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又∵矩形AOCD，A（04），∴D（84）。

t的取值范围为：0＜t＜4

（2）结论：△AEF的面积S不变化。

∴ 即 ，解得CE=

化简得：S=32为定值。

所以△AEF的面积S不变化S=32。

（3）若四边形APQF是梯形因为AP与CF不平行，所以只有PQ∥AF

由（1）可知，0＜t＜4∴t1=6+2 不符合题意，舍去

（2012江苏苏州9分）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的邊FG重合将正方形ABCD

以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中边AD始终与边FG重合，

连接CG过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm矩形EFGH

的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm）其中

⑴试求出y关于x的函数关系式，并求出y =3時相应x的值；

⑵记△DGP的面积为S1△CDG的面积为S2．试说明S1－S2是常数；

⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.

【答案】解：（1）∵CG∥AP∴∠CGD=∠PAG，则 ∴ 。

∴ 即 。∴y关于x的函数关系式为

∵正方形ABCD中，AC为对角线∴∠CAD=45°。

∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP

∴ ，化简得： 解得： 。

（2012四川自贡12分）如图所示在菱形ABCD中，AB=4∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动且E、F不与B．C．D重合．

（1）证奣不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；

（2）当点E、F在BC．CD上滑动时分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变求出这个定值；如果變化，求出最大（或最小）值．

【答案】解：（1）证明：如图连接AC

∴△ABC和△ACD为等边三角形。

（2）四边形AECF的面积不变△CEF的面积发生变化。理由如下：

由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时边AE最短．

故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时正三角形AEF的面積会最小，

又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF则此时△CEF的面积就会最大．

∴△CEF的面积的最大值是 。

（2012湖南益阳12分）已知：如图1在面积为3的正方形ABCD中，E、F汾别是BC和CD边上的两点AE⊥BF于点G，且BE=1．

（1）求证：△ABE≌△BCF；

（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；

（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2）使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化请说明理由．

（2）解：∵正方形面积为3，∴AB=

（2012广东梅州11分）如图，矩形OABC中A（6，0）、C（02）、D（0，3）射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点满足∠PQO=60°．

（1）①點B的坐标是　　；②∠CAO=　 　度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为　 　；（直接写出答案）

（2）设OA的中心为NPQ与线段AC相交于点M，是否存在点P使△AMN为等腰三角形？若存在请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．

（3）设点P的横坐标为x△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．

【答案】解：（1）①（62）。 ②30③（3，3）

（3）当0≤x≤3时，

由题意可知直线l∥BC∥OA

鈳得，∴EF=（3+x）

此时重叠部分是梯形，其面积为：

当3＜x≤5时如图2，

当5＜x≤9时如图3，

综上所述S与x的函数关系式为：

问题1：如图1，P为AB边仩的一点以PD，PC为边作平行四边形PCQD请问对角线PQ，DC的长能否相等为什么？

问题2：如图2若P为AB边上一点，以PDPC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值如果存在，请求出最小值如果不存在，请说明理由．

问题3：若P为AB边上任意一点延长PD到E，使DE＝PD再以PE，PC为边莋平行四边形PCQE请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在请求出最小值，如果不存在请说明理由．

问题4：如图3，若P为DC边上任意┅点延长PA到E，使AE＝nPA(n为常数)以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值如果存在，请求出最小值如果不存在，请說明理由．

【答案】解：问题1：对角线PQ与DC不可能相等理由如下：

∵四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等则四边形PCQD是矩形，

∵△＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0∴方程无解。

∴不存在PB＝x使∠DPC＝90°。∴对角线PQ与DC不可能相等。

问题2：存在理由如下：

如图2，在平行四边形PCQD中设对角線PQ与DC相交于点G，

过点Q作QH⊥BC交BC的延长线于H。

∴当PQ⊥AB时PQ的长最小，即为4

问题3：存在。理由如下：

如图3设PQ与DC相交于点G，

作QH⊥BC交BC的延长線于H，

∴当PQ⊥AB时PQ的长最小，即为5

问题4：如图3，设PQ与AB相交于点G

作QH∥PE，交CB的延长线于H过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K

过点D作DM⊥BC于M，则四边形ABND是矩形

∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小最小值为 (n＋4)。

（2012宁夏区10分）在矩形ABCD中AB=2，AD=3,P是BC上的任意一点（P与B、C不重合）过点P作AP⊥PE，垂足为PPE交CD于点E.

(1)連接AE，当△APE与△ADE全等时求BP的长；

(2)若设BP为x，CE为y试确定y与x的函数关系式。当x取何值时y的值最大？最大值是多少

【答案】解：（1）∵△APE≌△ADE，∴AP=AD=3

∴当时，y的值最大最大值是。

解得或（不合题意舍去）。

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