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关于一个关于多元函数求导的问题，网友们最关心的问题
答：偏导数的定义 fx(x0，y0) =lim(△x→0)[f(x0+△x，y0)-f(x0，y0)]/△x 观察分子，可以看到，y的值始终保持y0不变， 所以，完全可以首先代入y=y0， 然后对x求导。
答：二元函数f对其第一个自变量的偏导数记作f1'，对第二个自变量的偏导数记作f2'，它的好处是不用引入中间变量的符号。如果引入了中间变量u,v，那么f1'就是f(u,v)对u的偏导数，f2'是f(u,v)对v的偏导数。 f1'与f2'还是u,v的函数，所以还是x,y的复合函...
答： 举个例子就够了，如下这个函数满足你的条件：
答：以目标变量为x为例，先对所有与x有关的中间变量求导，这些中间变量中若为关于x的变量，则对其继续求导，直到最后对x求导为止。 如例1：z对x求导，首先看z=(e^u)sinv，u、v均为中间变量，所以先∂z/∂u，然后u是x的直接函数，所以再乘...
答：多元函数的求导问题 答：实际上你的问题包含了两个问题： (一).已知方程F(x，y，z)=0能确定一个二元函数：z=f(x，y)，其中x和y是两个独立的变量，这时 ∂z/∂x=-(∂F/∂x)/(∂F/∂z)，∂z/∂y=-(&#8706...
答：看求导的函数是一元函数还是多元函数，一元用dy/dx，多元用ay/ax，例如z=f(u(t),v(t))，这是复合函数，t通过u,v复合得到z=f(u,v)，本质上只有一个变量t，因此z对t求导用dz/dt，根据复合函数求导法则，z对f求导时变量有两个u,v，故用az/au，而u,v...
答：设二元函数f(x,y)=3x^2+6y^3+5xy+10x^3y^2+8 1、对x求偏导：把x当做未知数，y当做常数，即得fx=6x+5y+30x^2y^2 2、对y求偏导：把y当做未知数，x当做常数，即得fy=18y^2+5x+20x^3 上面求的是一阶偏导数，二阶偏导数同样的道理，只不过在一阶偏导...
答：1、整个推导过程，仅仅只是反复使用链式求导法则； 链式求导法则 = chain rule . 2、具体推导过程，请参看下图。 如有疑问，欢迎追问，有问必答，有疑必释。 . 3、若点击放大，图片将会更加清晰。 . . . . .
答：因为 r 为矢量 其标量形式为 r=√（x^2+y^2+z^2） 故 dr=x/r dx+y/r dy+z/r dz r'y=y/r 就成了后面那个样子！！！
答：我觉得应该是上面这一种，因为Z是u的一元函数。
答：全导数的概念就是对只有一个自变量而言的。一个多元函数无论与其他函数多少次复合，只要最终只有一个自变量，我们对这个唯一的自变量求导，求得的就是全导数。 而多元函数，无论它是否是与多元函数还是一元函数复合，只要最终函数的自变量不止一...
答：这与一元函数和二元函数的定义域有关，一元函数的定义域是一段区间，dx对应x轴上的一个线段，dy与dx成线性关系，导数可以表示为dy/dx，所以能够约掉；二元函数定义域是二维的面积，函数的增量dz需要x和y联合确定，单独的∂u是没有意义的： ...
答：方程1得：y=-x-z 代入方程2得：x²+(x+z)²+z²=1 即：x²+z²+xz=1/2 对z求导：2xx'+2z+x'z+x=0, 得：x'=-(x+2z)/(2x+z) 即dx/dz=-(x+2z)/(2x+z) 同理， dy/dz=-(y+2z)/(2y+z)。
答：求导法则 对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有 y' 的一个方程，然后化简得到 y' 的表达式。 隐函数导数的求解一般可...
答：！？。
答：1、本题的解答方法是： A、根据全微分的形式，构想另一个函数F(x,y)； B、再根据二阶混合偏导相等，得到答案。 . 2、具体解答如下： （若点击放大，图片更加清晰） .
答：多元函数在某一点极限不存在，则在此点不连续，故不存在偏导数，偏导数是指沿某一个固定方向的导数，不是所有方向。fx(x,y)=fy（x,y)=常数A不能证明此点在某一方向的偏导数存在或不存在。
答：隐函数是用式子F(x，y)=0来表示的，其实质仍然是每个x对应唯一的一个y值， 在对隐函数求导的时候，就是用原来的式子对x求导数，而把y视为一个中间变量，再求导一次后得到y' 如y²对x求导就得到2yy' 例如对于隐函数x²+y²=0， x&#17...
答：x与y只是一个字母符号。 这是多元函数求偏导的情况。 对x求导，把y看成一个常量 对y求导，把x看成一个常量 题不难。 希望对你有帮助，望采纳，加油，亲爱的，Happiness与你同在^ ^
答：多元函数在某一点极限不存在，则在此点不连续，故不存在偏导数，偏导数是指沿某一个固定方向的导数，不是所有方向。fx(x,y)=fy（x,y)=常数A不能证明此点在某一方向的偏导数存在或不存在。
答：一个函数连续，要求沿着任意方向趋近于一个点的极限存在且相等，但是二阶偏导数存在，只能说明一阶偏导数沿着坐标轴的极限存在。所以并不满足一阶偏导数存在的条件
答：目标函数是v = 2x*2y*2z 约束函数是f(x) = x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2 -1 用拉格朗日乘数法来求有约束条件的函数极限值 L = v + λf(x) L = 8xyz + λ( x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2 -1) 然后风别求L对x ，L对y ，L对z的偏导数 L（x） = 8yz + 2x(λ/a^2)...
答：给定一个二元函数，连续偏导数存在。 二元函数连续可导可微，最强的一个是偏导数连续，这个可以推出其他几个。其次是可微，这个可以推出连续，偏导数存在，极限存在。其他三个强度差不多，偏导存在跟连续和极限存在无关，连续能推出极限存在，反...
答：当x→x0，y→y0时limf(x,y)=f(x0,y0)则f(x,y),在点(x0,y0)处连续 本题应当求(x,y)→(0,0)时(x^2*y^2)/(x^4+y^2)=f(0,0)=0是否成立
答：这个要从隐函数定理说起 比如按照您的条件，F(x,y,z) = 0 存在隐函数z = z(x,y) 对x求偏导,得 Fx'(x,y,z) + Fz'(x,y,z).（偏z/偏x）=0 即偏z/偏x = -Fx'(x,y,z) / Fz'(x,y,z) 这样您就知道Fx'(x,y,z)“将z看作与x,y无关的量”的原因了。事实上是复...
答：1、[f(x)-e^x]sinydx-f(x)cosydy是一个二元函数的全微分 d{[f(x)-e^x]siny}/dy=d{-f(x)cosy}/dx [f(x)-e^x]cosy=-f'(x)cosy f'+f=e^x，f(0)=0 f=[e^x -e^(-x)]/2 2、设u=x+g(y),v=y f(u,v)=[u-g(v)]v=uv-vg(v) δf/δu=v,δf/δv=u-g(v)-vg'(v) [δ^2...
答：只要认识到下面f1,f2,f3是指对第一第二个第三个变量求偏导数就好啦 说实话，多元微分的东西是有点儿绕，但是只要紧紧抓住最基本的定义就好
答： z = x*y; dzdx = diff(z, x); dzdy = diff(z, y); 其中 dzdx = diff(z, x);的意思是将z对x求导 可以试一试，望采纳！
答：函数f(x1，x2，...，xn)在点x0沿方向u＝（u1，u2，...，un）的方向导数为 af/ax1*u1+af/ax2*u2+...+af/axn*un＝， 其中Df(x0)就是f在x0的梯度向量，表示内积。 由Cauchy_Schwartz不等式知道当且仅当u和Df(x0)同方向时，内积最大， 反方向时内积...
答：你都能求出具体值了，当然存在 但，判断一个偏导数是否存在有别的办法 本质是判断极限的存在性
答：必要不充分
答：不同之处：一元：可导必连续；多元：可导未必连续 一元：可导必可微，可微必可导； 多元：可微必可导，可导不一定可微 雷同：均为函数改变量与自变量改变量比的极限； 几何意义均为函数（截线）的切线的斜率 ； 基本求导公式相同 一阶微分具有形...
答：根据xy的关系，
答：f(x,y,z)=xy+zy+xz, x=u² - v², y=1/v, z=uv. 计算∂²f/∂u²，∂²f/∂u∂v，∂²f/∂v²； 解：∂f/∂u=(∂f/∂x)(∂x/∂u)+(∂f/&#8...
答：函数与极限：1.求极限的方法（a.等价无穷小 b.落必达法则） 2.无穷小的比较 3.函数的连续性以及间断点 （注：等价无穷小，落必达，间断点的类型判断是重点） 导数的应用：其实就是对于物理的理解以及一些与实际生活相关的问题不是考察重点难度也...
答：首先， ∂u/∂l = (∂u/∂x)cosα+(∂u/∂y)cosβ+(∂u/∂z)cosγ， 这样， ∂²u/∂l² = (∂/∂l)[(∂u/∂x)cosα+(∂u/∂y)cosβ+(∂u/∂z)c...
答：MATLAB
答：数学一是报考理工科的学生考， 考试内容包括高等数学，线性代数和概率论与数理统计， 考试的内容是最多的 高数里基本所有的内容都会考的 只要有多元函数微积分都会考的，你这个内容一定有的
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关于隐函数的导数收藏
为什么得出这个式子？！
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y是x的函数
简单地说就是把dy/dx看成y'
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高等数学第二章：导数与微分日期：
导数与微分第一节 导数的概念教学目的：理解导数的概念及几何意义会求平面曲线的切线和法线, 了解导数的物理意义, 理解函数连续性与可导性之间的关系教学重点：导数的概念, 导数的几何意义 教学难点：导数定义的理解, 不同形式的掌握 教学内容：1. 函数在一点的导数为了给出导数的概念，我们先看下面两个问题。 （1）直线运动的速度设某点沿直线运动。在直线上引入原点和单位点（即表示实数1的点），使直线成为数轴。此外，再取定一个时刻作为测量时间的零点。设动点于时刻t 在直线上的位置的坐标为s （简称位置s ）。这样，运动完全由某个函数s =f (t )所确定。这函数对运动过程中所出现的t 值有定义，称为位置函数。在最简单的情形，该动点所经过的路程与所花的时间成正比。就是说，无论取哪一段时间间隔，比值经过的路程 所花的时间①总是相同的。这个比值就称为该动点的速度，并说该点作匀速运动。如果运动不是匀速的，那么在运动的不同时间间隔内，比值①会有不同的值。这样，把比值①笼统地称为该动点的速度就不合适了，而需要按不同时刻来考虑。那么，这种非匀速运动的动点在某一时刻（设为t 0）的速度应如何理解而又如何求得呢？首先取从时刻t 0到t 这样一个时间间隔，在这段时间内，动点从位置s 0这时由①式算得的比值=f (t 0)移动到s t =f (t )。s -s 0f (t )-f (t 0) =t -t 0t -t 0②可认为是动点在上述时间间隔内的平均速度。如果时间间隔选得较短，这个比值②在实践中也可用来说明动点在时刻t 0的速度。但对于动点在时刻t 0的速度的精确概念来说，这样做是不够的，而更确切地应当这样：令t→t 0, 取②式的极限，如果这个极限存在，设为v 0，即v 0=limt →t f (t )-f (t 0)，这时就把t -t 0这个极限值v 0称为动点在时刻t 0的（瞬时）速度。（2）切线问题圆的切线可定义为“与曲线只有一个交点的直线”。但是对于其它曲线，用“与曲线只有一个交点的直线”作为切线的定义就不一定合适。例如，对于抛物线y =x 2，在原点O 处两个坐标轴都符合上述定义，但实际上只有x 轴是该抛物线在点O 处的切线。下面给出切线的定义。设有曲线C 及C 上的一点M （图2-1），在点M 外另取C 上一点N ，作割线MN 。当点N 沿曲线C 趋于点M 时，如果割线MN 绕点M 旋转而趋于极限位置MT , 直线MT 就称为曲线C 在点M 处的切线。这里极限位置的含义是：只要弦长现在就曲线C 为函数（图2-2），则MN 趋于零，∠NMT 也趋于零。设M (x 0，y 0)是曲线C 上的一个点y =f (x )的图形的情形来讨论切线问题。处的切线，只要定出切线的斜率就行了。根据上述定义要定出曲线C 在点M y 0=f (x 0)。为此，在点M 外另取C 上的一点N(x ，y )，于是割线MN 的斜率为y -y 0f (x )-f (x 0)， =x -x 0x -x 0tan ?=其中?为割线MN 的倾角。当点N 沿曲线C 趋于点M 时，x 限存在，设为k , 即→x 0。如果当x →x 0时，上式的极k =limx →x 0f (x )-f (x 0)x -x 0=tan α，其中α是切线MT的倾角。存在，则此极限k 是割线斜率的极限，也就是切线的斜率。这里k 于是，通过点M(x 0，f (x 0))且以k 为斜率的直线MT，可见x便是曲线C 在点M 处的切线。事实上，由∠NMT =?-α以及x →x 0时?→αM T ，∠N →x 0时（这时MN →0）→0。因此直线MT 确为曲线C 在点M 处的切线。 图2-1 图2-2 我们撇开这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性给出导数的概念。 定义 设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义，当自变量x 在x 0处取得增量?x （点x 0+?x 仍y 取得增量?y =f (x 0+?x )-f (x 0)；如果?y 与?x 之比当?x →0在该邻域内）时，相应地函数时的极限存在，则称函数记为y =f (x )在点x 0处可导，并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数，y 'x =x，即 y 'x =x =lim f (x 0+?x )-f (x 0)?y=lim ，?x →0?x ?x →0?x③也可记作f '(x 0)，dy df (x )或。 dx x =x 0dx x =x 0函数f (x )在点x 0处可导有时也说成f (x )在点x 0具有导数或导数存在。→0，如果当?x?y ?x的极限不存在，则f (x )在x 0处不可导。f (x 0+h )-f (x 0) h导数的定义式③也可取不同的形式，常见的有f '(x 0)=limh →0④和f '(x 0)=limx →x 0f (x )-f (x 0)x -x 0 ⑤注：函数在一点的导数的几何定义：路程Sf '(x )是曲线y =f (x )在(x 0，f (x 0))点的切线斜率；=S (t )对时间t 的导数S '(t 0)是t 0时刻的速度；在抽象情况下，f '(x 0)表示y =f (x )在x =x 0点变化的快慢。?y=f '(x )存在。由具有极限的函数与无穷小的关系知道，?x →0?x2. 可导与连续的关系设函数即lim y =f (x )在点x 处可导，，其中α当?x?y=f '(x )+α?x→0时为无穷小。上式两边同乘以?x ，得?y =f '(x )?x +α?x 。由此可见，当?x→0时，?y →0。这就是说，函数y =f (x )在点x 处是连续的。所以，如果函数y =f (x )在点x 处可导，则函数在该点必连续。另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点处可导。 2. 左导数与右导数根据函数f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)的定义，是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右右极限都存在且相等。f '(x 0)存在即f (x )在点x 0处可导的充分必要条件是左、极限都存在且相等，因此这两个极限分别称为函数f (x )在点x 0处的左导数和右导数，记作f -'(x 0)及f +'(x 0)，即（1）函数f (x )在点x 0处的左导数f -'(x 0)=lim -?x →0f (x 0+?x )-f (x 0)f (x ) -f (x 0) ?y=lim -=limx →x 0?x ?x →0?x x -x 0x <x （2）函数f (x )在点x 0处的右导数f +'(x 0)=lim +?→0f (x 0+?x )-f (x 0)f (x ) -f (x 0) ?y=lim +=limx ←x 0?x ?x →0?x x -x 0x >x 现在可以说，函数在点x 0处可导的充分必要条件是左导数如果函数可导。 3.f -'(x 0)和右导数f +'(x 0)都存在且相等。'(a )及f -'(b )都存在，且f +就说f (x )在闭区间[a ，b ]上f (x )在开区间(a ，b )内可导，f (x ) 在开区间(a , b ) 内的导数f (x ) 在区间(a , b ) 内的任意一点都可导，则f (x ) 在(a , b ) 内可导，对于(a , b ) 内的任意一点如果函数x ，都有一个确定的导数值f ' (x ) ，区间(a , b )3. 求导练习下面根据导数定义求一些简单函数的导数。 例1 求函数解：于零。例2 求函数f (x )=C （C 为常数）的导数。h →0f '(x )=limf (x +h )-f (x )C -C '=lim =0，即(C )=0。这就是说，常数的导数等h →0h hf (x )=x n （n 为正整数）在x =a 处的导数。解：f (x )-f (a )x n -a nf '(a )=lim =lim =lim x n -1+ax n -2+ +a n -1=na n -1。x →a x →a x -a x →a x -a()把以上结果中的a 换成x 得更一般地，对于幂函数'f '(x )=nx n -1，即(x n )=nx n -1。为常数），有y =x μ（μ(x )'=μxμμ-1。这就是幂函数的导数公式。利用这公式，可以很方便地求出幂函数的导数，例如：1当μ=时，y =x 2=x （x >0）的导数为21'11-1-?1?11x 2?=x 2=x 2，即 ?22??x )'=21x ；当μ=-1时，y =x -1=-11x '（x ≠0）的导数为-1-1(x )=(-1)x例3 求函数'11??=-x -2，即 ?=-2x ?x ?。f (x )=sin x 的导数f (x +h )-f (x )sin (x +h )-sin x 1h ?h ?=lim =lim ?2cos x +?sin 解：f '(x )=limh →0h h →0h h →0h ?2?sinh=lim ?h ?，h →0cos ?x +2???h =cos x 2即(sin x )'=cos x 。这就是说，正弦函数的导数是余弦函数。 用类似的方法，可求得(cos x )'=-sin x ，这就是说，余弦函数的导数是负的正弦函数。例4 求函数f (x )=a x （a >0，a ≠1）的导数。h 解：'(x )=lim f (x +h )-f (x )h →0h =lim a x +-a x h →0h =a lim a h f x-1h →0h=a x ln a即(a x)'=axln a 。这就是指数函数的导数公式。特殊地，当a =e 时，因ln e =1，故有(e x)'=ex。上式表明，以e 为底的指数函数的导数就是它自己，这是以e 为底的指数函数的一个重要特性。例5 讨论f (x )=??x 2，x <1，x ≥1在点x =1连续性与可导性 ?2x 解： lim x →1-f (x )=1，lim →1f (x )=2 x +∴f (x )在x =1不连续，即f (x )在x =1不可导。例6 讨论f (x )=??x 2+1，x <1在点x =1连续性与可导性 ?2x ，x ≥1解： f f (-'(1)=lim x )-f (1)x →1-x -1=lim x 2+1-2x →1-x -1=2 2∴f +'(1)=lim +x →1f (x )-f (1)2x -2=lim =2 x →1+x -1x -1f '(1)=2，f (x )在x =1可导，当然在x =1点连续。例7 讨论?x ，x ≤1 f (x )=?2-x ，x >1?解： lim -x →1(2-x )=1 f (x )=lim x =1，lim f (x )=lim -++x →1x →1x →1∴ ∴f (x )在x =1连续f (x )-f (1)x -1=lim =1x →1x →1-x -1x -1f (x )-f (1)2-x -1f +'(1)=lim =lim =-1x →1+x →1+x -1x -1f -'(1)=lim -f (x )在x =1不可导。例8 已知f '(x 0)=A ，求limh →0f (x 0+h )-f (x 0-h ) h解：limh →0f (x 0+h )-f (x 0-h ) h=limh →0[f (x 0+h )-f (x 0)]-[f (x 0-h )-f (x 0)]h=lim?f (x 0+h )-f (x 0)f (x 0-h )-f (x 0)?+? h →0?h -h ??=2f '(x 0)=2Af (0)=1，limf (2x )-1=4，求f '(0)x →03xf (2x )-1f (2x )-f (1)2f (2x )-f (1)2=lim =lim ?=f '(0)=4 解： limx →0x →0x →03x 3x 32x 3例9 已知 ∴f '(0)=6小结：本节讲述了导数的定义, 导数的几何意义, 可导与连续之间的关系,
第二节 函数和差积商的求导法则，反函数的导数教学目的：掌握导数的四则运算法则，掌握基本初等函数的求导公式，会求反函数的导数 教学重点：导数的四则运算法则，反函数求导方法 教学难点：反函数求导 教学内容：1.函数和、差、积、商的求导法则根据导数定义，很容易得到和、差、积、商的求导法则（假定下面出现的函数都是可导的）。 （1）（2）[u (x )±v (x )]'=u '(x )±v '(x )[u (x )?v (x )]'=u '(x )v (x )+u (x )v '(x )[cu (x )]'=c u '(x )(uvw )'=u 'vw +u v 'w +uv w ''?u (x )?u '(x )v (x )-u (x )v '(x )=（3）? ?2v x v x ??这里仅证（2）f (x +h )-f (x ) h →0hu (x +h )v (x +h )-u (x )v (x ) =lim h →0h 1=lim [u (x +h )v (x +h )-u (x )v (x +h )+u (x )v (x +h )-u (x )v (x )]h →0h f '(x )=lim=v (x +h )-v (x )??u (x +h )-u (x ) lim ??v (x +h )+u (x )??h →0h h ??=limu (x +h )-u (x )v (x +h )-v (x )?lim v (x +h )+u (x )?lim h →0h →0h →0h h=u '例1(x )v (x )+u (x )v '(x )y =tan x ，求y '。'''(sin x )cos x -sin x (cos x )?sin x ?解：y '=(tan x )= ?=cos 2x ?cos x ?' cos 2x +sin 2x 1==sec 2x ， =22cos x cos x即 这就是正切函数的导数公式。例2(tan x )'=sec 2x 。y =sec x ，求y '。'''(1)cos x -1?(cos x )sin x ?1?==sec x tan x ， 解：y '=(sec x )= ?=22cos x cos x cos x ??'即 这就是正割函数的导数公式。用类似方法，还可求得余切函数及余割函数的导数公式：(sec x )'=sec x tan x 。(cot x )'=-csc 2x ， (csc x )'=-csc x cot x 。2. 反函数的导数若dydx存在且不为零，则dx 1=dy dydx。由该公式我们可以由直接函数的导数，求出其反函数的导数。例3 设x =sin y 为直接函数，则y =a r c sin x 是它的反函数。函数x =sin y 在开区间dx 1?ππ?'=I Y = -?内单调、可导，且(sin y )=cos y >0。因此，由公式dy dy ?22?dx，在对应区间'I x =(-1，1)内有(arcsin x )=-1(sin y )=1cos y。但cos y=-sin 2y =-x 2（因为当π2<y <π2时，cos y >0，所以根号前只取正号），从而得反正弦函数的导数公式：(arcsin x )'=用类似的方法可得反余弦函数的导数公式：1-x 1-x22 (arcsin x )'=-同样我们可得到 (arctan x )'=(arc cot x )'(log a x )'3.导数的基本训练 （1）121+x 1=- 21+x 1= x ln ay =sin x ln x（2）（3）（4）y =x 2sin e y =2x +ln πy =2x e x πx cx 2（5）y =a +b（6）y =ln xsin x小结：本节讲述了导数的四则运算法则，求反函数的导数的方法
第三节 复合函数的求导法则教学目的：掌握复合函数的求导法则，熟练复合函数的求导方法 教学重点：复合函数的求导法则 教学难点：理解复合函数的求导方法 教学内容：1． 复合函数求导复合函数求导法则 如果u=?(x )在点x 0可导，而y =f (u )在点u 0=?(x 0)可导，则复合函数y =f [?(x )]在点x 0可导，且其导数为dy=f '(u 0)??'(x 0)。dx x =x 0证： 由于y =f (u )在点u 0可导，因此?y=f '(u 0)?u →0?u lim存在，于是根据极限与无穷小的关系有?y=f '(u 0)+α， ?u其中α是?u →0时的无穷小。上式中?u ≠0，用?u 乘上式两边，得?y =f '(u 0)?u +α??u 。当?u 而?y=0时，规定α=0，这时因?y =f (u 0+?u )-f (u 0)=0，故?y =f '(u 0)?u +α??u 对?u =0也成立。用?x ≠0=f '(u 0)?u +α??u 右端亦为零，除?y=f '(u 0)?u +α??u 两边，得?y ?u ?u =f '(u 0)+α?， ?x ?x ?x于是?y ?u ?u ??=lim ?f '(u 0)+α??。?x →0?x ?x →0?x ?x ??lim→0时，?u →0，从而可以推知根据函数在某点可导必在该点连续的性质知道，当?x?x →0?u →0lim α=lim α=0。又因u=?(x )在点x 0可导，有?u=?'(x 0)，?x →0?x lim故?u ?u， =f /(u 0)?lim?x →0?x ?x →0?x lim即dy=f '(u 0)??'(x 0)。dx x =x 0y =f (u )，证毕。复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形。我们以两个中间变量为例，设u =?(v )，v =ψ(x )，则dy dy du =?dx du dx故复合函数，而du du dv =?dx dv dx，y =f {?[ψ(x )]}的导数为dy dy du dv=??。 dx du dv dx当然，这里假定上式右端所出现的导数在相应处都存在。例1 解：y =ln sin x ，求dy dx。dy 1'(sin x )'=cos x =cot x 。 =(ln sin x )=dx sin x sin xdy 2例2 y =-2x ，求。dx1'?dy ?1=?1-2x 23?=1-2x 2解：dx ?3?()()?(1-2x )'=-223-4x 31-2x22。例3y =ln cos e x。 ()，求dy dx解：所给函数可分解为故y =ln u ，u =cos v ，v =e x 。因dy 1du dv =，=-sin v ，=e x ，du u dv dxdy 1sin e x x x x x=?(-sin v )?e =-?e =-e tan e dx u cos e x不写出中间变量，此例可这样写：()()。()。dy 1-sin e x x 'x 'x 'x x=ln cos e =cos e =e =-e tan e dx cos e x cos e x[()][]()2()()自我训练题：（1）y =(ln ln ln x ) （2）（3）（4）（5）y =arctan(x)3y =ln x 2+a 2+x y =e cosx) y =ln cos1x （6）y =sin x1cosxcos e -x（7）y =e 1x（8）y =tan 2 2．抽象的复合函数求导练习（所出现的抽象函数均可导）。（1）y =f e -xy =y =()2x（2）?(cos x )f e （3）（4）f sin x 2 y =f 2x ?g (tan x )()小结：本节讲述了复合函数的求导法则，训练了复合函数的求导方法及抽象的复合函数的求导方法
第三节 初等函数求导问题、高阶导数教学目的：熟练初等函数的求导方法，了解高阶导数的概念，会求简单的n 阶导数 教学重点：高阶导数的求法 教学难点：高阶导数的归纳方法 教学内容：1． 等函数求导小结初等函数是由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数。为了解决初等函数的求导问题，前面已经求出了常数和全部基本初等函数的导数，还推出了函数的和、差、积、商的求导法则以及复合函数的求导法则。利用这些导数公式以及求导法则，可以比较方便地求初等函数的导数。由前面所列举的大量例子可见，基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的求导运算中起着重要的作用，我们必须熟练地掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下：（1）常数和基本初等函数的导数公式(C )'=0，(x )'=μxμμ-1，(sin x )'=cos x ，(cos x )'=-sin x ， (tan x )'=sec 2x ， (cot x )'=-csc 2x ，(sec x )'=sec x tan x ， (csc x )'=-csc x cot x ，(a )'=axxln a ，(e )'=exx，(log a x )'=x1，x ln a(ln x )'=1，(arcsin x )'=1-x2，(arccos x )'=-(arctan x )'=1-x2，1，1+x 2(arc cot x )'=-12。1+x（2）函数的和、差、积、商的求导法则 设u=u (x )，v =v (x )都可导，则(u ±v )'=u '±v '，(Cu )'=C u '（C 是常数）， (uv )'=u 'v +u v '，'u 'v -u v '?u ?= ?v 2?v ?（3）复合函数的求导法则 设(v ≠0)。y =f (u )，而u =?(x )且f (u )及?(x )都可导，则复合函数y =f [?(x )]的导数为dy dy du=?dx du dx或y '(x )=f '(u )??'(x )。2． 高阶导数函数y =f (x )的导数y '=f '(x )仍然是x 的函数。我们把y '=f '(x )的导数叫做函数y =f (x )d 2y的二阶导数，记作y ''或，即 2dxy ''=(y相应地，把'')d 2y d ?dy ?或= ?。 2dx ?dx ?dxy =f (x )的导数f '(x )叫做函数y =f (x )的一阶导数。类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，,,，一般地，数的导数叫做n 阶导数，分别记作(n -1)阶导y '''，y (4)， ，y (n )d 2y d 4y d n y4， n 。 或 2dx dx dx函数y =f (x )具有n 阶导数，也常说成函数f (x )为n 阶可导。如果函数f (x )在点x 处具有n 阶f (x )在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数。二阶及二阶以上的导数统称高阶导导数，那么数。由此可见，求高阶导数就是多次接连地求导数。所以，仍可应用前面学过的求导方法来计算高阶导数。 例1 求指数函数的n 阶导数。 解：y '=e x ，y ''=e x ，y '''=e x ，y (4)=e x 。一般地，可得y (n )=e x ，y (n )=e x 。即例2 求正弦与余弦函数的n 阶导数。 解：y =sin x ，π??y '=cos x =sin x +?，2??π?ππ?π????y ''=cos x +?=sin x ++?=sin x +2??，2?22?2????π?π???y '''=cos x +2??=sin x +3??，2?2???π?π???y (4)=cos x +3??=sin x +4??，2?2???一般地，可得π??y (n )=sin x +n ??，2??即π?(sin x )(n )=sin ? x +n ??。?2?用类似方法，可得π?(cos x )(n )=cos ? x +n ??。?2?例3 求对数函数ln 1+(x )的n 阶导数。11，y ''=-1+x 1+x 2n -1解：y =ln (1+x )，y '=，y '''=1?21+x 3，y (4)=-1?2?31+x 4，一般地，可得y (n )=(-1)(n -1)! ，1+x n即=(-1)n -1(n -1)n 。1+x =1时也成立。通常规定0! =1，所以这个公式当n 例4 求幂函数的n 阶导数公式。 解：设y =x μ（μ是任意常数），那么y '=μx μ-1，y ''=μ(μ-1)x μ-2， y '''=μ(μ-1)(μ-2)x μ-3，y (4)=μ(μ-1)(μ-2)(μ-3)x μ-4，一般地，可得y (n )=μ(μ-1)(μ-2) (μ-n +1)x μ-n ，μn即当μ(x )()=μ(μ-1)(μ-2) (μ-n +1)xnμ-n。=n 时，得到，x n， ()()=n (n -1)(n -2) 3?2?1=n ！而如果函数u(x )(nn +1)=0。=u (x )及v =v (x )都在点x 处具有n 阶导数，那么显然u (x )+v (x )及u (x )-v (x )也在点x 处具有n 阶导数，且(u ±v )(n )=u (n )±v (n )。但乘积u(x )?v (x )的n 阶导数并不如此简单。由(uv )'=u 'v +u v '首先得出(uv )"=u ''v +2u 'v '+u v ''，(uv )' ' ' =u '''v +3u ''v '+3u 'v ''+u v '''。用数学归纳法可以证明(uv )(n )=u (n )v +nu (n -1)v '+n (n -1)u (n -2)v ''+ +n (n -1) (n -k +1)u (n -k )v (k )+ +uv (n )2!k !上式为莱布尼茨（Leibniz ）公式。这公式可以这样记忆：把(u +v )n 按二项式定理展开写成(u +v )n =u n v 0+nu n -1v 1+n (n -1)u n -2v 2+ +u 0v n ，2!即(u +v )nk n -k k=∑C n u v k =0n，然后把k 次幂换成k 阶导数（零阶导数理解为函数本身），再把左端的u +v 换成uv ，这样就得到莱布尼茨公式(uv )例5(n )k (n -k )(k )=∑C n u v k =0n。y =x 2e 2x ，求y (20)。=e 2x ，v =x 2，则u (k )=2k e 2x解：设u(k =1，2， ，20)，v '=2x ，v ''=2，v (k )=0(k =3，4， ，20)，代入莱布尼茨公式，得y (20)=x 2e 2x()((20) =220e 2x ?x 2+20?219e 2x ?2x +20?19182x2e ?2 2!=220e 2x x 2+20x +95自我训练：（1）设 （2）)。(n +2)(n )(k )(n -2)，求y 、y 、y 、y 。 y =x n （n ≥3正整数）y =1(n )求y 。 2x -5x -6小结：本节训练了初等函数的求导方法，讲述了高阶导数的概念及求高阶导数的归纳方法
第五节 隐函数的导数，参数方程的求导方法教学目的：掌握隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，会求其一二阶导数 教学重点：隐函数求导教学难点：隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幂指函数的求导法 教学内容：1． 函数求导、参数方程求导函数y =f (x )表示两个变量y 与x 之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方式表达。前面y =sin x ，y =ln x +-x 2等，这种函数表达方式的特点是：等号左端是我们遇到的函数，例如因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。用这种方式表达的函数叫做显函数。有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程x +示一个函数，因为当变量x 在y 3-1=0表(-∞，+∞)内取值时，变量y 有确定的值与之对应。例如，当x =0时，y =1；当x =-1时，y =2，等等。这样的函数称为隐函数。一般地，如果在方程F 的(x ，y )=0中，当x 取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一y 值存在，那么就说方程F (x ，y )=0在该区间内确定了一个隐函数。把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。例如从方程x +y 3-1=0解出y =-x ，就把隐函数化成了显函数。隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的。但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来。下面通过具体例子来说明这种方法。例1 求由方程ey+xy -e =0所确定的隐函数y 的导数解：我们把方程两边分别对x 求导数，注意y 是x 的函数。方程左边对x 求导得dy dx。d y dy dy e +xy -e =e y +y +x dx dx dx()，方程右边对求导得 由于等式两边对x 的导数相等，所以(0)'=0。dy dy+y +x =0， dx dxe y从而dy y=-dx x +e y(x +ey≠0)。在这个结果中，分式中的y 是由方程e y +xy -e =0所确定的隐函数。隐函数求导方法小结： （1）方程两端同时对x 求导数，注意把y当作复合函数求导的中间变量来看待，例如(ln y )x '=1y '。y（2）从求导后的方程中解出y '来。y 。但求一点的导数时不但要把x 值代进去，还要把对应的y 值（3）隐函数求导允许其结果中含有代进去。例2 xy +e 解：y=e ，确定了y 是x 的函数，求y '(0)。yx +e y， xy +x y '+e y y '=0，y '=-=0时y =1，∴y '(0)=-1。 e自我训练：（1）（2）xx +y =a ，求y '。3+y 3=a 3，求y '。y =1，求y '(0)。y，求y '。 x（3）xy +ln （4）ln2． 取对数求导法对于幂指函数从而求出导数x 2+y 2=arctany =u (x )v (x )是没有求导公式的，我们可以通过方程两端取对数化幂指函数为隐函数，y '。例3 求y =x sin x(x >0)的导数。解：这函数既不是幂函数也不是指数函数，通常称为幂指函数。为了求这函数的导数，可以先在两边取对数，得lny =sin x ?ln x ；y 是x 的函数，得上式两边对x 求导，注意到11y '=cos x ?ln x +sin x ?， y x于是sin x ?sin x ??sin x ?y '=y cos x ?ln x +?=x cos x ?ln x +?。x ?x ???由于对数具有化积商为和差的性质，因此我们可以把多因子乘积开方的求导运算，通过取对数得到化简。例4 求y =x -1x -2的导数。x -3x -4>4），得解：先在两边取对数（假定x1[ln (x -1)+ln (x -2)-ln (x -3)-ln (x -4)]， 2上式两边对x 求导，注意到y 是x 的函数，得ln y =11?1111?y '= +--?， y 2?x -1x -2x -3x -4?于是y '=y ?1111?+-- ?。2?x -1x -2x -3x -4?当x<1时，y =1-x 2-x ； 3-x 4-x x -1x -2； 3-x 4-x x当2<x <3时，y=用同样方法可得与上面相同的结果。注：关于幂指函数求导，除了取对数的方法也可以采取化指数的办法。例如x 幂指函数求导转化为复合函数求导；例如求且不容易出错。3． 由参数方程确定的函数的求导=e x ln x ，这样就可把y =x e +e xx e的导数时，化指数方法比取对数方法来得简单，?x =?(t )若由参数方程?确定了y 是x 的函数，如果函数x =?(t )具有单调连续反函数t =(x )，()y =ψt ?且此反函数能与函数?x =?(t )所确定的函数可以看成是由y =ψ(t )复合成复合函数，那么由参数方程??y =ψ(t )函数y =ψ(t )、t =(x )复合而成的函数y =ψ[(x )]。现在，要计算这个复合函数的导数。为此，=?(t )、y =ψ(t )都可导，而且φ/(t )≠0。于是根据复合函数的求导法则与反函数的导再假定函数x数公式，就有dy dy dt dy 1ψ'(t )=?=?=， dx dt dx dt dx ?'t dt即dy ψ'(t )。 =dx ?'t dy dy 上式也可写成 。 =dx dxdt如果x=?(t )、y =ψ(t )还是二阶可导的，由dy ψ'(t )=还可导出y 对x 的二阶导数公式： dx ?'t d 2y d ?dy ?d ?ψ'(t )?dt ψ''(t )?'(t )-ψ'(t )?''(t )1?， = ?= ?2??dx =''?t ?t dx 2dx ?dx ?dt ?t ??d 2y ψ''(t )?'(t )-ψ'(t )?''(t )即 =23dx ?t ?x =a cos t π自我训练：（1）求?在t =4?y =b sin t处切线方程。?x =a (t -sin t )d 2y（2）?，求。 2dx ?y =b (1-cos t ) 小结：本节讲述了隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，利用取对数的方法解决了幂指函数的求导问题
第六节 函数的微分教学目的：掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分，会利用微分作近似计算 教学重点：微分的计算教学难点：微分的定义，利用微分作近似计算 教学内容：1． 微分的定义计算函数增量?y=f (x 0+?x )-f (x 0)是我们非常关心的。一般说来函数的增量的计算是比较复杂的，我们希望寻求计算函数增量的近似计算方法。先分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由x 0变到x 0，问此薄片的面积改变了多少？ +?x （图2-1）设此薄片的边长为x ，面积为A ，则A 是x 的函数：A =x 2。薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看成是当自变量x 自x 0取得增量?x 时，函数A 相应的增量?A ，即?A =(x 0+?x )-x =2x 0?x +(?x )22 2图2-1。从上式可以看出，?A 分成两部分，第一部分2x 0?A 是?A 的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，而第二部分(?x )2在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积，当?x →0时，第二部分(?x )2(?x )2=0(?x )。由此可见，如果边长改变很微小，即?x 很小时，面积的是比?x 高阶的无穷小，即改变量?A 可近似地用第一部分来代替。一般地，如果函数y =f (x )满足一定条件，则函数的增量?y 可表示为?y =A ?x +0(?x )，其中A 是不依赖于?x 的常数，因此A ?x 是?x 的线性函数，且它与?y 之差?y -A ?x =0(?x )，是比?x 高阶的无穷小。所以，当定义 设函数A ≠0，且?x很小时，我们就可近似地用A ?x 来代替?y 。y =f (x )在某区间内有定义，x 0+?x 及x 0在这区间内，如果函数的增量?y =f (x 0+?x )-f (x 0)可表示为 ?y 其中=A ?x +0(?x )， ①A 是不依赖于?x 的常数，而0(?x )是比?x 高阶的无穷小，那么称函数y =f (x )在点x 0是可微的，而A ?x叫做函数y =f (x )在点x 0相应于自变量增量?x的微分，记作dy，即dy =A ?x 。下面讨论函数可微的条件。设函数y =f (x )在点x 0可微，则按定义有①式成立。①式两边除以?x ，得 于是，当?x?y 0(?x )=A +。 ?x ?xA =lim?y=f '(x 0)。?x →0?x→0时，由上式就得到因此，如果函数反之，如果，且A =f '(x 0)。 f (x )在点x 0可微，则f (x )在点x 0也一定可导（即f '(x 0)存在）y =f (x )在点x 0可导，即?y=f '(x 0)?x →0?x lim存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成?y=f '(x 0)+α?x其中α，→0（当?x →0）。由此又有?y =f '(x 0)?x +α?x 。因α?x=0(?x )，且不依赖于?x ，故上式相当于①式，所以f (x )在点x 0也是可微的。f (x )在点x 0可微的充分必要条件是函数f (x )在点x 0可导，且当f (x )在点x 0可由此可见，函数微时，其微分一定是dy =f '(x 0)?x 。 ②当f '(x 0)≠0时，有?y ?y 1?y =lim =lim =1。?x →0dy ?x →0f 'x ?x ?x →0f 'x 0?x 0lim从而，当?x →0时，?y 与dy 是等价无穷小，这时有?y =dy +0(dy )， ③即dy 是?y 的主部。又由于dy =f '(x 0)?x 是?x 的线性函数，所以在f '(x 0)≠0的条件下，我们说dy 是?y 的线性主部（当?x →0）。这是由③式有?y -dy=0，?x →0dy lim从而也有?y -dy=0。?x →0dy lim式子?y -dydy表示以dy 近似代替?y 时的相对误差，于是我们得到结论：在f '(x 0)≠0的条件下，以微分dy =因此，在f '(x 0)?x 近似代替增量?y =f (x 0+?x )-f (x 0)时，相对误差当?x →0时趋于零。?x 很小时，有精确度较好的近似等式?y ≈dy 。函数y =f (x )在任意点x 的微分，称为函数的微分，记作dy 或df (x )，即dy =f '(x )?x 。注1：由微分的定义，我们可以把导数看成微分的商。例如求sin x 对x 的导数时就可以看成sin x微分与x 微分的商，即d sin x d x=cos xdx=2x cos x 。1dx 2x注2：函数在一点处的微分是函数增量的近似值，它与函数增量仅相差?x 的高阶无穷小。因此要会应用下面两个公式：?y ≈dy =f '(x 0)?x ， f '(x 0+?x )≈f (x 0)+f '(x 0)?x 。作近似计算。 2． 微分的几何意义为了对微分有比较直观的了解，我们来说明微分的几何意义。 在直角坐标系中，函数y =f (x )的图形是一条曲线。对于某一固定的x 0值，曲线上有一个确定点M (x 0，y 0)当自变量x 有微小增量?x 时，就得到曲线上另一点N (x 0+?x ，y 0+?y ). 从图2-2可知：MQ =?x ， QN =?y 。过M 点作曲线的切线, 它的倾角为α，则图2-2QP =MQ ?tan α=?x ?f '(x 0)，即 dy =由此可见，当?y 是曲线的相应增量。当代替曲线段。3． 微分运算法则及微分公式表由dy =QP 。y =f (x )上的M 点的纵坐标的增量时，dy 就是曲线的切线上M 点的纵坐标的邻近，我们可以用切线段来近似?x 很小时，?y -dy 比?x 小得多。因此在点Mf '(x )dx ，很容易得到微分的运算法则及微分公式表（当u 、v 都可导）：d (u ±v )=du ±dv ， d (Cu )=Cdu ， d (u ?v )=vdu +udv ， ?u ?vdu -udv。 d ?=2v ?v ?微分公式表：d x μ=μx μ-1dx ， d (sin x )=cos xdx ， d (cos x )=-sin xdx ，()d (tan x )=sec 2xdx ， d (cot x )=-csc 2xdx ， d (sec x )=sec x tan xdx ， d (csc x )=-csc x cot xdx ，d a x =a x ln adx ，()d e x =e x dx ，d (log a x )=d (ln x )=1dx ，x ln a()1dx ， xd (arcsin x )=1-x2dx ，d (arccos x )=-d (arctan x )=1-x2dx ，1dx ，1+x 21d (arc cot x )=-dx 。 21+x注：上述公式必须记牢，对以后学习积分学很有好处，而且上述公式要从右向左背。例如：1xdx =2d x ，11dx =-d ，x x 21dx =d (ax +b )，aa x dx =1da x 。 ln a4． 复合函数微分法则与复合函数的 求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下： 设y =f (u )及u =?(x )都可导，则复合函数y =f [?(x )]的微分为'?'(x )dx 。 dy =y 'x dx =f (u )由于?'(x )dx =du ，所以，复合函数y =f [?(x )]的微分公式也可以写成'du 。 dy =f '(u )du 或dy =y u由此可见，无论u 是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式dy =f '(u )du 保持不变。这一性质称为微分形式不变性。这性质表示，当变换自变量时（即设u 为另一变量的任一可微函数时），微分形式dy =f '(u )du 并不改变。自我训练：（1）y =ln 1+e x()，求dy 。，求x =0（2）（3）y =ln x 2+a 2+xf可导，y)。y =f 2x()，求dy 。（4）x=y x ，求dy 。（5）有一半径为R 的铁球，镀上0.01cm 厚的银，问大约用多少体积的银。小结：本节讲述了微分的定义，练习了微分的运算和利用微分作近似计算, 希望大家熟记微分公式，为以后学习积分大好基础 本文由()首发，转载请保留网址和出处！
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