三重积分计算方法与技巧算

∫∫∫x+y+zdxdydz为什么等于0积分区域是x^2+y^2+z^2≦1。为什么书上都没算直接就给出零跟区域对称性和函数奇偶性有关吗?想了半天就是想不出来向高手求救,想不出来急死了... ∫∫∫x+y+zdxdydz 为什么等于0?积分区域是x^2+y^2+z^2≦1为什么书上都没算直接就给出零?跟区域对称性和函数奇偶性有关吗想了半天就是想不出来,向高手求救想不出来急死了。

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其实三重积afe59b9ee7ad3532分,就是把一重积分和二重积分的扩展

将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域,被积函数推广到三元函数,就得到三重积分的定义

其中 dv 称为体积元,其它术语与二重积分相同

若极限存在,则称函数可积

若函数在闭区域上连续, 則一定可积

三重积分与二重积分有着完全相同的性质

下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论其计算方法.

二,在直角坐标系中的计算法

洳果我们用三族平面 x =常数,y =常数, z =常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体

故在直角坐标系下的面积元为

和二重积分类似,三重積分可化成三次积分进行计算

具体可分为先单后重和先重后单

——也称为先一后二,切条法( 先z次y后x )

用完全类似的方法可把三重积分化成其它佽序下的三次积分.

⑵穿越法定限,穿入点—下限,穿出点—上限

对于二重积分,我们已经介绍过化为累次积分的方法

其中 为长方体,各边界面平行於坐标面

将 投影到xoy面得D,它是一个矩形

在D内任意固定一点(x ,y)作平行于 z 轴的直线

其中 是三个坐标面与平面 x + y + z =1 所围成的区域

除了上面介绍的先单后重法外,利用先重后单法或切片法也可将三重积分化成三次积分

先重后单,就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分

用任一平行且介于此两平面的平面去截 得区域

易见,若被积函数与 x , y 无关,或二重积分容易计算时,用截面法较为方便,

就是截面的面积,如截面为圆,椭圓,三角形,正方形等,面积较易计算


因为积分函数x+y+z是对(x,y,z)的奇函数直接就是0。

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三重积分及其计算和多重积分

在苐三节中我们讨论了二重积分本节将之推广到一般的

同样可以给出一列类似的结论

中占领了一个有界可求体积的区域

现在要求这个物体嘚质量.假设密度函数是有界的连续函数,可以将区域

上的变化也很小.可以用这个小

来近似整个小区域上的密度这样我们可

以求得这個小的立体的质量近似为

,所有这样的小的立体的质量之和即为

这个物体的质量的一个近似值.即

时这个和式的极限存在,就是物体的質量.即

从上面的讨论可以看出

整个求质量的过程和求曲顶柱体的体积是类似的,

再求和最后取极限.所以我们也可以得到下面一类積分.

中的一个有界可求体积的闭区域

为若干个可求体积的小闭区域

在每个小区域中任意取一点

时,这个和式的极限存在则称其极

三重积分和多重积分方法

在第三節中我们讨论了二重积分本节将之推广到一般的

同样可以给出一列类似的结论

中占领了一个有界可求体积的区域

现在要求这个物体的质量.假设密度函数是有界的连续函数,可以将区域

上的变化也很小.可以用这个小

来近似整个小区域上的密度这样我们可

以求得这个小嘚立体的质量近似为

,所有这样的小的立体的质量之和即为

这个物体的质量的一个近似值.即

时这个和式的极限存在,就是物体的质量.即

从上面的讨论可以看出

整个求质量的过程和求曲顶柱体的体积是类似的,

再求和最后取极限.所以我们也可以得到下面一类积分.

中的一个有界可求体积的闭区域

为若干个可求体积的小闭区域

在每个小区域中任意取一点

时,这个和式的极限存在则称其极

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