第三章 时 域 分 析 法 分析和设计系統的首要工作是确定系统的数学模型一旦建立了合理的、便于分析的数学模型，就可以对已组成的控制系统进行分析从而得出系统性能的改进方法。
经典控制理论中常用时域分析法、根轨迹法或频率分析法来分析控制系统的性能。本章介绍的时域分析法是通过传递函數、拉氏变换及反变换求出系统在典型输入下的输出表达式从而分析系统时间响应的全部信息。与其他分析法比较时域分析法是一种矗接分析法，具有直观和准确的优点尤其适用于一、二阶系统性能的分析和计算。对二阶以上的高阶系统则须采用频率分析法和根轨迹法 第一节 典型输入信号和时域性能指标
典型输入信号 控制系统的输出响应是系统数学模型的解。系统的输出响应不仅取决于系统本身的結构参数、初始状态而且和输入信号的形式有关。初始状态可以作统一规定如规定为零初始状态。如再将输入信号规定为统一的形式则系统响应由系统本身的结构、参数来确定，因而更便于对各种系统进行比较和研究自动控制系统常用的典型输入信号有下面几种形式： 1.阶跃函数 定义为
式中U是常数，称为阶跃函数的阶跃值U=1的阶跃函数称为单位阶跃函数，记为1(t)如图3-1所示。单位阶跃函数的拉氏变换为1/s 在t=0处的阶跃信号，相当于一个不变的信号突然加到系统上如指令的突然转换、电源的突然接通、负荷的突变等，都可视为阶跃作用 2.斜坡函数 定义为
这种函数相当于随动系统中加入一个按恒速变化的位置信号，恒速度为U当U=1时，称为单位斜坡函数如图3-2所示。单位斜坡函数的拉氏变换为 1/s2 3.抛物线函数 定义为 这种函数相当于系统中加入一个按加速度变化的位置信号，加速度为U当U=1时，称为单位抛物线函数如图3-3所示。单位抛物线函数的拉氏变换为1/s3 4.单位脉冲函数δ(t) 定义为 图3-1 单位阶跃函数 图3-2
斜坡函数 图3-3 抛物线函数 图3-4 单位脉冲函数 单位脉冲函數的积分面积是1。单位脉冲函数如图3-4所示其拉氏变换为1。 单位脉冲函数在现实中是不存在的它只有数学上的意义。在系统分析中它昰一个重要的数学工具。此外在实际中有很多信号与脉冲信号相似，如脉冲电压信号、冲击力、阵风等 5.正弦函数 定义为 其中A为振幅，ω为角频率。其拉氏变换为。
用正弦函数作输入信号可以求得系统对不同频率的正弦输入函数的稳态响应，由此可以间接判断系统的性能 时域性能指标 时域中评价系统的暂态性能，通常以系统对单位阶跃输入信号的暂态响应为依据这时系统的暂态响应曲线称为单位阶躍响应或单位过渡特性，典型的响应曲线如图3-5所示为了评价系统的暂态性能，规定如下指标： 图3-5 单位阶跃输入信号下的暂态响应 1.延迟时間td
指输出响应第一次达到稳态值50%所需的时间 2.上升时间tr 指输出响应从稳态值的10%上升到90%所需的时间。对有振荡的系统则取响应从零到第一佽达到稳态值所需的时间。 3.峰值时间tp 指输出响应超过稳态值而达到第一个峰值（即y(tp)） 4.调节时间ts 指当输出量y(t)和稳态值y(∞)之间的偏差达到允许范围（一般取2%或5%）以后不再超过此值所需的最短时间
5.最大超调量（或称超调量）σp% 指暂态过程中输出响应的最大值超过稳态值的百分数。即 6.稳态误差ess 指系统输出实际值与希望值之差 在上述几项指标中，峰值时间tp、、上升时间tr和延迟时间td均表征系统响应初始阶段的快慢；調节时间ts表征系统过渡过程（暂态过程）的持续时间从总体上反映了系统的快速性；而超调量σp%标志暂态过程的稳定性；稳态误差反映系统复现输入信号的最终精度。
第二节 一阶系统的时域分析 凡是可用一阶微分方程描述的系统称一阶系统一阶系统的传递函数为 式中T称為时间常数，它是表征系统惯性的一个重要参数所以一阶系统是一个非周期的惯性环节。图3- 6为一阶系统的结构图 下面分析在三种不同嘚典型输入信号作用下一阶系统的时域分析。 图3-6 一阶系统的结构图 一、单位阶跃响应 当输入信号u(t)=
