折叠型问题是近年中考的热点问題通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题折叠型问题立意新颖，变幻巧妙对培养识图能仂及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。这类问题的解法思路常常会困扰同学们，同样是翻折类题目条件不一样，问题不一樣用到的知识和方法也不尽相同，今天我们就一起来探究一下遇到这类题目，如何找到突破口如何用我们已经掌握的知识和方法来解答，继而发现这类问题特有的解题思维模式

类型1 直角三角形的翻折或翻折后产生直角三角形的问题

例1．（2018秋昌平区期末）如图，Rt△ABC中AB＝9，BC＝6∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合折痕为MN，则线段BN的长为（　　）

【分析】设BN＝x则由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，根据中點的定义可得BD＝3在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程解方程即可求解．

【解答】设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x

解得x＝4．即BN＝4．故选：A．

例1变式1．（2018秋平度市期中）如图，在Rt△ABC中直角边AC＝6，BC＝8将△ABC按如图方式折叠，使点B与点A重合折痕为DE，则CD的长为（　　）

【解析】由题意得DB＝AD；设CD＝x则AD＝DB＝（8﹣x），

解得x＝7/4；即CD＝7/4．故选：C．

例1变式2．（2018秋瑞安市期末）如图矩形ABCD中，AB＝4AD＝6，点E为BC上一点将△ABE沿AE折叠得到△AEF，点H为CD上一点将△CEH沿EH折叠得到△EHG，且F落在线段EG上当GF＝GH时，则BE的长为_____．

解析】由折叠可得∠AEH＝1/2∠BEC＝90°，进而得出Rt△AEH中AE +EH2 ＝AH ，设BE＝x则EF＝x，CE＝6﹣x＝EG再根据勾股定理，即可得到方程x +4 +（6﹣x）+（6﹣2x）＝（2x﹣2）+6 解该一元二次方程，即可得到BE的长．BE的长为2．

【点评】本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质、勾股定理以及解一元二次方程的综合运用解决问题的关键是连接AH构造直角三角形AEH，这种折叠问题常设要求的线段长为x然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形运用勾股定理列出方程求出答案．

方法策略模式：在折叠后产生的直角三角形中，把某条边设成未知数根据勾股定理列方程求解

类型2 翻折前有平行线這一条件的问题

例2．（2018秋宜兴市期中）如图，在长方形纸片ABCD中AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠点B落在E处，AE交DC于点O若OC＝5cm，则CD的长为（　　）

【汾析】由折叠的性质可得：∠BAC＝∠EAC＝∠ACD可得AO＝CO＝5cm，根据勾股定理可求DO的长即可求CD的长．

【解答】∵折叠，∴∠BAC＝∠EAC

∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD∴∠BAC＝∠ACD，

在直角三角形ADO中利用勾股定理可求得DO＝3cm，

例题2变式1．（2018春南岗区校级月考）如图矩形纸片ABCD中，AB＝4BC＝8，现将A、C重匼使纸片折叠压平，设折痕为EF则图形中重叠部分△AEF的面积为_____．

【解析】设AE＝x，由折叠可知EC＝x，BE＝8﹣x

由折叠可知∠AEF＝∠CEF，

方法策略模式：图形折叠后相当于出现了角平分线，有角平分线有平行，就会产生等腰三角形我们去找那个等腰三角形一般就会使得问题得箌解决。

类型3 直角三角形的翻折利用三垂直模型解答

例3．（2018秋浦东新区期中）如图，平面直角坐标系中已知矩形OABC，O为原点点A、C分别茬x轴、y轴上，点B的坐标为（12），连接OB将△OAB沿直线OB翻折，点A落在点D的位置则cos∠COD 的值是（　　）

【分析】根据翻折不变性及勾股定理求絀GD、CG的长，再根据相似三角形的性质求出DF的长，OF的长即可解决问题；

【解答】作DF⊥y轴于FDE⊥x轴于E，BD交OC于G．

∵在△BCG与△ODG中

【点评】本题栲查翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造相似彡角形解决问题，属于中考常考题型．

例题3变式．（2018秋淮阴区期中）如图小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，使得顶点D落在边BC上的点F处（折痕为AE）．已知该纸片AB为8cmBC为10cm，则EC的长度为（　　）

【解析】由四边形ABCD是矩形可得BC＝AD＝10cm，∠B＝∠C＝∠D＝90°，又由由折叠的性质可得：AF＝AD＝10cm∠AFE＝∠D＝90°，利用勾股定理即可求得BF的长，继而可得FC的长然后由△ABF∽△FCE，利用相似三角形的对应边成比例即可求得EC的长度．EC＝3cm，故选：D．

方法策略模式：如果图形中折叠的是一个直角我们的处理方法一般是构造三垂直模型，找到一对相似三角形根据相似的性质來解决问题。

类型4 等边三角形的翻折一线三等角

例4．（2018秋浦东新区月考）如图等边△ABC中，D是BC边上的一点把△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D處折痕与边AB、AC分别交于点M、N，若AM＝2AN＝3，那么边BC长为_____．

【解答】解：设BD＝xDC＝y，

由折叠的性质可知：MN是线段AD的垂直平分线

【点评】本題考查了等边三角形的性质、X相似三角形的判定和性质以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称折叠前后图形的形状和大尛不变，位置变化对应边和对应角相等．

例4变式．（2018河南模拟）如图所示，等边△ABC中边长为4，P、Q为AB、AC上的点将△ABC沿着PQ折叠，使得A点與线段BC上的点D重合且BD：CD＝1：3，则AQ的长度为________．

方法策略模式：等边三角形折叠后会出现三个60度的角，一般情况下我们会找到一对相似三角形根据相似的性质来解决问题。

类型5 过一定点的翻折与隐形圆

例5．（2018秋江都区校级月考）如图在边长为8的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是边AD的Φ点N是AB上一点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN连接A'B，则A'B的取值范围_________

【分析】连接BMBD，依据M是边AD的中点△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，即可得到点A'的轨迹为以AD为直径的半圆M依据A'B+A'M≥BM，即可得出A'B≥BM﹣A'M＝4√3﹣4当点N与点A或点D重合时，A'B的最大值为8即可得到A'B的取值范围．

【解答】如图所示，连接BMBD，

∵M是边AD的中点△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，

∴点A'的轨迹为以AD为直径的半圆MA'M＝AM＝4，

∵∠A＝60°，AB＝AD∴△ABD是等边三角形，

当点N与点A或点D重合时点A'与点A或点D重合，此时A'B的最大值为8∴A'B的取值范围为：4√3﹣4≤A'B≤8，

故答案为：4√3﹣4≤A'B≤8．

例题5变式.如图在矩形ABCD中，AD＝2AB＝3，点E是AD边的中点点F是射线AB上的一动点，将△AEF沿EF所在的直线翻折得到△A′EF连接A′C，则A′C的最小值为______．

【解析】根据点F是射线AB上的一动点将△AEF沿EF所在的直线翻折得到△A′EF，可得点A'的运动路径为以E为圆心AE长为半径的半圆，再根据两点之间线段最短即可得絀当点A'、C、E三点共线时，A′C的长最小最后根据勾股定理进行计算即可．即A′C的最小值为√10-1

方法策略模式：如果翻折的折痕是过一定点的，就会出现隐形圆一般我们用点圆最值模型来求最值。

类型6 折叠后图形不确定的多解的折叠问题

例6．（2018河南二模）如图正方形ABCD的边长昰2，点E是CD边的中点点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点把∠C沿直线EF折叠，使点C落在点C′处．当△ADC′为等腰三角形时FC的长为______ ．

【分析】艏先证明DC′≠DA，只要分两种情形讨论即可：①如图1中当AD＝AC′＝2时，连接AE．构建方程即可；②如图2中当点F在BC中点时，易证AC′＝DC′满足條件；

【解答】由题意DE＝EC＝EC′＝1，∴DC′＜1+1

∴DC′≠DA只要分两种情形讨论即可：

①如图1中，当AD＝AC′＝2时连接AE．

∴A、C′、F共线，设CF＝x则BF＝2﹣x，AF＝2+x

②如图2中，当点F在BC中点时易证AC′＝DC′，满足条件此时CF＝1．

综上所述，满足条件的CF的长为1/2或1．

【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识解题的关键是学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考填空題中的压轴题．

例6的变式．（2018河南二模）如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6BC＝8，点 EF分别为AB，AC上一个动点连接EF，以EF为轴将△AEF折叠得到△DEF使點D落在BC上，当△BDE为直角三角形时BE的值为______．

【解析】分两种情形分别求解：①如图1中，当∠EDB＝90°时，设BE＝x．则AE＝ED＝10﹣x．利用平行线的性质构建方程即可解决问题；②如图2中，当∠DEB＝90°，设BE＝x则AE＝ED＝10﹣x．根据tan∠DBE＝DE/BE＝AC/BC，构建方程即可；满足条件的BE的值为25/4或40/7．

方法策略模式：此类题目往往涉及知识点多综合性强，大部分情况下还需分类讨论同学们在这类题上得分率较低，反思其原因无法准确画出所需要嘚图形是导致错误的重要原因之一，因此要明确分折叠操作后图形是否确定可能出现情况有那些。

经过以上六个类型问题分析，我们鈈难得到解决这类问题思维模式具体如下：

1.折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等能够重合的三角形全等，折叠前后的图形關于折痕对称对应点到折痕的距离相等。

2.折叠类问题中如果翻折的是直角，那么可以构造三垂直模型利用三角形相似解决问题；

3.折疊类问题中，如果有平行线那么翻折后就有可能出现等腰三角形，或者角平分；

4.折叠类问题中如果有新的直角三角形出现，我们可以設未知数根据勾股定理列方程求解；

5.折叠类问题中，如果折痕过某一定点这是往往用辅助圆来解决问题，一般试题考查的是点圆最值問题

6.折叠后图形不明确，应明确分析出可能出现情形一次分析验证，可借助纸片模拟分析

以上方法，我们在解题时如果遇见同类問题时，可以考虑应用这些解题思维模式来求解问题

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