 5 ? (1 ? 4) ? 2 2 ?八、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )In ??e1(ln x ) n dxe 1e ? x ln n x 1 ? n ? (ln x ) n ?1dx? e ? nI n?14分e 1于是 I n ? e ? ne ? n(n ? 1)e???(?1) n n! ? dx? e ? ne ? n(n ? 1)e ? ? ? (?1) n?1 n(n ? 1) ? 2e ? (?1) n n!(e ? 1)7分所以 ? (ln x) 3 dx ? e ? 3e ? 6e ? 6(e ? 1)1e ? 6 ? 2e九、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )10 分证明: 反证设f ?( x ) 在 (a , b) 内有界 , 即?M ? 0则?x ? (a , b) 有 f ?( x ) ? M取x 0 ? (a, b)则对?x ? (a, b), x ? x0 在以x0 与x为端点的区间上f ( x) 满足拉格朗日中值定理的条件, 则至少存在?介于x0 与x之间, 使2分 f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?(? )( x ? x0 )即 f ( x ) ? f ( x 0 ) ? f ? (? ) (b ? a ) ? f ( x 0 ) ? M (b ? a ) 记为K5分8分 即f ( x) 在(a , b) 内有界与题意矛盾, 故假设不正确, 即f ?( x) 在(a , b) 内无界.10 分 十、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )由 lim f (u ) ? f (u 0 )u ?u0任给? ? 0，存在? ? 0 使当u ? u 0 ? ?时，恒有 f (u ) ? f (u 0 ) ? ?4分又 lim ?( x) ? u 0，取?1 ? ?，存在? ? 0x ? x0使当0 ? x ? x0 ? ?时，( x) ? u 0 ? ? ?8分故当0 ? x ? x0 ? ?时，就有因此 lim f ?? ( x ) ? ? f ( u0 )x ? x0f ?? ( x)? ? f (u0 ) ? ?成立10 分十一、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )设内接圆柱体的高为h, 则圆柱体的底面半径r ? R 2 ? ( 其体积为 V ? ?h( R 2 ? h2 ) h ? 2 R 0? 4h 2 ) 24分 V ? ? ? ( R 2 ? 唯一驻点 h ?3 2 h ) 42 3 R 38分 10 分3 V ?? ? ? ?h ? 0 2故h ? 2 3 R时 , 圆柱体体积最大 3十二、解答下列各题 ( 本 大 题5分 ) 按点 O 受力平衡，应有4 ?12 ? 13 f 1 ? 5 f 2 ? p ? 5 ? f 1 cos ? ? f 2 cos ? ? p 3 ? ? f1 ? f 2 ? 0 ? f 1 sin ? ? f 2 sin ? ? 0 ，即 ? 13 5 39 25 f1 ? p, f2 ? p 56 56 解得十三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )(4 分 ) (8分 )(10 分)当 x ? 8时，t ? 42分 3 dx ? t 2 ? 3(米／秒) 2 dt t?4 t?414分dy dx ? (10 ? 2 x) ? x?8 dt dt? ?18(米／秒) x(t ) ? 310 分答：质点的纵坐标在M(8，16) 处的变化率为 ? 18( 米／秒)十四、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )解:(1) x ?1 0y x ? 2 ? y 2 交点 (11). ,2 1 S ? ? x 2 dx ? ?2 ? x 2 dx21 x x ? ? ( 2 ? x 2 ? arcsin ) 3 2 2 11 1 ? ? ? ? ? 3 2 2 4 ? 1 ? ? , 4 6 ?3分5分2 1(2) Vx ? ? ? x 4 dx ? ? ? (2 ? x 2 )dx018分??5 4 2 22 ?( ? )? . 3 15? 2( 2 ? 1)? ??3(2 2 ? 1)10 分一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分 4 小题, 每小题 3 分, 共 12 分) 1、lim(1 ? cos x ) 2 sec x ? ( )x ??1 4 答（ ） A．e ?2 B．e 2 C． 4 D．2、 设f ( x), g ( x)在x 0的某去心邻域内可导, g ?( x) ? 0且 lim f ( x) ? lim g ( x) ? 0,x ? x0 x ? x0则( I ) limx ? x0f ( x) f ?( x) ? A与(Ⅱ) lim ? A关系是 : x ? x0 g ?( x ) g ( x)( A) 是(Ⅱ)的充分但非必要条件 () Ⅰ ( B ) 是(Ⅱ)的必要但非充分条件 () Ⅰ (C ) 是(Ⅱ)的充要条件 () Ⅰ ( D ) 不是(Ⅱ)的充分条件，也不是必要条件 () Ⅰ 答（ ）3、设f ( x)在?a，b?连续，F ( x) ? ? f ( x)dt ? x ? b)，则F ( x)是f ( x)的 (ax a )．原函数一般表示式 B)．一个原函数 (A ( )．在?a，b?上的积分与一个常数之差 (C4、 )．在?a，b?上的定积分 (D 答（ ）若已知x ? 0时，F ( x) ? ? ( x 2 ? t 2 ) f ??(t ) d t的导数与x 2 是等价无穷小，则f ??(0) ?0 x( A)1 (C ) 1 ?1 ( B) 2 ( D) ?1 2 答（ ）二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分 4 小题, 每小题 3 分, 共 12 分)11、 y ? xe 2、 3x2的铅直渐近线是__________ _________________. 、? tan2xd x ?设f ( x)为以T为周期的连续周期函数，则f ( x)在?a，a ? T ?(a ? 0)上的定积分与 f ( x)在?0，T ?上的定积分的大小关系是 __________ ____ x y?2 z?7 ? ? 3 5 4 、 直 线 1 与 平 面 3x ? y ? 9z ? 17 ? 0 的 交 点 为??????????????????? 。 三、解答下列各题 (本大题共 2 小题，总计 12 分) 1、(本小题 6 分) 2、(本小题 6 分)写出f ( x) ? ln(1 ? x)? x ? 1?带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林展开式.x2 y2 ? ? z2 16 指出锥面 4 被平行于 zox 平面的平面所截得的曲线的名称。四、解答下列各题 (本大题共 5 小题，总计 24 分) 1、(本小题 1 分) 求 x d x. ?2、(本小题 2 分)计算? ( x ? x )dx ．043、(本小题 5 分)求?求?4ln x d x. x 1 ? ln x． x(1 ? x )tan x 24、(本小题 5 分)dx15、(本小题 11 分)?设 y ( x ) ? (2 ? x )1 ， ( ? x ? 1) 求dy． 2五、解答下列各题 (本大题共 2 小题，总计 14 分) 1、(本小题 7 分)试证：F (t ) ? ? ln(t 2 ? 2t cos x ? 1)dx为偶函数．0?2、(本小题 7 分) 试证： 对角线向量是 A ? ?3,?4,?1?, B ? ?2,3,?6? 的平行四边形是菱形， 并计算其边长。 六、解答下列各题 (本大题共 3 小题，总计 20 分) 1、(本小题 6 分)在抛物线y ? x 2 找出到直线3xk ? 4 y ? 2 的距离为最短的点2、(本小题 6 分)设曲线的方程为y ? f ( x ). 已知在曲线的任意点 ( x , y ) 处满足y ?? ? 6 x , 且在曲线上的 (0,?2) 点处的曲线的切线的方程为 2 x ? 3 y ? 6, 求此曲 线的方程.3、(本小题 8 分)经济学上, 均衡价格p0 定义为供给曲线与需求曲线相交时的价格, 消 费者剩余定义为需求曲线与直线p ? p0间的面积(右图区域?), 生产 者剩余定义为供曲线与直线p ? p0间的面积(右图区域? ).已知需 求曲线方程p( x) ? 1000 ? 0.4 x 2 , 供给曲线方程为p( x) ? 42 x.求均衡 点及消费者剩余和生产者剩余. 七、解答下列各题 (本大题共 2 小题，总计 6 分) 1、(本小题 1 分)设f ( x)在x ? x0 处连续，g ( x)在x0 处不连续， 试判定F ( x) ? f ( x) ? g ( x)在x0 处的连续性．2、(本小题 5 分)若 lim f ( x) ? ?， g ( x) ? A，试判定 lim f ( x) ? g ( x)是否为无穷大？ limx ? x0 x ? x0 x ? x0一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分 4 小题, 每小题 3 分, 共 12 分) 1、D 10 分 2、 答 ( B) 3、B 4、B 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分 4 小题, 每小题 3 分, 共 12 分) 1、 x ? 0 2、 ? tan x ? x ? c. 3、= 4、 (2,4,3) 三、解答下列各题 (本大题共 2 小题，总计 12 分) 1、(本小题 6 分) 10 分 10 分 10 分10 分x2 x3 xn ? ??? ? Rn ( x ) 2 3 n 1 1 Rn ( x ) ? ? ? x n ?1 , ?介于 0与x之间 n ?1 n ? 1 (1 ? ? ) f ( x) ? ? x ?2、(本小题 6 分)7分 10 分? x2 y2 ? ? z2 ? ? 0 ?4 16 y ? y0 所截得的曲线为 ? y ? y 0 ? 用 故 y0 ? 0 时为一对相交直线y0 ? 0 时为双曲线四、解答下列各题 (本大题共 5 小题，总计 24 分) 1、(本小题 1 分)4分 10 分?x dx ?2 3 x 2 ? c. 33 4 010 分2、(本小题 2 分)x2 2 2 原式 ? ( ? x ) 2 3 40 ? 37分 10 分 3、(本小题 5 分)ln x dx x 1 ? ln x ln x ?? d(ln x) 1 ? ln x?3分? ? 1 ? ln x d(1 ? ln x) ? ?d(1 ? ln x) 1 ? ln x7分 10 分?2 (1 ? ln x) 33 2? 2 1 ? ln x ? c.4、(本小题 5 分)令 x ? t原式 ? ?212t dt t (1 ? t )24分 6分22 1 1 ? 2? ( ? )dt 1 t t ?1? 2?ln t ? ln(t ? 1)?18分 10 分 2分? 2 ln4 35、(本小题 11 分)dy ? y ?( x)dx ? (2 ? x )tan x 2?1 ?x ? ?? 2 ?x ? 2 sec 2 ln(2 ? x ) ? 2 ? x tan 2 ?dx ? ?10 分五、解答下列各题 (本大题共 2 小题，总计 14 分) 1、(本小题 7 分)F ( ?t ) ? ? ln(t 2 ? 2t cos x ? 1)dx0?2分令 x ? ? ? uF (?t ) ? ?? ln(t 2 ? 2t cos u ? 1)du?06分 8分 10 分? ? l n t 2 ? 2t c o s ? 1)dx ( x0?? F (t )2、(本小题 7 分) 因为 A ? B ? 3 ? 2 ? ( ?4) ? 3 ? ( ?1) ? ( ?6) ? 0 ，故 A? B 因此这个平行四边形的对角线是垂直的，于是它是菱形。 （6 分） 边长=?0.5?| A| ? 0.5?| B|? ?2?2?1 ? ? 32 ? ( ?4) 2 ? ( ?1) 2 ?2??1/ 2? ?1 2 2 2 ? ? ? 2 ? 3 ? ( ?6) ? ?22??1/ 2? ? ?2 ?5 3 2（10 分）六、解答下列各题 (本大题共 3 小题，总计 20 分) 1、(本小题 6 分)设抛物线上任点( x, x 2 ), 到直线的距离为d? 3x ? 4 x 2 ? 2 9 ? 16 1 ? ( 4 x 2 ? 3x ? 2) 54分1 d ? ? (8 x ? 3) 5 唯一驻点 x ? d ?? ? 3 88 ?0 5 3 故当x ? 时, d最小 8 9? ?3 即点? ， ? 到直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0的距离最短 ? 8 64 ?(注如用切线平行于已知直线解也可以) 2、(本小题 6 分)8分 10 分? y ? ? ? y ?? d x ? 3 x 2 ? c (1)3分又由 2 x ? 3 y ? 6得y ? ? y?( 0 , ?2 )2 x?2 3?2 32 代入 (1) 得 35分y ? ? 3x 2 ?? y ? ? (3x 2 ?2 2 ) d x ? x3 ? x?c 3 32 x ? 2. 310 分再将(0,?2)代入得c ? ?2,? y ? x 3 ?3、(本小题 8 分)? p ? 1000 ? 0.4 x 2 ? ? p ? 42 x ,解出x ? 20. 均衡点p ? 840.消费者剩余? (1000 ? 0.4 x 2 ) ? 840 dx0 20??3分 2133 .33 ? 生产者剩余? ?840 ? 42 x ?dx20 0? 84006分 10 分 七、解答下列各题 (本大题共 2 小题，总计 6 分) 1、(本小题 1 分)F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在x0 处必不连续4分若F ( x ) 在x 0 处连续，则 g ( x ) ? F ( x ) ? f ( x ) 在x 0 处也连续，矛盾！2、(本小题 5 分) 10 分答：不一定． 1 1 ? ?0 f ( x) g( x) ? lim f ( x ) ? g ( x ) ? ? 若A ? 0， limx ? x0x ? x04分 6分但若A ? 0则等式可能不成立例如 lim 1 ? ?， lim ( x ? 1) 2 ? 0 x ?1 x ? 1 x ? x１ 1 但 lim ? ( x ? 1) 2 ? 0 ? ? x ?1 x ? 110 分1、极限 lim (1 ?x ?0x x ) ? 0，b ? 0)的值为 (a abb( A)1． ) ln (B2、b be )e a ． ) (C (D a a 答（ ）3 cos xlim(1 ? cos x )x ?0?A．e 3 B．8 C．1 D．? 答（ ）3、 设f ( x ) 在[a , b]上连续 , 在 (a , b) 内可导记 ( Ⅰ ) f (a ) ? f (b) ( Ⅱ ) 在 (a , b) 内f ?( x ) ? 0则： ( A)( Ⅰ ) 是 ( Ⅱ ) 的充分但非必要条件 ( B )( Ⅰ ) 是 ( Ⅱ ) 的必要 , 但非充分条件 (C )( Ⅰ ) 是 ( Ⅱ ) 的充要条件 ( D)( Ⅰ ) 与 ( Ⅱ ) 既非充分也非必要条件 答 ( )4、 若?x0，f ( x0 ) ?为连续曲线, y ? f ( x)上的凹弧与凸弧分界点 则( , ) ( A) 0，f ( x0 ))必为曲线的拐点 (x ( B) 0，f ( x0 ))必定为曲线的驻点 (x (C ) x0为f ( x)的极值点 ( D) x0 必定不是f ( x)的极值点 答( )5、一长为Lcm的杆OA绕O点在水平面上作圆周运动. 杆的线密度? ? r为杆上一点到O点的距离 , 角速度为? , 则总动能? ?1 , r1 1 1 1 ( A) ? 2 L2 ( B) ? 2 L2 (C ) ? 2 L2 ( D) ? 2 L2 2 3 4 5二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分 3 小题, 每小题 3 分, 共 9 分) 1、 2、答()? (3 ? x2 3) dx ?x 0_______________.设f ( x) ? ? t (t ? 1)dt，则f ( x)的单调减少的区间是__________3、对于 ? 的值，讨论级数 n ?1 （1）当??????时，级数收敛 （2）当??????时，级数发散 三、解答下列各题 (本大题共 3 小题，总计 13 分) 1、(本小题 4 分) 2、(本小题 4 分) 级数? (n?n?? 1)验证f ( x) ? x 2 在[2,4]上拉格朗日中值定理的正确性? ?? 1?n ?1?n ? n ?1? 2n10 10 n是否收敛，是否绝对收敛？ 3、(本小题 5 分)? ? 3? ? x ?? ? , ? ? 2 2 ? 时， f ? x ? ? x 。 设 f ? x ? 是以 2? 为周期的函数， 当 又设 S ? x ? 是 f ? x ? 的 以 2? 为周期的 Fourier 级数之和函数。试写出 S ? x ? 在 ? ??, ?? 内的表达式。四、解答下列各题 (本大题共 5 小题，总计 23 分) 1、(本小题 2 分)求极限 lim2、(本小题 2 分)x 3 ? 12 x ? 16 x ?2 2 x 3 ? 9 x 2 ? 12 x ? 4求 ? (e x ? 1) 3 e x dx.3、(本小题 4 分) 求?2 1x2 ?1 dx． x4、(本小题 7 分)求? x d x.5、(本小题 8 分) 试将函数 五、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )?y?1 x 2 在点 x0 ? 0 处展开成泰勒级数。如果幂级数 n ?0 在 x ? ?2 处条件收敛，那么该 级数的收敛半径是多少? 试证之. 六、解答下列各题 (本大题共 2 小题，总计 16 分) 1、(本小题 7 分)?anxn如图要围成三间长都为 y , 宽都为 x 的长方形屋围 , 其墙的总长度为a, 问x, y各等于多少时 , 所围成的总面积最大?(墙的厚度不计)2、(本小题 9 分)求由曲线y ? e 2 x , x轴及该曲线过原点的切线所围成的平面图形的面积.七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )?chx，x ? 0， 设 f ( x) ? ? , 试讨论f ( x)的可导性并在可导处求出f ?( x) ?ln(1 ? x)，x ? 0八、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )计算 limx ?0? (a ? b )dt ， ? 0，b. ? 0)． (a ln(1 ? t )dt ?t t 0 2x 0x九、解答下列各题 ( 本 大 题 12 分 )设函数f ( x)在?a，b?上有连续导数(a ? 0)，又设x ? r cos ?，f ( x) ? r sin ?． 试证明：? f ( x)dx ? ? r 2 (?)d? ? bf (b) ? af (a) , 2a ? b ?其中? ? arctanf (a) f (b) ，? ? arctan ． a b一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分 5 小题, 每小题 2 分, 共 10 分)C 1、 答： 2、B3、 答 ( B) 4、 ( A) 5、10 分 10 分 10 分C 1 (dm)v 2 2 1 1 ? ? dr ? (?r ) 2 2 r 1 ? ? 2 rdr 2 L 1 E ? ? ? 2 rdr 0 2 1 ? ? 2 L2 4 因dE ?二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分 3 小题, 每小题 3 分, 共 9 分)9 5 x7 ? 27 x ? 9 x ? x ? ? c. 5 7 1、32、(0，1) ( 答 0，1 不扣分 )??10 分 10 分3、 ? ? ?1 时收敛? ? ?1 时发散三、解答下列各题 (本大题共 3 小题，总计 13 分) 1、(本小题 4 分)证明: f ( x) ? x 2 在[2 , 3]上连续 , 在(2 , 3)可导 即f (x)在[2 , 3]上满足拉格朗日中值定理的条件4分又f ' ( x) ? 2 x f (4) ? f (2) ?6 4?2 得到(2 , 3)内有解? ? 3 令f ' (?) ? 2? ?8分即存在? ? 3 , 使f ' (?) ?f (4) ? f (2) 4?2 这就验证了拉格朗日中值定理对函数f ( x) ? x 2 在[2 , 3]上的正确性10 分2、(本小题 4 分)un ? ?? 1?记n ? n ?1? 2n10 n10 ? n 10 n 10 由于 故原级数绝对收敛，从而收敛 3、(本小题 5 分) 对 的表达式为un ?1 1 ? un 10?n ? ? ?……6 分 ……10 分f ? x? ? x , ??2?x?3? 2 作周期为 2? 的延拓， f ? x ? 在 ???, ?? 内? ? ? x ? 2? , ?? ? x ? ? 2 , ? ? ? f ? x ? ? ? ? x , ? ? x ? 0, 2 ? x, 0 ? x ? ?, ? ? ?f ? x ? 满足 Fourier 级数收敛的充分条件。故(3 分) (5 分)? ? x ? 2? , ? ? ?, S? x? ? ? ? ? ?x , ? x, ?分)?? ? x ? ? x?? ??2,?2,? x ? 0, 2 0 ? x ? ?,?(10注：只要写出 S ? x ? 的表达式即可得 10 分。 四、解答下列各题 (本大题共 5 小题，总计 23 分) 1、(本小题 2 分)3x 2 ? 12 x ? 2 6 x 2 ? 18 x ? 12 6x ? lim x ?2 12 x ? 18 解: 原式 ? lim5分 8分 10 分 ? 22、(本小题 2 分)? (e ? 1) e ? ? (e ? 1)x 3xxdxd(e x ? 1)5分 10 分3?1 x (e ? 1) 4 ? c. 43、(本小题 4 分)令 x ? sec t原式 ? ? 3 tan 2 tdt0?4分 ? ? 3 ( s e 2ct ? 1)dt0?6分 8分 10 分? ( t a t ? t) n? 3?4、(本小题 7 分)? 3 0?3?? x2 ? c1 x ? 0, ? ? 2 x dx ? ? 2 ?? x ? c 2 x ? 0. ? 2 ?5分由原函数的连续性 , 得 x2 x2 ? c1 ) ? lim? ( ? ? c2 ) x?o x?o 2 2 ? c1 ? c2 令c1 ? c2 ? c lim? (? x2 ? c, x ? 0, ? x ?x ? 2 ?? x d x ? ? ? ? c. 2 2 ?? x ? c, x ? 0 ? 2 ?5、(本小题 8 分) 因为10 分? 1 ?1? ? ?? ? x2 ?x? 1 1 1 ? ? x ? x0 x x0 1? x0……3 分? 1 ? ? ?? 1? x n 1 ? x n ?0 nx ? ?? 1,1?而……5 分所以1 1 ? x x0? ?? 1?n ?0n ?1?n? x ? x0 ?x0nnx ? ?0,2 x0 ?x ? ?0,2 x0 ?……10? 1 ? ? ?? 1? x 2 n ?0n ? x ? x0 ? n ?1 x0n ?1分 五、解答下列各题 ( 本 大 题5分 ) 由题意,知:x ? 2 时, 级数绝对收敛； x ? 2 时, 级数不可能收敛. 当当 故收敛半径是 2. 六、解答下列各题……4 分 ……8 分 ……10 分 (本大题共 2 小题，总计 16 分) 1、(本小题 7 分)a 3 ? x 4 2 a 3 总面积为A ? 3xy ? 3x ( ? x ) 4 2 如图 4 y ? 6 x ? a y ?3分2dA 3a a dA d A ? ? 9 x 当x ? 时, ? 0 2 ? ?9 ? 0 dx 4 12 dx dx a 故当x ? 时, A取得唯一极大值也是最大值 12 a 3 a a 此时 y ? ? ? ? 4 2 12 8 a a 故当x ? ，y ? 时 , 所求总面积最大 12 82、(本小题 9 分)6分 8分10 分解: y ? ? 2e 2 x . 设切点 (t 0 , e 2 t0 ), ? 切线y ? 2e 2 t0 x , ? y ? e 2 t0 , 1 ? ? t 0 ? 2 t0 2 ? ? y ? 2e t 01 切线y ? 2ex , 切点 ( , e) 2 1 1 1 2 ? s ? ? e 2 x dx ? ? ? e ?? 2 2 1 1 1 1 ? e 2 x 2 ? e ? e. ?? 2 4 4七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )3分 6分 8分 10 分f (0) ? 1，f (0 ? 0) ? lim ln(1 ? x) ? 0x ?0? 0f (0 ? 0) ? lim cosh x ? 1x ?0? 03分 5分f ( x) 在x ? 0处不连续, 故不可导?sinh x，x ? 0， ? f ? ( x ) ? ? ?1 ? 1 ? x ，x ? 0 ， ?八、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )10 分原式 ? limax ? bx x ? 0 2 ln(1 ? 2 x )5分 a x ln a ? b x ln b x ?0 4 1 ? 2x 1 a ? ln 4 b ? lim九、解答下列各题 ( 本 大 题 12 分 )10 分因为r 2 ? x 2 ? f 2 ( x ) ，? ? arctan?bf ( x) xf ?( x ) ? f ( x ) ，d? ? dx x x 2 ? f 2 ( x)4分 6分于是 ? r 2 (? )d? ?? ? xf ?( x) ? f ( x)?dx?a? ? xf ?( x)dx ? ? f ( x)dxa abb? xf ( x) ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dxb a a abb8分? bf (b) ? af (a) ? 2? f ( x)dxab所以 2? f ( x)dx ? ? r (? )d? ? bf (b) ? af (a)2 ab??10 分一、一、填空1.1. x=0 是 f(x)的连续点。 解：f ( 0) ? 1 2x ?0?? cos x ? x? 2, x ? 0 ? f ( x) ? ? ( a ? 0) ? a ? a ? x ,x ? 0 ? x ? 设 当 a=时，a ? a? x 1 ? x 2 a 故a ? 1时x ? 0是连续点， ? 1时x ? 0是间断点。 a dy 设方程 x ? y ? arctan y ? 0 确定了 y ? y( x ), 求 dx ＝ 2． 。 y? 1 ? y2 1 ? y? ? ? 0 y? ? 1 ? y2 y2 解： 1 ? a cos 2 x ? b cos 4 x lim x4 3． x?0 ＝A，则 a= ，b= ， A= 。 解：要使极限存在，分子与分母应是极限过程中的同阶无穷小或高阶无穷小， 于是有 1＋a+b=0，用一次罗必达法则分子仍为无穷小，有 a+4b=0 解出：a=-4/3 b=1/3 代入求得极限 A＝8/3 lim cos x 1 ? x?2 2x ?0?limx 4．函数 y ? x 2 的极小值点为。解： y ? ? 2 ?1 ? x ln 2? 驻点 驻点为极小值点。xx??1 x 2 ln 2 , y ?? ? 2 ( 2 ln 2 ? x(ln 2) ) 在驻点处 y’’&0,故 5．设 f (x) = x lnx 在 x0 处可导，且 f’(x0)=2,则 f (x0)= 解： f ?( x ) ? ln x ? 1,由f ?( x 0 ) ? 2知x 0 ? e, 于是有f ( x 0 ) ? e.。6.设 limx ?0f ? x ? ? f ?0? ? ?1, x2 则 f(x)在 x=0 取得（填极大值或极小值） 。解：? limf ? x ? ? f ?0? f ? x ? ? f ?0? ＝－1,由极限的保号性有 ? 0, 有 f ? x ? ? f ?0? ? 0 2 x ?0 x x2 即在 x ? 0的某邻域内有 f ? x ? ? f ?0?,由极值定义知 x ? 0是极大值点。 二、? 1? x ?1 ? x?0 函数f ( x ) ? ? x ? 0, x ? 0 是否连续？是否可导？并求 f(x)的导函数。 ?解：当 x&0 及 x&0 时， ，f(x)为初等函数，连续。x ?0?x ?0??0 x ?0? x 1? x ?1 lim f ( x ) ? 0 ? lim f ( x ) ? f (0) ? f ( x )在?? ? , ? ?连续。x ? 0? x ?0?lim f ( x ) ? lim1? x ?1? limx当x ? 0时，f ?( x ) ?1? x ?1 2x3/ 2 1 ? x x x, 当x ? 0时，f ?( x ) ? 0 ?0 ? limx ?0?1? x ?1 f ( x ) ? f ( 0) lim ? lim x ?0? x ?0? x1 x ( 1 ? x ? 1)??? 1? x ?1 ? x ? 0, ? f ( x )在x ? 0不可导， f ?( x ) ? ? 2 x 3 / 2 1 ? x ? 0 x?0 ?三、 1． x ? 0 三、 解下列各题2xlim?1 ? 2 x ?x2?1?1 ? 2 x ?2 x ? 2 ln?1 ? 2 x ? ? ?解：原式＝ x ?01 xlim?1 x?4x ? ? 1 ? 2x ?2x? 2?2 ? 4.2． x?? 解：原式＝1 x ?lim x 2 (3 ? 31 x? 2)；1 x ? 1 x? 3 ?3 ?2 ln 3 3 ? 3 ln 3 2 lim ? lim ? ? lim ln 3( 3 x ? 3 x ) ? ?ln 3? x ?? x ?? 2 x ?? 1 1 2 2 x x ? x ? t ? 2 ? sin t 设曲线方程为? ? y ? t ? cos t 3． ,求此曲线在 x=2 的点处的切线方程 ,及 1 1 d2y dx 2x?2。y? ? 1 ? sin t 1 1 y ? t ?0 ? 切线方程：y ? 1 ? ? x ? 2? 1 ? cos t 2 2 sin 0 ? cos 0 ? 1 1 y ?? x ? 2 ? ?? 3 4 ?1 ? cos 0?x ? 2时 y ? 1, t ? 0 y ?? ? sin t ? cos t ? 1解：?1 ? cos t ?3四、 四、 试确定 a,b,c 的值，使 y=x3+ax2+bx+c 在点(1,-1)处有拐点，且在 x=0 处有极大值为 1，并求此函数的极小值。 解：y ? ? 3 x 2 ? 2ax ? b, y ??0? ? 0 ? b ? 0, y(0) ? 1, c ? 1. y ?? ? 6 x ? 2a , y ??(1) ? 6 ? 2a ? 0, a ? ?3. y ? x 3 ? 3 x 2 ? 1, y ? ? 3 x 2 ? 6 x ? 3 x( x ? 2) y ? ? 0时，驻点： x1 ? 0, x 2 ? 2, y ???0? ? 6 ? 0. ? 极小值y( 2) ? ?3。五、 五、 若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角 形。 解：设所给直角边为 x,斜边与其之和为 L，则1 x 2 x ?L ? x ? ? x 2 ? L2 ? 2 Lx 2 2 ? L L ? 3x 1? x s ? ? ? L2 ? 2 Lx ? ?? 2? L2 ? 2 Lx ? 2 L2 ? 2 Lx L 令s ? ? 0 ? x ? 这是唯一驻点，且最大 值存在，故 3 2 L ? ? L? s? ? ? 为最大面积，此时 x边与斜边夹角为 3 ?3? 6 3 ? ? 六、 六、 证明不等式： ? ? ? , ?e ? ? ? ? ?. s?ln x 1 ? ln x 则 f ?( x ) ? ? 0 ( x ? e) x x2 ln(? ) ln(? ) ? f ( x )在(a ,??)上单减，f (? ) ? f (? ), 即 ? ? ? 证：令f ( x ) ? ? ln(? ) ? ? ln(? ) ? ln ? ? ? ln ? ? ? ? ? ? ? ? .? 2? lim n f ? ? . n? ? ? n? 七、 七、 y=f(x)与 y=sin(x)在原点相切，求极限 ? 解：f (0) ? sin(0) ? 0. f ?(0) ? ?sin x ? x ? 0 ? cos 0 ? 1,? 当x ? 0时f ( x )与x是等价无穷小， 2 f ?2 / n ? ? 2? n f ? ? ? lim lim ? 2 n? ? n? ? 2/ n ? n?八、 八、 设 f (x)在[0,1]上连续且在 (0,1 ) 内可导，且 f (0) = f (1) = 0, f (1/2) = 1. 证明：(1)至少有一点ξ ∈(1/2,1)，使得 f(ξ )= ξ ; (2)???R ，存在 ??(0,?)，使得 f’(?)-?[f(?)-?]=1 证： （1）令 F(x)=f(x)-x,则 f 在[0,1]连续，在(0,1)可导， F（1/2）=f(1/2)-1/2&0 F(1)=f(1)-1=0-1&0,∴在(1/2,1)内至少有一点 ?，使 F（? ）=0,即 f (?)=?.。 (2) 证：? ?e ? ?? F ( ?) ? e ? ?? F ???? ? 0 得出F ????＝?F ( ?) 即f ?( ?) ? 1 ? ? ? f ??? ? ?? 于是f ???? ? ? ? f ??? ? ?? ? 1lim(1 ? x)x ?0 ? 1 x令G ( x ) ? e ? ?x F ( x ), G (? ) ? 0, G (0) ? 0 ?? ? ?0, ? ?使得G ???? ? 0.一、 一、 选择题（每题 4 分，共 16 分）1．? lim x sinx ??1 ? x （D） 。 ） 。?1 C、 e ? 1； D、 e ? 1 2．设 f ( x) ? x ln x 在 x0 处可导，且 f ?( x0 ) ? 2 ，则 f ( x0 ) ? （ B 2 A、 0 ； B、 e ； C、 1 ； D、 e 。A、 e ；B、 e ；?1xf ( x )dx ? 3．若 sin 2x 是 f ( x) 的一个原函数，则 ? （ D ） 。 A、 x sin 2 x ? cos 2 x ? C ； B、 x sin 2 x ? cos 2 x ? C ； 1 1 x sin 2 x ? cos 2 x ? C x sin 2 x ? cos 2 x ? C 2 2 C、 ； D、 。3 2 4．已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx 在 x ? 1 处取得极值 ?2 ，则（ A、 a ? ?3, b ? 0 且 x ? 1 为函数 f ( x) 的极小值点； B、 a ? 0, b ? ?3 且 x ? 1 为函数 f ( x) 的极小值点；B） 。C、 a ? ?3, b ? 0 且 x ? 1 为函数 f ( x) 的极大值点； D、 a ? 0, b ? ?3 且 x ? 1 为函数 f ( x) 的极大值点。二、填空题（每题 5 分，共 20 分）1． 2． ?limx ?0x 1 ? ?x e ?e 2。xx23 2 3 2 1 ? x dx ? 9 (1 ? x ) ? C 。3sin x ( ? cos 3 x ) dx ? 4 ? 1 ? x2 3。 3． 2 4．设 ? , ? , ? , ? 为向量， k 为实数。若 || ? ||? 1,|| ? ||? 1 ， ? ? ? ， 1 ? ? ? 2? ? ? , ? ? k? ? ? ， ? ? ? ，则 k ? 2 。??2?三、计算下列各题（每题 9 分，共 45 分）1．求极限x ?0?lim x x。 解： x ?0?lim x x ? lim e x ln x ? e x?0?x ?0 ?x ylim x ln x?eln x lim x?0? 1 x1 lim x x?0? 1?ex2?1d2y | 2 x ?0 2．函数 y ? y( x) 由方程 e ? e ? xy ? 0 确定，求 dx 。 x y x y e ? e ? xy ? 0 ? e ? e y ? ? y ? xy ? ? 0x y y 2 解： ? e ? e y?? ? e y ? ? y ? ? y ? ? xy ?? ? 0 d2y | ? ?2 2 x ?0 又 x ? 0, y ? 0 ， y? ? 1 ，得 dx 。3．求定积分 解1?1 2 21 ? x2 dx x2 。：? ? x ?s t 1 ? x2 ? dx ? ??2 cot 2 tdt ? ??2 (csc 2 t ? 1) dt ?1 ? ? 22 x 2 4 4 4 4．求过点 (3,1, 2) 且与平面 x ? 2z ? 1 和 y ? 3z ? 2 平行的直线方程。i j ? s? 1 0k 2 ? ( ?2,3,1)x ? 3 y ?1 ? ? z?2 3 ， ?2 。解：0 1 ?3?1 ? sin x, f ( x) ? ? 2 ?0, ? 5．设x0? x ?? 其它0，求?( x) ? ? f (t )dt0x。解： x ? 0 ，?( x) ? ? f (t )dt ? 0?( x) ? ? f (t )dt ?0 x 0 x0? x ?? ，1 x 1 ?0 sin tdt ? 2 (1 ? cos x) 2x ?? ，?( x) ? ? f (t )dt ?x 1 ? ?0 sin tdt ? ?? 0dt ? 1 2四、 分）长为 l 的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问 （7这两段铁丝各为多长时，正方形的面积与圆的面积之和最小？ 解：设正方形的边长为 x ，则正方形的面积与圆的面积之和为(l ? 4 2) x 4? 。 l ? 4x l 4l 4l S ?( x) ? 2 x ? 2 ?0 x? ,l ? ? 4 ? ? 。所以两段铁丝分别为 4 ? ? 4 ? ? 时，正方 ， 形的面积与圆的面积之和最小。 S ( x) ? x 2 ?五、解答下列各题（每小题 4 分，共 12 分）1．设曲线 y ? 1 ? x2(0 ? x ? 1) ， x 轴以及 y 轴所围区域被曲线 y ? ax 2 (a ? 0) 分成 面积相等的两部分，求 a 。 解：由?1 a ?10(1 ? x 2 ? ax 2 )dx ? ?1 a ?10ax 2 dx ? ?1 1 a ?1(1 ? x 2 )dx，a ?3x2 x ? ? f (t ) dt ? 1 0 2．设函数 f ( x) 在 [0,1] 上连续，且 0 ? f ( x ) ? 1。判断方程 在 (0,1) 内有几个实根？并证明你的结论。解 ：F(F(?) x02 ??x01xf ( ? ) F ( x)t t d 1 ， 在[0,1]上连续，d ? 1 x ( ) 0 ， 所 以 F ( x) 在 (0,1) 内 有 一 个 零 点 。 又 F ?( x) ? 2 ? f ( x) ? 2 ? 1 ? 1 ? 0 ，F ( x) 在 [0,1] 上是单调递增的， 所以 F ( x) 在 (0,1)内有唯一零点，即0 )? F 1 ,? ? ?( ? f1 )x2 x ? ? f (t )dt ? 10x在 (0,1) 内有唯一实根。1 2 0f (1) ? 2? xf ( x)dx ? 0 3、设函数 f ( x) 在 [0,1] 上可导，且 ，求证在 (0,1) 内至少存 f (? ) f ?(? ) ? ? ? 。 在一点 ? ，使得解：F ( x) ? xf ( x) ，F ( x) 在 [0,1] 上可导。由f (1) ? 2cf (c)f (1) ? 2? 2 xf ( x)dx ? 0011 c ? [0, ] 2 ， ，存在1 ?0 2 使得 ，即 f (1) ? cf (c) 。由 Roll 定理，存在 ? ? (c,1) ? (0,1) ，使 f (? ) f ?(? ) ? ? ? 。 得 F ?(? ) ? 0 ，即高等数学第一学期半期试题解答（05）一． 1．y?一．（共 20 分）试解下列各题：, ( x ? 1) 求 dy设y ? 1 2x ?1 ? x ?1 x ?1 ? x ?1。? 1 1 ? x ?1 ? x ?1 ? ? ?dx ? ? ? 2 x ?1 2 x ?1 ?dy dx 。解： 2．?x ?1 ? x ?1?2dy ???设方程 x ? y ? arctan y ? 0 确定了y ? y( x), 求1 ? y? ? y? ?0 1? y2 y? ? 1? y2 y2解： 3．设 limx 3 ? ax 2 ? x ? 4 ? A. 。则 a= x ?1 x ?1 1 4．函数 y ? x 2 x 的极小值点 ? 。 ln 2 ? cos x , x ? 0 x 5. 设f ( x) ? ? a ?? 2 ? x ( a ? 0) a ? x , x?04,A=-6 a ? a?x 1 ? x ?0 ? x 2 a 故a ? 1时x ? 0是连续点， ? 1时x ? 0是间断点。 a 解：f (0) ? 1 2 cos x 1 ? x ?0 ? x ? 2 2 lim lim二． 二． （10 分）若 y ? f (x) 是奇函数且 x=0 在可导, 是什么类型的间断点？说明理由。 解：由f ( x)是奇函数，且在x ? 0可导，知f ( x)在x ? 0点连续，f (0) ? ? f (0)故f (0) ? 0lim F ( x) ? limx ?0F ( x) ?f ( x) x 在 x=0三． 11 xf ( x) ? f ?0? ? f ??0?存在, 故为第一类间断点?可去?。 x ?0 x?0 三． （共 20 分）求下列极限x ??1 ? x．lim x 2 (3 x ? 31 x1?1 x? 2)1 ? x；解1 1：原式＝3 ?3 ?2 ln 3 3 ? 3 lim ? lim ? x ?? x ?? 2 1 1 2 x x? ln 3 2 ? lim ln 3(3 x ? 3 x ) ? ?ln 3? x ?? 22. x ? 0lim(1 ? 2 x ) 2 x ? 1 x2?1 ? 2 x ?2 x ? 2 ln ?1 ? 2 x ? ? ?；解：原式＝ x?0lim ? 2x4x ? ? 1 ? 2x ?? 2?2 ? 4? x ? t ? 2 ? sin t d2y 设曲线方程为? ? y ? t ? cos t ,求此曲线在 x=2 的点处的切线方程,及 dx 2 。 3． 1 ? sin t 1 1 解：x ? 2时 y ? 1, t ? 0 y ? ? y ? t ?0 ? 切线方程：y ? 1 ? ? x ? 2 ? 1 ? cos t 2 2 sin t ? cos t ? 1 y ?? ? ?1 ? cos t ?3四．2 2 （10 分）证明：当 x ? 0 时， ( x ? 1) ln x ? ?x ? 1? 。 1 1 ?x ? 1? 证明：当x ? 1时，令f ( x) ? ln x在[1, x]上用拉氏中值定理有ln x ? ? x ? 1? ? ? x ?1 1 ?x ? 1?同乘以?x 2 ? 1?有?x 2 ? 1?ln x ? ?x ? 1?2 其中1 ? ? ? x即 ln x ? x ?1 1 1 ?1 ? x ? 当0 ? x ? 1时，令f ( x) ? ln x在[ x,1]上用拉氏中值定理有 ? ln x ? ?1 ? x ? ? ? x ?1 1 ?x ? 1?同乘以?x 2 ? 1?有?x 2 ? 1?ln x ? ?x ? 1?2 其中x ? ? ? 1即 ln x ? x ?1 当x ? 1时等式成立。四．x22 五． 五． （10 分）求内接于椭圆 a 三角形之面积的最大值。 解：?y2 b2?1，且底边与 x 轴平行的等腰 设底边方程为：y ? t? b ? t ? 0， t2 2a ? 2 b b2三角形面积A ? ?b ? t ? ? 2a 1 ? 设z ? ?b ? t ? b 2 ? t 22 2?b ? t ?2 ?b 2 ? t 2 ?2? z ? ? ?2?b ? t ??b?t2? z的最大值点也是A的最大值点。 ? ? 2t ?b ? t ? ? ?2?b ? t ? ?b ? 2t ?b 2 b ? b? z ??? ? ? ? ?b 2 ? 0即t ? ? 为唯一极大值点， 2 ? 2? 3 3 ab 4令z ? ? 0 得t ? b（舍去）t ? ?亦即为所求面积之最大值点。最大值为A ?n n ?1 ? ? x 2 ? x ? 1 在（0，1）上必有 （10 分）证明：方程 x ? x lim xn 唯一的实根 x n (n&2)，并求 n ?? 。 证：六．六．设f ( x) ? x n ? x n ?1 ? ? ? x 2 ? x ? 1 其在[0,1]上连续。 f (0) ? ?1, f (1) ? n ? 1由n ? 2知函数在端点异号。 由闭区间上连续函数零点定理知至少有一点? ? (0,1)使f (? ) ? 0. 又f ? ? nx n ?1 ? ? ? 2 x ? 1 ? 0知函数f ( x)单调增加，故在(0,1)上有唯一实根。 由 xn ? xnn n ?1? ? ? xn ? xn ? 12 n 2x n ?1n ?1? x n ?1 ? ? ? x n ?1 ? x n ?1 ? 15 ?1 5 ?1 因此0 ? x n ? ? 1故由极限存在准则知其有极限，设极限 2 2 n x 1 ? xn x 1 由方程有 n ? 1两边n ? ?取极限 0 ? 1解出x0 ? 1 ? xn 1 ? x0 2 1 ? a cos 2 x ? b cos 4 x 七． 七． （10 分）确定常数 a、b,使极限 lim 存在， x ?0 x4 并求出其值。 解：要使极限存在，分子与分母应是极限过程中的同阶无穷小或高阶无穷小，于 是有 1＋a+b=0，用一次罗必达法则分子仍为无穷小，有 a+4b=0 解出：a=-4/3 b=1/3 代入求得极限为 8/3 知?x n ?是单调下降数列，而x 2 ???八． 八． （10 分） f (x)在[a,b]上连续， 设 在(a,b)内可微， f (a) = f (b) =0, 且 证明：对 ?? ? R, ?c ? ?a, b?，使得f ??c ? ? ?f ?c ? 。 证明： 构造函数 F(x)= e-?x f (x) 则 F(x)在[a,b]上连续， 在(a,b)内可微 F (a) = F (b) =0 由罗尔定理 ?? ? R, ?c ? ?a, b ?，使得F ??c ? ? 0, 而F ??x ? ? e ??x f ??x ? ? ?e ??x f ?x ? 即有 ?? ? R, ?c ? ?a, b?，使得f ??c ? ? ?f ?c ? 证毕。
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