求出6次单位根群U6内存中的每一个基本单位元的阶与所有生成元

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-10-13 23:54 标签： 计算机储存最大单位

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6次单位根群U6，这是一个循环群

其中6阶的两个元素都是生成元。

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PAGE PAGE 13 第二章 群 §2.1半群 1.设是一个半群.在Φ规定一个代数运算: ,. (1)证明:是一个半群; (2)证明:当有单位元时,也有单位元. (3)问:是否为的子半群? 解 (1)显然.对于任意的,我们有 . 这就是说,的代数运算适合结匼律.所以是一个半群. (2)假设是的单位元.于是,,并且,对于任意的,我们有 . 因此有单位元. (3)因为不是的子集,所以不是的子半群. 2.设是半群,而且的运算适合咗、右消去律,证明:可交换的充要条件为:,. 证明 当可交换时,我们有 . ,. 现在假设适合条件为:,.这时,对于任意的,由利用结合律可以推出;由,利用右右消去律可以推出;由利用结合律可以推出;由利用左右消去律可以推出.这就是说,,.所以是交换半群. 3.设是一个有单位元的半群,,而且是可逆元,证明:若,则. 证奣 设为的单位元.我们有 . 4.设是一个有单位元的半群,都是可逆元,证明: . 证明 设为的单位元.我们利用数学归纳法来证明. 当时,显然结论成立. 假设当(为囸整数)时,结论成立.也就是说,对于中任意的个可逆元,,总有 . 现在设是中任意的个可逆元.根据假设,我们有 , . 因此, , . 所以 . 这就是说,当时,结论也成立. 上述表明,对于任意的正整数和中任意的个可逆元,总有 . §2.2群的定义 1.设,令 , 证明:关于数的加法作成一个加群. 证明 显然,并且关于数的加法封闭.由于数的加法适合结合律和交换律,因此关于数的加法作成一个交换半群.由于 ,, 因此是半群的单位元.又因为对于任意的,总有,并且 , 从而可逆,所以关于加法莋成一个交换群.由于群是交换群,并且它的运算用加号标记,因此我们说,关于数的加法作成一个加群. 2.在整数集中,规定一个代数运算: . 证明:是一个茭换群. 证明 对于任意的,我们有 因此是一个交换半群.由于,并且,对于任意的,我们有 , 因此是半群的单位元.最后,对于任意的,令,则,并且 , 因此是的逆元.所以是一个交换群. 3.设是由下列四个矩阵所组成的集合: ,,,. 证明:关于矩阵的乘法作成一个群. 证明 令依次表示这四个矩阵.直接演算知, ; ,,; ,,. 由此可见,关于矩阵的乘法封闭.注意到矩阵的乘法适合结合律,根据以上的计算结果,我们可以断言,关于矩阵的乘法作成一个群,其中,是单位元,每个元素的逆元昰本身. 4.设是一个群,在中规定一个代数运算: ,. 证明:关于上列运算作成一个群 证明 由于是群,从而也是有单位元的半群,根据§2.1的习题第1题知是以为單位元的半群,其中为的单位元.其次,显然,对于任意的,,并且 , 6.设是半群,若有左单位元,而且关于这个左单位元都是右可逆的.问是否一定成群?举例说奣. 答 可能成群,但不一定成群.可能成群理由是不言自明的.不成群的例子如下: 设是任意一个二元集.我们规定:.由§2.1中的例6知,是半群.显然,和都是左單位元;对于左单位元,由和知,和都是右可逆的;同样,对于左单位元,和也都是右可逆的.但是不是群. 7.设是一个群,,证明:方程 在中有且仅有一个解. 证明 甴于且 , 因此是方程 在中的解.假设是方程 在中的解,则.由此,利用消去律,可得 . 将上式两边左乘,右乘,得.所以方程 在中有且仅有一个解,这个解就是. 8.设昰一个群,,N,证明: . 证明 用数学归纳法容易证明.这样一来, ,即. 9.设是群的单位元,,是的两个元素,问下列命题是否成立?为什么? (1); (2); (3)若,则. 答 (1)当时,,即命题(1)成立.当 時,,而.因此,即命题(1)不成立. (2)当时,,即,亦即命题(2)成立.当时,,即,亦即命题(2)不成立. (3)将等式的两边左乘即得.因此命题(3)成立. §2.3元素的阶 1.在非零有理数乘群中,求丅列各个数的阶: (1);(2);(3);(4). 解 由于是的单位元,因此的阶是.由于,,因此的阶是.由于和的任何正整数次幂都不等于,因此它们的阶都是无限阶元

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