己知a是实数fX=√X(X一a)单调递增区间区间

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-09-08 15:28 标签： 单调递减区间
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已知f（x）=ax-lnx，a∈R（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点（1，f（x））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在x=1处有极值，求f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）在区间（0，e]的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（I）当a=2时，f（x）=2x-lnx，函数的定义域为（0，+∞）求导函数可得：f′（x）=2-1x∴f′（1）=1，f（1）=2∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-2=x-1，即x-y+1=0；（II）∵f（x）在x=1处有极值，∴f′（1）=0∵f′（x）=a-1x∴a-1=0，∴a=1∴f′（x）=1-1x令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1∵x＞0，∴x＞1∴f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；（III）假设存在实数a，使f（x）在区间（0，e]的最小值是3，①当a≤0时，∵x∈（0，e]，∴f′（x）＜0，∴f（x）在区间（0，e]上单调递减∴f（x）min=f（e）=ae-1=3，∴a=4e（舍去）；②当0＜1a＜e时，f（x）在区间（0，1a）上单调递减，在（1a，e]上单调递增∴f（x）min=f（1a）=1+lna=3，∴a=e3，满足条件；③当1a≥e时，∵x∈（0，e]，∴f′（x）＜0，∴f（x）在区间（0，e]上单调递减∴f（x）min=f（e）=ae-1=3，∴a=4e（舍去），综上所述，存在实数a=4e，使f（x）在区间（0，e]的最小值是3．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知f（x）=ax-lnx，a∈R（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点（1，f（x））处的切..”主要考查你对&&函数的极值与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的极值与导数的关系函数的最值与导数的关系
极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
发现相似题
与“已知f（x）=ax-lnx，a∈R（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点（1，f（x））处的切..”考查相似的试题有：
465286465864569899474335432229625875高中函数题： 已知函数fx=㏑x+二分之一ax²-(a +1)x (a∈R )。1.当a_百度知道已知fx=(x^2-ax)ex,a为实数当a=0时求函数fx单调增区间
游客军团oyt
a=0f(x)=x&#178;e^xf'(x)=(x&#178;+2x)e^x=x(x+2)e^x由f'(x)>0得：x>0, 或x<-2此即是f(x)的单调增区间。
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（2）若f(x)在区间（1,e]上的最大值为-3,求a的值
a>=0时,f（x）=ax+lnx>0
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