5-1线性空间的基本概念2_图文_百度文库
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5-1线性空间的基本概念2
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&&西​安​交​通​大​学​线​性​代​数​教​学​课​件
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你可能喜欢如题，本科刚毕业菜鸟一个，求大神勿喷。 由于篇幅限制，题中“基”“基数”二词表意不明，此处进行解释。首先，R上的实函数空间上自然定义加法；对于任意有限或无限函数列ξn，可以定义ξn的部分和或部分和极限，记为Σξn（无论是否存在）。实函数空间中的一个非零函数组G，若这个函数组满足：1. 任取G中一个函数列ξn及一个非零数列an，Σanξn≠0；2. 任取实函数ζ，存在G中一个函数列ξn及一个非零数列an使得ζ=Σanξn。则称G为实函数空间的一组基（一组基向量）（基向量组）。把实函数空间的一组基看做一个由向量组成的集合，该集合的基数称为这组基向量的基数。 大部分人都会说“无穷维空间基向量当然有无限个啦”。然而无限也分阿列夫0，阿列夫1，等等 …… 注. 对无限维空间知之甚少，故对我来说，无穷维空间的“维数”概念是否存在仍不得而知，也就是说，若实函数空间的基向量组存在，则所有基向量组的基数都相同么？希望有大神能顺带讨论一下这个问题。拓展：对于R上的连续函数空间，情况又是怎样的呢？
基向量当然是有的，选择公理保证了这件事但具体是什么样子那就是不可想象的了，你可以理解成把所有实函数里面线性相关的那些都看成等价类。基数肯定比实数大。
连续函数空间的基比较复杂。&br&闭区间上的连续函数空间，由Weierstrass定理可知，&img src=&///equation?tex=x%5E%7Bn%7D+& alt=&x^{n} & eeimg=&1&&（n是任意自然数，包括0）是一个稠密子集，但不是基。&br&R上的连续函数空间，按一致拓扑，有一个稠密子集，由xy坐标都是有理数的点连起来的折线函数，同时满足这些点的横坐标两两距离的下确界大于0。不过这些折线未必线性无关。。。&br&&br&R上的实函数，是线性空间。有基&img src=&///equation?tex=%0A%5Cbegin%7Bequation%7D%0A++++f_%7Bx_0%7D%28x%29%3D%0A+++%5Cbegin%7Bcases%7D%0A+++0+%26%5Cmbox%7B%24x%5Cne+x_0%24%7D%5C%5C%0A+++1+%26%5Cmbox%7B%24x%3Dx_0%24%7D%0A+++%5Cend%7Bcases%7D%0A++%5Cend%7Bequation%7D& alt=&
\begin{equation}
f_{x_0}(x)=
\begin{cases}
0 &\mbox{$x\ne x_0$}\\
1 &\mbox{$x=x_0$}
\end{cases}
\end{equation}& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=x_0& alt=&x_0& eeimg=&1&&&img src=&///equation?tex=x_0& alt=&x_0& eeimg=&1&&取遍所有实数，显然满足是线性无关的，且可以张成全体实函数。所以基数是&img src=&///equation?tex=%5Caleph+_1& alt=&\aleph _1& eeimg=&1&&.&br&&br&——————————————————————————————————————&br&&br&看了下评论，我好像回答偏了。基有好多种定义。我回答中的基应该是Schauder basis（而且还有点问题……） &a class=& wrap external& href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Schauder_basis& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Schauder basis&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，而评论中说问的应该是hamel basis(named after Georg Hamel)，就是代数基。 当然hamel basis还指实数对有理数构成的向量空间的基。&br&&br&&b&下面几个重要hamel基的相关结论&/b&&br&&ul&&li&先非零线性空间的hamel基一定&b&存在。&/b&&/li&&/ul&证明：主要是用Zorn引理，那就假设选择公理成立了。考虑集合S,其中的元素取遍线性空间V中线性无关的向量组,显然S非空(V不是零线性空间).S上可以定义一偏序关系为包含,即元素a≥b若向量组a包含向量组b.对S的任意全序子集(链)&img src=&///equation?tex=T_i& alt=&T_i& eeimg=&1&&,,我们在S中构造&img src=&///equation?tex=T_i& alt=&T_i& eeimg=&1&&的一个上界&img src=&///equation?tex=M%3D%5Cbigcup_%7B%7D%5E%7B%7D+T_i& alt=&M=\bigcup_{}^{} T_i& eeimg=&1&&,可以验证M是线性无关的，故M属于S。至此,我们证明了S满足Zorn引理的条件.于是,S存在极大元p.&br&作为S的元素,p是线性无关的向量组.而由p的极大性,p添加任意向量都将变成线性相关的,即p能线性表出所有向量.于是p是线性空间V的一组基.&br&&br&&ul&&li&无限维的8anach空间必不是可列维的&/li&&/ul&空间的完备性是必要的，如果是不完备空间，可能是可列维的。比如有限可数的序列构成向量空间，基就是标准向量，故是可列的。这也是为什么一般讨论函数空间不用hamel基，太大了（不可列），不好用。&br&&br&&br&&ul&&li&实数上的不可列维banach空间的hamel基的势等于其自身的势。&/li&&/ul&&p&&a href=&///?target=http%3A///questions/141535/cardinality-of-a-hamel-basis& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&functional analysis&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&我也只是看他的结论，那本论文是德文的我没法看。。。。&br&&/p&&br&&p&————————————————————&br&&/p&&b&势的估计&/b&&br&用上面的定理是可以直接得到结论了。再试试初等的办法。既然是势的估计，那改变一下思路，不直接找基，而是找一族势足够大的函数族。&br&&ul&&li&实数域上的连续函数基的势等于&img src=&///equation?tex=%5Caleph+_1& alt=&\aleph _1& eeimg=&1&&&br&&/li&&/ul&&p&函数族&img src=&///equation?tex=%5Cleft%5C%7B+e%5E%7Bax%7D+%5Cright%5C%7D+& alt=&\left\{ e^{ax} \right\} & eeimg=&1&&,a取遍实数，是线性无关的，且势为&img src=&///equation?tex=%5Caleph_1& alt=&\aleph_1& eeimg=&1&&。而连续函数的势也为&img src=&///equation?tex=%5Caleph_1& alt=&\aleph_1& eeimg=&1&&，故实数域上的连续函数基的势等于&img src=&///equation?tex=%5Caleph+_1& alt=&\aleph _1& eeimg=&1&&。&/p&&ul&&li&实数域上实函数基&/li&&/ul&显然是的势大于等于&img src=&///equation?tex=%5Caleph+_1& alt=&\aleph _1& eeimg=&1&&，但目前我还构造不出势为&img src=&///equation?tex=%5Caleph+_2& alt=&\aleph _2& eeimg=&1&&的线性无关族。
连续函数空间的基比较复杂。闭区间上的连续函数空间，由Weierstrass定理可知，x^{n} （n是任意自然数，包括0）是一个稠密子集，但不是基。R上的连续函数空间，按一致拓扑，有一个稠密子集，由xy坐标都是有理数的点连起来的折线函数，同时满足这些点的横坐标…
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别问我怎么知道的线性代数的商空间V/M,是V的子集吗?为什么?书上说它不是V的子集,说它的每个元素是V内模M的一个同余类
这个是商共间的定义呀.每个同余类当然不是V的子集.如果从每个同余类里找一个代表元出来,构成一个V的子空间.可做成一个和商空间同构的一个线性空间.
还是有点不明白，每个符合V/M的向量应该是属于V的，那么它们构成的集合也应该是V的子集，这个逻辑有什么错误，请您解释一下，谢谢了，最好有具体的例子。
一个类就是V的一个子集。V/M得到的是若干个等价类。当然都不是V的元素
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你可能喜欢线性代数-向量空间问题？求解向量空间中的基的概念；比如M维向量空间，那么其基是含有M个线性无关的向量的，而且可以表示所有的M维向量；我想问的是：这M个向量一定是M维的吗？最近做一些题好像不一定是M维的，可以大于M维的；还有不管这M个向量是否为M维的，这M个向量一定要同维数吗，比如有的是M维，有的大于M维可不可以呢？谢谢
"这M个向量一定是M维的吗？最近做一些题好像不一定是M维的，可以大于M维的；"当然不一定. 向量未必就是指K^n空间里的元素, 还可以是其它比较抽象的向量, 比如R上的连续函数全体构成线性空间, 里面的向量就是连续函数. 如果仅就K^n中的向量而言, 要找到M个线性无关的向量必定有n>=M."还有不管这M个向量是否为M维的，这M个向量一定要同维数吗，比如有的是M维，有的大于M维...
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