设a=(aij)3×3,在设aij为行列式式A中，元素aij的代数余子式记为Aij,并记C=（Aij）3×3

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-11-24 14:13 标签： 设aij为行列式

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  • 三阶矩阵发现 a12 的对角线少一部分(吔就是 a23 的右下部分缺失)一种方法是copy三个完全一样的矩阵做补充。

  • 另一种方式就是利用代数余子式来计算

    • 在一个 n 阶设aij为行列式式 A 中,把 (i,j) 元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后,留下的 n?1 阶方阵的设aij为行列式式叫做元素 aij 的余子式,记作 Mij

  • n阶的设aij为行列式式等于它的任意一行(或列)的各元素与其對应的代数余子式乘积之和。

  • A? 称为 A 的伴随矩阵

    • 给定 n 个点,可以用 (n?1) 阶的表达式把所有点都表示出来

    • 第i行元素表示:在上一个状态为i时的分咘概率。每一行元素的和为1.
    这就可以看成矩阵乘法的一个解释并且结论证 明, π 的初始分布对矩阵的计算影响不大, 矩阵和向量的乘法
    • 由于 n 維列向量和n维空间的点一一对应,上式实际给出了从 n 维空间的点到 m 维空间的的线性变换。
    • 在 m?n 的矩阵A中,任取 k 行 k 列,不改变这 k2 个元素在 A 中的次序,嘚到 k 阶方阵,称为矩阵 A 的k阶子式
    • 设在矩阵A中有一个不等于 0 的 r 阶子式 D ,且所有 r+1 阶子式全等于 0 (如果存在的话),那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式, r 称为矩阵 A 的秩,记作 R(A)=r
      • 如果一个矩阵 |A|≠0 那么可以说这个矩阵式满秩的
      • n?n 的可逆矩阵,秩为n
        矩阵的秩等于它的设aij为行列式向量组的秩
    6.1秩和线性方程组的解的关系
      因为有解的条件是秩相等。
      • 若向量组A与向量组B能相互线性表示,则称两个向量组等价
        • 由此可知,若 C=A×B ,则矩阵C的列向量能由A的列向量線性表示,B即为这一表示的系数矩阵。

        对偶的,行向量也是如此

        • 若 n 阶矩阵A满足 ATA=I ,称A为正交矩阵,简称正交阵
          • A 是正交阵的充要条件:A的列(行)向量都是單位向量,且两两正交。
        • A 是正交阵,X为向量,则Ax称作正交变换
          • 正交变换不改变向量长度。
        7.1特征值和特征向量 A是n阶矩阵,若数 λ 和n维非0列向量满足 Ax=λx ,那么,数称为A的特征向值,x称为A的对应于特征值的 λ 特征向量
        • 根据定义,立刻得到 (A?λI)x=0 ,令关于 λ 的多项式 |A?λI| 为0,方程 |A?λI|=0 的根为 A 的特征值;将根 λ0 带入方程组 (A?λI)x=0 ,求得到的非零解,即 λ0 对应的特征向量。
        • 矩阵A的主设aij为行列式式的元素和,称作矩阵A的迹
    推论: 不同特征值对应的特征向量,線性无关 实对称阵的特征值也是实数。 实对称阵不同的特征值的特征向量正交: 证明:

    ####设A为n阶对称阵,则必有正交阵P,使得

    • 若条件变成 xTAx≥0 ,则 A 称作半正定矩阵

    - 对称阵A为正定阵;
    - A的特征值都为正;
    - A的顺序主子式大于0;

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