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考研高数极限
14:18:25 来源：新东方在线
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　　2015年入学考试已经越来越近了，新东方在线小编为大家整理了极限的相关信息，希望对大家的复习有所帮助!　　极限是研究变量的变化趋势的一个基本工具，在高等数学中许多基本概念和研究问题的方法都和极限密切相关，如函数y=f(x)在x= x0处导数的定义、定积分的定义、偏导数的定义、二重积分和三重积分的定义、无穷级数收敛的定义等等。这些高数中最重要的概念都是用极限来定义的。极限是贯穿高等数学的一条主线，它将高等数学的各个知识点连在一起。实际上，极限的思想和方法产生于某些实际问题的精确解，并且对数学在实际中的应用也有着重要的作用，因此往往把求极限问题作为考核的一个重点。下面我们来介绍几种试题中经常出现的求极限的问题。　　1. 利用两个重要极限法　　2. 洛必达法则与等价无穷小替换结合法　　对于一些函数求极限问题，洛必达法则和等价无穷小结合御用，往往能化简运算，收到奇效。　　3. 夹逼定理法　　4. 泰勒展开法　　5. 利用定积分的定义求极限法　　积分本质上是和式的极限，所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。　　6. 利用极限的四则运算法求极限　　这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。　　7. 利用导数的定义求极限　　这种方法要求熟练的掌握导数的定义。　　8. 利用复合函数求极限　　　以上就是小编为大家整理的考研高数极限的相关信息，祝大家都能考出好成绩!
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考研公开课《高等数学》极限运算技巧
要】《高等数学》教学中对于极限部分的要求很高，这主要是因为其特殊的地位决定的。然而极限部分绝大部分的运算令很多从中学进入高校的学生感到困窘。本文立足教材的基本概念阐述，着重介绍极限运算过程中极具技巧的解决思路。希望以此文能对学习者有所帮助。
【关键词】高等数学 极限 技巧
《高等数学》极限运算技巧
《高等数学》的极限与连续是前几章的内容，对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节。是“初等数学”向“高等数学”的起步阶段。
&&&&一，极限的概念
从概念上来讲的话，我们首先要掌握逼近的思想，所谓极限就是当函数的变量具有某种变化趋势（这种变化趋势是具有唯一性），那么函数的应变量同时具有一种趋势，而且这种趋势是与自变量的变化具有对应性。通俗的来讲，函数值因为函数变量的变化而无限逼近某一定值，我们就将这一定值称为该函数在变量产生这种变化时的极限！
&&&从数学式子上来讲，逼近是指函数的变化，表示为。这个问题不再赘述，大家可以参考教科书上的介绍。
二，极限的运算技巧
&我在上课时，为了让学生好好参照我的结论，我夸过这样一个海口，我说，只要你认真的记住这些内容，高数部分所要求的极限内容基本可以全部解决。现在想来这不是什么海口，数学再难也是基本的内容，基本的方法，关键是技巧性。我记得blog中我做过一道极限题，当时有网友惊呼说太讨巧了！其实不是讨巧，是有规律可循的！今天我写的内容希望可以对大家的学习有帮助!
&我们看到一道数学题的时候，首先是审题，做极限题，首先是看它的基本形式，是属于什么形式采用什么方法。这基本上时可以直接套用的。
&& 1，连续函数的极限
&这个我不细说，两句话，首先看是不是连续函数，是连续函数的直接带入自变量。
&& 2，不定型
&我相信所有学习者都很清楚不定型的重要性，确实。那么下面详细说明一些注意点以及技巧。
&第一，所有的含有无穷小的，首先要想到等价无穷小代换，因为这是最能简化运算的。等价代换的公式主要有六个：
需要注意的是等价物穷小代换是有适用条件的，即：在含有加减运算的式子中不能直接代换，在部分式子的乘除因子也不能直接代换，那么如果一般方法解决不了问题的话，必须要等价代换的时候，必须拆项运算，不过，需要说明，拆项的时候要小心，必须要保证拆开的每一项极限都存在。
此外等价无穷小代换的使用，可以变通一些其他形式，比如：等等。特别强调在运算的之前，检验形式，是无穷小的形式才能等价代换。
当然在一些无穷大的式子中也可以去转化代换，即无穷大的倒数是无穷小。这需要变通的看问题。
在无穷小的运算中，洛必答法则也是一种很重要的方法，但是洛必答法则适用条件比较单一，就是无穷小比无穷小。比较常见的采用洛必答法则的是无穷小乘无穷大的情况。(特别说明无穷小乘无穷大可以改写为无穷小比无穷小或者无穷大比无穷大的形式，这根据做题的需要来进行）。
第二，在含有∞的极限式中，一般可分为下面几种情况：
（1），“∞/∞ ”形式
如果是幂函数形式的（包含幂函数四则运算形式），可以找高次项，提出高次项，这样其他一切项就都是无穷小了，只有高次项是常数。比如：
，这道题中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他项都是“0”，原来的x都是常数1了。当然如果分式形式中，只有分子中含有高次项，那么该极限式极限不存在（是无穷大），如果只有分母中含有高次项，那么该极限式极限为0，如果分子分母都含有高次项，我们可以直接去看高次项的系数，基本原理其实就是上面所说的提高次项。比如上面的例子，可以直接写1/2。
如果不是纯幂函数形式，无法用提高次项的方法（提高次项是优先使用的方法），使用洛必达也是一种很好的方法。需要强调的是洛必达是一种解决“∞/∞
”的基本方法，它的严格限制形式只有这两种，所以比较好观察。但是多数时候我们优先采用其他的方法来解决，这主要是考虑运算量的问题。
（2），“∞-∞ ”形式
“ ∞-∞”形式不能直接运算，需要转换形式，即转换成“∞/∞ ”或“0/0
”的形式，基本解法同上。比如：
这道题是转换形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次项解。
这也是需要转换的一种基本形式。因为无穷大与无穷小之间的倒数关系，所以这种转换时比较简单也是比较容易解决的。转换之后的形式也是“∞/∞
”或“0/0 ”的形式。
这种形式的解决思路主要有两种。
第一种是极限公式，这种形式也是比较直观的。比如： 这道题的基本接替思路是，检验形式是“
”，然后选用公式，再凑出公式的形式，最后直接套用公式。
第二种是取对数消指数。简单来说，“
”形式指数的存在是我们解题的主要困难。那么我们直接消掉指数就可以采用其他方法来解决了。比如上面那道题用取对数消指数的方法来解，是这样的：
可以看出尽管思路切入点不一样，但是这两种方法有异曲同工之妙。
三，极限运算思维的培养
极限运算考察的是一种基本能力，所以在做题或者看书的时候依赖的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使学习事半功倍。而极限思维的培养则是对做题起到指导性的意义。如何培养，一方面要立足概念，另一方面则需要在具体的运算中体会，多做题多总结。
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高数总结求极限方法
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代入法, 分母极限不为零时使用.先考察分母的极限,分母极限是不为零的常数时即用此法.【例1】lim[x-->√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1)lim[x-->√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1)
=(3-3)/(9+3+1)=0【例2】lim[x-->0](lg（1+x）+e^x)/arccosxlim[x-->0](lg（1+x）+e^x)/arccosx
=(lg1+e^0)/arccos0
倒数法,分母极限为零,分子极限为不等于零的常数时使用.【例3】 lim[x-->1]x/(1-x)∵lim[x-->1] (1-x)/x=0
∴lim[x-->1] x/(1-x)= ∞以后凡遇分母极限为零,分子极限为不等于零的常数时,可直接将其极限写作∞.3. 消去零因子（分解因式）法,分母极限为零,分子极限也为零,且可分解因式时使用.【例4】 lim[x-->1](x^2-2x+1)/(x^3-x)lim[x-->1](x^2-2x+1)/(x^3-x)
=lim[x-->1](x-1)^2/[x(x^2-1)
=lim[x-->1](x-1)/x
=0【例5】lim[x-->-2](x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6)lim[x-->-2] (x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6)
= lim[x-->-2]x(x+1)(x+2)/[(x+2)(x-3)]
= lim[x-->-2]x(x+1) / (x-3)
=-2/5【例6】lim[x-->1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4)lim[x-->1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4)
= lim[x-->1](x-2)(x-4)/[(x-1)(x-4)]
= lim[x-->1](x-2) /[(x-1)
=∞【例7】lim[h-->0][(x+k)^3-x^3]/hlim[h-->0][(x+h)^3-x^3]/h
= lim[h-->0][(x+h) –x][(x+h)^2+x(x+h)+h^2]/h
= lim[h-->0] [(x+h)^2+x(x+h)+h^2]
=2x^2这实际上是为将来的求导数做准备.4. 消去零因子（有理化）法,分母极限为零,分子极限也为零,不可分解,但可有理化时使用.可利用平方差、立方差、立方和进行有理化.【例8】lim[x-->0][√1+x^2]-1]/xlim[x-->0][√1+x^2]-1]/x
= lim[x-->0][√1+x^2]-1] [√1+x^2]+1]/｛x[√1+x^2]+1]｝
= lim[x-->0][ 1+x^2-1] /｛x[√1+x^2]+1]｝
= lim[x-->0] x / [√1+x^2]+1]
=0【例9】lim[x-->-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3))lim[x-->-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3))
=lim[x-->-8][√(1-x)-3] [√(1-x)+3] [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]÷{(2+x^(1/3))[4-2x^(1/3)+x^(2/3)] [√(1-x)+3]}
=lim[x-->-8](-x-8) [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/{(x+8)[√(1-x)+3]}
=lim[x-->-8] [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/[√(1-x)+3]
=-25. 零因子替换法.利用第一个重要极限：lim[x-->0]sinx/x=1,分母极限为零,分子极限也为零,不可分解,不可有理化,但出现或可化为sinx/x时使用.常配合利用三角函数公式.【例10】lim[x-->0]sinax/sinbxlim[x-->0]sinax/sinbx
= lim[x-->0]sinax/(ax)*lim[x-->0]bx/sinbx*lim[x-->0]ax/(bx)
=1*1*a/b=a/b【例11】lim[x-->0]sinax/tanbxlim[x-->0]sinax/tanbx
= lim[x-->0]sinax/ sinbx*lim[x-->0]cosbx
=a/b6. 无穷转换法,分母、分子出现无穷大时使用,常常借用无穷大和无穷小的性质.【例12】lim[x-->∞]sinx/x∵x-->∞
∴1/x是无穷小量
∵|sinx|∞]sinx/x=0【例13】lim[x-->∞](x^2-1)/(2x^2-x-1)lim[x-->∞](x^2-1)/(2x^2-x-1)
= lim[x-->∞](1 -1/x^2)/(2-1/x-1/ x^2)
=1/2【例14】lim[n-->∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1)lim[n-->∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1)=lim[n-->∞][n( n+1)/2]/(2n^2-n-1)=lim[n-->∞][ (1+1/n)/2]/(2-1/n-1/n^2)=1/4【例15】lim[x-->∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50lim[x-->∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50
= lim[x-->∞][(2x-3)/ (5x+1)]^20[(3x+2)/ (5x+1)]^30
= lim[x-->∞][(2-3/x)/ (5+1/ x)]^20[(3+2/ x)/ (5+1/ x)]^30
=(2/5)^20(3/5)^30=2^20*3^30/5^50
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判断当x→x0时的极限，只要考察左、右极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。
例如f(x)=arctan(1/x)，在x=0处的左极限为-π/2，右极限为π/2，两者不相等，所以当x→0时，arctan(1/x)的极限不存在。
判断当x→∞时的极限，只要考察x→-∞与x→+∞时的极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。
例如f(x)=e^x，当x→-∞时的极限为0，当x→+∞时的极限为+∞，两者不相等，所以当x→∞时，e^x的极限不存在。
极限不存在的几种情况:
1.结果为无穷大时,像1/0,无穷大等
2.左右极限不相等时,尤其是分段函数的极限问题
若存在实数L，使limsin(1/x)=L，
取ε=1/2，
在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，
①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，...
多元函数的极限要证明存在是不容易的，要证明不存在则是非常容易的，只要选择一种方式使极限不存在或选择两种方式使极限不相等，就可以得到极限不存在的结论了。
简单地说,收敛是数列的通项在n趋向于无穷大时数列的通项趋向于一个数,即有极限
答案似乎应该是-1吧。
1/(1-x)-3/(1-x^3)
=（x^2+x+1-3)/(1-x^3)
=(x^2+x-2)/(1-x^3)
答: 大学里面,编程专业和会计专业女生多不多,哪个多些
答: 我可以给你提供个想法，仅供参考咯~！
可以从培训人才和被培训人才的数据比例来说明拉，很有说服力哦~！
祝你好运！
答: 小学科学教案|小学科学教案下载 21世纪教育网
答: 请说的明白点啊，你是要什么性质考试的啊，自考？成考？普通？
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请问图中的题目为什么能直接把原极限拆开成两个?而且还在两个分开的极限里用等价无穷小替换和洛必达法则?
不是等价无穷小替换只能对乘除因子和洛必达法则也不能局部使用吗?我知道如果拆开的两个极限都存在的话这当然成立，但是如果都知道存在了那还求个P啊(?_?)好矛盾
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