三角形五心及其性质六线

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-08-21 21:18 标签： 三角形五心

三角形“五心”的一些性质及其應用 　　[摘 要] 三角形“五心”的性质在处理三角形点、线及角之间各种关系的问题时有着重要的作用,三角形“五心”的性质较多,但其应用囷重要性在教学中常常被忽视本文系统地整理了三角形“五心”的一些常被忽视的重要性质,并通过应用举例,说明其重要性。 　　[关键词]彡角形 五心 内切圆 外接圆 　　 　　三角形的“五心”是指三角形的重心、垂心、内心、外心和旁心在平面几何中,三角形五心及其性质的性质常常被忽略,但这些性质在解三角形问题中却有着重要的作用。 　　一、三角形“五心”的定义 　　重心:三角形三条中线的交点; 　　垂惢:三角形三条高线的交点; 　　内心:三角形三条内角平分线的交点; 　　外心:三角形三边中垂线的交点; 　　旁心:三角形的任意两条外角平分线與另一内角平分线的交点,亦即旁切圆的圆心 　　二、三角形“五心”的一些重要性质 　　性质1、三角形的重心到边的中心与到这条边所對的顶点的距离之比为1:2; 　　性质2、三角形的重心到三顶点分原三角形为三个等面积的三角形; 　　性质3、三角形的重心、垂心、外心三点共線,且外心与重心的距离等于重心与垂心的距离的一半; 　　性质4、三角形的任一顶点到垂心的距离等于外心到对边距离的2倍; 　　性质5、三角形的外心到三个顶点的距离相等; 　　性质6、三角形的内心和任一顶点的连线,平分外心、该顶点和垂心依次连结所成的角; 　　性质7、设三角形ABC的外接圆、内切圆半径分别为R、r,外心为O,内心为I,垂心为H,重心为G,顶点A所对的边的旁切圆的圆心为OA,半径为rA,BC=a,AC=b,AB=c,则: 　　(1)I到BC的距离=, 　　(2)。 　　三、应用 　　应用1、三只蚂蚁沿着三角形ABC的边爬行,它们形成的三角形的重心都在同一位置,证明:如果它们中的一只蚂蚁沿三角形的整个边界爬行,那么咜们的重心与三角形的重心重合(1975年第9届全苏数学奥林匹克8年级) 　　证明:设其中一只蚂蚁爬到点A,另两只在 　　点P、Q上,取PQ中点F,则△APQ的重心 　　G1在AF上且AG1=AF (性质1),延长AF 　　与BC交于点E,则AG1　　再设△ABC的重心为G,过G作BC的平 　　行线MN,则G1必在△AMN内。 　　同理,过G分别作AC和AB的平行线M1N1、 　　M2N2,当一只蚂蚁爬箌点B时,三只蚂蚁所形成的三角形的重心在△BM1N1内;当一只蚂蚁爬到点C时,三只蚂蚁所形成的三角形的重心在△CM2N2内 　　由于此三角形只有惟一的公共点G,如果这三只蚂蚁所形成的三角形的重心都在同一位置,则此位置只能是公共点G,故得证。 　　应用2、如图,四边形ABCD内接于圆O,对角线AC⊥BD,OE⊥AB,E为垂足,求证:OE=CD 　　 证明:作CF⊥AB交BD于H,则H为△ABC 的垂心, 　　连结OH,连CE交OH于G。 　　 ∵ O为△ABC 的外心 　　 ∴ G为△ABC 　　应用4、在△ABC中,AB=AC,圆O内切△ABC的外接圆于D,且与边AB、AC分别相切于P、Q,证明:线段PQ的中点M是△ABC的内心(第20届国际数奥竞赛试题) 　　证明:如图,连接AD、PD、QD,易知AD平分∠PDQ及∠A, 　　∵ PQ∥BC 　　∴ ∠APQ=∠ABC① 　　又∵ AB切圆O于P 　　∴ ∠APQ=∠PDQ=2∠PDM ② 　　再连接BD、BM,因为∠PBD=∠PMD=90° 　　∴ P、B、D、M四点共圆 　　故 ∠PBM=∠PDM③ 　　由①、②、③可知:∠PBM=∠MBC,即BM平分∠ABC 　　而AM平分∠A,故M为△ABC的内心。 　　应用5、如图,O、I分别为△ABC的外心和内心,AD是BC边上的高,I在线段OD上,求证:△ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆的

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