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湖北省武汉市2014届高三11月调考题数学(文科)
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2004年高考第一轮仿真测试数学(理)试卷及答案作者: 收集于网络
参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=C pk(1－p)n－k球的表面积公式S=4 R2，其中R表示球的半径球的体积公式V=& R3，其中R表示球的半径一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.集合A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=2k+1,k∈Z},C={x|x=4k+1,k∈Z},又a∈A,b∈B,则有A.a+b∈AB.a+b∈BC.a+b∈CD.a+b不属于A，B，C中的任意一个2.已知f(x)=sin(x+ ,g(x)=cos(x－ ),则f(x)的图象A.与g(x)的图象相同B.与g(x)的图象关于y轴对称C.向左平移 个单位，得到g(x)的图象D.向右平移 个单位，得到g(x)的图象3.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是A.y= x&&&&&&&&B.y=－ xC.y= x&&&&&&&&D.y=－ x4.函数y=1－ , 则下列说法正确的是A.y在(－1,+∞)内单调递增&&&&&B.y在(－1,+∞)内单调递减C.y在(1,+∞)内单调递增&&&&&D.y在(1,+∞)内单调递减5.已知直线m,n和平面 ，那么m∥n的一个必要但非充分条件是A.m∥ ,n∥ &&&&&&&B.m⊥ ,n⊥ C.m∥ 且n& &&&&&&&D.m,n与 成等角6.在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00，01，02，…，99，抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个；则A.不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是 B.①②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是 ，③并非如此C.①③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是 ，②并非如此D.采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同7.曲线y=x3在点P处的切线斜率为k，当k=3时的P点坐标为A.(－2,－8)&&&&&&&&B.(－1,－1),(1,1)C.(2,8)&&&&&&&&&D.(－ ,－ )8.已知y=loga(2－ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是A.(0，1)&&&&&&&&&B.(1，2)C.(0，2)&&&&&&&&&D.［2，+∞ 9.已知lg3,lg(sinx－ ),lg(1－y)顺次成等差数列，则A.y有最小值 ，无最大值&&&&B.y有最大值1，无最小值C.y有最小值 ，最大值1&&&&&D.y有最小值－1，最大值110.若 =a， =b，则∠AOB平分线上的向量 为A. &&&&&&&&B. ( )， 由 决定C. &&&&&&&&D. 11.一对共轭双曲线的离心率分别是e1和e2,则e1+e2的最小值为A. &&&&&&&&&B.2C.2 &&&&&&&&&D.412.式子 的值为A.0&&&&&&&&&&B.1C.2&&&&&&&&&&D.3第Ⅱ卷& (非选择题& 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)13.从A={a1,a2,a3,a4}到B={b1,b2,b3,b4}的一一映射中，限定a1的象不能是b1，且b4的原象不能是a4的映射有___________个.14.椭圆5x2－ky2=5的一个焦点是(0，2)，那么k=___________.15.已知无穷等比数列首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围为___________.16.已知an是(1+x)n的展开式中x2的系数，则 =___________.三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知函数f(x)= ，记数列{an}的前n项和为Sn，且有a1=f(1),当n≥2时，Sn－ (n2+5n－2).(1)计算a1，a2，a3，a4;(2)求出数列{an}的通项公式，并给予证明.18.(本小题满分12分)已知△ABC的三个内角A，B，C，满足sinC= .(1)判断△ABC的形状；
(2)设三边a,b,c成等差数列且S△ABC=6 cm2，求△ABC三边的长.19.(本小题满分12分)如图，矩形ABCD与ADQP所在平面垂直，将矩形ADQP沿PD对折，使得翻折后点Q落在BC上，设AB=1，PA=h，AD=y.&(1)试求y关于h的函数解析式；(2)当y取最小值时，指出点Q的位置，并求出此时AD与平面PDQ所成的角；(3)在条件(2)下，求三棱锥P—ADQ内切球的半径.20.(本小题满分12分)某人上午7时，乘摩托艇以匀速v海里/时(4≤v≤20)从A港出发到距50海里的B港去，然后乘汽车以w千米/时(30≤w≤100)自B港向距300千米的C市驶去，应该在同一天下午4至9点到达C市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是x、y小时.(1)作图表示满足上述条件x、y的范围；(2)如果已知所需的经费p=100+3(5－x)+2(8－y)(元)，那么v、w分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？21.(本小题满分12分)已知f(x)=loga(x+1)，点P是函数y=f(x)图象上的任意一点，点P关于原点的对称点Q的轨迹是函数y=g(x)的图象，当a＞1,x∈［0,1 时，总有2f(x)+g(x)≥m恒成立.(1)求出g(x)的表达式；(2)求m的取值范围.22.(本小题满分14分)直线l:ax－y－1=0与曲线C：x2－2y2=1交于P、Q两点，(1)当实数a为何值时，|PQ|=2 ?(2)是否存在a的值，使得以PQ为直径的圆经过原点？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
参考答案一、选择题(每小题5分，共60分)1.解析：由已知得a是偶数，b是奇数，则a+b是奇数，又b∈B，B C，∴a+b∈B,选B.答案：B2.解析：f(x)的图象向右平移 个单位，得sin［(x－ )+ ］=sinx，又g(x)=cos(x－ =cos( －x)=sinx,故选D.答案：D3.解析：设直线为y=kx.由 消去y，得(1+k2)x2+4x+3=0,由Δ=16－4×3(1+k2)=0,k=± .又知切点在第三象限，∴k= ，选C.答案：C&4.解析：令x－1=X,y－1=Y,则Y=－ .X∈(0,+∞)是单调增函数，由X=x－1,得x∈(1,+∞)，y=1－ 为单调增函数,故选C.答案：C5.解析：若m∥n,则m,n与平面 成相等的角，反之 ，若m,n与平面 成等角，不一定有m∥n,故选D.答案：D6.解析：将三种抽样法的有关计算公式计算所得的概率都是 ，故选A.答案：A7.解析：由y=x3，得y′=3x2.由已知得3x2=3，x=±1.当x=1时，y=1,当x=－1时，y=－1，故P点的坐标为(1，1)或(－1，－1)，选B.答案：B8.解析：由已知loga(2－a·0)＞loga(2－a)，即loga2＞loga(2－a)，当0＜a＜1时，有 无解，当a＞1时，有 ，得1＜a＜2,选B.答案：B9.解析：由已知得2lg(sinx－ )=lg3+lg(1－y)，且 ,得(sinx－ )2=3(1－y)得y=1－ ,当sinx=1时，ymin= ，无最大值，选A.答案：A10.答案：B11.解析：设双曲线 =1的离心率e1= ，则共轭双曲线 =1的离心率e2= .e1+e2= ≥2·&& (a=b时取等号)=2· ≥2·&& (a=b时取等号).∴e1+e2的最小值为2 ，选C.答案：C12.解析：原式= = =2,选C.答案：C二、填空题(每小题4分，共16分)13.解析：A －2A +A =14.答案：1414.解析：由已知得x2+ =1,k＜0,由焦点坐标(0，2)知长轴在y轴上，得(－ )－1=4,得k=－1.答案：－115.解析：由题意得S= ,－1＜q＜0.由q= 得－1＜ ＜0,解不等式得1＜S＜2.答案：1＜S＜216.解析：由已知得x2的系数为C ，即an=C = ,∴a2=1, =1= , ,…, ,∴ = .答案：2三、解答题(17、18、19、20、21题，每题12分，22题14分，共74分)17.解：(1)由已知，当n≥2时，f(an)= ,∵Sn－ ，∴Sn－ (n2+5n－2),即Sn+an= (n2+5n+2).又a1=f(1)=2,由S2+a2=a1+2a2= (22+5×2+2),得a2=3;由S3+a3=a1+a2+2a3= (32+5×3+2),解得a3=4;由S4+a4=a1+a2+a3+2a4= (42+5×4+2),解得a4=5.&&&&&&&&6分(2)则a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,于是猜想：an=n+1(n∈N).&&&&&&&8分以下用数学归纳法证明：(a)当n=1时命题成立.(b)设n=k时，ak=k+1(k∈N).由Sk+1+ak+1= ［(k+1)2+5(k+1)+2］,a1+a2+…+ak+2ak+1= (k2+7k+8),2ak+1= (k2+7k+8)－(2+3+…+k+1)= (k2+7k+8)－ = (k2+7k+8－k2－3k)=2k+4.ak+1=(k+1)+1,即当n=k+1时命题也成立.故由(a)、(b)知对一切n∈N均有an=n+1.&&&&&&&&&&& 12分18.(1)解法一：sinC= =tan = .∵sinC≠0,∴cosC=0,0°＜C＜180°,∴C=90°,∴△ABC为直角三角形.&&&&&&&&&&&6分解法二：∵cosA+cosB= ,∴ .化简整理得：(a+b)(c2－a2－b2)=0,∴a2+b2=c2,
∴△ABC为直角三角形.&&&&&&&&&&&&&6分(2)解：由已知得：a2+b2=c2,a+c=2b, ab=6,解得：a=3 cm,b=4 cm,c=5 cm.&&&&&&&&&&&&& 12分19.解：(1)显然h＞1，连接AQ，∵平面ABCD⊥平面ADQP,PA⊥AD，∴PA⊥平面ABCD，由已知PQ⊥DQ,∴AQ⊥DQ,AQ=y2－h2.∵Rt△ABQ∽Rt△QCD,CQ= ,∴ ,即 .∴y= (h＞1).&&&&&&&&&&&&&&4分(2)y= = = + ≥2,&&&&&&&&&&&&&6分当且仅当 ,即h= 时，等号成立.此时CQ=1,即Q为BC的中点，于是由DQ⊥平面PAQ，知平面PDQ⊥平面PAQ,PQ是其交线，则过A作AE⊥平面PDQ,∴∠ADE就是AD与平面PDQ所成的角，由已知得AQ= ,PQ=AD=2,∴AE=1,sinADE= ,∠ADE=30°.&&&&&&&8分(3)设三棱锥P－ADQ的内切球半径为r,则 (S△PAD+S△PAQ+S△PDQ+S△ADQ)·r=VP－ADQ .∵VP－ADQ= S△ADQ·PA= ,S△PAQ=1,S△PAD= ,S△QAD=1,S△PDQ= ,∴r= .&&&&&&&&&&&&&&&&& 12分20.解：(1)由题意得：v= ,w= ,4≤v≤20,30≤w≤100,&&&&&&3分&∴3≤x≤10, ≤y≤ .①由于汽车、摩托艇所要的时间和x+y应在9至14小时之间，即9≤x+y≤14,②因此满足①②的点(x,y)的存在范围是图中阴影部分(包括边界).&&&&&6分(2)因为p=100+3(5－x)+2(8－y),所以3x+2y=131－p,设131－p=k,那么当k最大时，p最小，在图中通过阴影部分区域且斜率为－ 的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过点(10,4)，即当y=4时，p最小，此时x=10,v=12.5,w=30,p的最小值为93元.&&&&&& 12分21.解：(1)设Q(x,y) P(－x,－y),代入f(x)方程得，g(x)=－loga(－x+1).&&&4分(2)2f(x)+g(x)≥m恒成立&2loga(x+1)－loga(1－x)≥m恒成立&loga ≥m恒成立,即m小于等于loga 的最小值.令h(x)= = .&&&&&&&&&8分易证h(x)在x∈［0,1)上单调递增，∴h(x)min=h(0)=1,又∵a＞1,∴loga ≥loga1=0,即loga 的最小值为0，∴m的取值范围是m≤0.&&&&&&&&&&&&&& 12分22.解：(1)设P(x1,y1),Q(x2,y2), ,∴(1－2a2)x2+4ax－3=0.若1－2a2=0,即a=± 时，l与C的渐近线平行，l与C只有一个交点，与题意不合，∴1－2a2≠0,Δ=(4a)2－4(1－2a2)(－3)＞0,∴－ ＜a＜ .&& (*)∴｜PQ｜= ｜x1－x2｜=2 .∴(x1－x2)2=4,∴(x1+x2)2－4x1x2=4.∴(－ )2－4 =4.∴a=±1∈(－ , ).∴所求的实数a的值为a=±1.&&&&&&&&&&&&5分(2)假设存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过原点O，则由OP⊥OQ，得y1·y2=－x1·x2.∴(ax1－1)·(ax2－1)=－x1·x2,∴(1+a2)x1·x2－a(x1+x2)+1=0.&&&&&&&&&&&&9分把(*)式代入得：a2=－2与a为实数矛盾，∴不存在实数a使得以PQ为直径的圆经过原点.&&&&&&&&& 14分
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（1）∵C：x=3cosa,y=sina∴C：x/3=cosa,y=sina∴C：x²/9+y²=1∴F（-2√2,0）令L：y=k(x+2√2)代入C方程x²/9+k²(x+2√2)²=1整理得(9k²+1)x²+36√2k²x+72k²-9=0x=[-18√2k²±3√(k²+1)]/(9k²+1)又∵5AF（向量）=FB（向量）∴5{-2√2-[-18√2k²-3√(k²+1)]/(9k²+1)}=[-18√2k²+3√(k²+1)]/(9k²+1)-(-2√2)去括号、移项、合并同类项、去分母、再合并同类项得12√(k²+1)-12√2=0继续整理得k=±1∴直线L的倾斜角为±π/4（2）由对称性可知在（1）中k的两种取值下|MN|相等,不妨取k=1∵AB的中点为M∴2xM=xA+xB=-36√2k²/(9k²+1)=-18√2/5∴xM=-9√2/5代入L方程得M(-9√2/5,√2/5)∵MN是AB的中垂线∴MN⊥AB∴MN的斜率为-1/k=-1∴MN：y-√2/5=-(x+9√2/5)N在x轴上,将y=0代入MN方程可得N(-8√2/5,0)∴|MN|=√(2/25+2/25)=2/5
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