1、这是公比为q=x的等比常见的级数求和公式和公式的反过来应用可以直接使用，没有必要写出具体过程 如果一定要写，就写在下面略有点麻烦，其中第步要用到收敛嘚等比级数的余项级数仍然是等比级数和，这是中学知识

滨州学院本科毕业设计( 论文)I常见嘚级数求和公式和的常用方法 摘 要级数理论及应用无论对数学学科本身还是在其他科学技术及理论的发展中都有极为重要的影响和作用洏常见的级数求和公式和是级数理论及应用的主要内容之一.由于常见的级数求和公式和的方法比较多，技巧性很强一般很难掌握其规律，是学习的一个难点因此掌握一些常用的常见的级数求和公式和方法就显得尤为重要.通过例题，分别针对常用的数项级数和函数项常见嘚级数求和公式和进行分析和讨论试图通过对例题的分析和解决，展示常见的级数求和公式和的常用方法和思想进而探索常见的级数求和公式和的规律，理解级数理论即合理应用打下良好的基础，为学习者起到抛砖引玉的方法. 143.1.1 逐项微分求和后再积分 143.1.2 逐项积分，求和後再微分 153.2 微分方程式法 163.3 复数项幂常见的级数求和公式和法（主要计算三角函数项级数的和） 18结论 20参考文献 21谢 辞 .22滨州学院本科毕业设计（论攵）1第一章 级数简介1.1 级数发展简介数学史上级数出现的很早在两千多年前人们就有了粗糙的级数思想.古希腊时期，亚里士多德(Aristotle公元前 384 ┅公元前 322)就知道公比小于 l(大于零)的几何级数可以求出和数.芝诺(Zeno，公元前 490 一约公元前 425)的二分法涉及到把 1 分解成无穷级数 .阿基米德(Archimedes公元前 287???43211一公元前 212)在《抛物线图形求积法》一书中，使用几何级数去求抛物线弓形面积并且得出了级数 的和.中国古代《庄子·天下》中的432??“一尺之棰，日取其半万世不竭”含有极限的思想，用数学形式表达出来也是无穷级数.到了中世纪由于数学家和哲学家对一些涉及箌无穷思想的悖论展开了激烈的争论，使得关于无穷级数的研究开展起来.最具代表的是法国数学家奥雷姆(Nicolas Orense1323 一 1352)用最初等的方法证明了调和級数 ?? ??k154312的和为无穷，用现在的形式可表示为 ????????????????? ?????中世纪的级数理论从本质上看没有突破性进展，它的主要贡献并不在于所得到的具体结果而是在于促使人们接受一种新的观点，即在数学中可以自由的承认无限过程.这对後来理解无穷过程做了铺垫为形式化处理级数奠定了思想基础.早期数学家仅凭直觉就认为级数是可以收敛的，并将级数从有限项自然的拓展为无限项使用这导致了有限法则无限拓展的产生.17 世纪，伴随着微积分的产生许多数学家通过微积分的基本运算与级数运算的形式囮结合，得到了一些初等函数滨州学院本科毕业设计（论文）2的幂级数展开式并且级数在解析运算中被普遍用来代表函数而成为微积分嘚有力工具，这就使得无穷级数成为微积分不可缺少的部分.1669 年牛顿 (Isaac Newton，1643 一 1727)在他的((用无限多项方程的分析学》中用级数反演法给出了 ， 等函数的无穷级数展开式以及圆面积和双曲线面xsincoxartn积的具体展开式.在微积分的早期研究中，有些函数如指数函数等超越函数的处理相当困难然而人们发现，若用它们的级数来处理则 非常有成效.因此，无穷级数从一开始就是莱布尼茨、牛顿等人微积分工作的一个重要部分.有時使用无穷级数是为了计算一些特殊的量如二和.以及求隐函数的显式解.17 世纪后期和 18 世纪，为 了适应航海、天文学和地理学的发展摆在數学家们面前的问题之一是函数表的插值.由于对函数表的精确度要求较高，数学家们开始寻求较好的插值方法牛顿和格雷戈里给出了著洺的内插公式.????????????????????afchafchfaf 211715 年泰勒 (Brook Taylor，1685 一 1731)发表了《增量方法及其逆》(Methods Increment rum Direct et Inverse)奠定了有限差分法的基础.17 世纪，牛顿、莱布尼茨等人曾研究过有限差分问题泰勒的工作则使有限差分法从局限的方法(如二项式定理、有理函数的长除法、待定系数法等等)过渡到了一般的方法.这本书中他给出了单变量幂级数展开的著名公式，即泰勒级数 ???????????!3! 2“ haffhafhaf泰勒是第一个发表此级数的人但他不是第一个发现此级数的数学家.在他之滨州学院本科毕业设计（论文）3前格雷戈里、牛顿、莱布尼茨、约翰·伯努利 (John Bernoulli，1667 一 1748)和棣莫弗(Abrahamde Moivre)等数学家都研究过此级数. 1717 年泰勒运用这个常见的级数求和公式解方程，取得了很好的结果但是他的证明是不严格的而且没有考虑收敛問题，在当时影响并不太大.直到 1755 年欧拉在微分学中将泰勒级数推广应用到多元函数，增大了泰勒级数的影响力随后拉格朗日用带余项嘚泰勒级数作为函数论的基础，才正式确立了泰勒级数的重要性.后来麦克劳林(Maclanrin colin 1698 一 1746)重新得到泰勒公式在 时的特殊情况，现代微积分教材0?aΦ一直将这一特殊情形的泰勒级数称为“麦克劳林级数”.詹姆斯·伯努利 (James Bernoulli1654 一 1705)与约翰·伯努利在级数方面做了大量的工作.詹姆斯·伯努利在 1689 一 1704 年间撰写了 5 篇关于无穷级数的论文，成为当时这一领域的权威这些论文的主题是关于函数的级数表示及其求函数的微分与积分，求曲线下面积和曲线长等方面的应用所有这些级数的应用是对微积分的重大贡献.1.2 级数的概念定义 1.2.1 给定一个数列 ，对它的各项依次用“+”号連接起来的表达式??nu?? ?nu21（1）称为数项级数或无穷级数（也常简称级数） 其中 称为数项级数的通项.n数项级数（1）也常写作 或简单写莋 .???1nunu定义 1.2.2 设 是定义在数集 上的一个函数列，表达式????xunE????Exuxn???,21 ??称为定义在 上的函数项级数简记为 或 .En??1n滨州学院夲科毕业设计（论文）4第二章 数项级数的求和方法常见的级数求和公式和的问题，一般来说是一个困难问题，没有一劳永逸的方法.因为蔀分和 随 增大时数项越来越多，除非能化为已知级数人???1nas?????????nkxu1们只能设法把 写成紧缩式，才便于求极限.常见的级數求和公式和的常用方法一般直接用定义法、拆项法、公式及四则运算法、利用幂级数法、傅里叶级数理论和阿贝尔求和法等方法.下面对瑺见的级数求和公式和的方法举例进行说明.2.1 根据定义求级数的和利用定义求级数的和就是求级数部分和数列的极限.由于当 时部分和??n嘚项数无限增多，因此为了求 的极限必须设法把 加以nnuus???21 sn sn简化直至解出极限.但是如何加以简化 并没有一般的方法，下面我们通过例题加n以介绍.例 2.1.1 设 求级数 的和.????sandann??????11, ???1na分析 要寻求 之和，只要将其部分和 用已知级数 部分和?1n nT????11nn与已知数列 表示絀来.??a解 因 coscocosco2 22????借此方程便得 ??aqnncos21s 22?????(当 时).qacso22???2.2 利用公式的四则运算求级数的和利用一些常见数列的求和公式如等差数列、等比数列等求和公式，结合其四则运算性质求出级数的和.例 2.2.1 计算 .?? ???n215231解 由于 nns215231?????（1）而 143225????nns?（2）式得??1?滨州學院本科毕业设计（论文）6??????????????????nnnns? ?故原级数的和 .321lim??????snS例 2.2.2 求 的和.????12n解：首先注意因為，??????????????????????? nkkkns 所以 12??n同理可得 .??11???n又 ，621???n于是根据收敛级数可以逐项加减等性质，可知??????????????? ???????????????12121 22 nnnn231621?????nn所以 ????????????? ?????? ?????????1 22212nn nn滨州学院本科毕业设计（论文）731232???2.3 拆项消去法连锁消去法在常见的级数求和公式和法中是一种很重要的方法咜的关键使将级数的一般项分解成部分分式的形式.例 2.3.1 计算 .???? ????143121n解 由于 ?sn ?而 ??11??n所以 1432???ns?n??1故原级数的和 .1lim???Ssn說明 还可以多项相消，求形如 之类的级数之和.????????132nn例 2.3.2 求级数 之和.??12arctk提示 则 .因此对于级数 ，??sn2n12?ssn???lim???1na若通项 (当 時)则部分和的子序列 收敛于 ，意味着 也0?na???n2??s2?收敛于 从而 .我们把 与 称为互补子序列 .这个原理可推广到ssn??1n2sn12?一般：若 的通项 (當 时)， 的子序列 （ 是某??1na0n nsnp??1p个正整数） 则 .我们把这种方法称为子序列法.sn?1例 2.4.1 计算 ??????解 此级数的通项趋近于零，所以只求 嘚极限即可sn??????????????????????????? ????????33 nn nns??而 21321lim3 ?????????????????sn唎 2.4.2 计算 .??????????????????? 解 此级数的通项趋近于零所以只求 的极限，注意公式snCn????l1321?滨州学院本科毕业設计（论文）9其中 为 Euler 常数， （当 时）.因此对原级数，C0?n??3ll3121213????nn ns???故原级数和 .s2.5 利用幂级数理论求级数的和若 收敛则有 = ，将 转囮成 对求 有???0na??0na?????01limnnx ??0na??0nnxa???0nnxa两种常用方法：方法 1：利用逐项微分法求和 ，方法的效果取决于 是否容易求和 是否dtaxSxnn????01 )()( 11???nnxana为 的简化，若 为 n 的多项式并且含有因子 n 是、时效果更好.na)(pn方法 2：利用逐项积分法求和，当 为多项式时应分解 为 等式子的組合.dtaxSxnn????01)()(na)(p??1?由 Abel 第二定理：若幂级数 的收敛半径 ，则幂级数在任意闭区nx??00?r间 上都一致收敛.计算收敛的数项级数 的和只需求 在????ra,,?????0nanxa??0内的和函数 ，令 取极限，则 .??1,xs01????xsn010lim???例 2.5.1 求数项级数 的和.???12n解 构造幂级数 求得收敛半径 .收敛区間是 .设它的和nnx?1 2?r??2,?函数是 ，即 .由幂级数可逐项可导有??xs??2,,21????nn滨州学院本科毕业设计（论文）10.?? ??2,,2112121 ?????????????????????? xxxsn ?，有 .因为 所以?,??????sxtdtsxx??? ln0,00 或 0?s.即 .??xs??2ln 2,,21l???nx令 ，有1 ?????? 3211ln例 2.5.2 计算 ???? 级數理论求级数的和先求出函数的傅里叶展开式在确定其在收敛于内某个特殊点的值，这是用傅里叶常见的级数求和公式常数项级数的基夲思想.傅里叶展开的基本方法：1）按系数公式计算系数 ??,210,cos1????ndxlflabn?i?a其中 .2abl??滨州学院本科毕业设计（论文）112）将算出的系数代入级數 .????? ????????10sincos2~nkklxblxaxf ?3）根据收敛定理判定~可改为等号的范围.若 上分段光滑，则级数的????af,在和函数 ???????????????.,20,,呈 周 期 其 他 时 ， 当 的 连 续 点 ，为 当 的 间 断 点 ，为当 baxbfaffxffxs例 2.6.1 设函数 .试求 的值.??2???????xf???xo???14k解 将函数 茬 上展开成 Fourier 4201426???????????????????406???t所以 9014???k滨州学院本科毕业设计（论文）12说明 求形如 ， ， 之类的数值级數可将???12n?????021n?????2n??????13n某些特殊函数在一定区域上展成 Fourier 级数，然后取适当的 的值或逐项积分.x例 2.6.2 设 其中 .试求 嘚值.??24xf????x???12kk解 将函数进行奇式周期延拓，则 0na???,??????????????????为 偶 数当 为 奇 数当 nxdxdfbnxn102si24si0??所以 ，其中 因为 在 上连续.???????????12si~nxxf ???,0???xf???,0所以 .取 ，则 的值为所谓的欧拉常数设为 ，则有???????????nk1llim???5721.0?c其中 ，利用上式可以求出某些数值级数的和.nnkac??l1 0li???na例 2.8 求 ????12ns解 ??? ?????????nkkn112滨州学院本科毕业设计（论文）14????????????? ??????????????????? nnacnck nnknnnkkn 2l122ll5121 ???即 n?s第三章 函数项常见的级数求和公式和3.1 微积分法3.1.1 逐项微分，求和后再积分先求 的紧缩式然后再利用积分公式：??xsn ?????dtssxsxnnn????? 例 3.1.1.1 计算 ????12n解 不难计算其收敛半径为 1，設它的和函数 即 ，有??xs??1,????? ?? ??????25312nxxnxs逐项微分有 ?? 242 1x????，对上式从 到 ?????????????????xxx xkxkknk于是 ?????dtsxnnn??? .?xttx ????????????21i2s1利用 Riemann 引理 时上式第一项趋向零.所以级数和??n???????????.x0,21,??当當xs3.1.2 逐项积分，求和后再微分例 3.1.2.1 计算 ??nnx????01解 不难计算其收敛半径为 1设它的和函数 ，即 有??xs??1,????????? ????? nnn xxxxs3210，对上式从 到 逐项积分有,???0滨州学院本科毕业设计（论文）16???dtndtsxnx??????0001xttxx???1324? ?对两边求导数，有 ??21xs??即 .??201xn????3.2 微分方程式法基本思想是为了求出幂级数或函数项级数的和函数有时找出和函数所满足的微分方程及定解条件，解此微分方程的萣解问题得到级数的和函数；主要还是设法证明级数的和满足某个方程式然后求次方程的解.例 3.2.1 计算 .?????? xxx提示 收敛半径为 逐项微汾可知?.??xss? 解 设 ?????? xx逐项微分 ????12 xxs所以 ，并且有 .x? ??10?s解此微分方程的初值问题滨州学院本科毕业设计（论文）17???????10 sxs得 .????????xtde021例 3.2.2 证明：若函数 在 上连续令 ，??xf??1,0??xff?0则 在 上一致收敛于??????,21,0,1 ?????? nxdyfxfnn fn???1,.fexy?1?證 1.（先证明该级数一致收敛）因 在 上连续所以有界.即 ，使 于 上由此知??f??,00??M??xf???1,0，???xdyfyfxx?????1111???? ,!212f xx由数学归納法易证.???!1nxMxnf?????,321??但 在全数轴上成立 上一致收敛.所以 在 上绝对??xneM??1! ??,0??xfn???1??,0一致收敛.2.（证明和满足微分方程）记原级数之和为. (1)??????????211dtftdtfxx?次式两端同时加以 ，再同时在 上取积分得??,0. (2)????xttfxx??11由此求得 . (3) ??f?从(2)式可以看出 ??01??滨州学院本科毕业设计（论文）18（4）在条件（4）下求解微分方程（3）可得.????dyfexxy???1?未学过微分方程的读者可以这样来求解;設 则代入（3）式得??xeu???，??xefxu?? 所以 . ??Cdtefxx??0（5）根据（4）式应有 故知 代入（5）??01?u??dtefC?10从而 ??tfdtefxx???00.??yxtx?11因此 .??defeyfx?????3.3 复数项幂常见的级数求和公式和法此方法主要计算三角函数项级数的和为计算形如 及 ，ezkxxkk i!1Recos!1cos00 ??????????.xkk sin!Imin!co00??滨州学院夲科毕业设计（论文）20参考文献[1]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社, 1995.[2]华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社, 2001.[3]吉米多维奇.数学分析习题集[M].北京:高等教育出版社,1958.

四川师范大学本科毕业论文 常见嘚级数求和公式和的常用方法 学生姓名 刘学江 院系名称 数学与软件科学学院 专业名称 数学与应用数学 班 级 2008级01班 学 号 指导教师 李红梅 完成时間 2012年4月30日 常见的级数求和公式和的常用方法 学生姓名：刘学江 指导老师：李红梅 内容摘要：级数在数值计算中有广泛的运用级数首先要栲虑其收敛性，在收敛级数中寻求可求和的方法.但在国内很多教材或其它数学书籍中没有专门的板块涉及常见的级数求和公式和的内容即使是国内权威数学分析教材也只是作了级数逼近的工作.力求寻求常见的级数求和公式和的常用方法加以总结提炼，揭开级数和的神秘面紗.本文整体布局可分为部分：一、数项常见的级数求和公式和的常用方法 二、函数项常见的级数求和公式和的常用方法.由于级数的敛散性昰分析常见的级数求和公式和的先导但是本文重在于讨论常见的级数求和公式和，所以级数敛散性内容讨论从简且本文涉及的级数均收敛.在借鉴国内外优秀数学书籍的基础上，选取一些典型题目加以分析使每一种方法尽可能以事实形式呈现出一种“方法技巧的实战运鼡”景象，在实例中说明方法用实例体会方法. ：常见的级数求和公式和 数项常见的级数求和公式和 函数项常见的级数求和公式和 Series widely used 2 1.7方程式法 3 1.8原级数转化为子序列求和 3 1.9数项级数化为函数项常见的级数求和公式和 3 1.10化数项级数为积分函数求原级数和 4 1.11三角型数项级数转化为复数系级數 4 1.12构造函数计算级数和 5 1.13级数讨论其子序列 5 1.14裂项法求级数和 6 1.15裂项+分拆组合法 7 1.16夹逼法求解级数和 7 2函数项常见的级数求和公式和 8 2.1方程式法 8 2.2积分型瑺见的级数求和公式和 8 2.3逐项求导求级数和 9 2.4逐项积分求级数和 9 2.5将原级数分解转化为已知级数 10