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活性污泥性状异常及分析：
同行企业新闻资讯广东桑海环保有限公司诚信：A&企业性质：生产商企业主营：皮革防霉剂&造纸杀菌剂&纺织防霉剂&年 产 值：人民币 1000万-2000万元员工人数：101-200人联系方式：程先生企业地址：广东省江门市江海区金瓯路285号珠西云谷321-324室污泥回流比
return sludge ratio
污泥回流比 ( return sludge ratio ):&/P& 曝气池中回流污泥的流量与进水流量的比值。
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sludge recycle ratio
【recycle_sludge】什么意思_英语re... ... primary sludge recycle 一次污泥循环 sludge recycle ratio 污泥回流比 No Sludge Recycle 没有污泥回流 ...
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sludge reflux ratio
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sludge recirculation ratio
污泥回流比
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the ratio of circumfluence
&2,447,543篇论文数据，部分数据来源于
介绍了多点交替进水五箱一体式工艺的流程与特点，研究了不同污泥回流比下反应器对氮、磷的去除效果。
The performance of the CMASPFT in biological removals of nitrogen and phosphorus was studied under 3 sludge reflux ratio(SRR).
当回流比、 溢流率和絮体沉降特性处于变化中时，可用“状态点”的概念对活性污泥— 沉淀系统进行设计工作和系统分析。
The state point analysis can be used in the design and operation analysis of the activated sludge system as the RAS ratio, overflow rate and settling characteristics of flocci are varying.
同时结果表明，处理工艺系统参数如污泥泥龄、回流比、溶解氧的浓度以及好氧池与缺氧池体积分配等值的确定都非常重要，模拟结果有助于最佳工艺参数的选择。
Atthe same time , the result shows that the choosing of sludge age, recirculating ratio, dissolved oxygen concentration and the volumetric ratio of aeration tank and anoxic tank is very important.
sludge return ratio 曝气池中回流污泥的流量与进水流量的比值。一般用百分数表示，符号为R。 污泥量回流量的大小一般为20%~50%，有时也高达150%，其直接影响曝气池污泥的浓度和二次沉淀池的沉降状况。 计算公式： R·Q·Xr = （R·Q + Q)·X 式中：Xr——回流污泥的悬浮固体浓度，mg/L。 R——污泥回流比。 X——混合液污泥浓度，mg/L。 Q——流量
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什么是污泥回流比
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什么是污泥回流比
污泥回流比是污泥回流量与曝气池进水量的比值。
当人流水质水质变更时，愿望能随时调剂回流比。污水在活性污泥中个别要停留8h以上，以回流比进行某种调理后，其后果往往不能立刻浮现，须要在几小时之后能力反映进去。因而，通过调理回流比，无法适应污水水质水量的随时变更，个别维持回流比恒定。但在污水解决厂的运行治理中，通过调剂回流比作为敷衍突发状况是一种有效的应急手腕。
为什么残余污泥的排放量个别都要维持恒定
残余污泥排放对活性污泥体系的功用及解决后果影响很大，但这种影响很慢。比方通过调理残余污泥排放量掌握活性污泥中的丝状菌适量滋生，其后果通常要经过2～3倍的泥龄之后能力看进去。也就是说，当泥龄为5d时，要经过10～15d之后能力视察到调理排泥量所带来的掌握后果。
因而，无法通过排泥操作来掌握或适应进水水质水量的日变更，即便排泥见效，发作变更的那股污水早已流出体系，所以排泥量个别也都维持恒定。但须要天天统计记载残余污泥排放量，并应用F／M或SRT值等方法天天进行核算，总结出法则性。
回流污泥量的调剂方法有哪几种
（1）依据二沉池的泥位调剂。这种方法可防止涌现因二沉池泥位过高而形成污泥散失的景象，出水水质较稳固，其缺陷是使回流污泥浓度不稳固。
（2）依据污泥沉降比肯定回流比，盘算公式为：R=SV／（100&SV）
污泥沉降比测定对比简朴、敏捷，具备较强的操作性，其缺陷是当污泥沉降性能较差、即污泥沉降比SV较高时，就须要进步污泥回流量，后果会使回流污泥的浓度降落。
（3）依据回流污泥浓度和混杂液污泥浓度调理回流比，盘算公式为：R=MLSS／（RSSS&MLSS）
剖析回流污泥和曝气混杂液中的污泥浓度运用烘干法，须要时光较长，间接指示运行不太现实，个别作为回流比的校核方法。
（4）依据污泥沉降曲线，肯定特定污水解决场活性污泥的最佳沉降比。再通过调剂污泥回流量使污泥在二沉池的停留时光正好等于这污泥通过沉降到达最大浓度的时光，此时的回流污泥浓度最大，而回流量最小。这种方法简朴易行，在取得高回流污泥浓度的同时，污泥在二沉池的停留时光最短，此法尤其实用于反硝化脱氮及除磷工艺。
污泥回流体系的掌握方法有几种
为了完成污泥回流浓度及曝气池混杂液污泥浓度的绝对稳固 和操作治理不便，掌握污泥回流的方法有三种：（1）维持回流量恒定。（2）维持残余污泥排放量恒定。（3）回流比和回流量均随时调
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&&&&&&&&南京林业大学自编讲义&&&&&&&&水污染控制工程实验&&&&编者：陈一良谢慧芳&&&&&&&&化学工程学院环境工程系2009年9月&&&&&&&&&&&&前&&&&&&&&言&&&&&&&&水污染控制工程是环境工程专业的主干课程之一，水污染控制工程实验是水污染控制工程教学的重要组成部分。编写本书的目的是为水污染控制工程实验教学提供教材，同时也是为适应二十一世纪环境工程人才培养的新要求、新模式，配合水污染控制工程教学改革所做出的一点尝试。本书以南京林业大学水污染控制工程实验教学大纲为依据，结合近年来环境工程实验中心专业建设的成果，充分借鉴国内高校环境工程实验教学的经验，并结合本校实际情况进行编写，力争体现本校环境工程专业特色。全书包括14个基本教学实验，3个综合设计性实验，可满足48学时教学需要。具体可根据实际情况进行调整。本书由南京林业大学化工学院环境工程系教师陈一良、谢慧芳负责组织编写。朱怡冰、陈舒、李靓、蔡威、林森、莫彩萍等同学参与了文字录入和图片收集工作。本书编写仓促，难免有诸多不当之处，甚至存在错误，请不吝指正。编者于南京林业大学2009年9月hgxhf@&&&&&&&&&&&&目&&&&&&&&录&&&&&&&&第一章绪论...................................................................................................1实验设计与数据处理.......................................................................5第二章第一节定量分析测定中的误差................................................................5第二节有效数字及运算规则..................................................................16第三节实验数据处理..............................................................................20第三章基础教学实验.....................................................................................38实验一混凝实验......................................................................................38实验二自由沉淀实验..............................................................................42实验三过滤与反冲洗实验........................................................................47实验四压力溶气气浮实验......................................................................53实验五反渗透实验..................................................................................60曝气设备充氧能力的测定实验................................................62实验六实验七活性污泥性质的测定实验............................................................67实验八工业污水可生化性实验................................................................70附：废水厌氧可生物降解实验..................................................................76实验九活性污泥动力学参数的测定实验..............................................79附：间歇式活性污泥法实验......................................................................83实验十生活污水的接触氧化法处理实验..............................................87实验十一污泥比阻的测定........................................................................90实验十二污水污泥厌氧消化实验..........................................................96实验A污水厌氧消化实验.......................................................................96实验B污泥厌氧消化实验.....................................................................103实验十三离子交换实验........................................................................111实验A强酸性阳离子交换树脂交换容量的测定...................................111实验B软化实验.......................................................................................113实验C重金属废水处理实验...................................................................116实验十四折点加氯消毒实验..................................................................120第四章综合性和设计性实验.........................................................................125生活污水的净化处理..............................................................125实验一A/A/O法实验.............................................................................................126生物接触氧化实验....................................................................................127实验二工业废水的生物处理方案设计实验..........................................128附：水解-好氧生物处理实验...............................................................130实验三给水处理工艺设计实验............................................................134附：自来水的深度处理实验................................................................135主要参考文献...................................................................................................138&&&&&&&&&&&&第一章&&&&&&&&绪&&&&&&&&论&&&&&&&&水污染控制工程是环境工程专业的主干课程之一，直接影响着本专业学生的培养质量。水污染控制工程实验是水污染控制工程的重要组成部分，是科研和工程技术人员解决水和污水处理中各种问题的一个重要手段。水污染控制工程的内容大都是在基本理论指导下，用实验的方法发展和完善起来的，是建立在实验基础上的科学。许多污染现象的解释、水处理方法、处理设备的设计参数和操作运行方式的确定，都需要通过实验解决。例如，活性污泥法中的负荷率、污泥回流比等均要经过许多次实验才能确定；采用塔式生物滤池处理某种工业废水时，需要通过实验测定负荷率、回流比、滤池高度等工艺参数才能较合理地进行工程设计。在实际工程中，常需要用实验提供设计参数，并确定操作运行方式。因此，在水污染控制的教学中，重视培养学生的实验能力，对学生理解并学好基本理论，提高解决实际问题的能力和科研能力的训练是非常重要的。通过实验研究可以解决下述问题：1.掌握污染物在自然界的迁移转化规律，为水环境保护提供依据。2.掌握污水处理过程中污染物去除的基本规律，以改进和提高现有的处理技术及设备。3.开发新的水处理技术和设备。4.实现水处理设备的优化设计和优化控制。5.解决水处理技术开发中的放大问题。&&&&&&&&一、实验教学目的&&&&实验教学是使学生理论联系实际，培养学生观察问题、分析问题和解决问题能力的一个重要方面。本课程的教学目的如下：1.通过实验操作、实验现象的观察和实验结果的分析，加深学生对基本概念的理解，巩固新的知识。2.学会常用实验仪器和设备的使用，培养学生实际动手能力和解决实际问题的能力。3.使学生了解如何进行实验方案的设计，并初步掌握水污染控制实验研究方法和基本测试技术。4.通过实验数据的整理使学生初步掌握数据分析处理技术，包括如何收集实验数据、如何正确地分析和归纳实验数据、运用实验成果验证已有的概念和理论等。5.可通过一系列设计型的综合应用实验来培养锻炼学生的动手能力和解决实际问题的能力；通过水污染控制工程实验，为培养学生的创新能力打下一定的基础。&&&&1&&&&&&&&&&&&二、实验教学程序&&&&为了更好地实现教学目的，使学生学好本门课程，下面简单介绍实验研究工作的一般程序。1.提出问题：根据已经掌握的知识，提出打算验证的基本概念或探索研究的问题。2.设计实验方案：确定实验目的后要根据人力、设备、药品和技术能力等方面的具体情况进行实验方案的设计。实验方案应包括实验目的、装置、步骤、计划、测试项目和测试方法等内容。3.实验研究：(1)根据设计好的实验方案进行实验，按时进行测试。(2)收集实验数据。(3)定期整理分析实验数据。实验数据的可靠性和定期整理分析是实验工作的重要环节。实验者必须经常用已掌握的基本概念分析实验数据，通过数据分析加深对基本概念的理解，并发现实验设备、操作运行、测试方法和实验方向等方面的问题，以便及时解决，使实验工作能较顺利地进行。(4)实验小结。通过实验数据的系统分析，对实验结果进行评价。小结的内容包括以下几个方面：1)通过实验掌握了哪些新的知识；2)是否解决了提出研究的问题；3)是否证明了文献中的某些论点；4)实验结果是否可以以改进已有的工艺设备和操作运行条件，或设计新的处理设备；5)当实验数据不合理时，应分析原因，提出新的实验方案。由于受课时等条件限制，学生只能在已有的实验装置和规定的实验条件范围内进行实验，并通过本课程的学生得到初步的培养和训练，为今后从事实验研究的进行科学实验打下基础。&&&&&&&&三、实验教学要求&&&&1.课前预习及实验准备为完成好每个实验，学生在课前必须认真阅读教材中与实验相关的知识，了解实验的要求、原理和内容，明确实验目的、步骤、内容和方法。写出简明的预习提纲。预习提纲包括：①实验目的和主要内容；②需测试项目的实验方法；③实验中应注意事项；④准备好实验记录表格。2.实验设计实验设计是实验研究的重要环节，是获得满足要求的实验结果的基本保障。在实验教学中，宜将此环节的训练放在部分实验项目完成后进行，&&&&2&&&&&&&&&&&&以达到使学生掌握实验设计方法的目的。3.实验操作在教师指导下准备并熟悉实验用仪器、试剂及装置的性能，使用条件及方法，尤其是对特殊设备、仪器及其操作技术须详细了解。准备好相关的试剂，药品及实验记录表格等。明确实验分工，做到责任明确、准确无误。学生实验前应仔细检查实验设备、仪器仪表是否完整齐全。实验时要严格按照操作规程认真操作，仔细观察实验现象，精心测定实验数据并详细填写实验记录。实验结束后，要将试验设备和仪器仪表恢复原状，将周围环境整理干净。学生应注意培养自己严谨的科学态度，养成良好的工作学习习惯。实验开始前，指导教师应检查实验准备情况，使学生进一步明确实验目的、内容及要求。4.实验数据整理通过实验取得大量数据以后，必须对数据作科学的分析整理分析，去伪存真、去粗取精，以得到正确可靠的结论。实验数据分析主要包括实验误差分析、有效数据的取舍、实验数据整理、实验数据的处理等，并依此判断实验结果的好坏，找出不足之处，提出完善实验的措施。这是整个实验过程中的一个重要部分。实验过程中应随时进行数据整理分析，一方面可以看出实验效果是否能达到预期目的，另一方面又可随时发现问题，修改实验方案，指导下一步实验的进行。整个实验结束后，要对实验数据进行分析处理，从而确定因素主次与最佳运行条件，建立经验公式，找出事物内在规律等。5.编写实验报告将实验结果整理编写成一份实验报告，是实验教学必不可少的组成部分。这一环节的训练可为今后写好科学论文或科研报告打下基础，实验报告由指导教师审阅并给出成绩，成绩不合格者要重做报告，或补做实验。实验报告是对整个实验的全面总结，是实验教学必不可少的组成部分。要求全篇报告文字通顺，字迹端正，图表整齐，结果正确，讨论认真。实验报告包括以下组成部分：实验名称，实验目的，实验原理，实验装置，仪表，实验步骤，实验数据及分析处理，实验结果及讨论。实验报告的重点是实验数据处理和实验结果讨论，要学会运用所学知识对实验现象进行解释，对异常现象进行讨论，并提出改进思路和建议。&&&&&&&&四、关于创新性实验&&&&为了培养学生的创新能力，可以由学生提出在实验教学内容以外的实验。开设创新实验的学生应事先提出报告(包括实验目的、实验内容及步骤、实验设备以及实验结果等内容)，经审查批准后方能进行。条件许可时，应配备一位有经验的教师指导。指导教师应对学生提出的实验进行分析，核查有关实验内容和要求，以证明实验的可行性及学生是否具备完成实验的&&&&3&&&&&&&&&&&&能力，经实验室批准后进行实验的准备及实施。指导教师对实验结果进行检查和审核。对于综合开放性实验，要求学生通过查阅有关书籍、文献资料，了解和掌握与课题有关的国内外技术状况、发展动态，并在此基础上，根据实验课题要求和实验室条件，提出具体的实验方案设计，包括实验工艺技术路线、实验条件要求、实验计划进度等。综合开放性实验研究报告的内容应包括：(1)课题的调研。(2)实验方案的设计。(3)实验过程的描述。(4)实验结果的分析讨论。(5)实验结论。(6)参考文献等。&&&&&&&&五、实验纪律及实验安全&&&&1.实验纪律(1)必须遵守实验室制定的各项规章制度，保证人身及财产安全。(2)不迟到不早退，保持实验室清洁，按要求使用水、电、气、药品、试剂等，按要求操作实验设备和仪器。(3)保持实验室的卫生，实验结束后清洗和整理好使用的仪器、设备，关闭电、水、气、门窗等。(4)认真做好实验记录。2.实验安全实验室的各项规章制度包括安全制度、操作制度、危险品的使用制度等，进入实验室的所有人员都必须严格遵守。学生在进入实验室前，应全面学习安全制度，掌握防火知识，掌握易燃、易爆、强氧化性物品的使用说明。实验室安全注意事项：(1)避免药品试剂与皮肤接触，注意使用手套、口罩等防护用品。(2)严禁品尝任何药品的味道，勿轻易闻嗅药品试剂的气味。(3)谨慎使用有毒、易燃、易爆、强氧化性、腐蚀性的药品试剂。(4)对于反应剧烈、易燃易爆或产生有害气体的化学反应，务必谨慎操作，确保安全。(5)对化学试剂、化学反应可能导致的危险性应事先查明、心中有数。(6)严格遵守仪器设备操作规程，不懂的勿轻举妄动。(7)注意安全用电，防止触电或引发火灾。(8)需要人现场看管的实验，切勿擅自离开。(9)检查水、电、气、门、窗以及实验装置，杜绝安全隐患后方可离&&&&4&&&&&&&&&&&&开实验室。(10)出现问题切莫慌张，首先保证人身安全，采取必要处理措施，立即上报或报警。&&&&&&&&第二章&&&&第一节&&&&&&&&实验设计与数据处理&&&&定量分析测定中的误差&&&&&&&&在定量分析中，由于受分析方法、测量仪器、所用试剂和分析工作者主观条件等方面的限制，使测得的结果不可能和真实含量完全一致；即使是技术很熟练的分析工作者，用最完善的分析方法和最精密的仪器，对同一样品进行多次测定，其结果也不会完全一样。这说明客观上存在着难于避免的误差。通过实验测量所得大批数据是实验的主要成果，但在实验中，由于测量仪表和人的观察等方面的原因，实验数据总存在一些误差，所以在整理这些数据时，首先应对实验数据的可靠性进行客观的评定。误差分析的目的就是评定实验数据的精确或误差，通过误差分析，可以认清误差的来源及其影响，并设法排除数据中所包含的无效成分，还可进一步改进实验方案。在实验中注意哪些是影响实验精确度的主要方面，这对正确地组织实验方法、正确评判实验结果和设计方案，从而提高实验的精确性具有重要的指导意义。&&&&&&&&一、真实值、平均值与中位值&&&&1.真实值与平均值真值是指某物理量客观存在的确定值。通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求测到的。严格来讲，由于测量仪器，测定方法、环境、人的观察力、测量的程序等，都不可能是完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想值。科学实验中真值的定义是：设在测量中观察的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均，在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数值。故“真值”在现实中是指观察次数无限多时，所求得的平均值(或是写入文献手册中所谓的“公认值”)然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的，故用有限观察次数求出的平均值，只能是近似真值，或称为最佳值。一般我们称这一最佳值为平均值。常用的平均值有下列几种：(1)算术平均值这种平均值最常用。凡测量值的分布服从正态分布时，用最小二乘法原理可以证明：在一组等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信赖值。&&&&5&&&&&&&&&&&&x?&&&&式中&&&&&&&&x1?x2?xni?1?nn&&&&&&&&?xi&&&&(2-1-1)&&&&&&&&n&&&&&&&&x1、x2xn—各次观测值；&&&&&&&&n―观察的次数。(2)均方根平均值&&&&x均?&&&&222x1?x2xn?ni?1&&&&&&&&?xin&&&&&&&&n&&&&&&&&2&&&&&&&&(2-1-2)&&&&&&&&(3)加权平均值设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。&&&&&&&&wx?w2x2?wnxn?w?11w1?w2?wn&&&&式中&&&&x1、x2?xn—各次观测值；&&&&&&&&?wx&&&&i?1ni&&&&&&&&n&&&&&&&&i&&&&&&&&?wi&&&&i?1&&&&&&&&(2-1-3)&&&&&&&&w1、w2?wn—各测量值的对应权重。各观测值的权数一般凭经验&&&&&&&&确定。(4)几何平均值&&&&&&&&x几?nx1?x2?x3?xn&&&&(5)对数平均值&&&&xn?x1?x2lnx1?lnx2?x1?x2xln1x2&&&&&&&&(2-1-4)(2-1-5)&&&&&&&&以上介绍的各种平均值，目的是要从一组测定值中找出最接近真值的那个值。平均值的选择主要决定于一组观测值的分布类型，如果属于正态分布，可采用算术平均值。物质中各组分的真实数值，称为该量的真实值。显然，它是客观存在的。一般来说，真实值是未知的，但下列情况可认为其真实值是已知的。(1)理论真实值：如某种化合物的理论组成等。(2)相对真实值：认定精度高一个数量级的测定值作为低一级测量值的真实值，这种真实值是相对比较而言的。如分析实验室中标准试样及管理试样中组分的含量等。2.中位值(xM)中位数是将一组平行测量数据(xi)按由小到大顺序排列，若n为奇数，&&&&&&&&6&&&&&&&&&&&&中位值就是位于中间的数，若n为偶数则是中间两数的平均值。对测定次数少的测定，中位数比平均值更为合理地描述数据集中趋势。&&&&&&&&二、误差的定义及分类&&&&在任何一种测量中，无论所用仪器多么精密，方法多么完善，实验者多么细心，不同时间所测得的结果不一定完全相同，而有一定的误差和偏差，严格来讲，误差是指实验测量值(包括直接和间接测量值)与真值(客观存在的准确值)之差，偏差是指实验测量值与平均值之差，但习惯上通常将两者混淆而不以区别。根据误差的性质及其产生的原因，可将误差分为：1)系统误差；2)偶然误差；3)过失误差三种。1.系统误差又称恒定误差，由某些固定不变的因素引起的。在相同条件下进行多次测量，其误差数值的大小和正负保持恒定，或随条件改变按一定的规律变化。产生系统误差的原因有：1)仪器刻度不准，砝码未经校正等；2)试剂不纯，质量不符合要求；3)周围环境的改变如外界温度、压力、湿度的变化等；4)个人的习惯与偏向如读取数据常偏高或偏低，记录某一信号的时间总是滞后，判定滴定终点的颜色程度各人不同等等因素所引起的误差。可以用准确度一词来表征系统误差的大小，系统误差越小，准确度越高，反之亦然。由于系统误差是测量误差的重要组成部分，消除和估计系统误差对于提高测量准确度就十分重要。一般系统误差是有规律的。其产生的原因也往往是可知或找出原因后可以清除掉。至于不能消除的系统误差，我们应设法确定或估计出来。(1)系统误差的特点系统误差具有重现性、单向性、可测性(可校正)的特点。(2)分类系统误差按其产生的原因分：1)方法误差:由于分析方法本身不完善所造成的误差：例如，在重量分析中，选择的沉淀形式溶解度较大，共沉淀沾污，灼烧时沉淀的分解或挥发；滴定分析涉及的反应不完全;指示剂的变色点与反应的计量点不吻合等。2)仪器误差：由于仪器、量器精度不够或未经校正而引起的误差，例如，分析天平砝码未经校正，滴定管、移液管等容量仪器的刻度不准，分光光度计波长不准等。3)试剂误差：由于试剂不纯或带入杂质引起的误差，例如，试剂的纯度不够或蒸馏水含有微量的待测组分等。&&&&7&&&&&&&&&&&&4)操作误差：在正常操作下，由于操作者的主观因素造成的误差，例如，滴定管的读数经常偏高或偏低，滴定终点颜色的判断经常偏深或偏浅等，是由于个人感官不敏锐或固有习惯造成的，不属于过失误差。2.偶然误差又称随机误差，由某些不易控制的因素造成的。在相同条件下作多次测量，其误差的大小，正负方向不一定，其产生原因一般不详，因而也就无法控制，主要表现在测量结果的分散性，但完全服从统计规律，研究随机误差可以采用概率统计的方法。在误差理论中，常用精密度一词来表征偶然误差的大小。偶然误差越大，精密度越低，反之亦然。在测量中，如果已经消除引起系统误差的一切因素，而所测数据仍在末一位或末二位数字上有差别，则为偶然误差。偶然误差的存在，主要是我们只注意认识影响较大的一些因素，而往往忽略其他还有一些小的影响因素，不是我们尚未发现，就是我们无法控制，而这些影响，正是造成偶然误差的原因。(1)特点a)重复测定时其误差数值不恒定，有时大，有时小，有时正，有时负。b)不可测量。c)随机误差的性质服从一般的统计规律。(2)出现规律偶然误差在分析操作中是无法避免的。对于同一试样进行多次分析，得到的分析结果仍不完全一致的原因为偶然误差。偶然误差难以找出确定原因，似乎没有规律，但如果进行很多次测定，便会发现数据的分布符合统计规律，符合正态分布，可以运用概率理论进行处理。一般而言：a)小误差出现的概率大，大误差出现的概率小。b)极大误差出现的概率非常小。c)随着测定次数的增加，随机误差的算术平均值逐渐趋近于零，也就是说算术平均值能很好的反映测定值的集中趋势。随机误差直接影响分析结果的精密度。只有在消除系统误差的前提下，采用“多次平行测定，取平均值”的方法，减小随机误差，测定结果的平均值就接近于真实值。因此，增加测定次数可以减小随机误差。3.过失误差又称粗大误差，与实际明显不符的误差，主要是由于实验人员粗心大意所致，如读错，测错，记错等都会带来过失误差。含有粗大误差的测量值称为坏值，应在整理数据时依据常用的准则加以剔除。操作错误是由于分析人员的粗心，不遵守操作规程，责任心不强引起的。如仪器洗涤不干净，试样损失，加错试剂，看错读数，溶液溅失，计算错误等。这些错误操作不是误差，在工作上属于责任事故。如发现有过失，应将含有过失的测定值作为异常值舍去。&&&&8&&&&&&&&&&&&综上所述，我们可以认为系统误差和过失误差总是可以设法避免的，而偶然误差是不可避免的，因此最好的实验结果应该只含有偶然误差。&&&&&&&&三、精密度、正确度和精确度&&&&测量的质量和水平，可用误差的概念来描述，也可用准确度等概念来描述。国内外文献所用的名词术语颇不统一，精密度、正确度、精确度这几个术语的使用一向比较混乱。近年来趋于一致的多数意见是：精密度：可以称衡量某些物理量几次测量之间的一致性，即重复性。它可以反映偶然误差大小的影响程度。正确度：指在规定条件下，测量中所有系统误差的综合，它可以反映系统误差大小的影响程度。精确度(准确度)：指测量结果与真值偏离的程度。它可以反映系统误差和随机误差综合大小的影响程度。为说明它们间的区别，往往用打靶来作比喻。如图2-1-1所示，A的系统误差小而偶然误差大，即正确度高而精密度低；B的系统误差大而偶然误差小，即正确度低而精密度高；C的系统误差和偶图2-1-1精密度、正确度、精确度含义示意图然误差都小，表示精确度(准确度)高。当然实验测量中没有像靶心那样明确的真值，而是设法去测定这个未知的真值。对于实验测量来说，精密度高，正确度不一定高。正确度高，精密度也不一定高。但精确度(准确度)高，必然是精密度与正确度都高。准确度与精密度之间既有区别又有联系。以图2-1-2为例，甲测定结果的精密度高，但其平均值与真实值相差较远，说明准确度低；乙测定结果的精密度不高，准确度也不高；丙测定结果的精密度和准确度都比较高。准确度与精密度的关系：1.精密度是保证准确度的先决条件。图2-1-2分析结果示例图2.高的精密度不一定能保证高的准确&&&&&&&&9&&&&&&&&&&&&度。但可以找出精密而不准确的原因，从而加以校正(系统误差)。&&&&&&&&四、准确度与误差&&&&准确度的高低用误差的大小表示。误差越小，准确度越高；误差越大，准确度越低。在实际的分析工作中，常用测定结果的平均值与真实值接近的程度表征分析结果的准确度。1.误差的表示方法(1)绝对误差(Ea)：绝对误差表示测定结果与真实值之差。即&&&&&&&&Ea?x?xT&&&&&&&&(2-1-6)&&&&&&&&(2)相对误差(Er)：相对误差是指绝对误差在真实值中所占的百分率。即&&&&&&&&Er?&&&&&&&&Ea?100%xT&&&&&&&&(2-1-7)&&&&&&&&绝对误差和相对误差都有正负之分。误差为正，表示分析结果偏高；误差为负，表示分析结果偏低。例：用分析天平称得某试样A的质量为1.2037g，该试样的真实质量为1.2036；若用同一台天平称试样B的质量为0.1204g，其真实质量为0.1203g。计算两试样的绝对误差和相对误差。解：试样A和B的绝对误差为：&&&&&&&&Ea,A1.6?g0.0001gEa,B0.3?g0.0001g&&&&试样A和B的相对误差为：&&&&&&&&Er,A?Er,B&&&&&&&&?0.001g?100%0.008%1.g100%0.08%0.1203g&&&&&&&&从以上计算结果可以看出，绝对误差相同时，相对误差也会有所不同。被测物质的质量较大，相对误差较小。因此，在天平的精度保持不变时，适当增大取样量，可以减小称量误差对分析结果的影响。2．误差的应用(1)判断测定结果的准确度。测定结果的误差越小，准确度越高；误差越大，准确度越低。(2)绝对误差通常用于说明一些分析仪器测量的准确度，如表2-1-1所示。(3)通过绝对误差，可以对测定值进行校正。校正值=绝对值误差=真实值-测定值&&&&10&&&&&&&&&&&&真实值≈测定值+校正值表2-1-1常用仪器的绝对误差和读数误差常用仪器分析天平托盘天平常量滴定管25mL量筒绝对误差±0.0001g±0.1g±0.01mL±0.1mL称量误差或读数误差±0.0002g±0.2g±0.02mL±0.2mL&&&&&&&&校正后的测定值更接近于真实值，但并不是真实值，因为校正值本身也有误差。当系统误差较小时，可用测定平均值代替真实值。实际工作中，标准物质可作为相对真实值来校正仪器和评价分析方法。&&&&&&&&五、精密度与偏差&&&&精密度的高低用偏差表示。偏差越小，精密度越高，表示测定数据的分散程度越小。在实际工作中，常用重复性和再现性表示不同情况下分析结果的精密度。精密度有下列表示方法。1.绝对偏差和相对偏差绝对偏差是指单次测定值与平均值之差；相对偏差是指绝对偏差在平均值中所占的百分率。绝对偏差相对误差&&&&&&&&di?xi?x&&&&dr?di?100%x&&&&&&&&(2-1-8)(2-1-9)&&&&&&&&绝对偏差和相对偏差有正负之分，它们都是表示单次测定值与平均值的偏离程度。2.平均偏差和相对平均偏差在平行测定中，各次测定的偏差有正有负，也可能为零。因此，为了衡量一组数据的精密度，通常用平均偏差d表示。平均偏差(d)：各单个偏差绝对值的平均值&&&&&&&&d?&&&&&&&&1n?dini?1&&&&&&&&(2-1-10)&&&&&&&&相对平均偏差(dr)：平均偏差在平均值中所占的百分率&&&&&&&&11&&&&&&&&&&&&ddr＝?100%x&&&&&&&&(2-1-11)&&&&&&&&平均偏差和相对平均偏差小，说明测定结果的精密度高。平均偏差和相对平均偏差由于取了绝对值因而都是正值，平均偏差有与测量值相同的单位。3.标准偏差和相对标准偏差标准偏差是指单次测定值与算术平均值之间相符合的程度。在数理统计中，常用标准偏差来衡量数据的精密度。有限次测量的标准偏差用s表示。&&&&&&&&s?&&&&相对标准偏差：&&&&&&&&x?x?&&&&i?1i&&&&&&&&n&&&&&&&&2&&&&&&&&n?1&&&&sr?&&&&&&&&?&&&&&&&&?d&&&&i?1&&&&&&&&n&&&&&&&&2i&&&&&&&&n?1&&&&&&&&(2-1-12)(2-1-13)&&&&&&&&s?100%x&&&&&&&&例：有甲乙两组测定数据如下：甲组：10.3，9.8，9.6，10.2，10.1，10.4，10.0，9.7，10.2，9.7乙组：10.0，10.1，9.3，10.2，9.9，9.8，10.5，9.8，10.3，9.9计算各组数据的平均偏差和标准偏差。解：由测定数据可得：&&&&d甲?0.24&&&&&&&&d乙?0.24&&&&&&&&s甲?0.28&&&&&&&&s乙?0.33&&&&&&&&当用平均偏差表示精密度时，两组数据的d相同，但乙组数据中有个别数据偏差较大，两者的区别未能反映出来；当用标准偏差表示精密度时，可以看出乙组数据的精密度好，数据分散程度小。可见，当两组测定数据的平均偏差相同时，用平均偏差不能比较测定结果的精密度，但标准偏差却能解决问题。用标准偏差表示精密度比用平均偏差好，这是因为将单次测定结果的偏差经平方后，能将较大偏差对精密度的影响反映出来，可以更清楚地说明测定值的分散程度。标准偏差和相对标准偏差均为正值，标准偏差有与测定值相同的单位。总之，在一般分析中，通常多采用平均偏差来表示测量的精密度。而对于一种分析方法所能达到的精密度的考察，一批分析结果的分散程度的判断以及其它许多分析数据的处理等，最好采用相对标准偏差等理论和方法。用标准偏差表示精密度，可将单项测量的较大偏差和测量次数对精密度的影响反映出来。&&&&&&&&12&&&&&&&&&&&&例：测定某铁矿中铁的质量分数。分析人员平行测定5次，数据如下：48.42%，48.40%，48.43%，48.39%，48.44%。计算：(1)算术平均值；(2)平均偏差；(3)相对平均偏差；(4)标准偏差；(5)相对标准偏差。解：算术平均值：x?48.42%+48.40%+48.43%+48.39%+48.44%?48.42%5平均偏差：&&&&&&&&1n0.09%?0.018%ddi?ni?15&&&&dx0.018%?100%=0.037%48.42%&&&&0.%5?1&&&&&&&&相对平均偏差：dr＝?100%=&&&&&&&&标准偏差：&&&&&&&&s?&&&&&&&&?d&&&&i?1&&&&&&&&n&&&&&&&&2i&&&&&&&&n?1&&&&&&&&?&&&&&&&&相对标准偏差：sr?&&&&&&&&s0.024%?100%100%?0.05%x48.42%&&&&&&&&4.极差极差是指一组数据中最大值(xmax)与最小值(xmin)之差，用R表示。R?xmax?xmin&&&&&&&&R?100%x一般分析工作中平行测定次数不多，常采用极差来说明偏差的范围。极差表示方法简单，不足之处是不能利用全部测量数据。5.允许差允许差又叫公差。一般分析工作中，只做两次平行测定，允许差是两次平行测定结果的绝对差值，也就是平行测定结果精密度的界限值。若两次平行测定结果的差值不大于允许差，则两次平行测定结果的算术平均值作为分析结果；若差值超出允许差，称为“超差”，此测定结果无效，必须重新取样测定。使用时，若试样有标准时，允许差采用单面公差(即允许差的绝对值)；试样无标准值时，则采用双面公差(即允许差绝对值的2倍)。相对极差?&&&&&&&&六、仪表的精确度与测量值的误差1.电工仪表等一些仪表的精确度与测量误差&&&&这些仪表的精确度常采用仪表的最大引用误差和精确度的等级来表示。仪表的最大引用误差的定义为：仪表显示值的绝对误差最大引用误差=×100%(2-1-14)该仪表相应档次量程的绝对值&&&&13&&&&&&&&&&&&式中仪表显示值的绝对误差指在规定的正常情况下，被测参数的测量值与被测参数的标准值之差的绝对值的最大值。对于多档仪表，不同档次显示值的绝对误差和量程范围均不相同。式(2-1-14)表明，若仪表显示值的绝对误差相同，则量程范围愈大，最大引用误差愈小。我国电工仪表的精确度等级有七种：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0。如某仪表的精确度等级为2.5级，则说明此仪表的最大引用误差为2.5%。在使用仪表时，如何估算某一次测量值的绝对误差和相对误差？设仪表的精确度等级P级，其最大引用误差为10%。设仪表的测量范围为xn仪表的示值为xi，则该示值的误差为：&&&&绝对误差D?xn?P%xnD?P%?相对误差E?xixi?&&&&&&&&(2-1-15)&&&&&&&&式(2-1-15)表明：&&&&&&&&(1)若仪表的精确度等级P和测量范围xn已固定，则测量的示值xi愈大，&&&&测量的相对误差愈小。(2)选用仪表时，不能盲目地追求仪表的精确度等级。因为测量的相对误差还与&&&&&&&&xxn有关。应该兼顾仪表的精确度等级和n两者。xixi&&&&&&&&2.天平类仪器的精确度和测量误差这些仪器的精度用以下公式来表示：名义分度值(2-1-16)仪器的精密度=量程的范围式中名义分度值指测量时读数有把握正确的最小分度单位，即每个最小分度所代表的数值。例如TG-3284型天平，其名义分度值(感量)为0.1毫克，测量范围为0~200克，则其0.1精确度=?5?10?7(2-1-17)3（200?0）10?若仪器的精确度已知，也可用式(2-1-16)求得其名义分度值。使用这些仪器时，测量的误差可用下式来确定：&&&&&&&&绝对误差?名义分度值名义分度值?相对误差?测量值&&&&&&&&(2-1-18)&&&&&&&&3.测量值的实际误差由于仪表的精确度用上述方法所确定的测量误差，一般总是比测量值的实际误差小的多。这是因为仪器没有调整到理想状态，如不垂直、不水&&&&&&&&14&&&&&&&&&&&&平、零位没有调整好等，会引起误差；仪表的实际工作条件不符合规定的正常工作条件，会引起附加误差；仪器经过长期使用后，零件发生磨损，装配状况发生变化等，也会引起误差；可能存在有操作者的习惯和偏向所引起的误差；仪表所感受的信号实际上可能并不等于待测的信号；仪表电路可能会受到干扰等。总而言之，测量值实际误差大小的影响因素是很多的。为了获得较准确的测量结果，需要有较好的仪器，也需要有科学的态度和方法，以及扎实的理论知识和实践经验。&&&&&&&&七、间接测量中的误差传递&&&&在许多实验和研究中，所得到的结果有时不是用仪器直接测量得到的，而是要把实验现场直接测量值代入一定的理论关系式中，通过计算才能求得所需要的结果，既间接测量值。由于直接测量值总有一定的误差，因此它们必然引起间接测量值也有一定的误差，也就是说直接测量误差不可避免地传递到间接测量值中去，而产生间接测量误差。误差的传递公式：从数学中知道，当间接测量值(y)与直接值测量值(x1,&&&&&&&&x2,……xn)有函数关系时，即y?f(x1,x2,xn)&&&&则其微分式为：&&&&&&&&dy?&&&&&&&&?y?y?ydx1?dx2dxn?x1?x2?xn&&&&&&&&(2-1-19)(2-1-20)&&&&&&&&y?dy?y?y1dx1?dx2dxn?yf(x1,x2xn)x1?x2?xn?&&&&&&&&根据式(2-1-19)和(2-1-20)，当直接测量值的误差(?x1,?x2,?xn)很小，并且考虑到最不利的情况，应是误差累积和取绝对值，则可求间接测量值的误差?y或?yy为：&&&&?y?&&&&Er?&&&&&&&&?y?y?yx2xnx1x1?x2?xn&&&&&&&&(2-1-21)&&&&&&&&y?(2-1-22)?y?y?y1?x1?x2xn?x2?xnyf（x1,x2,xn）x1?&&&&&&&&这两个式子就是由直接测量误差计算间接测量误差的误差传递公式。对于标准差的传递则有：&&&&222?yxx?xxxx12n?&&&&12&&&&&&&&y?&&&&&&&&2&&&&&&&&y?&&&&&&&&2&&&&&&&&y?&&&&&&&&(2-1-23)&&&&&&&&n&&&&&&&&式中σx1，σx2等分别为直接测量的标准误差，σy为间接测量的标准误差。&&&&15&&&&&&&&&&&&上式在有关资料中称之为“几何合成”或“极限相对误差”。表2-1-2列出了计算函数误差的各种关系式。表2-1-2函数式的误差关系表误差传递公式数学式最大绝对误差最大相对误差Er(y)&&&&Er(y)yy?yEr(y)?y&&&&x1?x2?xx21?&&&&&&&&&&&&y?x1?x2?xn&&&&&&&&?y(?x1x2xn)&&&&&&&&y?x1?x2&&&&&&&&?y(?x1x2)&&&&?y(x1?x2)&&&&&&&&E（y）?E（x1?x2）rr&&&&&&&&y?x1?x2&&&&y?x1?x2?x3y?xn&&&&y?&&&&n&&&&&&&&x1x2?x2x1）（或?y?y?E（y）r&&&&?y(x1?x2x3?x1?x3x2?x2?x3x1)或?y?y?Er(y)&&&&&&&&x1?x3?x2Er(y)xx2x31?&&&&&&&&?ynx&&&&&&&&?&&&&&&&&n?1&&&&&&&&x&&&&&&&&?&&&&&&&&&&&&或?y?y?Er(y)&&&&?11?1?y?xnx?n?或?y?y?Er(y)&&&&&&&&xEr(y)?n?x?&&&&&&&&&&&&&&&&x&&&&&&&&Er(y)?&&&&&&&&?1?x?ynxy?&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&y?&&&&&&&&x1x2&&&&&&&&?y?y?Er(y)&&&&&&&&x1?x2Er(y)x?x2?1&&&&Er(y)?&&&&&&&&y?cx&&&&y?logx?0.43429lnx&&&&&&&&?y(cx)cx或?y?y?Er(y)&&&&?y(0.29xlnx)xx&&&&&&&&?y?x或Er(y)yx&&&&&&&&Er(y)?&&&&&&&&?yy&&&&&&&&第二节&&&&&&&&有效数字及运算规则&&&&&&&&当我们对一个测量的量进行记录时，所记数字的位数应与仪器的精密度相符合，即所记数字的最后一位为仪器最小刻度以内的估计值，称为可疑值，其它几位为准确值，这样的一个数字称为有效数字，它的位数不可随意增减。例如，普通50mL的滴定管，最小刻度为0.1mL，则记录26.55是合理的；记录26.5和26.556都是错误的，因为它们分别缩小和夸大了仪器的精密度。为了方便地表达有效数字位数，一般用科学记数法记录数字，即用一个带小数的个位数乘以10的相当幂次表示。例如0.000567可写为&&&&16&&&&&&&&&&&&5.67×10-4，有效数字为三位：10680可写为1.，有效数字是五位，如此等等。用以表达小数点位置的零不计入有效数字位数。在定量分析中，为了得到准确的分析结果，不仅要准确地进行各种测量，而且还要正确地记录和计算。分析结果所表达的不仅仅是试样中待测组分的含量，而且还反映了测量的准确程度。因此，在实验数据的记录和结果的计算中，数字的保留位数不是任意的，要根据测量仪器、分析方法的准确度来决定，这就涉及有效数字的概念。&&&&&&&&一、有效数字&&&&每一个实验都要记录大量的原始数据，并对它们进行分析运算。但是这些直接测量数据都是近似数，存在一定误差，因此就存在一个实验时记录应取几位数，运算后又应保留几位数的问题。准确测定的数字加上最后一位估读数字(又称存疑数字)所得的数字称为有效数字。实验数据或根据直接测量值的计算结果，总是以一定位数的数字来表示。究竟取几位数才是有效的呢？是不是小数点后面的数字越多就越正确？或者运算结果保留位数越多就越准确？其实这是错误的想法。因为第一，数据中小数点的位置不决定准确度，而与所用单位大小有关；第二，与测量仪表的精度有关，一般应记录到仪表最小刻度的十分之一位。例如：某液面计标尺的最小分度为1mm，则读数可以读到0.1mm。如液面高为524.5mm，即前三位是直接读出的，是准确的，最后一位是估计的，是欠准的或可疑的，称该数据为4位有效数。如液面恰好在524mm刻度上，则数据应记作524.0mm。记录数据和计算结果时究竟应该保留几位数字，须根据测定方法和使用仪器的准确程度来决定。在记录数据和计算结果时，所保留的有效数字中，只有最后一位是可疑的数字(有±1的误差)。1.数字“0”的作用作为普通数字使用的“0”是有效数字；只起定位作用的“0”不是有效数字。例：数字的有效位数：4.21.02位有效数字1.030.03803位有效数字28.32%0.42004位有效数字65位有效数字有效数字位数不确定.关于有效数字应注意的问题(1)有效数字第一位等于大于8时，可多记一位有效数字。(2)在分析化学中，常遇到倍数、分数关系，如2，3，1/3，1/5等，是非测量所得，可视为无限多位有效数字。(3)对于含有对数的有效数字，如pH、pK、lgA等，其位数取决于小数部&&&&17&&&&&&&&&&&&分的位数，整数部分只起定位作用，说明这个数的幂次。如pH=5.12有效数字为2位，而不是3位。(4)分析记录的有效数字位数要与分析方法及所用量具的精度相符。例如，用感量为万分之一的分析天平称取1g的试样，应记录为1.0000g；需加入10.00mL的溶液，就必须用滴定管或移液管，若写成加入10mL的溶液，用量筒或量杯就可以了。&&&&&&&&二、科学计数法&&&&在科学与工程中，为了清楚地表达有效数或数据的精度，通常将有效数写出并在第一位数后加小数点，而数值的数量级由10的整数幂来确定，这种以10的整数幂来记数的方法称科学记数法。例如：0.0088应记作8.8×10-3，88000(有效数3位)记作8.80×104。应注意，科学记数法中，在10的整数幂之前的数字应全部为有效数。&&&&&&&&三、有效数字的修约规则&&&&所谓数字修约是指舍弃多余的数字的过程。它所遵循的规则称为“数字修约规则”。1.数字修约规则四舍六入五成双；五后非零就进一；五后皆零视奇偶，五前为偶应舍去，五前为奇应进一。例：将下列数字修约为二位有效数字2.3.4...550→2.62.050→2.0总结：①当尾数≤4时舍去；②当尾数≥6时进位；③当尾数＝5，5后无数，全部为零时前一位奇数进1位，前一位偶数不进；5后并非全部为零时则进1。2.产品标准中极限值的修约修约值比较法是将测定值或计算值经修约后的数值与标准规定的极限数值进行比较，修约位数与标准规定的极限位数一致，将修约后的数值与标准数值进行比较，以判定实际指标或参数是否符合标准要求。全数值比较法是将测定值或计算值不经修约处理，而用数值的全部数字与标准规定的极限数值进行比较，只要超出极限数值，都判为不符合标准要求。凡标准中规定的极限数值未加说明时，均指采用全数值比较法，此法为国家技术监督局1989年发布和实施的新标准(GB1250)。如规定采用修约值比较法，应在标准中加以说明。分析产品化学成分时多用全数值比较法。&&&&&&&&18&&&&&&&&&&&&四、有效数字的运算规则&&&&1.加减法当几个数据相加减时，它们的和或差的有效数字的保留，应以小数点后位数最少，即绝对误差最大的数据为依据。例如：0.21+0.=32.其中以0.21的绝对误差最大，故有效数字应根据它来修约。2.乘除法几个数据相乘除时，积或商的有效数字的保留，应以其中相对误差最大的那个数，即有效数字位数最少的那个数为依据。例如：1.23×21.36=26..乘方或开方对数据进行乘方或开方时，其结果所保留的有效数字位数应与原数据的有效数字相同。例如：6.722=45.(保留3位有效数字)&&&&&&&&9.65?3.(保留3位有效数字)&&&&4.对数计算对数的有效数位数与其真数相同。所取对数的小数点后的位数(不包括整数部分)应与原数据的有效数字的位数相等。例如：lg105.2=2..0220(小数点后保留4位)&&&&&&&&五、有效数字运算规则应用时的注意事项&&&&1.运算中舍弃过多不定数字时，应用“4舍6入，逢5尾留双”的法则，例如有下列两个数值：9.435、4.685，整化为三位数，根据上述法则，整化后的数值为9.44与4.68。2.在计算中常遇到分数、倍数等，可视为多位有效数字。3.在乘除运算过程中，首位数为“8”或“9”的数据，有效数字位数可以多取1位。4.在混合计算中，有效数字的保留以最后一步计算的规则执行。5.误差一般只取一位有效数字，最多两位。表示分析方法的精密度和准确度时，大多数取1-2位有效数字。6.对于高含量组分(一般大于10%)的测定，一般要求分析结果有4位有效数字；对于中含量组分(1%-10%)，一般要求3位有效数字；对于微量组分(1%)，一般只要求2位有效数字。通常以此为标准，报出分析结果。7.在分析化学的许多计算中，当涉及各种常数时，一般视为准确的、不考虑其有效数字的位数，如π，e，g等常数有效位数可多可少，根据需要选取。&&&&&&&&19&&&&&&&&&&&&8.对于各种误差的计算，一般只要求2位有效数字。对于各种化学平衡的计算(如计算平衡时某离子的浓度)，根据具体情况保留2位或3位有效数字。此外，在分析化学的有些计算过程中，常遇到pH=4，pM=8等这样的数值，有效数字位数未明确指出，这种表示方法不恰当，应当避免。9.在四个数以上的平均值计算中，其平均值的有效数字可较各数据中最小有效位数多一位。10.所有取自手册上的数据，其有效数按计算需要选取，但原始数据如有限制，则应服从原始数据。11.一般在工程计算中取三位有效数已足够精确，在科学研究中根据需要和仪器的可能，可以取到四位有效数字。&&&&&&&&第三节&&&&&&&&实验数据处理&&&&&&&&实验的最终目的是为了通过数据的获得和处理，从中揭示出有关量的关系，或找出事物的内在规律性，或验证某种理论的正确性，或为以后的实验准备依据。因而，需要对所获得的数据进行正确的处理，数据处理贯穿于从获得原始数据到得出结论的整个实验过程。包括数据记录、整理、计算、作图、分析等方面涉及数据运算的处理方法。常用的数据处理方法有：列表法、图示法、图解法、逐差法和最小二乘线性拟合法等。实验数据处理，就是以测量为手段，以研究对象的概念、状态为基础，以数学运算为工具，推断出某量值的真值，并导出某些具有规律性结论的整个过程。因此对实验数据进行处理，可使人们清楚地观察到各变量之间的定量关系，以便进一步分析实验现象，得出规律，指导生产与设计。&&&&&&&&一、列表法&&&&列表法是将实验所获得的数据用表格的形式进行排列的数据处理方法。列表法的作用有两种：一是记录实验数据，二是能显示出物理量间的对应关系。其优点是，能对大量的杂乱无章的数据进行归纳整理，使之既有条不紊，又简明醒目；既有助于表现物理量之间的关系，又便于及时地检查和发现实验数据是否合理，减少或避免测量错误；同时，也为作图法等处理数据奠定了基础。用列表的方法记录和处理数据是一种良好的科学工作习惯，要设计出一个栏目清楚、行列分明的表格，也需要在实验中不断训练，逐步掌握、熟练，并形成习惯。一般来讲，在用列表法处理数据时，应遵从如下原则：(1)栏目条理清楚，简单明了，便于显示有关物理量的关系。(2)在栏目中，应给出有关物理量的符号，并标明单位(一般不重复写在每个数据的后面)。&&&&20&&&&&&&&&&&&(3)填入表中的数字应是有效数字。(4)必要时需要加以注释说明。将实验数据按自变量和因变量的关系，以一定的顺序列出数据表，即为列表法。列表法有许多优点，如为了不遗漏数据，原始数据记录表会给数据处理带来方便；列出数据使数据易比较；形式紧凑；同一表格内可以表示几个变量间的关系等。列表通常是整理数据的第一步，为标绘曲线图或整理成数学公式打下基础。1.实验数据表的分类实验数据表一般分为两大类：原始数据记录表和整理计算数据表。以阻力实验测定层流λ~Re关系为例进行说明。原始数据记录表是根据实验的具体内容而设计的，以清楚地记录所有待测数据。该表必须在实验前完成。例：层流阻力实验原始数据记录表如表2-3-1。表2-3-1层流阻力实验原始数据记录表年月日装置编号：第＿套管径＿m管长＿m平均水温＿?C&&&&序号水的体积V/mL时间t/s压差计示值左/mm右/mm&&&&&&&&ΔR/mm&&&&&&&&备注&&&&&&&&12&&&&……&&&&&&&&n&&&&整理计算数据表可细分为中间计算结果表(体现出实验过程主要变量综合结果表(表达实验过程中得出的结论)和误差分析表(表达的计算结果)、实验值与参照值或理论值的误差范围)等，实验报告中要用到几个表，应根误差分析据具体实验情况而定。层流阻力实验整理计算数据表见表2-3-2，结果表见表2-3-3。表2-3-2层流阻力实验整理计算数据表序号流量V/(m3/s)平均流速u/(m/s)层流沿程损失值hf/mH2O&&&&&&&&Re×102&&&&&&&&λ×10-2&&&&&&&&λ~Re关系式&&&&&&&&12&&&&……&&&&&&&&n&&&&表2-3-3层流层流阻力实验误差分析结果表&&&&&&&&λ实验&&&&&&&&λ理论&&&&&&&&相对误差％&&&&&&&&21&&&&&&&&&&&&2.设计实验数据表应注意的事项(1)表格设计要力求简明扼要，一目了然，便于阅读和使用。记录、计算项目要满足实验需要，如原始数据记录表格上方要列出实验装置的几何参数以及平均水温等常数项。(2)表头列出物理量的名称、符号和计算单位。符号与计量单位之间用斜线“/”隔开。斜线不能重叠使用。计量单位不宜混在数字之中，造成分辨不清。(3)注意有效数字位数，即记录的数字应与测量仪表的准确度相匹配，不可过多或过少。(4)物理量的数值较大或较小时，要用科学记数法表示。以“物理量的符号×10±n/计量单位”的形式记入表头。注意：表头中的10±n与表中的数据应服从下式：物理量的实际值×10±n＝表中数据(5)为便于引用，每一个数据表都应在表的上方写明表号和表题(表名)。表号应按出现的顺序编写并在正文中有所交代。同一个表尽量不跨页，必须。跨页时，在跨页的表上须注“续表×××”(6)数据书写要清楚整齐。修改时宜用单线将错误的划掉，将正确的写在下面。各种实验条件及作记录者的姓名可作为“表注”，在表的下方。&&&&&&&&二、图示法&&&&图示法就是用图象来表示物理规律的一种实验数据处理方法。一般来讲，一个物理规律可以用三种方式来表述：文字表述、解析函数关系表述、图象表示。图示法处理实验数据的优点是能够直观、形象地显示各个物理量之间的数量关系，便于比较分析。一条图线上可以有无数组数据，可以方便地进行内插和外推，特别是对那些尚未找到解析函数表达式的实验结果，可以依据图示法所画出的图线寻找到相应的经验公式。因此，图示法是处理实验数据的好方法。要想制作一幅完整而正确的图线，必须遵循如下原则及步骤：1.选择合适的坐标纸。作图一定要用坐标纸，常用的坐标纸有直角坐标纸、双对数坐标纸、单对数坐标纸、极坐标纸等。选用的原则是尽量让所作图线呈直线，有时还可采用变量代换的方法将图线作成直线。2.确定坐标的分度和标记。一般用横轴表示自变量，纵轴表示因变量，并标明各坐标轴所代表的物理量及其单位(可用相应的符号表示)。坐标轴的分度要根据实验数据的有效数字及对结果的要求来确定。原则上，数据中的可靠数字在图中也应是可靠的。即不能因作图而引进额外的误差。在坐标轴上应每隔一定间距均匀地标出分度值，标记所用有效数字的位数应与原始数据的有效数字的位数相同，单位应与坐标轴单位一致。要恰当选取坐标轴比例和分度值，&&&&22&&&&&&&&&&&&使图线充分占有图纸空间，不要缩在一边或一角。除特殊需要外，分度值起点可以不从零开始，横、纵坐标可采用不同比例。3.描点。根据测量获得的数据，用一定的符号在坐标纸上描出坐标点。一张图纸上画几条实验曲线时，每条曲线应用不同的标记，以免混淆。常用的标记符号有⊙、+、×、?、□等。4.连线。要绘制一条与标出的实验点基本相符的图线，图线尽可能多的通过实验点，由于测量误差，某些实验点可能不在图线上，应尽量使其均匀地分布在图线的两侧。图线应是直线或光滑的曲线或折线。5.注解和说明。应在图纸上标出图的名称，有关符号的意义和特定实验条件。实验数据图示法就是将整理得到的实验数据或结果标绘成描述因变量和自变量的依从关系的曲线图。该法的优点是直观清晰，便于比较，容易看出数据中的极值点、转折点、周期性、变化率以及其他特性，准确的图形还可以在不知数学表达式的情况下进行微积分运算，故得到了广泛应用。图示法应注意的事项：1.对于两个变量的系统，习惯上选横轴为自变量，纵轴为因变量。在两轴侧要标明变量名称、符号和单位，如离心泵特性曲线的横轴须标明：流量Q/(m3/h)。尤其是单位，初学者往往因受纯数学的影响而容易忽略。2.坐标分度要适当，使变量的函数关系表现清楚。a)对于直角坐标的原点不一定选为零点，应根据所标绘数据范围而定，其原点应移至比数据中最小者稍小一些的位置为宜，能使图形占满全幅坐标线为原则。b)对于对数坐标，坐标轴刻度是按1，2，…，10的对数值大小划分的，其分度要遵循对数坐标的规律，当用坐标表示不同大小的数据时，只可将各值乘以10n(n取正、负整数)而不能任意划分。对数坐标的原点不是零。在对数坐标上，1，10，100，1000之间的实际距离是相同的，因为上述各数相应的对数值为0，1，2，3，这在线性坐标上的距离相同。3.实验数据的标绘。若在同一张坐标纸上同时标绘几组测量值，则各组要用不同符号(如ο，Δ，×等)以示区别。若n组不同函数同绘在一张坐标纸上，则在曲线上要标明函数关系名称。4.图必须有图号和图题(图名)，图号应按出现的顺序编写，并在正文中有所交待。必要时还应有图注。利用曲线板等工具将各离散点连接成光滑曲线，并使曲线5.图线应光滑。尽可能通过较多的实验点，或者使曲线以外的点尽可能位于曲线附近，并使曲线两侧的点数大致相等。&&&&&&&&23&&&&&&&&&&&&三、实验数据数学方程表示法&&&&在实验研究中，除了用表格和图形描述变量间的关系外，还常常把实验数据整理成方程式，以描述过程或现象的自变量和因变量之间的关系，即建立过程的数学模型。其方法是将实验数据绘制成曲线，与已知的函数关系式的典型曲线(线性方程、幂函数方程、指数函数方程、抛物线函数方程、双曲线函数方程等)进行对照选择，然后用图解法或者数值方法确定函数式中的各种常数。所得函数表达式是否能准确地反映实验数据所存在的关系，应通过检验加以确认。运用计算机将实验数据结果回归为数学方程已成为实验数据处理的主要手段。图解法是在图示法的基础上，利用已经作好的图线，定量地求出待测量或某些参数或经验公式的方法。由于直线不仅绘制方便，而且所确定的函数关系也简单等特点，因此，对非线性关系的情况，应在初步分析、把握其关系特征的基础上，通过变量变换的方法将原来的非线性关系化为新变量的线性关系。即将“曲线化直”。然后再使用图解法。1.数学方程式的选择数学方程式选择的原则是：既要求形式简单，所含常数较少，同时也希望能准确地表达实验数据之间的关系，但要满足两者条件往往是难以做到，通常是在保证必要的准确度的前提下，尽可能选择简单的线性关系或者经过适当方法转换成线性关系的形式，使数据处理工作得到简单化。数学方程式选择的方法是：将实验数据标绘在普通坐标纸上，得一直线或曲线。如果是直线，则根据初等数学可知y=ax+b，其中a，b值可由直线的截距和斜率求得。如果不是直线，也就是说，y和x不是线性关系，则可将实验曲线和典型的函数曲线相对照，选择与实验曲线相似的典型曲线函数，然后用直线化方法处理，最后以所选函数与实验数据的符合程度加以检验。直线化方法就是将函数y=f(x)转化成线性函数y=a+bx的方法。常见函数的典型图形及线性化方法列于表2-3-4。2.求公式中的常数当公式选定后，可用图解法求方程式中的常数，本节以幂函数和指数函数、对数函数为例进行说明。(1)幂函数的线性图解幂函数y=axb经线性化后成为：logy=loga+bxd)系数b的求法系数b即为直线的斜率，如图2-3-1所示的AB线的斜率。在对数坐标上求取斜率方法与直角坐标上的求法不同。因为在对数坐标上标度的数值是真数而不是对数，因此双对数坐标纸上直线的斜率需要用对数值来求&&&&24&&&&&&&&&&&&表2-3-4图形&&&&&&&&常见的曲线与函数式之间的关系函数及线性化方法&&&&xax?b&&&&&&&&双曲线函数令Y&&&&?11,X?yx&&&&&&&&y?&&&&&&&&，则得直线方程&&&&&&&&Y?a?bX&&&&&&&&S型曲线&&&&令Y程Y&&&&?&&&&&&&&y?&&&&&&&&1a?be?x&&&&&&&&1,X?e?xy&&&&&&&&，则得直线方&&&&&&&&?a?bX&&&&&&&&指数函数&&&&&&&&y?aebk&&&&?x&&&&&&&&令Y?lgy，X则得直线方程&&&&Y?lga?kX&&&&&&&&，k?blge，&&&&&&&&指数函数&&&&&&&&y?&&&&&&&&bxae&&&&&&&&令Y?lgy，X则得直线方程&&&&Y?lga?kX&&&&&&&&?&&&&&&&&1x&&&&&&&&，k&&&&&&&&?blge&&&&&&&&，&&&&&&&&幂函数&&&&&&&&y?axb&&&&?lgx&&&&&&&&令Y?lgy，X则得直线方程&&&&Y?lga?bX&&&&&&&&，&&&&&&&&对数函数y?a?blgx令Y?y,X?lgx，则得直线方程&&&&Y?a?bX&&&&&&&&25&&&&&&&&&&&&算，或者在两坐标轴比例尺相同情况下直接用尺子在坐标纸上量取线段长度来求取。&&&&b?&&&&1000&&&&&&&&?ylogy2?logy1xlogx2?logx1&&&&&&&&(2-3-1)&&&&&&&&式中?y与?x的数值即为尺子测量而得的线段长度。100b)系数a的求法在双对数坐标上，直线A10x=1处的纵轴相交处的y值，即为方程y=axb中的a值。1若所绘的直线在图面上不能与x=1处的纵轴相交，则可图2-3-1求取线段AB斜率示意图在直线上任取一组数值x和y(而不是取一组测定结果数据)和已求出的斜率b，代入原方程y=axb中，通过计算求得a值。(2)指数或对数函数的线性图解法当所研究的函数关系呈指数函数y=aebx或对数函数y=a+blogx时，将实验数据标绘在单对数坐标纸上的图形是一直线。线性化方法参见表2-6。a)系数b的求法对y=aebx，线性化为y=loga+kx，式中k=bloge，其纵轴为对数坐标，斜率为：logy2?logy1(2-3-2)k?x2?x1&&&&B&&&&&&&&b?&&&&&&&&kloge&&&&&&&&(2-3-3)&&&&&&&&对y=a+blogx，横轴为对数坐标，斜率为：y2?y1b?logx2?logx1&&&&&&&&(2-3-4)&&&&&&&&系数a的求法系数a的求法与幂函数中所述方法基本相同，可用直线上任一点处的坐标值和已经求出的系数b代入函数关系式后求解。(3)二元线性方程的图解若实验研究中，所研究对象的物理量是一个因变量与两个自变量，它们必成线性关系，则可采用以下函数式表示：y?a?bx1＋cx2(2-3-5)&&&&&&&&b)&&&&&&&&在图解此类函数式时，应首先令其中一自变量恒定不变，例如使x1为常数，则上式可改写成：&&&&26&&&&&&&&&&&&y?d＋cx2&&&&&&&&(2-3-6)&&&&&&&&式中&&&&&&&&d?a?bx1?const&&&&&&&&由y与x2的数据可在直角坐标中标绘出一条直线，如图2-3-2(a)所示。采用上述图解法即可确定x2的系数c。&&&&&&&&图2-3-2&&&&&&&&二元线性方程图解示意&&&&&&&&在图a中直线上任取两点e1(x21,y1)，&&&&&&&&e2(x22,y2)&&&&&&&&，则有：&&&&&&&&c?&&&&&&&&y2?y1x22?x21&&&&&&&&(2-3-7)&&&&&&&&当c求得后，将其代入式(2-3-6)中，并将式(2-29)重新改写成以下形式：&&&&&&&&y?cx2?a?bx1&&&&令yy?cx2于是可得一新的线性方程：&&&&&&&&(2-3-8)&&&&&&&&ya?bx1&&&&&&&&(2-3-9)&&&&&&&&由实验数据y,x2和c计算得y?，由y?与x1在图b中标绘其直线，并在该直线上任取f1(x11,y1?)及f2(x12,y2?)两点。由f1,f2两点即可确定a、b两个常数。&&&&&&&&y2?y1x12?x11?y?x?y2x11a?112x12?x11&&&&b?&&&&&&&&(2-3-10)(2-3-11)&&&&&&&&应该指出的是，在确定b、a时，其自变量x1，x2应同时改变，才能使其结果覆盖整个实验范围。薛伍德(Sherwood)利用七种不同流体对流过圆形直管的强制对流传热进行研究，并取得大量数据，采用幂函数形式进行处理，其函数形式为：(2-3-12)Nu?BRemPrn&&&&27&&&&&&&&&&&&式中Nu随Re及Pr数而变化，将上式两边取对数，采用变量代换，使之化为二元线性方程形式：(2-3-13)logNu?logB?mlogRe?nlogPr令y=logNu；1=logRe；xx2=logPr；a=logB，上式即可表示为二元线性方程式：y?a?mx1?nx2(2-3-14)现将(2-3-13)改写为式2-13-15，确定常数n(固定变量Re值，使Re=const，自变量减少一个)。(2-3-15)logNu?logB?mlogRe）nlogPr（?薛伍德固定Re=104，将七种不同流体的实验数据在双对数坐标纸上标绘Nu和Pr之间的关系如图2-3-3(a)。实验表明，不同Pr数的实验结果，基本上是一条直线，用这条直线决定Pr准数的指数n，然后在不同Pr数及不同Re数下实验，按下式图解法求解：&&&&&&&&log（Nu/Pr&&&&&&&&n&&&&&&&&)?logB?mlogRe&&&&&&&&(2-3-16)&&&&&&&&?空气▲水■煤油±石油&&&&&&&&?丙酮&&&&&&&&×苯&&&&&&&&(a)Re=104时Nu～Pr关系图&&&&&&&&(b)Nu/Pr0.4～Re关系图&&&&&&&&图2-3-3Nu?BRemPrn图解法示意以Nu/Prn对Re数，在双对数坐标纸上作图，标绘出一条直线如图2-3-3(b)所示。由这条直线的斜率和截距决定B和m值。这样，经验公式中的所有待定常数B、m和n均被确定。(4)联立方程法求公式中的常数此法又称“平均值法”，仅适用于实验数据精度很高的条件下，即实验点与理想曲线偏离较小，否则所得函数将毫无意义。平均值法定义为：选择能使其同各测定值的偏差的代数和为零的那条曲线为理想曲线。具体步骤是：1)选择适宜的经验公式：y=f(x)2)建立求待定常数和系数的方程组。现假定画出的理想曲线为直线，其方程为y=a+bx，设测定值为xi、yi，将xi代入上式，所得的y值为yi`，即yi`=a+bxi，而yi=a+bxi，所以应该是&&&&&&&&28&&&&&&&&&&&&yi`=yi。然而，一般由于测量误差，实测点偏离直线，使yiyi。若设yi&&&&和yi?的偏差为?i，则&&&&&&&&?i?yi?yiyi?(a?bx)&&&&&&&&(2-3-17)&&&&&&&&最好能引一使这个偏差值的总和为零的直线，设测定值的个数为N，由下式：&&&&&&&&iyi?Na?b?xi?0&&&&&&&&(2-3-18)&&&&&&&&定出a,b，则以a,b为常数和系数的直线即为所求的理想直线。由于含有二个未知数a和b，所以需将测定值按实验数据的次序分成相等或近似相等的两组，分别建立相应的方程式，然后联立方程，解之即得a,b。例转子流量计标定时得到的读数与流量关系为例，求实验方程。读数x/格流量y/(m3/h)&&&&&&&&0&&&&&&&&2&&&&&&&&4&&&&&&&&6&&&&&&&&8&&&&&&&&10&&&&&&&&12&&&&&&&&14&&&&&&&&16&&&&&&&&30.33.37.&&&&&&&&解：把上表数据分成A、B两组，前面5对x、y为A组，后面4对x、y为B组。（?x）?0?2?4?6?8?20A（?y）?30.00?31.25?32.58?33.71?35.01?162.55A(?x)B?10?12?14?16?52(?y)B?36.20?37.31?38.79?40.04?152.34把这些数值代入式(2-3-18)?162.55?5a?20b?a?52b?0联立求解得a＝30.0b?0.620所求直线方程为：y?30.0?0.620x平均值法在实验数据精度不高的情况下不可使用，比较准确的方法是采用最小二乘法。&&&&&&&&四、实验数据的回归分析法&&&&应用回归分析法可以从大量观测的散点数据中寻找到能反映事物内部的一些统计规律，并可以用数学模型形式表达出来。回归分析法与计算机相结合，已成为确定经验公式最有效的手段之一。回归也称拟合。对具有相关关系的两个变量，若用一条直线描述，则&&&&&&&&29&&&&&&&&&&&&称一元线性回归，用一条曲线描述，则称一元非线性回归。对具有相关关系的三个变量，其中一个因变量、两个自变量，若用平面描述，则称二元线性回归，用曲面描述，则称二元非线性回归。依次类推，可以延伸到n维空间进行回归，则称多元线性回归或多元非线性回归。处理实验问题时，往往将非线性问题转化为线性来处理。建立线性回归方程的最有效方法为线性最小二乘法，以下主要讨论用最小二乘法回归一元线性方程。1.一元线性回归方程的求法在科学实验的数据统计方法中，通常要从获得的实验数据(xi,yi,寻找其自变量xi与因变量yi之间函数关系y=f(x)。由于实验i=1,2,…,n)中，测定数据一般都存在误差，因此，不能要求所有的实验点均在y=f(x)所表示的曲线上，只需满足实验点(xi,yi)与f(xi)的残差di=yi-f(xi)小于给定的误差即可。此类寻求实验数据关系近似函数表达式y=f(x)的问题称之为曲线拟合。&&&&&&&&图2-3-4一元线性回归示意图&&&&&&&&图2-3-5实验曲线示意图&&&&&&&&曲线拟合首先应针对实验数据的特点，选择适宜的函数形式，确定拟合时的目标函数。例如在取得两个变量的实验数据之后，若在普通直角坐标纸上标出各个数据点，如果各点的分布近似于一条直线，则可考虑采用线性回归求其表达式。设给定n个实验点(x1,y1),(x2,y2),…(xn,yn)，其离散点图如图2-3-4所示。于是可以利用一条直线来代表它们之间的关系&&&&&&&&ya?bx&&&&式中&&&&&&&&(2-3-19)&&&&&&&&y?―由回归式算出的值，称回归值；a,b―回归系数。对每一测量值xi可由式(2-3-19)求出一回归值y?。回归值y?与实测值yi?之差的绝对值di=|yi-yi?|=|yi-(a+bxi)|表明yi?与回归直线的偏离程度。两|者偏离程度愈小，说明直线与实验数据点拟合愈好。yi-yi?|值代表点(x1,y1)沿平行于y轴方向到回归直线的距离，如图2-3-5上各竖直线di所示。&&&&30&&&&&&&&&&&&曲线拟合时应确定拟合时的目标函数。选择残差平方和为目标函数的处理方法即为最小二乘法。此法是寻求实验数据近似函数表达式的更为严格有效的方法。定义为：最理想的曲线就是能使各点同曲线的残差平方和为最小。设残差平方和Q为：&&&&&&&&Q?&&&&&&&&?di2&&&&i?1&&&&&&&&n&&&&&&&&?&&&&&&&&yi&&&&i?1&&&&&&&&n&&&&&&&&?(a?bxi)?&&&&&&&&2&&&&&&&&(2-3-20)&&&&&&&&其中xi,yi是已知值，故Q为a和b的函数，为使Q值达到最小，根据数学上极值原理，只要将式(2-3-20)分别对a和b求偏导数?Q,?Q，并令?a?b其等于零即可求a和b之值，这就是最小二乘法原理。即nQ2?(yi?a?bxi)?0?ai?1(2-3-21)?n?Q?2?(yi?a?bxi)xi?0bi?1?由式(2-3-21)可得正规方程：&&&&&&&&?a?xb?y?nn?2?nxa?(i?1xi)b?i?1xiyi?1n1n式中xxiyyini?1ni?1&&&&解方程(2-3-22)，可得到回归式中的a(截距)和b(斜率)&&&&&&&&(2-3-22)&&&&&&&&(2-3-23)&&&&&&&&b?&&&&&&&&?(x?y)－nxy?x?n(x)&&&&ii2i2&&&&&&&&(2-3-24)(2-3-25)&&&&&&&&a?y?bx&&&&&&&&例：仍以转子流量计标定时得到的读数与流量关系为例，用最小二乘法求实验方程。解：&&&&&&&&?(xiyi)?2668.58&&&&b?&&&&ii2i2&&&&&&&&x?8&&&&&&&&y?34.9878&&&&2&&&&&&&&2?xi?816&&&&&&&&?(x?y)－nxy??8?34.?8?x?n(x)&&&&a?y?bx?34.?8?30.0&&&&&&&&?0.623&&&&&&&&∴回归方程为：y?30.0?0.623x2.回归效果的检验实验数据变量之间的关系具有不确定性，一个变量的每一个值对应的是整个集合值。当x改变时，y的分布也以一定的方式改变。在这种情况&&&&&&&&31&&&&&&&&&&&&下，变量x和y间的关系就称为相关关系。在以上求回归方程的计算过程中，并不需要事先假定两个变量之间一定有某种相关关系。就方法本身而论，即使平面图上是一群完全杂乱无章的离散点，也能用最小二乖法给其配一条直线来表示x和y之间的关系。但显然这是毫无意义的。实际上只有两变量是线性关系时进行线性回归才有意义。因此，必须对回归效果进行检验。(1)相关系数我们可引入相关系数r对回归效果进行检验，相关系数r是说明两个变量线性关系密切程度的一个数量性指标。若回归所得线性方程为：y?=a+bx则相关系数r的计算式为(推导过程略)：&&&&r(xi?x)(yi?y)&&&&22?(xi?x)?(yi?y)&&&&&&&&(2-3-26)&&&&&&&&r的变化范围为-1≤r≤1，其正、负号取决于?(xi?x)(yi?y)，与回归直线方程的斜率b一致。r的几何意义可用图2-3-6来说明。当r=±1时，即n组实验值(xi,yi)，全部落在直线y=a+bx上，此时称完全相关，如图2-3-6的中(4)和(5)。当0|r|1时，代表绝大多数的情况，这时x与y存在着一定线性关系。当r0时，散点图的分布是y随x增加而增加，此时称x与y正相关，如图2-3-6中的(2)。当r0时，散点图的分布是y随x增加而减少，此时称x与y负相关，如图2-3-6中的(3)。|r|越小，散点离回归线越远，越分散。当|r|越接近1时，即n组实验值(xi,yi)越靠近y=a+bx，变量与x之间的关系越接近于线性关系。&&&&&&&&图2-3-6相关系数的几何意义图当r=0时，变量之间就完全没有线性关系了，如图2-3-6中的(1)。应该指&&&&&&&&32&&&&&&&&&&&&出，没有线性关系，并不等于不存在其它函数关系，如图2-3-6中的(6)。(2)显著性检验如上所述，相关系数r的绝对值愈接近1，x,y间愈线性相关。但究竟|r|接近到什么程度才能说明x与y之间存在线性相关关系呢？这就有必要对相关系数进行显著性检验。只有当|r|达到一定程度才可以采用回归直线来近似地表示x,y之间的关系，此时可以说明相关关系显著。一般来说，相关系数r达到使相关显著的值与实验数据的个数n有关。因此只有|r|rmin时，才能采用线性回归方程来描述其变量之间的关系。min值可以从表2-3-5r中查出。利用该表可根据实验点个数n及显著水平系数α查出相应的rmin。显著水平系数α一般可取1%或5%。在转子流量计标定一例中，n=9则n-2=7，查表2-3-5得：α=0.01时，rmin=0.798；α=0.05时，rmin=0.666若实际的|r|≥0.798，则说明该线性相关关系在α=0.01水平上显著。当0.789≥|r|≥0.666时，则说明该线性相关关系在α=0.05水平上显著。当实验的|r|≤0.666，则说明相关关系不显著，此时认为x,y线性不相关，配回归直线毫无意义。α越小，显著程度越高。例：求转子流量计标定实验的实际相关系数r。解：&&&&&&&&x?8&&&&&&&&y?34.9878&&&&?(xi?x)(yi?y)?149.46&&&&&&&&?(xi?x)?240&&&&2?(yi?y)?93.12&&&&&&&&2&&&&&&&&r?&&&&&&&&?(xi?x)(yi?y)&&&&22?(xi?x)?(yi?y)&&&&&&&&?&&&&&&&&149.&&&&&&&&?0.&&&&&&&&说明此例的相关系数在α=0.01的水平仍然是高度显著的。&&&&&&&&五、逐差法&&&&由于随机误差具有抵偿性，对于多次测量的结果，常用平均值来估计最佳值，以消除随机误差的影响。但是，当自变量与因变量成线性关系时，对于自变量等间距变化的多次测量，如果用求差平均的方法计算因变量的平均增量，就会使中间测量数据两两抵消，失去利用多次测量求平均的意义。例如，在拉伸法测杨氏模量的实验中，当荷重均匀增加时，标尺位置读数依次为x0,x1,x2,…x9，如果求相邻位置改变的平均值有：&&&&&&&&33&&&&&&&&&&&&?x?&&&&=&&&&&&&&1x9?x8?x8?x7?x7?x6?x6?x5?x1?x09&&&&&&&&1?x9?x0?9&&&&&&&&即中间的测量数据对?x的计算值不起作用。为了避免这种情况下中间数据的损失，可以用逐差法处理数据。表2-3-5相关系数检验表αrminn-70.10.60.60.40.80.30.00.40.50.40.30.50.70.050.01n-0.80.70.90.80.20.50.50.70.30.80.40.30.1rminα0.050.01&&&&&&&&逐差法是物理实验中常用的一种数据处理方法，特别是当自变量与因变量成线性关系，而且自变量为等间距变化时，更有其独特的特点。逐差法是将测量得到的数据按自变量的大小顺序排列后平分为前后两&&&&34&&&&&&&&&&&&组，先求出两组中对应项的差值(即求逐差)，然后取其平均值。例如，对上述杨氏模量实验中的10个数据的逐差法处理为：1.将数据分为两组I组：x0,x1,x2,x3,x4;II组：x5,x6,x7,x8,x9;2.求逐差：x5?x0，x6?x1，x7?x2，x8?x3，x9?x43.求差平均：?x&&&&&&&&1x5?x0?x9?x45&&&&II组x5x6x7x8x9逐差(xi+5-xi)()x5-x0x6-x1x7-x2x8-x3x9-x4&&&&&&&&在实际处理时可用列表的形式较为直观，如：I组x0x1x2x3x4&&&&&&&&但要注意的是：使用逐差法时之?x?，相当于一般平均法中?x的(n为xi的数据个数)。&&&&&&&&n倍2&&&&&&&&六、最小二乘法&&&&通过实验获得测量数据后，可确定假定函数关系中的各项系数，这一过程就是求取有关物理量之间关系的经验公式。从几何上看，就是要选择一条曲线，使之与所获得的实验数据更好地吻合。因此，求取经验公式的过程也即是曲线拟合的过程。那么，怎样才能获得正确地与实验数据配合的最佳曲线呢？常用的方法有两类：一是图估计法，二是最小二乘拟合法。图估计法是凭眼力估测直线的位置，使直线两侧的数据均匀分布，其优点是简单、直观、作图快；缺点是图线不唯一，准确性较差，有一定的主观随意性。如图解法，逐差法和平均法都属于这一类，是曲线拟合的粗略方法。最小二乘拟合法是以严格的统计理论为基础，是一种科学而可靠的曲线拟合方法。此外，还是方差分析、变量筛选、数字滤波、回归分析的数学基础。在此仅简单介绍其原理和对一元线性拟合的应用。1.最小二乘法的基本原理&&&&35&&&&&&&&&&&&设在实验中获得了自变量xi与因变量yi的若干组对应数据(xi,yi)，在使偏差平方和&&&&&&&&y&&&&&&&&i&&&&&&&&?f?xi取最小值时，找出一个已知类型的函数&&&&2&&&&&&&&y=f(x)(即确定关系式中的参数)。这种求解f(x)的方法称为最小二乘法。根据最小二乘法的基本原理，设某量的最佳估计值为x0，则&&&&&&&&ddx0&&&&可求出：&&&&&&&&x&&&&i?1&&&&&&&&n&&&&&&&&i&&&&&&&&?x00&&&&2&&&&&&&&(2-3-27)&&&&&&&&x0?&&&&即&&&&&&&&1n?xini?1&&&&&&&&(2-3-28)&&&&&&&&x0?x&&&&而且可证明：&&&&&&&&(2-3-29)&&&&&&&&d22dx0&&&&说明&&&&&&&&xi?x0?2?22n0&&&&i?1i?1&&&&&&&&n&&&&&&&&n&&&&&&&&(2-3-30)&&&&&&&&x&&&&i?1&&&&&&&&n&&&&&&&&i&&&&&&&&?x0?可以取得最小值。&&&&2&&&&&&&&可见，当x0?x时，各次测量偏差的平方和为最小，即平均值就是在相同条件下多次测量结果的最佳值。根据统计理论，要得到上述结论，测量的误差分布应遵从正态分布(高斯分布)。这也即是最小二乘法的统计基础。2.一元线性拟合设一元线性关系为y=a+bx；实验获得的n对数据为(xi,yi)(i=1,2,……,n)。由于误差的存在，当把测量数据代入所设函数关系式时，等式两端一般并不严格相等，而是存在一定的偏差。为了讨论方便起见，设自变量x的误差远小于因变量y的误差，则这种偏差就归结为因变量y的偏差，即(2-3-31)vi=yi-(a+bxi)根据最小二乘法，获得相应的最佳拟合直线的条件为：&&&&&&&&?n2i?0?ai?1&&&&&&&&(2-3-32)&&&&&&&&36&&&&&&&&&&&&?n2i?0?bi?1&&&&若记：&&&&&&&&(2-3-33)&&&&&&&&Ixxxi?xIyyIxy&&&&i&&&&&&&&x?1x?n1?y?y?y?y?n1?x?xy?yxy?xyn&&&&22i2&&&&&&&&i&&&&&&&&(2-3-34)(2-3-35)&&&&i&&&&&&&&2&&&&&&&&2i&&&&&&&&2&&&&&&&&i&&&&&&&&i&&&&&&&&i&&&&&&&&i&&&&&&&&i&&&&&&&&2&&&&&&&&i&&&&&&&&(2-3-36)&&&&&&&&代入方程组可以解出&&&&&&&&a?y?bxb?IxyIxx&&&&&&&&(2-3-37)(2-3-38)&&&&&&&&由误差理论可以证明，最小二乘一元线性拟合的标准差为&&&&&&&&Sa?&&&&&&&&?xn?x?x?&&&&2i2i&&&&&&&&2&&&&&&&&?Sy&&&&&&&&(2-3-39)&&&&&&&&i&&&&&&&&Sb?&&&&&&&&n?x?xi?&&&&2i&&&&&&&&n&&&&&&&&2&&&&&&&&?Sy&&&&2&&&&&&&&(2-3-40)&&&&&&&&Sy?&&&&&&&&y&&&&Ixy&&&&&&&&i&&&&&&&&?a?bxi?n?2&&&&&&&&(2-3-41)&&&&&&&&为了判断测量点与拟合直线符合的程度，需要计算相关系数&&&&&&&&r?&&&&&&&&Ixx?Iyy&&&&&&&&(2-3-42)&&&&&&&&一般地，|r|≤1。如果|r|→1，说明测量点紧密地接近拟合直线；如果|r|→1，说明测量点离拟合直线较分散，应考虑用非线性拟合。从上面的讨论可知，回归直线一定要通过点x,y，这个点叫做该组测量数据的重心。注意，此结论对于我们用图解法处理数据是很有帮助的。一般来讲，使用最小二乘法拟合时，要计算上述六个参数：a,b,Sa,Sb,Sy,r。&&&&&&&&&&&&&&&&37&&&&&&&&&&&&第三章&&&&&&&&基础教学实验&&&&混凝实验&&&&&&&&实验一&&&&一、实验目的&&&&&&&&1.观察混凝现象及过程，了解混凝的净水机理及影响混凝的重要因素。2.掌握求得某水样最佳混凝条件(包括投药量、pH、水流速度