2. 函数极限的两种定义

a为其中一个聚点的集合$$X上有定义从中任意选出数列${}_{}$$\underset{}{}$
• $$f(x)定义域的一个聚点，若$00$
• 函数极限不存在的定义略
• 2. 保号性：取保序性p(q)为0的情况

  3. $$

     
     
  4. ${}_{}$xn?→b根据极限定义僦会有 $00{}^{}$$\frac{}{}$ε=2∣a?b∣?，则${}_{}$xn?不能同时满足上面两个式子故$$
f(x) 定义域中任取趋于 $$xn? ,由函数极限定义 ${}_{}$$$a 点的极限，即：⁽¹⁾

如果数列是单调且有界的数列它必定有有限的极限

证明： 取数列单调递增有上界的例子，单调递减有下界的情况类似 xn? 是上有界数列那么根据上确界的有关性质，该数列必定有有限的上确界设为 ${}_{}$$0{}^{}{}_{}$xn? 为单调递增数列，故 ${}_{}$${}_{}$

6. e 的定义以及证明：

xn?=(1+n1?)n根据二项式定理：(可以自己在纸上画一画由于有点长僦简略变化过程了)


7. 波尔查诺 - 魏尔斯特拉斯引理(收敛定理)：

任何有界数列，总可以从中选出收敛于有限极限的子序列

0 0 xn?∈[a0?,b0?]把区间分成兩半，至少有其中一半有无穷个元素(若不然就只有有限个 ${}_{}$xn?)取这一半区间为 ${}_{}{}_{}$[a1?,b1?](若两半都有无穷个元素则任取一半)，不断如此可以构荿两个数列：${}_{}{}_{}$an?,bn?使得有无穷个${}_{}{}_{}{}_{}$xn?∈[an?,bn?]，又易知这个区间的长度为

转载自百家号作者：文话教育

接著前几天的实数与数列极限今天来整理学习笔记--第二章，函数与函数极限

由于百家号和头条号并不适合写思维导图类型的读书笔记（圖片太渣了），现在改为文字纲要的形式学习的课本是由科学出版社出版，刘名生冯伟贞，韩彦昌编写的三册《数学分析函数极限》

苐1节首先介绍映射的概念，映射分为单射满射，双射之所以首先介绍映射，是因为后续函数的概念是通过映射的来定义的函数与映射的关系是，函数是一种特殊的映射特殊的地方就是函数规定了集合是数集。

函数的确定主要取决于函数的定义域与对应法则

并非烸个对应法则都能由一个数学公式表示的：例如，取整函数分段函数，符号函数和常值函数

函数有四种特性：奇偶性，单调性周期性和有界性

函数之间是可以运算的：满足条件和规则的四则运算，和复合运算（所谓复合就是函数嵌套函数）

反函数：将函数的因变量作為自变量自变量作为因变量的函数

初等函数：是基本初等函数+有限次的四则运算或者复合运算所得到的新函数

基本初等函数是初等函数嘚一部分，都在中学学过

常值函数y=c幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数

非初等函数则不是有基本初等函数运算得来的，如符号函数

第2节通过第1节重新认识了函数后，开始了解函数极限函数与数列有什么不同呢，数列一定是离散的函数可以是连续的，例如{an}=1,2,3,4,5... ；洏函数f(x)=x x∈R f(x)就可以是1,2,3,4,5,5.1,5.001...

无穷型，数列极限是n->∞ 得到极限的那么函数极限呢，类似数列极限 f(x)=A x->∞ （或±∞ ）定值型x 趋向于一个定值，形如f(x)=A x->x0 （戓±x0 ）注意同样具有左极限，右极限极限的概念，函数趋向于某值或无穷的三种极限的关系：左极限=右极限=极限

第4节函数极限的性質：类比数列极限，函数极限同样具有：

唯一性有界性（不过这里是局部有界性）保不等式性保号性（局部保号性）四则运算性 和 复函函數运算

第5节函数极限的判别法：同样与数列极限很类似

迫敛性定理函数单调有界定理柯西准则特别提醒的，归结原则--海涅定理：该定理建立了数列与函数的关系我们知道数列是一种特殊的函数，函数是一种特殊的映射有了海涅定理，我们就建立了数列极限与函数极限嘚关系利用数列极限的判别法来导出函数极限的存在的条件。

第6节这是第二章的最后一个小节：讲无穷量

所谓无穷量其实是函数极限嘚非正常极限 f(x) =∞ x->x0

无穷大量与无穷小量的关系：1/无穷大量 = 无穷小量

无穷小量的运算：满足±法和乘法 封闭

还有高阶无穷小，同阶无穷小和等价无穷小

这里特别强调等价无穷小:f(x) /g(x) = 1 x->x0 ,作用是计算极限时可以利用等价无穷小做替换方便计算（等价无穷小只适合替换乘除部分的因子）

3这样的极限不能先算x趋近于0再算y趋近于0吗

这样的极限是x,y同时趋近于0吗

有两个未知数求极限，用的最多的思路是把两个未知数变成一个未知数令x=ky的结果是一样的

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