讨论调和级数是什么！

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-10-20 05:18 标签： 调和级数是什么

在《极限理论的建立---极限理论形荿历程中的两个困惑》我们谈到许多数学家曾经被无穷级数

所困扰，现在借助极限表达就可以清晰地讨论这个问题了先讨论一般的情況，令

是一个级数用sn=a1+a2+a3+...+an表示这个级数的前n项的部分和，这样我们就可以得到一个由前你项和构成的数列

并且把无穷级数的问题转化为数列極限的问题如果存在一个数s，使得当n→∞时sn→s，即s为数列{sn}的极限则称无穷级数“a1+a2+a3+... ”是收敛的，否则称这个级数是发散的用这个定義容易验证“π/4=1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15+...”是收敛的。

下面讨论“1-1+1-1+1-1+...”式中的无穷级数由前n项和所形成的数列{sn}为

这个数列显然是不收敛的，因为对任何的n都有sn-sn-1=1或者-1这不满足

所示的必要条件。有了极限的语言很容易就解决了曾经长时间困扰了许多大数学家的问题。

如果说上面的无穷级数的发散是顯然的那么，调和级数是什么的发散性判断就不那么明显了一个级数被称为调和级数是什么，如果级数中任何一项的倒数都能表示为楿邻两项倒数的平均即

是最平凡的调和级数是什么。令sn表示前n项和因为当n→∞时，sn-sn-1→0因此数列{sn}满足（1）式所示的数列收敛的必要条件，但是这个级数却是不收敛的下面的证明式瑞士数学界著名的伯努利家族中的一员雅各布.伯努利给出的。对于任意的n由

这样，当n趋於无穷大就意味着可以把（2）式所示的级数分割为无穷个组而每组之和都大于1，因而（2）式的和为无穷大级数是发散的。

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