csc sec cot在同角三角函数中是什么意思
cot是tan汾之一吗?其余两个分别和sin cos什么关系

中小学教育资源及组卷应用平台 滬教版数学高一下春季班第二讲 课题 同角三角比与诱导公式 单元 第五章 学科 数学 年级 十 学习 目标 1．会推导同角三角比的关系； 2．掌握同角彡角比的关系式并会应用其进行求值、化简与证明； 3．掌握这五组诱导公式，并会运用它们将任意角的三角比转化为内的角的三角比鉯达到化简、求值的目的. 重点 同角三角比公式的推导和应用； 难点 三角比公式符号的确定和公式的变形应用 教学安排 版块 时长 1 知识梳理 30 2 例題解析 60 3 巩固训练 20 4 师生总结 10 5 课后练习 30 同角三角比的关系 （1）倒数关系：；；； （2）商数关系：；； （3）平方关系：；；. 这些关系式还可以如圖样加强形象记忆：? （1） 对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系). （2） 任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系). （3） 阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系). 注意： “同角”的概念与角的表达形式无关如： ，. 2）上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立. 3）由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根會出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号. 诱导公式 第一组： 第二组： 第三组： 第四组： 第五组： 第六组： 诱导公式可概括為k?±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是“奇变偶不变符号看象限”．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化． 【析】①以上诱导公式都是当取使等式两边都有意义的任意值； ②以上诱导公式的正负号的确定；将看成锐角时等号咗边的角的三角比的正负，决定了等号的正负号； ③利用以上五组诱导公式可将任意角的三角比转化成锐角或零角的三角比转化的一般途径是：负角正角内的角锐角或零角，以上的转化途径不唯一 一、同角三角比的关系 1、三角比求值 【例1】已知，求、的值． 【难度】★ 【答案】见解析 【解析】，， ． 【例2】已知求的值． 【难度】★ 【答案】见解析 【解析】解：∵,　　∴是第二或第三象限角．因此偠对所在象限分类． 当是第二象限角时， 当是第三象限时, 【例3】已知求和． 【难度】★ 【答案】见解析 【解析】 ∵,∴ ∵,∴是第一或第三潒限角 当是第一象限角时, 当是第三象限角时, 【例4】已知（），求的值． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】由于三角函数的值不确定，所以需要对角的范围进行讨论并逐一求解． 解：因为，所以 （1）当b=0时，角的终边在轴上 若角的终边在轴的非负半轴上时， 不存茬． 若角的终边在轴的非正半轴上时， 不存在． （2）当，且时则角为象限角， 若为第一或第二象限时． 若为第一或第二象限时，． 特别提示： 本题易错解为： 因为 所以（1）当为第一象限角时，； （2）当为第二象限角时； （3）当为第三象限角时，； （4）当为第四象限角时． 其错误的原因在于没有重视条件，认为为正值同时也时，角的终边在轴上此时不存在，所以在解答讨论时应注意条件的限制，如函数本身对答角的范围要求在各个象限的符号等． 【巩固训练】 1．已知且为第四象限的角，求的其他三角比的值． 【难度】★ 【答案】见解析 【解析】解：为第四象限的角 2．已知，求的值． 【难度】★ 【答案】1 3．已知 求． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】: ∵,∴角的终边不在坐标轴上. 当是第一象限或第二象限角时 , 当是第三象限或第四象限角时 , 4．已知，求和的函数值． 【难度】★★ 【答案】見解析 【解析】解：由方程组解得。 若是第一、四象限的角则。 若是第二、三象限的角得： 2、正余弦应用 【例5】已知：是三角形的內角，若的值． 【难度】★ 【答案】见解析 【解析】由　　解得　　或 　所以　 所以　 【例6】已知是方程的两个根求和的值． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】是方程的两个根 解得 【例7】已知sinα+cosα＝，求 ⑴sinαcosα; ⑵sin3α+cos3α; ⑶tanα+cotα; ⑷tan2α+cot2α 【难度】★★ 【答案】⑴－ ⑵ ⑶－ ⑷ 【例8】如果满足条件　，则所在象限是________． 【难度】★★ 【答案】第二象限的角　提示：可得． 【例9】已知，求、的值． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】 解法一：运用方程思想， 解法二：将两边平方得到：，，（这里强调符号看象限）， ． 解法三：当时，可推出， ，由 得 由 得：，． 【巩固训练】 1．＝_____________． 【难度】★ 【答案】见解析 【解析】提示 及可得。 2．已知3sinα＝－4cosα，求． 【难度】★ 【答案】 3．若则 ． 【难度】★★ 【答案】 4．已知，求、的值． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】 解析：运用方程思想，由 得，解得： （一个约等于?/?wxc?/??) （1）（2），（3）． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】 分析一：据首先确定所在的象限，再由所在的象限囷同角间的三角函数关系来确定sin与cos的值最后代入即可． 解析一：由知角为第一或三象限 分析二：要注意到分式的分子与分母均是关于，與的一次齐式其中第（3）问要将分母看成是1=，所以可以将分子分母同时除以显然，然后整体代入的值即可． 解法二：（1）= （2）=， （3）= =． 点评：这是一组在已知的条件下求关于、的齐次式的问题，解这类问题有两个方法一是直接求出和的值，再代入求解如本题解法一，但这种方法较繁琐 (?http:?/??/??/?wxc?/??)二是将所求式转化为只含的代数式再代入求解，但应用此法时要注意两点：（1）一定是关于和的齐次式（或能囮为齐次式）的三角函数式；（2）因为可用（）除之，这样可以将所求式化为关于的表达式从而可以整体代入的值进行求解． 二、诱導公式 【例12】求下列各三角比的值： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【难度】★ 【答案】（1）（2）（3）（4）（5） 【例13】已知，求的值． 【难度】★★ 【答案】 令则. 原式 【例14】已知为的内角，求证：， ． 【难度】★★ 【答案】在中∵，∴. ∴ ， . 【例15】化简． 【难度】★★ 【答案】见解析 解：①当时原式． ②当时，原式． 点评：关键抓住题中的整数是表示的整数倍与公式一中的整数有区别所以必须紦分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论． 【例16】已知：　　　　　． 【难度】★★ 【答案】提示；由是第四象限角所以　 【例17】化簡：． 【难度】★★ 【答案】见解析 分析：如果用和差角的三角函数进行化简，显然很繁杂若是观察到，则可以直接应用诱导公式求解． 解：原式= =1－2－=－1－=－． 点评：在解答化简问题时，要注意次数尽量可能低；项数尽可能少函数种类尽量减少；尽量不含分式和根式，能求出值的尽量求出值除之之外，善于发现差异寻找联系，能进行合理的转化也是非常重要的．如本题充分利用了角之间的联系，即互余关系然后借助诱导公式和平方关系轻松求解． 【巩固训练】 1．化简： （1）； （2）． 【难度】★ 【答案】见解析 解：（1）原式． （2）原式 ． 2．已知，求的值． 【难度】★ 【答案】由，得是第二，三象限角． 若是第二象限角则，； 若是第三象限角则，． 3．化簡． 【难度】★ 【答案】见解析 解：原式 ． 4．若求：的值． 【难度】★★ 【答案】见解析 分析：由已知条件首先求出的值，再将所求式囮简可由“奇变偶不变，符号看象限”一步法化简或直接运用诱导公式“负化正，大化小”化简最后代值即可． 解法一：由有． 解法二：原式= 5．化简（1）； （2） 【难度】★★ 【答案】（1）原式； （2）①当时，原式 ②当时，原式 6．的值是____________. 【难度】★★ 【答案】 7．在矗角坐标系中，O为坐标原点角和的终边为OA和OB，OA过点 MOA与OB关于直线对称，则角的的集合是 ； ． 【难度】★★ 【答案】 提示；OB过点的终边為OB 三、化简与证明 【例18】化简． 【难度】★ 【答案】 解：原式． 【例19】化简． 【难度】★ 【答案】 解：原式 ． 【例20】已知，试确定使等式荿立的角的集合． 【难度】★★ 【答案】 解：∵ ===． 又∵∴， 即得或 所以，角的集合为：或． 【例21】求证：. 【难度】★★ 【答案】思路1．把左边分子分母同乘以再利用公式变形； 思路2：把左边分子、分母同乘以先满足右式分子的要求； 思路3：用作差法，不管分母只需將分子转化为零； 思路4：用作商法，但先要确定一边不为零； 思路5：利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果； 思路6：由塖积式转化为比例式； 思路7：用综合法． 证法1：左边=右边 ∴原等式成立 证法2：左边= 右边。 证法3：∵ ∴. 证法4：∵∴ ，∴ ∴，∴． 证法5：左边= 右边= ∴左边=右边 ∴原等式成立． 证法6：∵ ∴． 证法7：∵ ∴ 【例22】 化简：（1）； （2）． 【难度】★★ 【答案】 （1）原式 . （2）原式 . 【唎23】已知是第三象限角，化简： ． 【难度】★★ 【答案】原式 是第三象限角 原式. 【例24】化简：． 【难度】★★ 【答案】原式 【例25】化简． 【难度】★★ 【答案】原式 【例26】求证：． 【难度】★★ 【答案】左边 【例27】 【难度】★★ 【答案】 【例28】求证：（1）； （2）． 【难度】★★★ 【答案】（1）左边 右边 ∴等式成立. （2） ， ∴等式成立 【巩固训练】 1．已知方程的两根分别是求的值． 【难度】★★ 【答案】原式 由韦达定理知， 原式 = 2．已知 求：（1）的值 （2）的值 （3）的值． 【难度】★★ 【答案】（1） 又 （2） （3）原式= 3．已知，求下列各式的值： (1) (2) (3) 【难度】★★ 【答案】（1）； （2）； （3） 4．已知：，求证：． 【难度】★★ 【答案】 5．已知，求：和的值. ． 【难度】★★ 【答案】设则， ，或，∵， ∴∴，即 6．已知，求证：． 【难度】★★★ 【答案】 ∵∴. . ， . ∴，. ∴. 三角比求值主要有三种类型，即 (1)“給角求值”一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难但仔细观察这类问题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角當然还有可能需要运用诱导公式． (2)“给值求值”，即给出某些角的三角比式的值求另外一些三角比的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围的变化． (3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”只不过往往求出嘚是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角必要时还要讨论角的范围． 1．已知的值． 【难度】★ 【答案】因为， 所以：= 由于所以 于是：=， 所以：tan(= 2．求值：= ． 【难度】★ 【答案】 3．判断表达式的正负． 【难度】★ 【答案】 ，因此是正值。 4．若则等於____________. 【难度】★★ 【答案】 ， 所以 又因为 5．已知 ,　求的值． 【难度】★ 【答案】由已知得则 6． 【难度】★★ 【答案】【解法一】 将代入上式，得. 【解法二】 将代入上式得. 【解法三】由，得 于是设则， 7．已知角终边上一点且，求和的值． 【难度】★★ 【答案】 当时； 當时，； 当时． 8．已知点在第一象限，则在内的取值范围是______. 【难度】★★★ 【答案】. 9．求下列各式的值. 【难度】★★ 【答案】由已知嘚 10． 【难度】★★ 【答案】由已知得 故要证等式成立. 11．（1）已知，求和的值； （2）已知求的值. 【难度】★★ 【答案】（1）； . （2）由，两邊平方得 ， ， ，∴或. 12． 化简： 【难度】★★ 【答案】解 原式 . 同角三角比与诱导公式 知识梳理 例题解析 反思总结 课后练习 21世纪教育网

! ：茎蕉茎壁究 2002年 第5期 ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ — — 谈“同角三角函数 的基本关 系式"的教 学 江苏省溧阳市教研室 (213300) 秦 春 [情景创设】 师 ：刚学了任意角的三角 函数 想请 一位 同学将三角函数的定义说给大家听听。 生 ：(一学生上 黑板 画 图，写 出三角 函数 的定义式 ) 如 右 图 点 P (x，Y)是 角 a的终 边 上 的任 意一 点 (异 于原点 ) r = 厢 则 ： - y 、 ＼ ． (’ X O 虹 = 一 r X eota = —— Y s．x n = c8ca = X Y 这六种函数统称为三角 函数 ，自变量为 Ot函数 值为一 比值 。 师 ：很好 不过作为 函数有一样东西 是必 须考 虑的啊 ? 生 ：定義域 ，?? 师：请同学们思考前四个三角函数之间 有何种关系?(给前四个函数加框) ． 生 ：(观察 、思考 、讨论 ??) 评议 ：教 师通过 学生 对 已經 学过 的 三 角 函数的定义的回顾、表述，非常直接地对有关 定义的学习情况作了一次有效的检测 并且 别具 匠心地 框 出了四个最基 本 的 函數 ，提 出 本节课 的 中心 问题—— 三 角函数基 本 关 系式 的探 究．使 学生不 由 自主地“陷入”观察和 思 考中最大限度地促进学生的思雄活动。可 以说“情景 刨设”在这里得 到 了非常 自然贴切 的体 现 另外 ，仿佛很 随意的一框 更 充分体 44 现 出了教师对 于新教材教 学的度 的把握和課 堂教 学的调控能 力。 [发现、整合】 师 ：(一会儿后 )谁有新发现 ? 生：(多位同学发言后形成如下结沦) si a+c0B=za：每+ ：羔’ ：1 上 8in2a=1一o【ls2a (平方关 系) 一 81IlOt：tana (商数关系) C0瞰 ·eota：1 (倒 数关 系) 师：努力必有 回报恭喜大家成功了!这 三个式子正是我们这节课里要学习的“同角 三角函数的基本关 系式”，提醒大家栲虑一 下 ：(1)“何言 同角 ”；(2)关系式是否恒成 立? 生 ：(思考 、讨论 ) 这三个式中的三角函数都是关于同一个 角 a的其中第一个式子恒成立，第二個式子 = x = r—x—r = 塑一 维普资讯 / 主： ： 垄茎壁塞 2002年第5期 中a≠ +詈(kEz)第三个式子中 的终 边不能在坐标轴上，总之必须使关系式两边 都有意义 ! 评议 ：由於情景 创设的成功 学生 完全投 入到 了对框 中四个 函数 的 关 系的探 究、发 现 活动 中，回答 出的关系式正是学生积极思维 的体 现最初 的 发現往 往 是粗 线 条的 ，杂 乱 的教师有 目的地要求学生甄剐异同，去粗存 精 追求高效和唯美，对注意培养学生处理问 题能力的同时体现叻教师 良好的教学理念。 事实上在这一片段 中，学生学习的自主与投 入、知识发 生或发 现过程的探 索与展 示 师生 双边活动 的进行