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第八章 多元 函数
8.1 空间解析几何简介一、空间点的直角坐标 三个坐标轴的正方向 符合右手系.z竖轴z 即以右手握住 轴， 当右手的四个手指? 从正向 x 轴以 角 2 度转向正向 y 轴时，大拇指的指向 就是z 轴的正向.定点 o?y 纵轴横轴 x空间直角坐标系Ⅲzzox 面Ⅱyoz面Ⅳxoy面Ⅶ ⅧoyⅥ ⅤⅠx空间直角坐标系共有八个卦限? 空间的点 ?? ? 有序数组 ( x , y , z )特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R,坐标面上的点 A, B , C , zR(0,0, z )1? ?1O ( 0, 0, 0 )B(0, y , z )?C ( x , o, z )M ( x, y, z )oQ(0, y ,0)yxP ( x ,0,0)A( x , y ,0)二、空间两点间的距离设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点zR? M2M1d ? M1 M 2 ? ??Po在直角 ? M 1 NM 2 Q 及 直 角 ?M PN 1 N 中，使用勾股定 y 理知2 2xd ? M1 P ? PN ? NM 2 ,22? M1 P ? x2 ? x1 , PN ? y2 ? y1 ,NM 2 ? z2 ? z1 ,?d ?2 2zR? M2M1?QPoNyx2M 1 P ? PN ? NM 22M1 M 2 ?? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? z2 ? z1 ? .2 2空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为 M ( x , y , z ) , O (0,0,0)d ? OM ? x 2 ? y 2 ? z 2 .例 1 求证以 M 1 ( 4,3,1) 、M 2 ( 7,1,2) 、 M 3 ( 5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解 M1 M 2 ? (7 ? 4)2 ? (1 ? 3)2 ? (2 ? 1)2 ? 14,2M 2 M 3 ? (5 ? 7)2 ? (2 ? 1)2 ? (3 ? 2)2 ? 6,2M 3 M1 ?2(4 ? 5)2 ? (3 ? 2)2 ? (1 ? 3)2 ? 6,原结论成立.? M 2 M 3 ? M 3 M1 ,例2设P 在x 轴上，它到 P1 ( 0, 2 ,3) 的距离为P 到点 P2 ( 0,1,?1) 的距离的两倍，求点 的坐标.解 因为 P 在x 轴上， 设P点坐标为 ( x ,0,0),PP1 ? x 2 ? ? 2 ?2 ? 32 ? x 2 ? 11,?? 1?2 ? 12 ? PP2 ? x ?2x 2 ? 2,? PP1 ? 2 PP2 , ? x 2 ? 11 ? 2 x 2 ? 2? x ? ?1,所求点为 (1,0,0), ( ?1,0,0).三、常见曲面方程 曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 1 .一般曲面方程 定义： 如果曲面S 与三元方程F ( x , y , z ) ? 0 有下述关系：（1）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；那么，方程 F ( x , y , z ) ? 0 就叫做曲面S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．2.柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 曲线 C 称为柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.例3. 做出 x2+y2=R2 的图形 解：首先在 xoy 平面上划出半径为R的圆，然后 让平行于z轴的母线沿圆周平移，就得到圆柱面.例4. 做出 x2=2y 的图形解：首先在xoy平面上作出抛物线 y2=2x ，然后作出平行于z轴的母线，即可得到抛物柱面zx2 ? 2yoy该抛物柱面也可 以看成是由一条 抛物线 x2=2y ， 沿着z轴上下平行 移动所得到的.x抛物柱面从柱面方程看柱面的特征：(二元二次方程）只含 x, y 而缺z 的方程 F ( x , y ) ? 0 ，在 空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱 面，其准线为 xoy面上曲线 C （其他类推） .2 2实 例y z ? 2 ? 1 椭圆柱面, 母线// x 轴 2 b c x2 y2 ? 2 ? 1 双曲柱面, 母线// z 轴 2 a b 2 抛物柱面, 母线// y 轴 x ? 2 pz3. 平面平面方程的一般形式为：Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D为常数，且A,B,C不同时为零）x 例5. 做出下列平面的图形： ?zy ? z ? 1; y ? x ? 1zzx ? y ? z ?1o oyox yx ?1yxxy? x4.球面例 6 建立球心在点 M 0 ( x 0 , y0 , z 0 ) 、半径为 R 的球面方程. 解 设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点，根据题意有? x ? x0 ?2 ? ? y ? y0 ?2 ? ?z ? z0 ?2 ? R所求方程为| MM0 |? R? x ? x0 ?2 ? ? y ? y0 ?2 ? ?z ? z0 ?2 ? R2x 2 ? y 2 ? z 2 ? R2特殊地：球心在原点时方程为旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．小结空间直角坐标系 （轴、面、卦限）xoy平面方程：z=0; yoz平面：x=0; xoz平面：y=0?y ? 0 ?x ? 0 ?x ? 0 x轴方程: ? y轴方程: ? z轴方程: ? ?z ? 0 ?z ? 0 ?y ? 0空间两点间距离公式M1M 2 ?平面方程： 柱面方程： 球面方程：? x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2 ? ? z2 ? z1 ?2Ax+By+Cz+D=0 （一次方程） （二元二次方程）x2+y2=R2x 2 ? y 2 ? z 2 ? R 2 （三元二次方程） 2 2 2 ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? ?z ? z0 ? ? R28.2 多元函数的概念一、多元函数的概念（1）邻域? 设 P0 ( x 0 , y 0 ) 是xoy 平面上的一个点， 是某 ? 一正数，与点 P0 ( x 0 , y 0 ) 距离小于 的点P ( x , y ) 的全体，称为点P0 的? 邻域，记为U ( P0 , ? ) ，U ( P0 ,? ) ? ( x, y ) | ( x ? x0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 ? ? .圆 邻 域?????P0??P0方 邻 域（2）区域设 E 是平面上的一个点集， 是平面上的 P 一个点．如果存在点P 的某一邻域 U ( P ) ? E ， 则称 P 为 E 的内点.如果点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集.2 2 例如， E1 ? {( x , y ) 1 ? x ? y ? 4}即为开集．E?P如果点 P 的任一个邻域内既有属 于 E 的点， 也有不属于 E 的点（点 P 本身可以属于 E ，也 可以不属于 E ），则称 P 为 E 的边界点．E 的边界点的全体称为E 的边界．?P设 D 是开集．如果对于 D 内 任何两点，都可用折线 连结起来， 且该折线上的点都属于D ，则称 开集 D 是连通的．?E?连通的开集称为区域或开区域． 如y{( x, y ) | 1 ? x 2 ? y 2 ? 4}. {( x, y ) | 1 ? x ? y ? 4}.2 2oyx开区域连同它的边界一起称为闭区域.如如果一个区域总可以包含在一个以原 点为中心，以R（R为常数）为半径 的圆域内，则称此区域为有界区域， 否则称此区域为无界区域.{( x , y ) | x ? y ? ?1}oyx无界开区域．ox（3）二元函数的定义设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 变量 z 按照一定的法则总有确定的 P ( x, y) ? D， 值和它对应，则称 z 是变量 x, y 的二元函数，记为 z ? f ( x , y )（或记为 z ? f (P ) ）.类似地可定义三元及三元以上函数．n 当n ? 2 时， 元函数统称为多元函数.例如：以R为半径，以h为高的圆柱体体积V ? ?R 2 h就是一个二元函数，V 的取值决定于（R,h）在经济函数中，我们经常遇到齐次函数，其定义如下 设函数 z=f(x，y) 在区域 D 上有定义，且当( x, y ) ? D 时, 对 t ? R, 仍有(tx, ty ) ? D如果存在常数 k ,对于任意的 ( x , y ) ? D 恒有f ( tx , ty ) ? t k f ( x , y )则称函数 z=f(x，y) 为 k 次齐次函数.例1. 下列函数是否为齐次函数？xy 2 xy z? 3 ,z ? , z ? Ax? y ? x ? y3 xy ? x 2arcsin( 3 ? x ? y ) 例2 求 f ( x , y ) ? 的定义域． 2 x? y ? 3 ? x2 ? y2 ? 1 ? 解 ? ? x ? y2 ? 0 ?2 2?2 ? x 2 ? y 2 ? 4 ?? x ? y2 ?所求定义域为 D ? {( x, y ) | 2 ? x ? y ? 4, x ? y }.2 2 2二. 二元函数的几何意义通常，二元函数的图形是三维空间的一个曲面二元函数的图形通常是一张曲面.例如, z ? sin xy图形如右上图.例如, x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 右下图球面.zD ? {( x , y ) x 2 ? y 2 ? a 2 }.oy单值分支: z ? a 2 ? x 2 ? y 2z ? ? a2 ? x2 ? y2 .x三、二元函数的极限与连续定义 1 设函数 z ? f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 某邻域 有定义，如果对于任意给定的正数 ? ，总存在 正数? ，使得对于适合不等式 0 ? ? ? ( x ? x ) ? ( y ? y ) ? ? 的一切点，都有| f ( x , y ) ? A |? ? 成立，则称 A 为函数 z ? f ( x , y ) 当( x , y ) ? ( x0 , y0 )， 时的极 限， lim f ( x , y ) ? A 记为2 2 0 0x ? x0 y ? y0x ? x0 注意： 是指 ( x , y ) ? ( x0 , y0 ) （同时） y ? y0sin( x 2 y ) 例3 求极限 lim 2 . 2 x ?0 x ? y y?0解sin( x 2 y ) lim 2 x?0 x ? y 2 y?0sin( x 2 y) x 2 y ? lim ? 2 , 2 2 x ?0 x y x ?y y?0其中sin( x 2 y ) sin u 2 lim u ? x y lim 2 ? 1, x?0 u?0 u x y y?0sin( x 2 y ) x2 y 1 ? ? x ?x ?0? 0, ? lim x 2 ? y 2 ? 0. 2 2 ? x ?0 x ?y 2 y ?0x3 y 例5 证明 lim 6 不存在． x ?0 x ? y 2 y ?0证 取y ? kx3 ,x 3 ? kx 3 x3 y k ? lim 6 lim 6 , 2 6? 2 2 x ?0 x ? k x x ?0 x ? y 1? k 3 y?0y ? kx其值随k的不同而变化，故极限不存在． 确定极限不存在的方法：（1） 令( x , y ) 沿 y ? kx 趋向于( x 0 , y 0 ) ， 若极限值与k 有关，则可断言极限不存在；（2） 找两种不同趋近方式求出极限，只要两者不 相等，则 f ( x , y ) 在点( x 0 , y 0 ) 处极限不存在．二元函数的连续性定义：函数 z=f(x，y) 在点(x0，y0) 的某 邻域有定义， 如果x ? x0 y ? y0lim f ( x , y ) ? f ( x 0 , y0 )则称函数 z=f(x，y) 在点(x0，y0) 处连续.如果函数 z=f(x，y) 在平面区域D上每一点都连续，则称函数 z=f(x，y) 在平面区域D上连续. 二元初等函数：由二元多项式及基本初等函数经过 有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式 子所表示的二元函数叫二元初等函数 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的．8.3 偏导数一、偏导数的定义及其计算法 1.偏导数定义 定义 设函数 z ? f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义，当y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有 增量?x 时，相应地函数有增量 f ( x 0 ? ? x , y0 ) ? f ( x 0 , y0 ) ， f ( x 0 ? ? x , y0 ) ? f ( x 0 , y0 ) 如果 lim 存在，则称 ?x ? 0 ?x 此极限为函数 z ? f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对自变 量 x 的偏导数，记为?z ?f ， ，z ? x x ? x0 x ? x0 ?x y ? y ?x y ? y0 0x ? x0 y ? y0? 或 f x ( x0 , y0 ) .同理可定义函数 z ? f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数， 为f ( x 0 , y0 ? ? y ) ? f ( x 0 , y0 ) lim ?y ? 0 ?y ?z ?f ? 记为 ， ， z ?y x ? x 0 或 f y ( x 0 , y0 ) . y ? y0 ?y x ? x0 ?y x ? x0y ? y0 y ? y0请同学们比较： lim f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) ?x ? 0 ?xf ( x 0 ? ?x , y 0 ) ? f ( x 0 , y 0 ) ? lim ? f x ( x 0 , y0 ) ?x ? 0 ?x两者没有根本区别，对一个变量求导，只需将其 余变量看成常数，用一元函数的求导公式与法则.如果函数 z ? f ( x , y ) 在区域D 内任一点 ( x , y ) 处对x 的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是 x 、 y 的函数，它就称为函数 z ? f ( x , y ) 对自变量x 的偏导数，?z ?f ? 记作 ， ，z ?x 或 f x ( x , y ) . ?x ?x 同理可以定义函数 z ? f ( x , y ) 对自变量 y 的偏 ?z ?f ? 导数，记作 ， ，z ?y 或 f y ( x , y ) . ?y ?y注意：偏导数的记号，上边一撇，下面自变量例1.求 Z ? exy 2xy 2x 的偏导数 Z ? , Z ?y解： Z ? ? (e x)?x ? exy 2? ( xy )?x ? y e22 xy 2(外层函数导数)(内层函数求导)Z ?y ? (exy 2)?y ? exy 2? ( xy )?y ? 2 xye2xy 2例2. 求下列函数的偏导数(1) z ? x y( 2) f ( x , y ) ? 1 ? x 2 ? y 2解： (1) z ?x ? ( x y )?x ? yx y ? 1z ?y ? ( x y )?y ? x y ? ln x? ( 2) f x ( x , y ) ?(1 ? x 2 ? y 2 )?x 2 1? x ? y2 2?? 2x 2 1? x ? y2 22??2x 1 ? x2 ? y2 ?? y 1 ? x2 ? y22 1? x ?z 练习：求偏导数 ?x? f y ( x, y) ?(1 ? x ? y )?y2?y ?z , ?y2y z ? z ? x ln(1 ? xy ) xx ?z ?z 例 3 设 z ? arcsin ，求 ， . 2 2 ?x ?y x ?y解?z ? ?x1 x 1? 2 x ? y22? ? ? x ?? ? x2 ? y2 ? ? ? ?x?| y| 2 x2 ? y2 y2 ? 2 . ( y ?| y |) 2 ? 2 2 3 x ?y | y| (x ? y )?z ? ?y1 x 1? 2 x ? y22? ? ? x ?? ? x2 ? y2 ? ? ? ? ?yx2 ? y2 ( ? xy ) ? 2 2 3 | y| (x ? y )还要化简！！有关偏导数的几点说明：?u １、 偏导数 是一个整体记号，不能拆分; ?x２、 求分界点处的偏导数要用定义计算；例如, 设z ? f ( x, y ) ? ? ? xy , 求f x (0, 0), f y (0, 0).解f ( x ,0) ? f (0,0) ? f x (0,0) ? lim x?0 x?0 | x?0|?0 ?0 ? lim x ?0 x同理 ? f y (0,0) ? 0.2、偏导数的几何意义设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z ? f ( x, y ) 上一点,如图y0几何意义:偏导数 f x? ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 y ? y0 所 截得的曲线在点 M 0 处的切线 M 0Tx 对 x 轴的 斜率.偏导数 f y? ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 x ? x0 所截得的曲线在点 M 0 处的切线 M 0T y 对 y 轴的斜率.二、高阶偏导数函数 z ? f ( x , y ) 的二阶偏导数为? ? ?z ? ? 2 z ?? ? ? ? 2 ? f xx ( x, y), ?x ? ?x ? ?x? ? ?z ? ? 2 z ?? ? ? ? 2 ? f yy ( x, y) ?y ? ?y ? ?y? ? ?z ? ? 2 z ? ? ?z ? ? 2 z ?? ?? ? f yx ( x, y) ? f xy ( x, y), ? ?? ? ?? ?x ? ?y ? ?y?x ?y ? ?x ? ?x?y纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例4 求设 z ? x y ? 3 xy ? xy ? 1 ，3 2 3? z ? z ? z ? z 、 、 2 . 2、 ?x ?y?x ?x?y ?y22 22?z ?z 2 2 3 ? 3 x y ? 3 y ? y, ? 2 x 3 y ? 9 xy2 ? 解 ?y ?x? z 2 ? 6 xy , 2 ?x2? z ? 2 x 3 ? 18 ?y 22? z ? 6 x 2 y ? 9 y 2 ? 1, ?x?y2? 2z 2 2 ? 6 x y ? 9 y ? 1. ?y?x例5设 u ? e ax cos by ，求二阶偏导数.解?u ? aeax cos by, ?x?u ? ? ?y? 2u 2 ax ? ? b e cos by, 2 ?y ? u ? ? abeax sin by. ?y?x2? 2u ? a 2e ax cos by, ?x 2? u ? ? abeax sin by, ?x?y2? 2u ? 2u 例 6 验证 u( x , y ) ? ln x ? y 满足 ? 2 ? 0. 2 ?x ?y 解 ? ln x 2 ? y 2 ? 1 ln( x 2 ? y 2 ), 2 ?u x ?u y ? ? 2 , ? 2 , 2 ?x x ? y 2 ?y x ? y2 2? 2u ( x 2 ? y 2 ) ? x ? 2 x y2 ? x2 ? 2? ? 2 , 2 2 2 2 2 ?x (x ? y ) (x ? y ) ? 2u ( x 2 ? y 2 ) ? y ? 2 y x2 ? y2 ? ? 2 . 2 2 2 2 2 2 ?y (x ? y ) (x ? y ) ? 2u ? 2u y2 ? x2 x2 ? y2 ? 2? 2 ? 2 ? 2 2 2 ?x ?y ( x ? y ) ( x ? y 2 ) 2 ? 0.混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？ 定理 如果函数 z ? f ( x , y ) 的两个二阶混合偏导数 ? ? ? z?xy 及z ?yx 在区域 D 内连续，则在 D 内有 ?xy = z ?yx ． z?y 例7. 求 z ? arctan 的二阶混合偏导 x 1 y y x 解：z ? ? (? 2 ) ? ? 2 , z ?y ? 2 x y 2 x x ? y2 x ? y2 1 ? ( x)y2 ? x2 y ? ( x ? y ) ? y ? 2 y? ? z ?xy ? ( ? 2 )? ? 2 y 2 2 2 ( x 2 ? y 2 )2 x ?y (x ? y )2 2y2 ? x2 x ( x ? y ) ? x ? 2x ? ? z ?yx ? ( 2 )?x ? 2 2 2 2 ( x 2 ? y 2 )2 x ?y (x ? y )2 2三. 偏导数的经济意义―偏弹性 设市场上有A,B两种产品，其价格分别为p1和p2， 需求量分别为Q1,Q2.如果这两种产品是相互关联的， 则每一种产品的需求量不仅与自身价格有关，而且 受另一种产品的影响.于是Q1,Q2都是p1和p2的函数。 即：Q1 ? Q1 ( p1 , p2 ); Q2 ? Q2 ( p1 , p2 )表示Q1对自身价格p1的边际需求则 ?Q1 / ?p1?Q1 / ?p2 表示Q1对相关价格p2的边际需求 ?Q2 / ?p2 表示Q2对自身价格p2的边际需求 ?Q2 / ?p1 表示Q对相关价格p1的边际需求1. 直接价格偏弹性产品A的需求量Q1对自身价格p1的直接价格偏弹性为：p1 ?Q1 ? (ln Q1 ) E11 ? ? ? Q1 ?p1 ? (ln p1 )产品B的需求量Q2对自身价格p2的直接价格偏弹性为：E 22p2 ?Q2 ? (ln Q2 ) ? ? ? Q2 ?p2 ? (ln p2 )他们表示当相关价格不变时，自身价格变动1%， 需求量变化的百分比（若&0，表示增加，反之表 示减少）2. 交叉价格偏弹性产品A的需求量Q1对相关价格p2的交叉价格偏弹性为：E12p2 ?Q1 ? (ln Q1 ) ? ? ? Q1 ?p2 ? (ln p2 ) p1 ?Q2 ? (ln Q2 ) ? ? ? Q2 ?p1 ? (ln p1 )产品B的需求量Q2对相关价格p1的交叉价格偏弹性为：E 21他们表示当自身价格不变时，相关价格变动1%， 需求量变化的百分比（若&0，表示增加，反之表 示减少）当交叉偏弹性 E12&0时，表明A,B产品是相互竞争的；当交叉偏弹性 E12&0时，表明A,B产品是相互补充的。比如：肉和鱼属于相互竞争的商品；而汽车零部件与汽车就是互补性商品. 解决实际问题时，需要进行灵敏度分析时， 常借助于弹性或偏弹性.课前练习 Z=(x+ey)x ，求 Z’x|(1,0)（09研）首先将y=0代入函数得：Z=(1+x)x 由对数恒等式可得：Z=e xln(1+x) 于是，Z’x = e xln(1+x)[xln(1+x)]’x =(1+x)x [ln(1+x)+x/(1+x)] Z’x|(1,0)=2[ln2+1/2]=1+ln48.3 全微分一、全微分的定义 1. 二元函数的完全改变量（全增量）如果函数 z ? f ( x , y ) 在点( x , y ) 的某邻域内 有定义，并设( x ? ?x , y ? ?y ) 为这邻域内的任 意一点，则称这两点的函数值之差 为函数在点（x，y）对应于自变量增量?x , ?y 的全增量，记为 ?z ， 即 ?z = f ( x ? ? x , y ? ? y ) ? f ( x , y )f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y )如图所示：矩形的长和宽分 别取得改变量 ?x , ?y y 设原矩形的面积为S, 则 S=xy， 面积的增量为 发现改变量分为两部分：其一是: △x ,△y 的线性函数?y?S ? ( x ? ?x)( y ? ?y) ? xy ? y?x ? x?y ? ?x?yx?xy?x ? x?y的高阶无穷小y 面积增加的主要部分是： ?x ? x?y 记为 ds即面积的全微分:ds=其二是：? ? ( ?x )2 ? ( ?y )2y?x ? x?y全微分的定义如果函数z ? f ( x , y ) 在点( x , y ) 的全增量 ?z ? f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y ) 可以表示为 ?z ? A?x ? B?y ? o( ? ) ，其中A, B 不依赖于x, y 有关，? ? ( ?x )2 ? ( ?y )2 ， ?x , ?y 而仅与 则称函数z ? f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分， A?x ? B?y 称为函数z ? f ( x , y ) 在点( x , y ) 的 全微分，记为dz ，即 dz = A?x ? B?y .函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分.如果函数z ? f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分, 则 函数在该点连续.事实上 ?z ? A?x ? B?y ? o( ? ), lim ?z ? 0,? ?0?x ? 0 ?y ? 0lim f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? lim[ f ( x , y ) ? ?z ]? ?0? f ( x, y)故函数 z ? f ( x , y ) 在点( x , y ) 处连续.二、可微的条件定理 1（必要条件）　如果函数z ? f ( x , y ) 在点?z ( x , y ) 可微分，则该函数在点( x , y ) 的偏导数 、 ?x ?z 必存在，且函数 z ? f ( x , y ) 在点( x , y ) 的全微分 ?y?z ?z dz ? ?x ? ?y ． ?x ?y为证 如果函数 z ? f ( x , y ) 在点P ( x , y ) 可微分,P ?( x ? ?x , y ? ?y ) ? P 的某个邻域?z ? A?x ? B?y ? o( ? )总成立,当?y ? 0 时，上式仍成立，此时 ? ?| ?x | ,f ( x ? ?x , y ) ? f ( x , y ) ? A ? ?x ? o(| ?x |),f ( x ? ?x , y ) ? f ( x , y ) ?z lim ?A? , ?x ? 0 ?x ?x同理可得?z B? . ?y一元函数在某点的导数存在微分存在．多元函数的各偏导数存在全微分存在．? xy ? 2 x ? y2 例如， f ( x , y ) ? ? ?0 ?x2 ? y2 ? 0 . x ? y ?02 2在点( 0,0)处有f x? (0,0) ? f y?(0,0) ? 0但是在(0,0)处不可微！?z ? [ f x?(0,0) ? ?x ??x ? ?y f y?(0,0) ? ?y] ? ( ?x )2 ? ( ?y )2 ,如果考虑点 P1 (?x, ?y) 沿着直线 y ? x 趋近于( 0,0) ，则?x ? ?y 2 2 ( ?x ) ? ( ?y ) ??1 ?x ? ?x ? , 2 2 ( ?x ) ? ( ?x ) 2说明它不能随着? ? 0 而趋于 0, 当 ? ? 0 时，?z ? [ f x?(0,0) ? ?x ? f y?(0,0) ? ?y] ? o( ? )函数在点(0,0) 处不可微.说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，定理２（充分条件）　如果函数z ? f ( x , y ) 的偏?z ?z ( 导数 、 在点( x , y ) 连续，则该函数在点 x , y ) ?x ?y可微分．习惯上，记全微分为?z ?z dz ? dx ? dy. ?x ?y通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和称为二元函数的微分复合叠加原理． 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数?u ?u ?u du ? dx ? dy ? dz. ?x ?y ?z叠加原理也适用于二元以上函数的情况．例 1 计算函数z ? e xy 在点( 2,1) 处的全微分.解?z xy ? ye , ?x?z xy ? xe , ?y?z ?z 2 2 ?e , ? 2e , ?x ( 2 ,1 ) ?y ( 2,1)所求全微分 dz ? e 2dx ? 2e 2dy.? 例 2 求函数 z ? y cos( x ? 2 y ) ，当 x ? ，y ? ? ， 4dx ?解?4，dy ? ? 时的全微分.?z ? ? y sin( x ? 2 y ), ?x ?z ? cos( x ? 2 y ) ? 2 y sin( x ? 2 y ), ?y dz ( ? ,? ) ? 2 ?(4 ? 7 ?). 4 8y 例 3 计算函数u ? x ? sin ? e yz 的全微分. 2解?u ? 1, ?x?u 1 y yz ? cos ? ze , ?y 2 2?u yz ? ye , ?z所求全微分1 y du ? dx ? ( cos ? ze yz )dy ? ye yz dz. 2 2多元函数连续、可导、可微的关系 函数连续 函数可导函数可微 偏导数连续全微分在近似计算中的应用当二元函数 z ? f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的两 ? ? 个偏导数 f x ( x , y ), f y ( x , y ) 连续，且 ?x , ?y 都较小时，有近似等式? ? ?z ? dz ? f x ( x , y )?x ? f y ( x , y )?y .也可写成f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? ? ? f ( x , y ) ? f x ( x , y )?x ? f y ( x , y )?y .例5解计算(1.04 ) 2.02 的近似值.设函数 f ( x, y) ? x y .? ? f x ( x , y ) ? yx y ? 1 , f y ( x, y ) ? x y ln x,取 x ? 1, y ? 2, ?x ? 0.04, ?y ? 0.02.? ? ? f (1,2) ? 1, f x (1,2) ? 2, f y (1,2) ? 0,由公式? ? ?z ? f x ( x , y )?x ? f y ( x , y )?y .得 (1.04) 2.02 ? 1 ? 2 ? 0.04 ? 0 ? 0.02 ? 1.08.三、小结１、多元函数全微分的概念； ２、多元函数全微分的求法； ３、多元函数连续、可导、可微的关系．（注意：与一元函数有很大区别）练习题1.设 z?y ex?z ? ____________；dz ? ____________. ?y u ? ln( x 2 ? y 2 ? z 2 ),则 2.若 du ? ________________________?z ? _____________； ,则 ?x练习题答案y 1 1 y 1、 ? 2 dx ? dy )； x x x x 2( xdx ? ydy ? zdz) 2、 ； 2 2 2 x ? y ?zy ex,y e x ,?y ex(8.5 多元复合函数微分法与隐函数微分法一、复合函数求导法如果 u ? u( x , y )及 v ? v ( x , y ) 都在点( x , y ) 具有对 x和 y 的偏导数，且函数 z ? f ( u, v ) 在对应 点( u, v )具有连续偏导数，则复合函数z ? f [u( x , y ), v ( x , y )]在对应点( x , y ) 的两个偏导数存在，且可用下列公式计算?z ?z ?u ?z ? v ?z ?z ?u ?z ?v ? ? ? ? ， . ?y ?u ?y ?v ?y ?x ?u ?x ?v ?x链式法则如图所示uzxyv?z ? z ? u ? z ?v ?z ? z ? u ? z ? v ? ? ? ? ? ? , ? ? . ?x ? u ? x ? v ? x ? y ? u ? y ? v ? y1)从z到x有几条路，导数公式中就有几项； 2)每条路有几个中间变量，就有几个乘号. 只要有函数的复合关系，就能写出导数公式例1. 如图所示，写出z对t的导数公式z解：dz ?z du ?z dv ?z dw ? ? ? dt ?u dt ?v dt ?w dtu v wtdz 以上公式中的导数 称为全导数. dt例2. 如图所示，写出z对x, y的导数公式 x ?z dz ?u ?z dz ?u z u ? ? ? ? y ?x du ?x ?y du ?y?z ?f 务必清楚： ?x 与 ?x 的区别 例如： z ? u ? x 2 ? y , u ? sin( xy )例3. 根据下图写出导数公式： x dz ?z ?z dy z ? ? ? y x dx ?x ?y dx ?z ?f ?u ?f u x ? ? ? z x y ?x ?u ?x ?xyz ?x 是将y当常数对x求导 z ? sin( xy ) ? x 2 ??f 是将y，u当常数对x求导 z ? u ? x 2 ? ?xy y例 4 设 z ? e sin v ，而 u ? xy ，v ? x ? y ，u?z ?z 求 和 . ?x ?y解u?z ? z ? u ? z ? v ? ? ? ? ?x ? u ? x ? v ? xu? e sin v ? y ? e cos v ? 1? e ( y sin( x ? y) ? cos( x ? y)),xy?z ? z ? u ? z ? v ? ? ? ? ?y ? u ? y ? v ? y? e sin v ? x ? e cos v ? 1 ? exy ( x sin( x ? y) ? cos( x ? y)),u u例 5 设 z ? uv ? sin t ，而u ? e t ，v ? cos t ，dz 求全导数 . dt解dz ?z du ?z dv ?z ? ? ? ? ? dt ?u dt ?v dt ?t? ve ? u sin t ? cos tt? e cos t ? e sin t ? cos tt t? e t (cos t ? sin t ) ? cos t .含有抽象函数的偏导数计算例6 设 w ? f ( x ? y ? z , xyz ) ， f 可微?w ? w 求 和 . ?x ? z解 令 u ? x ? y ? z,v ??w ?f ?u ?f ?v ? f1? ? yzf 2?; ? ? ? ? ?x ?u ?x ?v ?x?w ?f ?u ?f ?v ? f1? ? xyf 2? ? ? ? ? ?z ?u ?z ?v ?zf1? , f 2? 分别表示f对第一个变元、第二个变元的偏导例7.设f(u)具有二阶连续偏导，且g(x,y)=f(y/x)+yf(x/y)求 解?2 g x ?x 22y y x 1 x y y g ? ? f ?( ) ? (? 2 ) ? yf ?( ) ? ? f ?( ) ? 2 f ?( ) x x y y y x x xx 1 2y x y y y ?? ? f ??( ) ? ? 3 f ?( ) ? 2 f ??( ) ? (? 2 ) g xx y y x y x x xx 1 2y x y2 y ??( ) ? ? 3 f ?( ) ? 4 f ??( ) ? f y y x y x x?2 g x2 x 2y x y2 y 2 x ? f ??( ) ? f ?( ) ? 2 f ??( ) ?x 2 y y x y x x?2g ?2g x2 2 ? y2 2 2005考研题目求 ?x ?y设有平面方程： x+y+z=1，我们可以得到 z=1-x-yx=1-y-zy=1-x-z 对于三元方程 F(x,y,z)=0,可以得到不同的显函 数表达式. 因此，我们称由方程F(x,y,z)=0确定了一个隐函数！ 其中x,y,z都可以是因变量.二、隐函数求导法 设z=z(x,y)是由方程F(x,y,z)=0确定的隐函数，故有 F(x,y,z(x,y))=0方程两边分别对x,y求导，由复合函数求导法则，可得 ?z F x? ? Fz? ? ?0 ?x ?z F y? ? Fz? ? ?0 ?y 当F’z不等于零时，由上式可得Fy? Fx? ?z ?z ?? , ?? ?x Fz? ?y Fz?例8 设z=f(x,y)由sinz=xyz确定，求z? , z?y x解 令F(x,y,z)=sinz-xyz， 计算三元函数F的三个偏导数? ? Fx ? ? yz , Fy ? ? xz , Fz? ? cos z ? xy于是 例9Fy? Fx? ?z yz ?z xz ?? ? , ?? ? ?x Fz? cos z ? xy ?y Fz? cos z ? xy= 设z=f(x,y)由yz3-x2z-x=0确定，求?z | (1, 0 ) ?x解法一：令F(x,y,z)=yz3-x2z-x，计算三元函数F的两个 偏导数 2 2 ? ? 于是 ?z ? ? Fx? ? 2 xz ? 1 又x ? 1, y ? 0 ? z ? ?1 2 2?x Fz? 3 yz ? xFx ? ?2 xz ? 1 , Fz ? 3 yz ? x所以2 xz ? 1 ?z ? | (1, 0 ) 3 yz 2 ? x 2 ?xx ?1 y?0 z ??1?1解法二：将y=0代入原方程得到于是?z 1 ?z 1 ? 2 ? | (1,0 ) ? 2 | x ?1 ? 1 ?x x ?x x1 ? x z? x ?0? z ? ? x2例10 设x+y+z=ln(xyz) ，求dzdx dy dz ? ? 解 方程两边求微分得 dx ? dy ? dz ? x y z 移项得 (1 ? 1 )dz ? ( 1 ? 1)dx ? ( 1 ? 1)dy z x y (1 ? x ) z (1 ? y ) z ? dz ? dx ? dy ( z ? 1) x ( z ? 1) x三、二元幂指函数偏导数 形如：z=f(x,y)g(x,y) 的函数称为二元幂指函数，二元 幂指函数偏导数的计算方法如下： 1. 取自然对数，化为隐函数再求导； 2. 利用对数恒等式，化为以e为底的复合函数； 3. 引入中间变量，用多元复合函数求导公式例11. 已知 z=(x-y)(xy)，计算Z’x，Z’y 解：两边取自然对数得 lnz=xyln(x-y) 令F(x,y,z)=lnz-xyln(x-y)，F’x=-y(ln(x-y)+x/(x-y)) F’y= =-x(ln(x-y)-x/(x-y))，F’z=1/z，代入公式得 ?z x ?z x =yz(ln(x-y)+ ) , ? xz(ln(x-y)) ?x x-y ?y x-y由对数恒等式：z=exyln(x-y)，于是Z? ? e xxy ln( x ? y ) xy ln( x ? y )[]?xxy ? ( x ? y ) [ y ln( x ? y ) ? ] x-yxyZ? ? e yxy ln( x ? y ) xy ln( x ? y )[]?yxy ? ( x ? y ) [ x ln( x ? y ) ? ] x-yxy解法三 令u=x-y, v=xy，于是 z=uv，?z ?z ?u ?z ?v v ?1 v ? ? ? vu .1 ? u ln u. y ?x ?u ?x ?v ?x xy xy ? ( x ? y ) [ y ln( x ? y ) ? ] x-y?z ?z ?u ?z ?v ? ? ? vuv ? 1 .(?1) ? uv ln u. x ?y ?u ?y ?v ?yxy ? ( x ? y ) [ x ln( x ? y ) ? ] x-yxy例12. z=z(x,y)是由x2+y2-z=?(x+y+z)确定的隐函数， ?具有二阶偏导数且?’? -1时 (1) 求dz，(2) 记u(x, y) ?1 x- y( - )?z ?x?z ?y?u 求 ?x解：方程 x2+y2-z=?(x+y+z)两边求微分，得 2xdx+2ydy-dz= ?’(x+y+z).(dx+dy+dz) 移项得： (?’+1)dz=(2x- ?’)dx+ (2y- ?’)dy(2 x - ? ?)dx ? (2 y - ? ? )dy 故 dz ? ?? ?1因为u(x, y) ?1 x- y( - )?z ?x?z ?y?z 2 x ? ? ? ?z 2 y ? ? ? ? , ? 将 代入上式化简，得 ? ? 1 ?y ? ?1 ?x ? ?2 u (x, y )= ? ?+1 ?u -2? ??(1+z? ) x = ?x (? ?+1)2 2x ?? ? -2? ??.(1+ 1+? ? ) 2(1+2x)? ?? ? ?? 2 ?+1) ?+1)3 (? (?例13 f(u,v)具有二阶连续偏导，Z=f(x,xy),则?2Z ? ________ ?x?yZ’x=f’1+yf’2 Z”xy=(f’1+yf’2)’y =xf”12+f’2+xyf”228.6 多元函数的极值与最值一、二元函数的极值与最值 1、二元函数极值的定义 设函数 z ? f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域 内有定义，对于该邻域内异于( x0 , y0 ) 的点 ( x , y )：若满足不等式 f ( x, y ) ? f ( x0 , y0 ) ，则 称( x0 , y0 ) 是 f(x,y) 极大值点； ( x0 , y0 ) 是函数 f f(x,y)的一个极大值；若满足不等式 f ( x, y ) ? f ( x0 , y0 )，则称( x0 , y0 ) 是 f(x,y) 极 小值点；f ( x0 , y0 ) 是函数 f(x,y)的一个极小值 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点. 极值是 1、局部概念 2、内部概念例1 函数 z ? 3 x 2 ? 4 y 2在 (0,0) 处有极小值．例２函数 z ? 1 ?x2 ? y2(1)(2)在(0,0)处有极大值1例３ 函数 z ? xy 在 (0,0) 处无极值．(3)2、多元函数取得极值的条件定理 1（必要条件） 设函数 z ? f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处有极值，且两个 一阶偏导数存在，则在点 ( x0 , y0 ) 处的一阶偏导数 必然为零：.即? f x? ( x0 , y0 ) ? 0 ? ? ? f y ( x 0 , y0 ) ? 0我们称(x0,y0)为函数 z=f(x,y) 的驻点多元函数的极值点一定存在于函数的驻点， 或偏导数不存在的点（不可导点）.但是一个函 数的驻点与不可导点未必就是极值点！ 例如:点(0,0)是z=xy的驻点，但不是极值点. 再如 z ? x 2 ? y 2但z? ? x x x2 ? y2( 0,0 )z( 0,0 )? 0 是极小值和 z?y ?y x2 ? y2( 0,0 )不存在问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 极值点的判别：极值存在的充分条件定理 2（充分条件） 设函数 z ? f ( x , y )在驻点( x0 , y0 ) 处， 有连续的二 阶偏导数，记 ?? ?? ?? f xx ( x0 , y0 ) ? A f xy ( x0 , y0 ) ? B f yy ( x0 , y0 ) ? C则（1） B ? AC ? 0 时 f ( x0 , y0 ) 是极值，且2A ? 0 时是极大值， A ? 0 时是极小值；（2） B ? AC ? 0 时 f ( x0 , y0 ) 不是极值；2（3） B ? AC ? 0 时 f ( x0 , y0 ) 可能是极值,也2可能不是极值，需另作讨论．f ( x, y ) ? x 3 ? y 3 ? 3 x 2 ? 3 y 2 ? 9 x 的 例4求 极值 ? fx ? 3x2 ? 6x ? 9 ? 0 x ? 1, x ? ?3 ? ? 解：由 ? f ? ? ?3 y 2 ? 6 y ? 0 可求得： ? y y ? 0, y ? 2 ?故驻点为：(1,0), (1,2), (?3,0), (?3,2),?? ?? f xy ? 0, f yy ? ?6 y ? 6B2 ? AC ? ?72 ? 0 A ? 0?? f xx ? 6 x ? 6,在(1,0)点? (1,0)是极小值点极小值? f (1,0) ? ?5 ,在(1,2)点 在(?3,0)点B 2 ? AC ? 72 ? 0 B 2 ? AC ? 72 ? 0(1,2) 不是极值点 (-3,0) 不是极值点A? 0在(?3,2)点 B2 ? AC ? ?72 ? 0? (?3,2)是极大值点极大值? f (?3,2) ? 31 ,例5. z=f(x,y) 的全微分（09研）dz ? xdx ? ydy, 则点(0,0)A. 不是连续点 C. 是极大值点 又 B. 不是极值点 D. 是极小值点解：dZ=xdx+ydy ? Z’x=x，Z’y=y ?(0,0)是驻点. Z”xx=1，Z”yy=1，Z”xy=0 故 B2-AC=0-1= -1&0, A=1&0，应选D例6. 求f(x,y)=x2(2+y2)+ylny 的极值(09研) 解：函数的定义域为{(x,y)|x?R,y&0} ? f x? ? 2 x(2 ? y 2 ) ? 0 由 ? 得驻点(0,1/e) ? f y? ? 2 x 2 y ? 1 ? ln y ? 0 ? ? 又 f”xx=2(2+y2), f”xy=4xy, f”yy=2x2+1/y 即A=2(2+1/e2),B=0,C=e. B2-AC&0, A&0，故知(0,1/e)为极小值点 所求的极小值为f(0,1/e)= -1/e3、多元函数的最值设函数 z ? f ( x , y )在区域 D 上连续，点 ( x0 , y0 ) ? D ，若对 ?( x , y ) ? D ，恒有 f ( x, y) ? f ( x0 , y0 ) 称 ( x0 , y0 )是 f(x,y) 的最小值点； ( x0 , y0 )是 f 函数 f(x,y)的最小值； 若对 ?( x , y ) ? D ，恒有 f ( x, y) ? f ( x0 , y0 ) 则称 ( x0 , y0 )是 f(x,y) 最大值点； ( x0 , y0 )是 f 函数 f(x,y)的最大值函数的最值是函数在某区域上的最大值、最小值， 因此是函数有关全局的概念求最值的一般方法：将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最 大者即为最大值，最小者即为最小值.例5 求二元函数 f ( x, y) ? x2 y(4 ? x ? y) 在直线 x ? y ? 6， x轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的最大值与最小值.解 先求函数在D 内的驻点，? ( x , y ) ? 2 xy (4 ? x ? y ) ? x 2 y ? 0 ? fx ? f y? ( x , y ) ? x 2 (4 ? x ? y ) ? x 2 y ? 0 ? 得区域D 内唯一驻点( 2,1) , 且 f ( 2,1) ? 4 ,得区域D 内唯一驻点( 2,1) ,且 f ( 2,1) ? 4 ,D 再求 f ( x , y ) 在 边界上的最值，如图,y在边界 x ? 0 和 y ? 0 上 f ( x , y ) ? 0 ,在边界 x ? y ? 6 上，即 y ? 6 ? xx? y?6Do于是 f ( x, y ) ? x (6 ? x )(?2) ,2xf x? ? 4 x( x ? 6) ? 2 x 2 ? 0, 由f (4,2) ? ?64,得 x1 ? 0, x2 ? 4 ? y ? 6 ? x | x ?4 ? 2,故知 f(2,1)=4为最大值，f(4,2)=-64为最小值注意：1、若 ( x0 , y0 ) 是 f ( x , y ) 在区域D上的唯一极值点，该唯一极值点不一定是 f ( x , y )的最值点 注意：2、在实际问题中，若问题本身存在最大 （小）值，则此时唯一的极值就是所求的最值最值的应用：例1:某厂生产的产品在两个市场上销售,价格分别 为 p1, p2 ,销量分别为 q1 , q2 ,且 q1 ? 24 ? 0.2 p1 ,q2 ? 10 ? 0.05 p2 总成本函数 C (q1 , q2 ) ? 40(q1 ? q2 ) ? 35则如何确定两个市场的售价,可使总利润最大? 解:由题意知利润 L ? R ? C ? p1q1 ? p2q2 ? C (q1 , q2 ) ? p1 (24 ? 0.2 p1 ) ? p2 (10 ? 0.05 p2 )? 40(24 ? 0.2 p1 ? 10 ? 0.05 p2 ) ? 35 2 2 ? ?0.2 p1 ? 0.05 p2 ? 32 p1 ? 12 p2 ? 1395? ?L ? ?p ? ?0.4 p1 ? 32 ? 0 令: ? 1 ? ?L ? ? ?0.1 p2 ? 12 ? 0 ? ?p1 ?? p1 ? 80 ?? ? p2 ? 120唯一驻点?2L ?2L ?2L ? ?0.4 ? 0, ? 0, 2 ? ?0.1 2 ?p1 ?p1?p2 ?p2B 2 ? AC ? ?0.04 ? 0此时 要判 断? (80,120)是极大值点 , 也是实际问题的最大值 点例2:欲建一个容积为108立方米的长方体无盖水池, 问如何设计尺寸,可使用料最省? 即表面积最小解:设水池长、宽、高各为 x、y、z 米 则其表面积 S= x y + 2( x z + y z )108 ? x y z ? 108 ? z ? xy108 1 1 ? S ? x y ? 2( x ? y ) ? x y ? 216( ? ) x ? 0, y ? 0 xy x y 216 ? ? 令: ?S x ? y ? x 2 ? 0 ? ? x? y?6 ? ? S ? ? x ? 216 ? 0 ? y y2 ? 由问题的实际意义知：最小表面积存在， 故 x＝y＝6 就是实际问题的最小值点二、条件极值拉格朗日乘数法实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两 种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他 购买 x 张磁盘，y盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为 U ( x , y ) ? ln x ? ln y．设每张磁 盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200 元以达到最佳效果．问题的实质：求 U ( x , y ) ? ln x ? ln y 在条 件 8 x ? 10 y ? 200下的极值点．若 Z ? f ( x , y ) 的极值问题―――称为无条件极值 若 Z ? f ( x, y) ，且 x, y 满足 ? ( x, y) ? 0的极值问题―――称为条件极值一般： Z ? f ( x , y ) ――目标函数 ? ( x, y ) ? 0 ――约束条件条件极值：对自变量有附加条件的极值．条件极值的解法： 1、若能从约束条件中解出 x 或 y 代入目标函数 中，此时条件极值就可以转化为无条件极值。 2、有时解不出x或y，或约束条件中自变量 个数较多时，一般用拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法方法： 1、 构造拉格朗日函数目标函数（其中? 为某一常数） 约束条件 2、求偏导并令其为零 ? Fx? ? f x? ( x , y ) ? ?? ? ( x , y ) ? 0, x ? ? F y? ? f y? ( x , y ) ? ?? ? ( x , y ) ? 0, 拉格朗日乘数 y ? F?? ? ? ( x , y ) ? 0. ? 3、解出 x, y 其中 x, y 就是可能的极值点的坐标. 4、通常可由实际问题得出肯定的结论。F ( x , y ) ? f ( x , y ) ? ?? ( x , y ) ，例3：为销售某种产品，需作两种形式的广告 ，当两种广告费分别为 x1,x2（单位：万元）时 50x1 25x2 ， y? ? 销售收入增加为5 ? x1 10 ? x2（万元），若以25万元作为广告费，则如何分配可使收入增 解：设拉格朗日函数 加最大？ 50x1 25x2 F ( x1 , x2 , ? ) ? ? ? ? ( x1 ? x2 ? 25) 5 ? x1 10 ? x2 250 ? ? ? ? Fx (5 ? x )2 ? ? ? 0 1 令： ? ? x1 ? 15 250 ? ?? ?? ?0 ? Fx? ? 2 x ? 101(10 ? x2 ) ? ? F?? ? x1 ? x2 ? 25 ? 0 ? ?2?2由实际意义知：增加收入的最大值存在，故x1 ? 15, x2 ? 10 即为所求的最大值点。目标函数在二元以上，约束条件为多个时的 拉格朗日乘数法目标函数 u ? f ( x , y , z , t ) ， 约束条件 ? ( x , y , z , t ) ? 0，? ( x, y, z, t ) ? 0?1? ( x, y, z, t ) ? ?2? ( x, y, z, t ) 由偏导数为零及条件解出 x, y, z, t 即得极值点的坐标.则拉格朗日函数 F ( x, y, z, t , ?1 , ?2 ) ? f ( x, y, z, t ) ?最小二乘法简介在经济分析与经济预测中，常常需要根据 几组实验数值――实验数据，来找出这两个变 量的函数关系的近似表达式．通常把这样得到 的函数的近似表达式叫做经验公式. 问题：如何得到经验公式，常用的方法是什么？最小二乘法也！我们只考察经验公式是一次函数的类型例1 为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的实 验：经过一定时间(如每隔一小时)，测量一次刀 具的厚度,得到一组试验数据如下：顺序编号 i 时间 t i (小时) 刀具厚度 y i (毫 米) 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.3试根据上面的试验数据建立y 和 t 之间的经验公 式 y ? f (t ) .解y 在坐标纸上画出这些点，（称为“散点图”）观察可以认 为 y ? f (t ) 是线性函数, 并设 f ( t ) ? at ? b, 其中2726 2524a 和b 是待定常数.o1 2 3 4 5 6 7 8因为这些点本来不在一条直线上，我们只 能要求选取这样的 a, b ，使得 f ( t ) ? at ? b 在 t0 , t1 ,?, t7 处的函数值与实验数据 y0 , y1 ?, y7 相 差都很小．t即使点线间的距离yi ? f ( t i )7(i ? 0,1,2,?,7)2都很小.因此可以考虑选取常数 a, b ，使得M ? ? ? yi ? (ati ? b)?i ?0最小定义 这种根据偏差的平方和为最小的条件来选 择常数 a, b 的方法叫做最小二乘法． 这种确定常数的方法是通常所采用的. 把 M 看成自变量 a 和 b 的一个二元函数， 那么问题就可归结为求函数 M ? M (a , b) 在那 些点处取得最小值.令7 ? ?M ? ?a ? ?2? ? yi ? ( ati ? b )?t i ? 0, ? i ?0 ? 7 ?M ? ? ?2? ? yi ? ( ati ? b )? ? 0; ? ?b ? i ?0即? ? y ? ( at ? b )?t ? 0, i i ?? i i ?0 ? 7 ? ? ? yi ? ( at i ? b )? ? 0. ? i ?07将括号内各项进行整理合并，并把未知数 a 和 b 分离出来，便得?a t 2 ? b t ? y t , ?i ? ii ? ? i i ?0 i ?0 i ?0 ? 7 7 ? a ? t i ? 8b ? ? y i . ? i ?0 i ?07 7 7(1)计算得?ti ?0 7 i ?07i? 28, ? 208.5,?ti ?0 7 i ?072 i? 140, ? 717.0?yi?yti i代入方程组（1）得 ?140a ? 28b ? 717 ,? ? 28a ? 8b ? 208.5.解此方程组，得到 a ? ?0.3036, b ? 27.125. 这样便得到所求经验公式为y ? f ( t ) ? ?0.3036 t ? 27.125.( 2)由（2）式算出的函数值 f ( t i ) 与实测 yi 的有 一定的偏差.现列表比较如下： 0 1 2 3 4 5 6 ti实测27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.37 24.3yi算得27.125 26.821 26.518 26.214 25.911 25.607 25.303 25.000f (ti )偏差-0.125 -0.021 -0.018 -0.086 0.189 0.093 -0.003 -0.200偏差的平方和 M ? 0.108165 ， 它的平方根 M ? 0.329 ． 我们把 M 称为均方误差，它的大小在一定 程度上反映了用经验公式来近似表达原来函数关 系的近似程度的好坏．一般：有n 对实验数据 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),?, ( xn , yn ), 设经验公式为 y = a x + b 则a,b满足公式n n ? n 2 ?( ? x i ) a ? ( ? x i )b ? ? yi x i , ? i ?1 i ?1 i ?1 ? n n ?( x ) a ? nb ? ? i ? yi ? i ?1 i ?1 ?解出 a, b 即可以得到经验公式补充：根据表中的数据，用最小二乘法建立 y 与 x 之间的线性经验公式: x y 10 20 30 40 40 0 50 -60 60 -100150 1008.7二重积分的概念与性质一、问题的提出 １．曲顶柱体的体积柱体体积=底面积× 高 特点：平顶.z ? f ( x, y)曲顶柱体体积=？ 特点：曲顶.D步骤如下：体积为 f (? i ,?i ) ? ?? iz ? f ( x, y )先分割曲顶柱体的底，z 并取典型小区域， 用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲oDn?y(? i ,?i )顶柱体的体积，x曲顶柱体的体积 V ? lim ? f (? i ,?i )?? i . ? ?0i ?1?? i二、二重积分的概念定义 设 f ( x , y )是有界闭区域 D 上的有界函数， 将 闭 区 域 D 任 意 分 成 n 个 小 闭 区 域 ?? 1 ，?? 2 , ?， ?? n ，其中 ?? i 表示第 i 个小闭区域，也表示它的面积， 在每个 ?? i 上任取一点(? i ,?i ) ， 作乘积 并作和f (? i ,?i ) ?? i ，( i ? 1,2,?, n) ，? f (? i ,? i )?? i ，i ?1n如果当各小闭区域的直径中的最大值 ? 趋近于零 时， 这和式的极限存在， 则称此极限为函数 f ( x , y ) 在闭区域 D 上的二重积分， 记为 ?? f ( x , y )d? ，D即 ?? f ( x , y )d? ? lim ? f (? i ,? i )?? i .Dn? ? 0 i ?1积 分 区 域被 积 函 数积 分 变 量被面 积积 积 表元 分 达素 和 式对二重积分定义的说明：(1) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分 以及点的取法是任意的。故如可积就采用特 殊的分割方法。二重积分是一个与区域D、函数 f（x，y）有关 的常 数 例 1 设 F ( x, y ) ? x y ? ??2 D?F f ( x, y )d? 则 ? ____ ?x(2)当 f ( x , y ) 在闭区域上连续时，定义中和式 的极限必存在，即二重积分必存在.二重积分定义与定积分定义的相同之处与 不同之处.定积分与二重积分都表示某个和式的极限 值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不 同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为 定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分 区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域 上的二元函数．二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体的体积． 当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的负值. 二重积分 ?? f ( x , y )d? 的几何意义是:D以 z=f(x,y) 为曲顶,以D为底的曲顶柱体体积 的代数和 ；在xy平面上方的取加号，在xy平面下方的取减号，三、二重积分的性质（二重积分与定积分有类似的性质）性质１,常数因子可提到积分符号外.即 当k为常数时， ?? kf ( x , y )d? ?k ?? f ( x , y )d? .D D性质２,函数代数和的积分等于积分的代数和?? [ f ( x, y ) ? g( x, y )]d?D? ?? f ( x , y )d? ? ?? g ( x , y )d? .D D性质３ 积分区域具有可加性 ( D ? D1 ? D2 )?? f ( x, y )d? ? ?? f ( x, y )d? ? ?? f ( x, y )d? .D D1 D2? 性质４ 若 ? 为D的面积， ? ?? 1 ? d? ? ?? d? .D D性质５ 单调性 则有 特殊地若在D上 f ( x , y ) ? g( x , y ),?? f ( x , y )d? ? ?? g( x , y )d? .D D?? f ( x, y )d? ? ?? f ( x, y ) d? .D D性质６ 设M 、 分别是 f ( x , y ) 在闭区域 D 上的 m 最大值和最小值，? 为 D 的面积，则m ? ? ?? f ( x , y )d? ? M?D（二重积分估值不等式） 性质７ 设函数 f ( x , y ) 在闭区域 D 上连续，? 为 D 的面积，则在 D 上至少存在一点(? ,? )使得?? f ( x , y )d? ? Df ( ? , ?) ? ?（二重积分中值定理）例 1 不作计算，估计 I ? ?? eD( x2 ? y2 )d? 的值，(0 ? b ? a ) .x2 y2 其中D 是椭圆闭区域： 2 ? 2 ? 1 a b解? 区域 D 的面积 ? ab? ,在D 上?0 ? x2 ? y2 ? a2 ,?1 ? e ? e0x2 ? y2?e ,a2由性质 6 知?? d? ? ?? eD D( x2 ? y2 )d? ? ?? e d? ,a2 Dab? ? ?? eD( x 2 ? y2 )d? ? ab?e .a2例2.若 f ( x, y ) ? a ? ?? f ( x, y )d? 其中D由坐标轴与D直线 x ? y ? 2 解:令D围成,则?? f ( x , y )d?D?? f ( x, y)d? ? ______D? k 则已知化为Df ( x, y ) ? a ? k积分得:?? f ( x, y )d? ? ?? (a ? k )d?D即 k ? (a ? k )?? d? 2 D 21 2 ? k ? (a ? k ) ? ? 4 解之 k ? a 2 3 2 ? ?? f ( x, y )d? ? a 3 D这是常见题型,一般思路:1)假设 2)循环利用假设8.8二重积分的计算一、利用直角坐标系计算二重积分1、平面区域的不等式组表示 X型区域： 穿过区域且平行于y轴的直线与区 域边界相交不多于两个交点. D内任意一点 y ? ? ( x) （x,y）满足： y ? ? ( x)22Dy ? ?1 ( x )abDy ? ?1 ( x )aba ? x ? b,? 1 ( x ) ? y ? ? 2 ( x ).其中函数? 1 ( x ) 、 2 ( x ) 在区间 [a , b] 上连续. ?Y型区域：穿过区域且平行于x轴的直线与区 域边界相交不多于两个交点.ddx ? ?1 ( y )Dx ? ?2 ( y )x ? ?1 ( y )Dccx ? ?2 ( y )D内任意一点（x,y）满足：其中函数c ? y ? d,?1( y )、 2 ( y) ?? 1 ( y ) ? x ? ? 2 ( y ).在区间 [c,d] 上连续.例1:把下列各组曲线围成的区域D用不等式组表示 2 x? y ? 2 x?0 1、 y ? xyD: Dy 1 x0? x?1 x2 ? y ? 2 ? yy 2、 ? x2y ? 2x ? x21D: 0 ? x ? 1x2 ? y ? x ? x21 x1? 用不等式组表示平面区域 X??型区域??a ? x ? b ? ? y1 ( x) ? y ? y 2 ( x)Y ??型区域??c ? y ? d ? ? x1 ( y) ? x ? x 2 ( y)切记：x ? a, x ? b, y ? y1 ( x), y ? y2 ( x) y ? c, y ? d , x ? x1 ( y), x ? x2 ( y)都是边界方程X型区域的特点： 任意用一条垂直于x轴的直线，自 下而上地穿过区域，进入时始终只与同一条曲线(下 方边界)至多只有一个交点；离开时始终只与另一条 曲线(上方边界)至多只有一个交点.yD0aby ? y2 ( x ) 区域D由四条边界所围成 (左) x ? a, (右) x ? y ? y1 ( x ) （下）y ? y1 ( x), y ? y2 ( x（上） ) xY型区域的特点：任意用一条垂直于y轴的直线，从左 往右地穿过区域，进入时始终只与同一条曲线(左方 边界)至多只有一个交点；离开时始终只与另一条曲 线(右方边界)至多只有一个交点.ydD区域D由四条边界所围成x ? x2 ( y )c x ? x1 ( y ) 0x下 : y ?上 : y ? d x ? x1 ( y ); x ? x2 ( y )x----型x―型，y ---型即非 X 也非 Y 型例1 将下列区域表示为X型或Y型区域 (1) x ? y ? 0, y ? 2 x, x ? 1, x ? 2围成 (2) y ? x2 , y ? 1 ? x2围成 解 (1) 如图所示，这是X型区域?1 ? x ? 2 D?? ?? x ? y ? 2 x(2) 如图所示，这是X型区域?? 1 ? x ? 1 D?? 2 2 ?x ? y ? 1? x例2 将下列区域表示为X型或Y型区域(1) x ? y ? 1, y ? x ? 1, y ? 0 (2) y ? x ? 4, y 2 ? 2x围成解 (1) 如图所示，这是Y型区域围成?0 ? y ? 1 D?? ? y ?1 ? x ? 1? y(2) 如图所示，这是Y型区域?? 2 ? y ? 4 D?? 2 ?y /2 ? x ? 4? y从例1和例2可以看出，若区域是型则表示为型比较 简单，若区域是型则表示为型区域简单.有些区域可能既不是X型区域也不是Y型区域，这 时需要先分割区域，然后分别表示 ，例如左图上下为两个Y型区域，右图左右为两个Y型区域对于给定的平面区域，既要能表示为x型，也要 会表示为Y型，这是二重积分的基础.因为二重积分 要表示为两个定积分，其上下限就是区域的边界.2. 化二重积分为累次积分?a ? x ? b 如果区域D为 ：X??型区域 D : ? ? y1 ( x) ? y ? y2 ( x)则?? f ( x, y )d? ? ? ( ?a D b y2 ( x ) y1 ( x )f ( x, y )dy )dxf ( x, y)dy?c ? y ? d ? ? x1 ( y) ? x ? x 2 ( y)? ? dx?aby2 ( x )y1 ( x )如果区域D为 ：Y??型区域则?? f ( x, y )d? ? ? ( ?c D d x2 ( y ) x1 ( y )f ( x, y )dx)dyf ( x, y)dx? ? dy?cdx2 ( y )x1 ( y )最后积分区间是常数，这样才能保证结果是常数.例3化二重积分 ?? Df ( x , y )d?为两种次序的积分.其中 D 由 x=0, y=0, y =1- x 围成。解：积分区域如图y ? 1? x0 ? y ? 1? x 将D表示为X-型区域: 0? x?1 1 1? x原积分 ? ?0 dx?0f ( x , y )dy .将D表示为Y-型区域:原积分 ? ? dy ?1 0 1? y0? y?1 0 ? x ? 1? y0f ( x , y )dx .例4 将二重积分 ?? f ( x, y)d? 表示为累次积分(两种次序) 其中D由y=x,y=x2围成D解：如图这既是X型区域又是Y型区域，?0 ? x ? 1 D?? 2 ?x ? y ? x?0 ? y ? 1 ? D?? ?y ? x ? y ??? f ( x, y)d? ? ? dx ?0 D1x2xf ( x, y )dyy?? f ( x, y)d? ? ? dy ?0 D1yf ( x, y )dx例5.改变积分 ?? f ( x, y)d? ? ?0 dx?02 D2 x? x2f ( x, y)dy次序解由?0 ? x ? 2 ? ? ?0 ? y ? 2 x ? x 2 ?做出积分区域的图形，然后 将其表示为型区域?0 ? y ? 1 ? ? 2 2 ?1 ? 1 ? y ? x ? 1 ? 1 ? y ?于是?? f ( x, y)d? ? ?D20dx?2 x? x20f ( x, y)dy?? dy ?1 01? 1? y 21? 1? y 2f ( x , y )dx例6. f(x,y)连续，则 (09研)? dx?122xf ( x, y)dy ? ? dy?124-yyf ( x, y)dx ? ( )2 4? x(A)? dx ?124? x2 4? yf ( x, y)dy (B) ?1 dx ?x2f ( x, y)dy(C)? dy?121f ( x, y)dx (D)?1 dy?y f ( x, y)dxx+y=4 Y型选C2积分区域如图2 11 234例 7 求 ?? ( x ? y )dxdy，其中 D 是由抛物线2y ? x 和 x ? y 所围平面闭区域.2 2D解：积分区域如图 ? y ? x2 易求交点坐标： ? (0,0) , (1,1), ? 2 ?x ? y2 x? y2 y?x? 0? x?1 D为? 2 ?x ? y ? x 2 ( x ? y )dxdy ? 1 dx ??D1 2 2选为X型区域x2?0 ?x( x 2 ? y )dy1 ? ? [ x ( x ? x ) ? ( x ? x 4 )]dx ? 33 . 0 2 140例 8．求 ?? Dx2 dxdy 2 ， y其中 D 由1 y ? x, y ? , x ? 2 围成。 x解：积分区域如图? 1? x ? 2 D为X-型 ? 1 ? ? y? x ?x ? 2 2 2 x x x ?? y 2 dxdy? ?1 dx?1 y 2 dy x D??212 1 x 3 2 x ? ( ? ) 1 dx ? ?1 ( x ? x )dx ? ( 1 x 4 ? 1 x 2 ) 1 ? 9 . 4 2 4 y x2练习： 计算e x ? y dxdy ??D，其中 D 是由 x=1,x=2,y=0,y=1 围成.解：积分区域如图?1 ? x ? 2 D: ? ?0 ? y ? 1e x ? y dxdy ? ??D?21dx? e x ? y dy1 0? ?? ?21 2dx? e e1 x 0?ydy ??21e dx? e ? y dyx 1 0 2 11e x ( ?e ? y ) 1 dx ? (1 ? e ?1 )e x 0? (e ? 1)2若积分区域为矩形域:?a ? x ? b ? ?c ? y ? db d且被积函数可分离变量，即 f(x,y)=f1(x)f2(y) 则?? f ( x, y)dxdyD? ? f1 ( x)dx ? ? f 2 ( y )dya c二、利用极坐标系计算二重积分（一）补充 1、极坐标系的建立 一组射线，一组同心圆构成极坐标系水平射线称为极轴其点为（r, ? ）最小的同心圆称为极点2、极坐标与直角坐标的关系 点M:直角坐标（x , y） 极坐标（r, ? ）则y r?M? x ? r cos? ? ? y ? r sin?oxA3、平面曲线的表示方法（特别要熟悉三个 圆的方程） 通常表示为 r = r ( )的形式 ? （1）直角坐标系下：x ? y ? a2 2 2 2 2 2(r 极坐标系下： cos? ) ? (r sin? ) ? a ? r ( x ? a )2 ? y 2 ? a 2 （2）直角坐标系下：2 2?a2极坐标系下： (r cos? ? a ) ? (r sin? ) ? a ?（3）直角坐标系下：x ? ( y ? a) ? a2 2 2 2r ? 2a cos ?2 2极坐标系下： cos? ? (r sin? ? a ) ? a ?r ? 2a sin ?几种常见圆的极坐标方程（总结） 直角坐标方程x ? y ?a2 2222 2 2 2圆心在原点 圆 心 在x 轴 上 圆 心 在y 轴 上( x ? a) ? y ? a x ? ( y ? b) ? a极坐标方程分别是：2r ?a r ? 2 a cos? r ? 2 a s i n?（二）极坐标系下二重积分的计算公式1、极坐标下面积元素 d ?r ? ri ? ?ri? ? ? i ? ?? i?? iD扇形～矩形r ? ri?? i ? ?ri ? r ? ?? i弧长＝半径乘以圆心角? ? ?i2、极坐标下被积函数 f ( x, y ) ? f (r cos? , r sin? )d ? 0, d? ? ?? i ? r dr d?oA3、积分次序：通常先 r 后 ??? f ( x, y)dxdy ? ? d? ?? ? D??f ( r cos? , r sin? ) r drr ? ?1 ( ? )r ? ? 2 ( ?)4、极坐标下区域D的不等式表示 1）极点在区域之外D? ?? ? ?,?o r ? ?1 (? )?A? 1 (? ) ? r ? ? 2 (? ).2）极点在区域的边界上D?r ? ? 2 (? )? ?? ? ?,0 ? r ? ? (? ).?oor ? ? (? )D?A?A3）极点在区域D之内0 ? ? ? 2?,0 ? r ? ? (? ).r ? ? (? )DoA基本公式不能忘?? f (r cos? , r sin? )rdrd?D?2 ? 2 (? ) ? d? f ( r cos ? , r sin ? ) r dr . ?1 ? 1 (? )??极坐标下二重积分的适用范围： 1、积分区域为圆、环、扇、扇环等；x y 2、被积函数含有 x ? ; ?? y x2 2例1计算 ?? 1 ? xD122 2 dxdy 其中 D : x ? y ? 1, . ?y2解：积分区域如图D 表达为 ? 型 ?0 ? ? ? 2?? ? 0? r ?111 r dr 原积分 ? ? d? ? 2 0 0 1? r 1 1 2? 1 2 ? ? d? ? d (1 ? r ) 2 0 1? r 2 02?和 ? 无关1 2 1 ? ? 2? ? ln(1 ? r ) 0 ? ? ln2 2例2?? x dxdy 其中 D : x 2 ? y 2 ? 2 y与x ? 0 计算D围成的第一象限部分.解：积分区域如图 ? ? D 表达为 ? 型 ? 0 ? ? ? 2 ? ?0 ? r ? 2 sin ? ? ? 原积分 ?? 2 0 ? 2 0?2 0d? ?2 sin ?0r cos ? r dr? 2 02 sin ? 01 3 ? ? cos ?d? ? r 2 dr ? ? cos? 3 r 0 ? 2 4 2 2 8 3 ? ? cos? sin ? d? ? sin 0 ? 3 3 32 sin ?d?例3计算 ?? eD? x2 ? y2dxdy ，其中 D 是由中心在原点，半径为 a 的圆周所围成的闭区域.解积分区域如图在极坐标系下D：0 ? r ? a ，0 ? ? ? 2? .2??? eD? x2 ? y2dxdy ? ?0 d??0 e).a?r 2rdr? ?(1 ? e?a2例2在直角坐标系下还可以计算,但是例3在 直角坐标系下根本就无法计算例4. 计算二重积分( x ? y)dxdy (09研) ??D其中 D={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2?2,y?x} 令x=rcos?,y=rsin?,代入方程)(x-1)2+(y-1)2=2，得0 ?r?2(cos?+sin?)?? ( x ? y)dxdy ? ?? (cos? ? sin ? )d? ?D43? 42(cos? ?sin ? )0r 2 dr? ?? (cos ? ? sin ? ) d?43? 4r 3 2(cos? ? sin ? ) 3 0|? ??3? 448 cos 2? (1 ? sin 2? )d? 3? 4 34? 2 8 2 34 ? ?? (1 ? sin 2? )d sin 2? ? (1 ? sin 2? ) | ? ? ? 4 3 4 3 3（三）二重积分的应用 利用二重积分可以计算平面图形的面积、曲顶柱 体体积、以及普阿松积分 例4. 计算 y=x2,x=y2 围成的面积 解：如图积分区域D可表示为?0 ? x ? 1 D:? 2 或 ?x ? y ? x?0 ? y ? 1 ? D:? 2 ?y ? x ? y ?设所求的面积为，则S ? ?? dxdy ? ? dx?1 0 D x x22 2 x3 1 dy ? ? ( x ? x 2 )dx ? ( x ? ) |0 ? 1 / 3 0 3 313例5. 计算以x2+y2 ? 1 为底，以z=1-x2-y2为顶的曲 顶柱体体积解 令V?x 2 ? y 2 ?1(1 ? x 2 ? y 2 )dxdy ??? x ? r cos ? ， ? ? y ? r sin ?2 2dxdy ? rdrd?， 1-x2-y2=1-r2?0 ? ? ? 2? D=x ? y ? 1 : ? ? 0?r?1于是V?2x ? y ?12??(1 ? x ? y )dxdy ? ? d? ? (r ? r 3 )dr2 2 1 0 02?r2 r4 1 ? 2? ? ( ? ) |0 ? ? / 2 2 4例6.计算泊松积分 e ?-???? x2dxI注意到????? ? x 2 ?? ? y 2 e dx ? e dy ? ?? ???I ? (? e2 ??2? 0? x2dx)(? e????? y2dy) ? ?? eR2?( x 2 ? y 2 )dx dyd? ? ?? ? d? ???0e?r 21 2? ?r 2 r dr ? ? ( ? e ) 2 0同理可得?? 0?I ? ????0e? x2dx ??2第六章中(P221)?? 1 ? ? x2 ?( ) ? 2? e dx ? 2 ? ? ? 0 2 2一、主要知识点1. 常见的曲面方程与空间两点间距离 例1. 方程x2+y2+z2=2x表示？ 原方程可以化为:(x-1)2+y2+z2=1，表示球心在(1,0,0)， 半径=1的球面. （参见自测题单选1） 2. 偏导数与全微分的计算 ① 对一个变元求偏导，只需将其余变量当作常数， 用一元函数的求导法则与公式. ② 计算某点处的偏导数有两种方法 例2. f ( x, y, z) ? z x / y ，求f’x(1,1,1)1 x 1z ?1 1 解法1. f x?( x, y, z ) ? ( ) ( ) ? f’x(1,1,1) =1 z y y解法2：将y=z=1代入函数得：f(x)=x，故f’x=1 参见自测题P25,三、4 ③ 含有抽象函数的复合函数求导 例3. 设z=xf(y/x)，其中f 二阶可导，求z”xx, z”xy解：z’x=f(y/x)-yf’(y/x) /xz”xx= -yf’(y/x) /x2+ yf’(y/x) /x2+ y2f”(y/x) /x3 =y2f”(y/x) /x3 z”xy= f’(y/x) /x- f’(y/x) /x-yf”(y/x) /x2 =-yf”(y/x) /x2④ 隐函数与幂指函数求导 计算F(x,y,z)=0确定的隐函数z=f(x,y)偏导数步骤 .设F(x,y,z)计算偏导数F’x,F’y,F’z.代入公式Fy? Fx? ?z ?z ?? , ?? ?x Fz? ?y Fz?，并化简隐函数偏导数或全微分另一种计算方法为： 方程两边直接求微分 例4. 已知 xy+yz+xz=ln2，计算z”xy|(1,0)解法1. 令F= xy+yz+xz-ln2, F’x=y+z, F’y=x+z ,F’z=x+y 代入公式得：z’x= -(y+z)/(x+y)， z’y= -(x+z)/(x+y)(1 ? z? )( x ? y) ? ( y ? z ) y?z 2z y z?? ? ?( )?y ? ? ? xy 2 x? y ( x ? y) ( x ? y)2(1 ? z? )( x ? y) ? ( y ? z ) y?z 2z y z?? ? ?( )?y ? ? ? xy x? y ( x ? y)2 ( x ? y)2x=1,y=0 ? z=ln2, z”xy|(1,0)=2ln2 解法2：方程两边求微分，得 ydx+xdy+ydz+zdy+xdz+zdx=0? dz=-[(y+z)dx+(x+z)dy]/(x+y) ?z’x= -(y+z)/(x+y)(1 ? z? )( x ? y) ? ( y ? z ) y?z y z?? ? ?( )?y ? ? xy x? y ( x ? y)2将x=1,y=0,z=ln2代入上式得： z”xy|(1,0)= -z’y|(1,0,ln2)+ ln2=2ln2幂指函数求导方法： 取自然对数化为隐函数求导； 利用对数恒等式化为复合函数求导； 引入中间变量用多元复合函数公式 3.多元函数连续、可导、可微的关系函数连续偏导数存在函数可微偏导数连续4.多元函数的极值与最值 多元函数取得极值的条件定理 1（必要条件） （极值点与驻点的关系） 注意 驻点 可导极值点定理 2 （充分条件） 判别函数： P(x,y)=(z”xy)2-z”xx.z”yy 若P(xo,yo)&0,则(xo,yo)为极值点，且 z”xx(x0,y0)&0, (xo,yo)为极大值点z”xx(x0,y0)&0, (xo,yo)为极小值点实际应用问题有两种情形： 一是先求极值，此时要判别是否为极值，然后转 为最值； 二是条件极值用拉格朗日乘数法，说明为最值. 5. 平面区域的不等式组表示 x-型(x为常数区间)， y-型(y为常数区间), 极坐标表示：看极点在区域内部、外部、边界 6. 直角坐标与极坐标二重积分的计算 ① 作图表示区域， ② 化二重积分为二次积分 ③ 分别计算两个定积分二、典型例题例 1：选择题:4 1 ? arcsin 2 1、 二元函数 z ? ln 2 的定义 2 2 x ?y x ?y 域是( A ). （A）1 ? x 2 ? y 2 ? 4 ； （B）1 ? x 2 ? y 2 ? 4 ； （C）1 ? x 2 ? y 2 ? 4 ； （D）1 ? x 2 ? y 2 ? 4 . x 2、设 f ( xy, ) ? ( x ? y ) 2 ,则 f ( x, y ) ? ( B ). y 1 2 x 2 (1 ? y ) 2 ； （A） x ( y ? ) ； （B） y y 1 2 y 2 （C） y ( x ? ) ； （D） (1 ? y ) 2 . x x3、函数 f ( x, y ) 在点( x 0 , y 0 ) 处连续,且两个偏导数 f x ( x 0 , y 0 ), f y ( x 0 , y 0 ) 存在是 f ( x, y ) 在该点可微 的( B ). （A）充分条件,但不是必要条件； （B）必要条件,但不是充分条件； （C）充分必要条件； （D）既不是充分条件,也不是必要条件.4. z=x+y,在xy=1条件下的极大值为（ B） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 由xy=1? y=1/x 代入 z=x+y得 z=x+1/xz’=0 ? 驻点 x=?1, z”=2/x3, x=-1为极大值点， 极大值为 z= -2y 例2 设 z ? x f ( xy , ), ( f 具有二阶连续偏导数)， x ?z ? 2 z ? 2 z 求 , 2, . ?y ?y ?x?y 解 ?z 1 ? x 4 f ? ? x 2 f ?, 3 ? x ( f1?x ? f 2? ) 1 2 ?y x3?2z 1 1 4 2 ? ? ? ? ? x ( f11?x ? f12? ) ? x ( f 21? x ? f 22? ) 2 ?y x x? ? ? ? x 5 f11? ? 2 x 3 f12? ? xf 22? ,? 4 ? 2z ? 2z ? ( x f1? ? x 2 f 2?) ? ?x?y ?y?x ?xy y 2 ?? ?? ?? ?? ? 4 x f1? ? x [ f11 y ? f12 ( ? 2 )] ? 2 xf 2? ? x [ f 21 y ? f 22 ( ? 2 )] x x ? ? ? 4 x 3 f1? ? 2 xf 2? ? x 4 yf11? ? yf 22? . 例 4、设 u ? f ( x , z ) ,而 z ( x , y ) 是由方程 z ? x ? y? (z ) 所 确定的函数,求 du . 显然 du ? u? dx ? u?y dy x x3 4uu? ? f z? ? z ? y y 其中:由方程 z ? x ? y? ( z ) 可求得 z? , z? x y 1 ? (z) z? ? z? ? x y 1 ? y? ?( z ) 1 ? y? ?( z )zx y? u? ? f x ? f z? ? z ? x x故 du ? u? dx ? u?y dy x也可以用 f1?, f 2? 表示1 ? ? ( f x ? f z? )dx 1 ? y? ?( z ) ? (z) ? f z? ? dy 1 ? y? ?( z )?1/ 2 0 ? x ? 1, ?1 ? y ? 1 例5. f ( x, y) ? ? D由y=x,y=x2围成 0 其他 ?计算?? f ( x , y )d?Dy解：如图yDy? x2y ?1y? xx 0 ? 0 ? x ? 1 D ? ? 0 ? x ?1 D? D ? D ? D?? 2 1 1 ?? 1 ? y ? 1 ?x ? y ? x x2 x3 1 1 1 x ?? f ( x , y )d? ? ?0 dx ? x 2 1 / 2dy ? ( ? ) 0 ? 4 6 12 D0 y ? ?1D1x ? 1x?1/ 2 0 ? x ? 1, ?1 ? y ? 1 例6. f ( x, y) ? ? D由y=1,y=x2围成 0 其他 ?计算?? f ( x , y )d?Dyy ?1解：如图0 x ? 1x y ? ?1 ??1 ? x ? 1 ? 0? x?1 ? 0? x?1 D?? 2 D1 ? ? D ? D1 ? ? 2 ?x ? y ? 1 ?? 1 ? y ? 1 ?x ? y ? 11 1 f ( x , y )d? ? ?0 dx ? x 2 1 / 2dy ? ( x ? x ) 1 ? 1 ?? 0 2 6 3 D3D10? x? 2 ? ?1 / 2 例7. f ( x , y ) ? ? 0 ? y ? 1 D:xy=1,x=2,y=1所围 ? 0 其他 ? y 求 ?? f ( x , y )dxdy xy ? 1 ? 1? x ? 2 D 1 D:? 解：如图所示 ?1 / x ? y ? 1 x 0 1 2 2 1 f ( x , y )dxdy ? ?1 dx ?1 / x 1 / 2dy ? ? 21 (1 ? 1 )dx ?? 1 D 2 x 1 1 2 ? ( x ? ln x ) 1 ? (1 ? ln 2) 2 2练习2001年研究生入学试题?? y[1 ? xeDx2 ? y 2 2]dxdyD由y=x,y=-1,x=1围成? ?1 ? x ? 1 D:? ??1 ? y ? x?? y[1 ? xeD1 x ?1 ?1x2 ? y 2 2]dxdy ? ? dx ? [ y ? xe?1 ?11 x2 / 2 ?11xx2 / 2yey2 / 2]dy? ? dx ? ydy ? ? xedx ? ye?1xy2 / 2dy1 1 1 2 x2 / 2 x2 / 2 ? ? ( x ? 1)dx ? ? xe (e ? e1/ 2 )dx ?1 2 ?1
第八章 多元函数的微积分学 多元函数的上册研究了一元函数微积分学,利用这些知识,我们可以求直线上质点运动的速度和 加速度,也可以求曲线的切线的斜率,可以判断...第八章多元函数积分习题_理学_高等教育_教育专区。第八章 多元函数积分学 【内容提要】 1. (1) 二重积分的定义二重积分的定义 设函数 f ( x, y) 在有界闭...第八章多元函数微分法及其应用_理学_高等教育_教育专区。第八章多元函数微分法及其应用 第八章 多元函数微分法及其应用 教学与考试基本要求 1. 理解多元函数、多元...第八章多元函数_理学_高等教育_教育专区。第八章多元函数专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 112 第 8 章 多元函数的微分法及其应用§8.1 一、填空题 多元函数的...第八章 多元函数的微分法及应用一、本章考试要求 1.了解多元函数的概念,会求二元函数的定义域。了解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续的概念。 ...第八章多元函数微分法及其应用_数学_自然科学_专业资料。第八章 教学与考试基本要求 多元函数微分法及其应用 1. 理解多元函数、 多元函数偏导数的概念, 会求多元...教学内容 批注 第八章 多元函数微分第一节一、 平面区域 邻域:给定平面内 P0(x0,y0)点,和某数 ? &0,以 P0 点为圆 心,为 ? 半径作圆,该圆内所有点...第八章 § 1 一、设 . 多元函数的微分法及其应用 多元函数概念 二、求下列函数的定义域: 1、 2、 三、求下列极限: 1、 (0) 2、 () 四、证明极限 不...第八章多元函数积分学._职高对口_职业教育_教育专区。第八章 多元函数积分学 基本课题:8? 1 二重积分的概念与性质 目的要求 :理解二重积分的概念与性质 重难点...第八章 多元函数微分学(题目)_理学_高等教育_教育专区。第八章 多元函数微分学 复习重点:1、各类函数求各阶偏导、全微分 2、极值、条件极值 多元函数 14C-5....
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