大学物理电势公式 完美作业网 www.wanmeila.com
大学物理：电势计算 均匀带电球面(半径R，电量q)的电势V：(距离球心r处)r≤R的位置，V=q/4πεoR
=kq/Rr＞R的位置，V=q/4πεor
=kq/rk=1/4πεo=9.0×10^(9) N·m?/C? (静电力常数)用此公式自己算吧公式是通过，电荷连续分布带电体电场中的电势 V=∫dq/4πεor 福分得到的可以直接用的。
大学物理 电势公式问题 前面还有个负号，就是r的负二次方的积分
大学物理 电势公式问题为什么dr/r^2=1/r 积分运算∫[dr/r^2]=1/r+c
大学物理，静电场，电势怎么求啊 E=F/q，因为F=O，所以E=0。电势:Uo=Q/4πεor＝……
大学物理，求电势 如图。
大学物理求电势问题 用（q/4kr^2）dr积分是做的功。因为有些符号打不出来，用k替代，积分r-无穷远，这就是电势了，也就是话红线部分
大学物理 电势 这恐怕需要经过专门系统的学习才能形成正确的了解
大学物理中求电势的方法有哪些？具体点！！ 定义，先求E直接电势定义郸，kq/r*r
大学最常用这个，以为都是微积分再积分的题目基尔霍夫方程组
大学物理求电势？谢谢 为0得用积分去求。或者可以这样看，根据对称性，如果球体里面有电场线，那么就是指向中心或者反向中心的。但是根据高斯定理，中心没有电荷，所以包围中心的一个面通量为零，相互矛盾，所以，球体内是没有电场线的。[第 1 章习题解答] 1-3 如题 1-3 图所示，汽车从 A 地出发，向北行驶 60 km 到达 B 地，然后向东行驶 60 km 到达 c 地，最后向东北行 驶 50km 到达 D 地。求汽车行驶的总路程和总位移。 解 汽车行驶的总路程为 S=AB 十 BC 十 CD＝(60 十 60 十 50)km＝170 km； 汽车的总位移的大小为 Δ r=AB/Cos45°十 CD＝(84.9 十 50)km＝135km， 位移的方向沿东北方向，与 CD 方向一致。dR1-4 现有一矢量 R 是时阃 t 的函数，问dt与dR dt在一般情况下是否相等?为什么?dR解：dt与dR dt在一般情况下是不相等的。因为前者是对矢量 R 的绝对值(大小或长度)求导，表示矢量 R 的太小随时间的变化率；而后者是对矢量 R 的大小和方向两者同时求导，再取绝对值，表示矢量 R 大小随时问的变化和矢 量 R 方向随时同的变化两部分的绝对值。如果矢量 R 方向不变，只是大小变化，那么这两个表示式是相等的。 1-5 一质点沿直线 L 运动，其位置与时间的关系为 r =6t2-2t3，r 和 t 的单位分别是米和秒。求： (1)第二秒内的平均速度； (2)第三秒末和第四秒末的速度， (3)第三秒末和第四秒末的加速度。 解：取直线 L 的正方向为 x 轴，以下所求得的速度和加速度，若为正值，表示该速度或加速度沿 x 轴的正方向， 若为负值，表示该速度或加速度沿 x 轴的反方向。 (1)第二秒内的平均速度v2 ?x 2 ? x1 (24 ? 16 ) ? (6 ? 2) ? m ? s ?1 ? 4.0m ? s ?1 t 2 ? t1 2 ?1 ；(2)第三秒末的速度v?因为 v3=18m?s-1； 用同样的方法可以求得第口秒末的速度为 V4=48m s-1； (3)第三秒末的加速度dx ? 12t ? 6t 2 dt ，将 t=3 s 代入，就求得第三秒末的速度为d 2x a ? 2 ? 12 ? 12t dt 因为 ，将 t=3 s 代入，就求得第三秒末的加速度为a3= -24m?s-2； 用同样的方法可“求得第四秒末的加速度为 a4= -36m?s-2v?1-6 一质点作直线运动，速度和加速度的大小分别为 (1)vdv=ads： (2)当 a 为常量时，式 v2=v02+2a(s-s0)成立。 解ds dv a? dt 和 dt ，试证明：vdv ?(1)ds dv dv ? ds ? ads dt dt ；(2)对上式积分，等号左边为：s? v d v? 2 ?v0v11 2 d (v 2 ) ? (v 2 ? v0 ) v0 2v等号右边为：? ads ? a(s ? s )s0 01于是得：v2-v02=2a(s-s0) 即：v2=v02+2a(s-s0) 1-7 质点沿直线运动，在时间 t 后它离该直线上某定点 0 的距离 s 满足关系式： s=(t -1)2(t- 2)，s 和 t 的单位分别是米和秒。求 (1)当质点经过 O 点时的速度和加速度； (2)当质点的速度为零时它离开 O 点的距离； (3)当质点的加速度为零时它离开 O 点的距离； (4)当质点的速度为 12ms-1 时它的加速度。 解：取质点沿 x 轴运动，取坐标原点为定点 O。 (1)质点经过 O 点时．即 s=0，由式 (t -1)2(t- 2)=0，可以解得 t=1.0 s．t=2.0 s 当 t=1 s 时． v=ds/dt=2(t-1)(t-2)+(t-1)2=0 ms-1 a=dv/dt=4(t-1)+2(t-2)=-2. 0 ms-2 当 t=2 s 时， v=1.0 ms-1, a=4.0 ms-2。 (2)质点的速度为零，即 V=ds/dt=2(t-1)(t-2)+(t-1)2=0 上式可化为 (t -1)(3t- 5)=0， 解得: t=1.0 s，t=1.7 s 当 t=1s 时，质点正好处于 O 点，即离开 O 点的距离为 0 m，当 t=5／3 s 时，质点离开 O 点的距离为-0.15m。 (3)质点的加速度为零，即 a=dv/dt=4(t-1)+2(t-2)= 0 上式可化为：(3t-4)=0， t=1.3s 这时离开 O 点的距离为-0.074m。 4)质点的速度为 12 ms-1，即 2(t-1)(t-2)+(t-1)2=12 由此解得：t=3.4 s，t=-0.69 s 将 t 值代入加速度的表示式 a=dv/dt=4(t-1)+2(t-2) 求得的加速度分别为: a=12.4 ms-2，a=-12.2 m s-2 1-8 一质点沿某直线作减速运动，其加速度为 a=-cv2，c 是常量。若 t=0 时质点的速度为 v0，并处于 s0 的位置 上，求任意时刻 t 质点的速度和位置。 解：以 t=0 时刻质点的位置为坐标原点 O，取水平线为 x 轴，质点就沿 x 轴运动。困为是直线运动，矢量可以用 带有正负号的标量来表示。dv dv ?? 2 a cv 于是有 v dv 1 1 1 t ? t0 ? ? ? 2 ? ( ? ) v0 cv c v v0 两边分别积分，得：a?dv dtdt ?1 1 1 v0 t? ( ? ) 即 v? c v v0 cv0t ? 1 固为 t0=0，所以上式变为：上式就是任意时刻质点的速度表达式。dx? , dx? ? v d t dt 因为 v dt dx? ? 0 cv0t ? 1 将式(1)代入上式．得： v?对式(2)两边分别积分，得： 于是，任意时刻质点的位置表达式为x? ? ?t0v0 dt 1 ? ln(cv0t ? 1) cv0t ? 1 c1 x ? x? ? s0 ? ln(cv0t ? 1) ? s0 c1-9 质点作直线运动，初速度为零．初始加速度为 a0，质点出发后每经过τ 时间，加速度均匀增加 b。求经过 2时间 t 后质点的速度和加速度。 解：可以把质点运动所沿的直线定为直线 L，并设初始时刻质点处于固定点 O 上。根据题意，质点运动的加建度应该表示为： 由速度公式：b a ? a0 ? t?v ? v0 ? ? adt0t可以求得经过 f 时间质点的速度： 另外，根据位移公式可以求得经过时间 t 质点的位移为：v ? ? adt ? a0t ?0tb 2 t 2?l ? ? vdt ?0ta0 2 b 3 t ? t 2 6?1-10 质点沿直线 y=2x 十 1 运动，某时刻位于 x1=1.51 m 处，经过 1.20 s 到达 x2=3. 15 m 处。求质点在此过程 中的平均速度。v?解：根据定义，平均速度应表示为：?r ?t其中? r ? ?xi ? ?y j由已知条件找出△x 和△y，就可以求得平均速度 v 。 △x = x2-x1= 3.15m-l.5lm = l.64m 根据直线方程 y=2x+l，可求得 y1=2x1+l=4.02m，y2=2x2+l=7.31m， 所以△y= y2-y1= 7.31m-4.02m = 3.28m 平均速度为:? r ?x ?y ? i? j ? (1.37i ? 2.74 j ) m ? s ?1 ?t ?t ?t ?x ?y v ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? 3.06 m ? s ?1 ?t ?t 也可以用下面的方式表示 v?? ? arctan与 z 轴的夹角为 1-11 质点运动的位置与时间的关系为 x=5+t2，y=3+5t -t2，z=l+2 t2，求第二 秒末质点的速度和加速度，其中长度和时间的单位分别是米和秒。 解：已知质点运动轨道的参量方程为?y ? arctan 2.00 ? 63? 26? ?x?x ? 5 ? t 2 ? 2 ?y ? 3 ? 5t ? t ?z ? 1 ? 2t2 ?质点任意时刻的速度和加速度分别为和 质点在第二秒末的速度和加速度就是由以上两式求得的。 t=2 s 代人上式， 将 就得到质点在第二秒末的速度和加速度， 分别为?vx ? 2t ? ?vy ? 5 ? 2t ?v ? 4t ? z? ax ? 2 ? ? ay ? ?2 ?a ? 4 ? z?vx ? 4.0m ? s ?1 ? ?1 ?vy ? 1.0m ? s ?v ? 8.0m ? s ?1 ? z1-12和?ax ? 2.0 m ? s ?2 ? ?2 ?ay ? ?2.0 m ? s ?a ? 4.0 m ? s ? 2 ? zr ? x2 ? y 2，设质点的位置与时间的关系为 x=x(t)， y=y(t)， 在计算质点的速度和加速度时， 如果先求出3v?然后根据dr d 2r 和a ? 2 dt dt 求得结果。还可以用另一种方法计算：先算出速度和加速度分量，再合成．得到的结v? (果为，你认为那一组结果正确？为什么？ 解：第二组结果是正确的。而在一般情况下第一组结果不正确，这是因为在一般情况下dx 2 dy 2 d 2x d2y ) ? ( ) 和a ? ( 2 ) 2 ? ( 2 ) 2 dt dt dt dtv?d r dr d 2 r d 2r ? , a? 2 ? 2 dt dt dt dt速度和加速度中的 r 是质点的位置矢量，不仅有大小而且有方向．微分时，既要对大小微分也要对方向微分。第一 组结果的错误就在于，只对位置矢量的大小微分，而没有对位置矢量的方向微分。 1-13 火车以匀加速运动驶离站台。当火车刚开动时，站在第一节车厢前端相对应的站台位置上的静止观察者发 现．第一节车厢从其身边驶过的时间是 5.0s。问第九节车厢驶过此观察者身边需要多少时间? 解：设火车的加速度为 a，每节车厢的长度为 l，第一节车厢从观察者身边通过所需时间为 t1，t1 满足l?(1) 前八节车厢通过观察者身边所需时间为 t2，前九节车厢通过观察者身边所需时问为 t3，并可列出下面两个方程式：1 2 at1 21 2 8l ? at2 2 1 2 9l ? at3 2a?(2)(3)由(1)得： 将上式代入式(2)和式(3)，分别得到2l 2i ? t12 25t2 ?16l 16 ? 25l 18l 18 ? 25l ? ? 14.14 s, t3 ? ? ? 15.00 s a 2l a 2l第九节车厢通过观察者身边所需时间为： Δ t=t3-t2=15.00s-14.41s=0.86s45678910111213141516[物理学 3 章习题解答] 3-1 用榔头击钉子，如果榔头的质量为 500 g，击钉子时的速率为 8.0 m?s?1，作用时间为 2.0?10?3 s，求钉子所 受的冲量和榔头对钉子的平均打击力。 解 对于榔头： , 式中 i1 是榔头所受的冲量， 对于钉子： , 式中 i2 是钉子受到的冲量， 题目所要求的是 i2 和 ： , i2 的方向与榔头运动方向一致。 是钉子所受的平均打击力，显然 =? 。 是榔头所受钉子的平均打击力；, 的方向与榔头运动方向一致。 3-2 质量为 10 g 的子弹以 500 m?s?1 的速度沿与板面垂直的方向射向木板，穿过木板，速度降为 400 m?s?1 。如 果子弹穿过木板所需时间为 1.00?10?5 s，试分别利用动能定理和动量定理求木板对子弹的平均阻力。 解 (1)用动能定理求解：, (1) 其中 是木板对子弹的平均阻力，d 为穿过木板的厚度，它可用下面的关系求得：17, (2) . (3) 由式(2)和式(3)联立所求得的木板厚度为 &nb .根据式(1)，木板对子弹的平均阻力为. (2)用动量定理求解： ,. 与上面的结果一致。由求解过程可见，利用动量定理求解要简便得多。 3-4 质量为 m 的小球与桌面相碰撞，碰撞前、后小球的速率都是 v，入射方向和出射方向与桌面法线的夹角都 是?，如图 3-3 所示。若小球与桌面作用的时间为?t，求小球对桌面的平均冲力。 解 设桌面对小球的平均冲力为 f， 并建立如图所示的坐标系， 根据动量定 理，对于小球可列出 , . 由第一个方程式可以求得 , 图 3-3 由第二个方程式可以求得. 根据牛顿第三定律，小球对桌面的平均冲力为, 负号表示小球对桌面的平均冲力沿 y 轴的负方向。 3-5 如图 3-4 所示，一个质量为 m 的刚性小球在光滑的水平桌面上以速度 v1 运动，v1 与 x 轴的负方向成?角。当小球运动到 o 点时，受到一个沿 y 方向的 冲力作用，使小球运动速度的大小和方向都发生了变化。已知变化后速度的方 向与 x 轴成?角。如果冲力与小球作用的时间为?t，求小球所受的平均冲力和运 动速率。 解 设小球受到的平均冲力为 f，根据题意，它是沿 y 方向的，小球受到撞 击后，运动速率为 v2。根据动量定理，在 y 方向上可以列出下面的方程式 图 3-4 由此得到 ,. (1) 小球在 x 轴方向上不受力的作用，动量是守恒的。故有 , 由此求得小球受到撞击后的运动速率为18. (2) 将式(2)代入式(1)，即可求得小球所受的平均冲力. 3-7 求一个半径为 r 的半圆形均匀薄板的质心。 解 将坐标原点取在半圆形薄板的圆心上，并建立如图 3-5 所示的 坐标系。在这种情况下，质心 c 必定处于 y 轴上，即 ,. 质量元是取在 y 处的长条，如图所示。长条的宽度为 dy，长度为 图 3-5 , 故有 . 如果薄板的质量密度为?，则有 2x。根据圆方程. 令 , 则 ，对上式作变量变换，并积分，得. 3-8 有一厚度和密度都均匀的扇形薄板，其半径为 r，顶角为 2?，求质心的位置。 解 以扇形的圆心为坐标原点、以顶角的平分线为 y 轴，建立如图 3-6 所示的坐标系。在这种情况下，质心 c 必定处于 y 轴上，即 ,. 质量元可表示为 , 式中?为扇形薄板的质量密度， 为图中黑色方块所示的扇形薄板面元。 ds 图 3-6 整个扇形薄板的质量为 , 于是. 将 代入上式，得19. 3-9 一个水银球竖直地落在水平桌面上，并分成三个质量相等的小水银球。其中两个以 30 cm?s?1 的速率沿相 互垂直的方向运动，如图 3-7 中的 1、2 两球。求第三个小水银球的速率和运动方向 (即与 1 球运动方向的夹角? )。 解 建立如图 3-8 所示的坐标系。在水平方向上，水银求不受力的作用，所以 动量守恒，故可列出下面的两个方程式,图 3-8. 式中 v 是 1、2 两球的运动速率，v3 是第三个水银小球的运动速率。由上两方 程式可解的 ,. 3-10 如图 3-9 所示， 一个质量为 1.240 kg 的木块与一个处于平衡位置的轻弹簧 的一端相接触，它们静止地处于光滑的水平桌面上。一个质量为 10.0 g 的子弹沿水 图 3-7 平方向飞行并射进木块，受到子弹撞击的木块将弹簧压缩了 2.0 cm。如果轻弹簧的 劲度系数为 2000 n?m?1 ，求子弹撞击木块的速率。 解 设木块的质量为 m；子弹的质量为 m，速度为 v；碰撞后的共同 速度为 v。此类问题一般分两步处理：第一步是子弹与木块作完全非弹性 图 3-9 . (1) 第二步是动能与弹力势能之间的转换，遵从机械能守恒，于是有 碰撞，第二步是子弹在木块内以共同的速度压缩弹簧。 第一步遵从动量守恒，故有. (2) 有式(2)解得. 将 v 值代入式(1)，就可求得子弹撞击木块的速率，为. 3-11 质量为 5.0 g 的子弹以 500 m?s?1 的速率沿水平方向射入静止放置在水平桌面上的质量为 1245 g 的木块 内。木块受冲击后沿桌面滑动了 510 cm。求木块与桌面之间的摩擦系数。 解 这个问题也应分两步处理：第一步是子弹与木块作完全非弹性碰撞过程，第二步是子弹处于木块内一起滑 动而克服桌面的摩擦力作功的过程。 第一步遵从动量守恒，有 . 式中 v 是木块受冲击后沿桌面滑动的速度。 第二步遵从功能原理，可列出下面的方程式. 20由以上两式可解得3-12 一个中子撞击一个静止的碳原子核，如果碰撞是完全弹性正碰，求碰撞后中子动能减少的百分数。已知 中子与碳原子核的质量之比为 1:12。 解 设中子的质量为 m，与碳核碰撞前、后的速度分别为 v1 和 v2；碳核的质量为 m，碰撞前、后的速度分别为 0 和 v。因为是正碰，所以 v1、v2 和 v 必定处于同一条直线上。 完全弹性碰撞，动量守恒，故有 , (1) 总动能不变，即(2) 以上两式可分别化为 ,(3) . (4) 式(4)除以式(3)，得 . (5) 由式(1)和式(5)解得. 于是，可以算得中子动能的减少, 因为 m = 12m，所以. 3-13 质量为 m1 的中子分别与质量为 m2 的铅原子核(质量 m2 = 206 m1 )和质量为 m3 的氢原子核(质量 m3 = m1 ) 发生完全弹性正碰。分别求出中子在碰撞后动能减少的百分数，并说明其物理意义。 解 求解此题可以利用上题的结果：. 对于中子与铅核作完全弹性正碰的情形：. 铅核的质量比中子的质量大得多，当它们发生完全弹性正碰时，铅核几乎保持静止，而中子则以与碰前相近的 速率被反弹回去，所以动能损失极少。 对于中子与氢核作完全弹性正碰的情形：. 氢核就是质子，与中子质量相等，当它们发生完全弹性正碰时，将交换速度，所以碰撞后，中子静止不动了， 而将自身的全部动能交给了氢核。213-14 如图 3-10 所示，用长度为 l 的细线将一个质量为 m 的小球悬挂于 o 点。手拿小球将细线拉到水平位置， 然后释放。当小球摆动到细线竖直的位置时，正好与一个静止放置在水平桌面上的质量为 m 的物体作完全弹性碰撞。 求碰撞后小球达到的最高位置所对应的细线张角?。 解 小球与物体相碰撞的速度 v1 可由下式求得 . (1) 小球与物体相碰撞，在水平方向上满足动量守恒，碰撞后小球的速度变为 v2，物体的速度为 v，在水平方向上应有 . (2) 完全弹性碰撞，动能不变，即 图 3-10 . (3) 碰撞后，小球在到达张角?的位置的过程中满足机械能守恒，应有. (4) 由以上四式可解得. 将上式代入式(4)，得,. [物理学 4 章习题解答]2223242526272829[物理学 5 章习题解答] 5-1 作定轴转动的刚体上各点的法向加速度，既可写为 an = v2 /r，这表示法向加速度的大小与刚体上各点到转 轴的距离 r 成反比；也可以写为 an = ?2 r，这表示法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离 r 成正比。这两者是 否有矛盾？为什么？ 解 没有矛盾。 根据公式 这个条件就是保持 v 不变；根据公式 有条件的，条件就是保持?不变。 5-2 一个圆盘绕通过其中心并与盘面相垂直的轴作定轴转动，当圆盘分别在恒定角速度和恒定角加速度两种情 况下转动时，圆盘边缘上的点是否都具有法向加速度和切向加速度？数值是恒定的还是变化的？ 解 (1)当角速度?一定时，切向速度 也是一定的，所以切向加速度 ， 说法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离 r 成反比， 是有条件的， ，说法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离 r 成正比，也是, 即不具有切向加速度。而此时法向加速度, 可见是恒定的。(2)当角加速度一定时，即 ,恒定，于是可以得到这表示角速度是随时间变化的。由此可得 . 切向加速度为, 这表示切向加速度是恒定的。法向加速度为, 显然是时间的函数。 5-3 原来静止的电机皮带轮在接通电源后作匀变速转动，30 s 后转速达到 152 rad?s?1 。求： (1)在这 30 s 内电机皮带轮转过的转数； (2)接通电源后 20 s 时皮带轮的角速度； (3)接通电源后 20 s 时皮带轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度，已知皮带轮的半径为 5.0 cm。 解 (1)根据题意，皮带轮是在作匀角加速转动，角加速度为. 30在 30 s 内转过的角位移为. 在 30 s 内转过的转数为. (2)在 t = 20 s 时其角速度为 . (3)在 t = 20 s 时，在皮带轮边缘上 r = 5.0 cm 处的线速度为 , 切向加速度为 , 法向加速度为 . 5-4 一飞轮的转速为 250 rad?s?1 ，开始制动后作匀变速转动，经过 90 s 停止。求开始制动后转过 3.14?103 rad 时的角速度。 解 飞轮作匀变速转动， ，经过 90 s， ，所以角加速度为. 从制动到转过 . 所以 . 5-5 分别求出质量为 m = 0.50 kg、半径为 r = 36 cm 的金属细圆环和薄圆盘相对于通过其中心并垂直于环面和 盘面的轴的转动惯量；如果它们的转速都是 105 rad?s?1 ，它们的转动动能各为多大？ 解 (1)细圆环：相对于通过其中心并垂直于环面的轴的转动惯量为 , 转动动能为 ，角速度由?0 变为?，?应满足. (2)相对于通过其中心并垂直于盘面的轴的转动惯量为, 转动动能为. 5-7 转动惯量为 20 kg?m2 、直径为 50 cm 的飞轮以 105 rad?s?1 的角速度旋转。现用闸瓦将其制动，闸瓦对飞轮 的正压力为 400 n，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为 0.50。求： (1)闸瓦作用于飞轮的摩擦力矩； (2)从开始制动到停止，飞轮转过的转数和经历的时间； (3)摩擦力矩所作的功。 31解 (1)闸瓦作用于飞轮的摩擦力矩的大小为 . (2)从开始制动到停止，飞轮的角加速度?可由转动定理求得, 根据 , 所以飞轮转过的角度为, 飞轮转过的转数为. 因为 , 所以飞轮从开始制动到停止所经历的时间为. (3)摩擦力矩所作的功为 . 5-8 轻绳跨过一个质量为 m 的圆盘状定滑轮， 其一端悬挂一质量为 m 的物体， 另一端施加一竖直向下的拉力 f， 使定滑轮按逆时针方向转动，如图 5-7 所示。如果滑轮的半径为 r，求物体与滑轮之间的绳子张力和物体上升的加速 度。 解 取定滑轮的转轴为 z 轴，z 轴的方向垂直与纸面并指向读者。根据牛顿第二定律和转动 定理可以列出下面的方程组 , , , . 其中 ，于是可以解得图 5-7,. 5-10 一根质量为 m、 长为 l 的均匀细棒， 在竖直平面内绕通过其一端并与棒垂直的水平轴转动， 如图 5-8 所示。 现使棒从水平位置自由下摆，求：32(1)开始摆动时的角加速度； (2)摆到竖直位置时的角速度。 解 (1)开始摆动时的角加速度：此时细棒处于水平位置，所受重力矩的大小为, 相对于轴的转动惯量为 图 5-8 , 于是，由转动定理可以求得. (2)设摆动到竖直位置时的角速度为?，根据机械能守恒，有, 由此得. 5-13 如果由于温室效应，地球大气变暖，致使两极冰山熔化，对地球自转有何影响？为什么？ 解 地球自转变慢。这是因为冰山融化，水向赤道聚集，地球的转动惯量增大，地球的自转角动量守恒，即 j ? = 恒量 . 所以角速度变小了。 5-15 一水平放置的圆盘绕竖直轴旋转，角速度为?1 ，它相对于此轴的转动惯量为 j1 。现在它的正上方有一个 以角速度为?2 转动的圆盘，这个圆盘相对于其对称轴的转动惯量为 j2。两圆盘相平行，圆心在同一条竖直线上。上 盘的底面有销钉，如果上盘落下，销钉将嵌入下盘，使两盘合成一体。 (1)求两盘合成一体后的角速度； (2)求上盘落下后两盘总动能的改变量； (3)解释动能改变的原因。 解 (1)将两个圆盘看为一个系统，这个系统不受外力矩的作用，总角动量守恒，即 , 所以合成一体后的角速度为. (2)上盘落下后两盘总动能的改变量为. (3)动能减少是由于两盘合成一体时剧烈摩擦，致使一部分动能转变为热能。 5-16 一均匀木棒质量为 m1 = 1.0 kg、长为 l = 40 cm，可绕通过其中心并与棒垂直的轴转动。一质量为 m2= 10 g 的子弹以 v = 200 m?s?1 的速率射向棒端，并嵌入棒内。设子弹的运动方向与棒和转轴相垂直，求棒受子弹撞击后的 角速度。 解 将木棒和子弹看为一个系统，该系统不受外力矩的作用，所以系统的角动量守恒，即33, (1) 其中 j1 是木棒相对于通过其中心并与棒垂直的轴的转动惯量，j2 是子弹相对于同一轴的转动惯量，它们分别为, 将式(2)代入式(1)，得. (2). 5-17 有一质量为 m 且分布均匀的飞轮，半径为 r，正在以角速度?旋转着，突然有一质量为 m 的小碎块从飞轮 边缘飞出，方向正好竖直向上。试求： (1)小碎块上升的高度； (2)余下部分的角速度、角动量和转动动能 (忽略重力矩的影响)。 解 (1)小碎块离开飞轮时的初速为 , 于是它上升的高度为. (2)小碎块离开飞轮前、后系统不受外力矩的作用，所以总角动量守恒。小碎块离开飞轮前，飞轮的角动量就是 系统的总角动量，为； 飞轮破裂后，小碎块相对于转轴的转动惯量为 , 角动量为 . 碎轮的角动量为, 式中?2 是碎轮的角速度。总角动量守恒，l = l1 + l2 ，即, 整理后为, 所以 . 这表明飞轮破碎后其角速度不变。 碎轮的角动量为. 碎轮的转动动能为34. [物理学 6 章习题解答] 6-1 有一个长方体形的水库，长 200 m，宽 150 m，水深 10 m， 求水对水库底面和侧面的压力。 解 水对水库底面的压力为图 5-9 侧面的压力应如下求得：在侧面上建立如图 5-9 所示的坐标系，在 y 处取侧面窄条 dy，此侧面窄条所受的压力 为 , 整个侧面所受的压力可以表示为. 对于 h = 10 m、l = 200 m 的侧面：. 对于 h = 10 m、l = 150 m 的侧面：. 侧面的总压力为 . 6-3 在 5.0?103 s 的时间内通过管子截面的二氧化碳气体(看作为理想流体)的质量为 0.51 kg。 已知该气体的密度 为 7.5 kg?m?3 ，管子的直径为 2.0 cm，求二氧化碳气体在管子里的平均流速。 解 单位时间内流过管子截面的二氧化碳气体的体积，即流量为, 平均流速为. 6-4 当水从水笼头缓慢流出而自由下落时，水流随位置的下降而变细，何故？ 如果水笼头管口的内直径为 d， 水流出的速率为 v0 ， 求在水笼头出口以下 h 处水流的 直径。 解 当水从水笼头缓慢流出时，可以认为是定常流动，遵从连续性方程，即流速 与流管的截面积成反比，所以水流随位置的下降而变细，如图 5-10 所示。 可以认为水从笼头流出后各处都是大气压，伯努利方程可以写为, 改写为 图 5-10 , (1)35. 这表示水流随位置的下降，流速逐渐增大。整个水流可以认为是一个大流管，h1 处的流量应等于 h2 处的流量， 即 . (2) 由于 , 所以必定有 , 这表示水流随位置的下降而变细。 根据题意， , 即 .(3) 将式(3)代入式(2)，得 ， ，h2 处的流速为 v2，代入式(1)，得, 式中 d1 = d，d2 就是在水笼头出口以下 h 处水流的直径。上式可化为 . 从上式可解得. 6-6 文丘里流量计是由一根粗细不均匀的管子做成的，粗部和细部分别 接有一根竖直的细管，如图 5-11 所示。在测量时，将它水平地接在管道上。 当管中有液体流动时，两竖直管中的液体会出现高度差 h。如果粗部和细部的 横截面积分别为 sa 和 sb，试计算流量和粗、细两处的流速。 解 取沿管轴的水平流线 ab(如图 5-11 中虚线所示)， 并且 a、 两点分别 b 对应两竖直管的水平位置，可以列出下面的伯努利方程, 图 5-11 改写为, 即 .(1) 另有连续性方程 . (2) 以上两式联立，可解得,, 36流量为. 6-7 利用压缩空气将水从一个密封容器内通过管子压出，如图 5-12 所示。如 果管口高出容器内液面 0.65 m，并要求管口的流速为 1.5 m?s?1 。求容器内空气的 压强。 解 取如图 5-12 中虚线 ab 所示的流线，并运用伯努利方程, 可以认为 图 5-12 , 所以. 6-9 用图 5-5 所示的虹吸管将容器中的水吸出。如果管内液体作定常流动，求： (1)虹吸管内液体的流速； (2)虹吸管最高点 b 的压强； (3) b 点距离液面的最大高度。 解 此题的解答见上面[例题分析]中的例题 5-4。 6-12 从油槽经过 1.2 km 长的钢管将油输送到储油罐中，已知钢管的内直径为 12 cm， 油的黏度系数为 0.32 pa?s，密度为 0.91 g?cm?3，如果要维持 5.2?10 ?2 m3 ?s?1 的流量，试问油泵的功率应为多大？ 解 首先根据泊肃叶公式求出油被输送到 1.2 km 处所需要的压强差. 为保持一定的流量，油泵的功率为 .[物理学 7 章习题解答] 7-2 一个运动质点的位移与时间的关系为 m, 其中 x 的单位是 m，t 的单位是 s。试求： (1)周期、角频率、频率、振幅和初相位； (2) t = 2 s 时质点的位移、速度和加速度。 解 (1)将位移与时间的关系与简谐振动的一般形式 相比较，可以得到 角频率 s?1, 频率 , 周期37, 振幅,初相位.(2) t = 2 s 时质点的位移 . t = 2 s 时质点的速度 . t = 2 s 时质点的加速度 . 7-3 一个质量为 2.5 kg 的物体系于水平放置的轻弹簧的一端， 弹簧的另一端被固定。 若弹簧受 10 n 的拉力，其伸长量为 5.0 cm，求物体的振动周期。 解 根据已知条件可以求得弹簧的劲度系数 , 于是，振动系统的角频率为 . 所以，物体的振动周期为 . 7-4 求图 7-5 所示振动装置的振动频率，已知物体的质量为 m，两个轻弹簧的劲度 系数分别为 k1 和 k2。 解 以平衡位置 o 为坐标原点，建立如图 7-5 所示的坐标系。若物体向右移动了 x， 则它所受的力为 . 根据牛顿第二定律，应有 , 改写为 . 所以 , .38图 7-57-5 求图 7-6 所示振动装置的振动频率，已知物体 的质量为 m，两个轻弹簧的劲度系数分别为 k1 和 k2。 解 以平衡位置 o 为坐标原点， 建立如图 7-6 所示的 坐标系。当物体由原点 o 向右移动 x 时，弹簧 1 伸长了 图 7-6 . 物体所受的力为 , 式中 k 是两个弹簧串联后的劲度系数。由上式可得 , . x1 ，弹簧 2 伸长了 x2 ，并有于是，物体所受的力可另写为 , 由上式可得 , 所以 . 装置的振动角频率为 , 装置的振动频率为 . 7-6 仿照式(7-15)的推导过程，导出在单摆系统中物体的速度与角位移的关系式。 解 由教材中的例题 7-3，单摆的角位移?与时间 t 的关系可以写为? = ? 0 cos (? t+?) ,单摆系统的机械能包括两部分, 一部分是小物体运动的动能 , 另一部分是系统的势能，即单摆与地球所组成的系统的重力势能 . 单摆系统的总能量等于其动能和势能之和，即 ,39因为, 所以上式可以化为 .于是就得到 , 由此可以求得单摆系统中物体的速度为 . 这就是题目所要求推导的单摆系统中物体的速度与角位移的关系式。 7-7 与轻弹簧的一端相接的小球沿 x 轴作简谐振动，振幅为 a，位移与时间的关系 可以用余弦函数表示。若在 t = 0 时，小球的运动状态分别为 (1) x = ?a； (2)过平衡位置，向 x 轴正方向运动； (3)过 x = (4)过 x = 解 (1)将 t = 0 和 x =?a 代入 , 得 , . (2)根据 , . 由上两式可以解得 . (3)由 , . 由上两式可以解得 .40处，向 x 轴负方向运动； 处，向 x 轴正方向运动。试确定上述各状态的初相位。以及，可以得到和 v & 0 可以得到(4)由 , .和 v & 0 可以得到由上两式可以解得 . 7-8 长度为 l 的弹簧，上端被固定，下端挂一重物后长度变为 l + s，并仍在弹性限 度之内。若将重物向上托起，使弹簧缩回到原来的长度，然后放手，重物将作上下运动。 (1)证明重物的运动是简谐振动； (2)求此简谐振动的振幅、角频率和频率； (3)若从放手时开始计时，求此振动的位移与时间的关系(向下为正)。 解 (1)以悬挂了重物后的平衡位置 o 为坐标原点，建立如图 7-7 所示的 坐标系。因为当重物处于坐标原点 o 时重力与弹力相平衡，即 , . (1) 图 7-7 写为 , 将式(1)代入上式，得 , 即 . (2) 重物的运动满足这样的微分方程式，所以必定是简谐振动。 (2)令 , (3) 方程式(2)的解为 . (4) 振幅可以根据初始条件求得：当 t = 0 时，x0 = ?s，v0 = 0，于是 .41当重物向下移动 x 时， 弹簧的形变量为(s + x )， 物体的运动方程可以角频率和频率可以根据式(3)求得： , . (3)位移与时间的关系： 由 可以得到 , . 由以上两式可解得 . 故有 . 7-9 一个物体放在一块水平木板上，此板在水平方向上以频率?作简谐振动。若物 体与木板之间的静摩擦系数为?0 ，试求使物体随木板一起振动的最大振幅。 解 设物体的质量为 m，以平衡位置 o 为坐标原点建立如图 7-8 所示的坐标系。 由于物体与木板之间存在静摩擦力，使物体跟随木板一起 在水平方向上作频率为?的简谐振动。 振动系统的加速度为 图 7-8 为最大值 . 最大加速度 amax 对应于最大振幅 amax，而与此最大加速度所对应的力应小于或等于 重物与木板之间的最大静摩擦力，物体才能跟随木板一起振动。所以可以列出下面的方 程式 , . 由以上两式可以解得使物体随木板一起振动的最大振幅，为 . , 可见， 加速度 a 的大小正比与振幅 a， 在最大位移处加速度 , 以及当 t = 0 时， 0 = ?s， 0 = 0， x v 根据式(4)，427-10 一个物体放在一块水平木板上，此板在竖直方向上以频率? 作简谐振动。试求物体和木板一起振动的最大振幅。 解 设物体的质量为 m，以平衡位置 o 为坐标原点建立如图 7-9 所示的坐标系。物体所受的力，有向下的重力 mg 和向上的支撑力 n， 可以列出下面的运动方程 图 7-9 由简谐振动 , 可以求得加速度 . 当振动达到最高点时，木板的加速度的大小也达到最大值，为 ,(2) 负号表示加速度的方向向下。如果这时物体仍不脱离木板，物体就能够跟随木板一 起上下振动。将式(2)代入式(1)，得 . (3) 物体不脱离木板的条件是 , 取其最小值，并代入式(3)，得 , 于是可以求得物体和木板一起振动的最大振幅，为 . 7-11 一个系统作简谐振动，周期为 t，初相位为零。问在哪些时刻物体的动能与势 能相等？ 解 初相位为零的简谐振动可以表示为 . 振动系统的动能和势能可分别表示为 , . 因为 , 所以势能可以表示为 . (1)43. 当 时，应有 , 即 , . 由上式解得将代入上式，得或7-12 质量为 10 g 的物体作简谐振动，其振幅为 24 cm，周期为 1.0 s，当 t = 0 时， 位移为+24 cm，求： (1) 时物体的位置以及所受力的大小和方向；(2)由起始位置运动到 x = 12 cm 处所需要的最少时间； (3)在 x = 12 cm 处物体的速度、动能、势能和总能量。 解 首先根据已知条件得出位移与时间关系的具体形式。一般形式为 . 将 ，求得 . (1) 物体的位置为 , 所受力的大小为 , 方向沿 x 轴的反方向。 (2)由起始位置运动到 x = 12 cm 处所需要的最少时间 ,44, ,,, 各量代入上式，同时，根据 ，于是得到简谐振动的具体形式为时, 题目要求最少时间，上式中应取正号。所以. (3)在 x = 12 cm 处 , . 物体的速度为 . 物体的动能为 . 物体的势能为 , 所以物体的总能量 . 7-13 质量为 0.10 kg 的物体以 2.0?10 m 的振幅作简谐振动，其最大加速度为 4.0 m?s?2 ，求： (1)振动周期； (2)通过平衡位置的动能； (3)总能量。 解 (1) 最大加速度与角频率之间有如下关系 , 所以 . 由此可求得振动周期，为 . (2)到达平衡位置时速率为最大，可以表示为 ,?245故通过平衡位置时的动能为 . (3)总能量为 . 7-14 一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动： 和(式中 x 的单位是 m，t 的单位是 s)，求合振动的振幅和初相位。 解 已知 a1 = 0.05 m、? = ? / 3、a2 = 0.06 m 和?2 = ?2? / 3，故合振动的振幅为. 合振动的初相位为 , . 但是?不能取? / 3， 这是因为 x1 和 x2 是两个相位相反的振动， 如果它们的振幅相等， 则合振动是静止状态，如果它们的振幅不等，则合振动与振幅较大的那个振动同相位。 在我们的问题中， 得初相位只能取 . 7-15 有两个在同一直线上的简谐振动： m，试问： (1)它们合振动的振幅和初相位各为多大？ (2)若另有一简谐振动 解 (1)合振动的振幅为 . 合振动的初相位 , 考虑到 x1 与 x2 相位相反， ，所以合振动 x 应与 x2 同相位，故取 m，分别与上两个振动叠加，?为何值时，x1 + x3 的振幅为最大？?为何值时，x2+ x3 的振幅为最小？ m和 ，所以合振动与 x2 同相位。于是，在上面的结果中，合振动 ，即46. (2)当 时，合振动 的振幅为最大，所以这时合振动的振幅为 . 当 时，合振动 的振幅为最小，所以这时合振动的振幅为 . 7-16 在同一直线上的两个同频率的简谐振动的振幅分别为 0.04 m 和 0.03 m，当它 们的合振动振幅为 0.06 m 时，两个分振动的相位差为多大？ 解 合振动的振幅平方可以表示为 , 所以 , . 7-17 一个质量为 5.00 kg 的物体悬挂在弹簧下端让它在竖直方向上自由振动。在无 阻尼的情况下，其振动周期为 求阻力系数。 解 无阻尼时 . 有阻尼时 . 根据关系式 , 解出?，得 将?代入下式就可求得阻力系数 .47；在阻尼振动的情况下，其振动周期为。7-21 某一声波在空气中的波长为 0.30 m，波速为 340 m?s?1 。当它进入第二种介质 后，波长变为 0.81 m。求它在第二种介质中的波速。 解 由于波速 u、波长?和波的频率?之间存在下面的关系 , 当声波从一种介质进入另一种介质时，频率不会改变，所以 . 于是可以求得声波在第二种介质中的波速，为 . 7-22 在同一种介质中传播着两列不同频率的简谐波，它们的波长是否可能相等？ 为什么？如果这两列波分别在两种介质中传播，它们的波长是否可能相等？为什么？ 解 根据书中 160 页波在介质中的传播速率的表达式(7-50)至(7-52)，可以看到，波 的传播速率是由介质自身的特性所决定。 所以， 两列不同频率的简谐波在同一种介质中， 是以相同的速率传播的。故有 . 可见，频率不同的两列波，其波长不可能相同。 当这两列不同频率的波在不同的介质中传播时，上面的关系式不成立。只要两种介 质中的波速之比等于它们的频率之比，两列波的波长才会相等。 7-23 已知平面简谐波的角频率为? =15.2?102 rad?s?1，振幅为 a=1.25?10?2 m，波长 为? = 1.10 m，求波速 u，并写出此波的波函数。 解 波的频率为 . 波速为 . 所以波函数可以写为 . 7-24 一平面简谐波沿 x 轴的负方向行进，其振幅为 1.00 cm，频率为 550 hz，波速 为 330 m?s?1 ，求波长，并写出此波的波函数。 解 波长为 . 波函数为 .487-25 在平面简谐波传播的波线上有相距 3.5 cm 的 a、b 两点，b 点的相位比 a 点落 后 45?。已知波速为 15 cm?s?1 ，试求波的频率和波长。 解 设 a 和 b 两点的坐标分别为 x1 和 x2，这样两点的相位差可以表示为 , 即 . 由上式可以求得波长，为 . 波的频率为 . 7-27 波源作简谐振动，位移与时间的关系为 y = (4.00?10?3 ) cos 240? t m，它所激发 的波以 30.0 m?s?1 的速率沿一直线传播。求波的周期和波长，并写出波函数。 解 设波函数为 . 已知 波长。 波的频率为 . 波的周期和波长分别为 , . 于是，波函数可以表示为 . 7-29 沿绳子行进的横波波函数为 间的单位是 s。试求： (1)波的振幅、频率、传播速率和波长； (2)绳上某质点的最大横向振动速率。 解 波函数可写为 , 其中49,,, 根据这些数据可以分别求得波的周期和，式中长度的单位是 cm，时. (1)由已知条件可以得到 , , , . (2)绳上质点的横向速率为 , 所以 . 7-30 证明公式 解 根据 和 , 。所以可以将波速的表达式作如下的演化 , 故有 . 7-31 用横波的波动方程 速和纵波的波速分别为 解 将平面简谐波波函数 分别对 x 和 t 求二阶偏导数： , (1) .(2) 将以上两式同时代入纵波波动方程[即教材中第 167 页式(7-62)]，得 , 所以50和纵波的波动方程 和 。证明横波的波. 将式(1)和式(2)同时代入横波波动方程[即教材中第 169 页式(7-64)]，得 , 所以 . 7-32 在某温度下测得水中的声速为 1.46?103 m?s?1 ，求水的体变模量。 解 已知水中的声速为 u = 1.46?103 m?s?1， 水的密度为 据代入下式 , 就可以求得水的体变模量，得 . 7-33 频率为 300 hz、 波速为 330 m?s?1 的平面简谐声波在直径为 16.0 cm 的管道中传 播，能流密度为 10.0?10?3j?s?1 ?m?2 。求： (1)平均能量密度； (2)最大能量密度； (3)两相邻同相位波面之间的总能量。 解 (1)平均能量密度 , 将已知量 度，得 . (2)最大能量密度 wmax： . (3)两相邻同相位波面之间的总能量 w：将已知量 , , 代入下式得 . 和 代入上式，就可以求得平均能量密 ：根据 ， 将这些数517-34 p 和 q 是两个以相同相位、相同频率和相同振幅在振动并处于同一介质中的 相干波源， 其频率为?、 波长为?， 和 q 相距 3?/ 2。r 为 p、q 连线延长线上的任意一点， p 试求： (1)自 p 发出的波在 r 点引起的振动与自 q 发出的 波在 r 点引起的振动的相位差； 图 7-10 (2) r 点的合振动的振幅。 解 (1)建立如图 7-10 所示的坐标系，p、q 和 r 的坐标分别为 x1、x2 和 x，p 和 q 的振动 分别为 和 . p 点和 q 点在 r 点引起的振动分别为 和 两者在 r 点的相位差为 .. 两者在 r 点的相位差也可以写为可见，p 点和 q 点在 r 点引起的振动相位是相反的，相位差为 (2) r 点的合振动的振幅为 .。可见，r 点是静止不动的。实际上，由于在??的上述表达式中不含 x，所以在 x 轴 上、q 点右侧的各点都是静止不动的。 7-35 弦线上的驻波相邻波节的距离为 65 cm，弦的振动频率为 2.3?102 hz，求波的 传播速率 u 和波长?。 解 因为相邻波节的距离为半波长，所以 . 波速为 . 7-36 在某一参考系中，波源和观察者都是静止的，但传播波的介质相对于参考系 是运动的。假设发生了多普勒效应，问接收到的波长和频率如何变化？ 解 在这种情况下，接收到的频率为52, 同时，因为 ，所以 ，即没有多普勒效应。 7-37 火车汽笛的频率为?，当火车以速率 v 通过车站上的静止观察者身边时，观察 者所接收到的笛声频率的变化为多大？已知声速为 u。 解 火车远去时，观察者所接收到的笛声频率为 , 火车迎面驶来时，观察者所接收到的笛声频率为 . 观察者所接收到的笛声频率的变化为 . [物理学 8 章习题解答] 8-3 已知 s?系相对于 s 系以?0.80c 的速度沿公共轴 x、x?运动，以两坐标原点相重合 时为计时零点。现在 s ?系中有一闪光装置，位于 x?= 10.0 km，y?= 2.5 km，z?= 1.6 km 处， 在 t?= 4.5?10?5 s 时发出闪光。求此闪光在 s 系的时空坐标。 解 已知闪光信号发生在 s ?系的时空坐标，求在 s 系中的时空坐标，所以应该将洛 伦兹正变换公式中带撇量换成不带撇量，不带撇量换成带撇量，而成为下面的形式 , , , . 将 、 和 代入以上各式，就可以求得闪光信号 在 s 系中的时空坐标： , , , . 8-4 已知 s?系相对于 s 系以 0.60c 的速率沿公共轴 x、x?运动，以两坐标原点相重合 时为计时零点。s 系中的观察者测得光信号 a 的时空坐标为 x = 56 m，t = 2.1?10?7 s，s ? 系的观察者测得光信号 b 的时空坐标为 x?= 31 m，t?= 2.0?10?7 s。试计算这两个光信号分 别由观察者 s、s ?测出的时间间隔和空间间隔。53解 在 s 系中： , 空间间隔为 . , 时间间隔为 . 在 s?系中： , 空间间隔为 . , 时间间隔为 . 8-5 以 0.80c 的速率相对于地球飞行的火箭，向正前方发射一束光子，试分别按照 经典理论和狭义相对论计算光子相对于地球的运动速率。 解 按照经典理论，光子相对于地球的运动速率为 . 按照狭义相对论，光子相对于地球的运动速率为 . 8-6 航天飞机以 0.60c 的速率相对于地球飞行，驾驶员忽然从仪器中发现一火箭正 从后方射来，并从仪器中测得火箭接近自己的速率为 0.50c。试求： (1)火箭相对于地球的速率； (2)航天飞机相对于火箭的速率。 解 (1)火箭相对于地球的速率 . (2)航天飞机相对于火箭的速率为 ?0.50c 。548-7 在以 0.50c 相对于地球飞行的宇宙飞船上进行某实验，实验时仪器向飞船的正 前方发射电子束，同时又向飞船的正后方发射光子束。已知电子相对于飞船的速率为 0.70c。试求： (1)电子相对于地球的速率； (2)光子相对于地球的速率； (3)从地球上看电子相对于飞船的速率； (4)从地球上看电子相对于光子的速率； (5)从地球上看光子相对于飞船的速率。 解 (1)电子相对于地球的速率 . (2)光子相对于地球的速率 . (3)从地球上看电子相对于飞船的速率 . (4)从地球上看电子相对于光子的速率 . (5)从地球上看光子相对于飞船的速率 . 从上面几个问题的解答中，可以让我们进一步分清我们在前面曾强调过的问题，即 相对论速度变换法则是指同一物体在两个惯性系中的速度之间的变换关系， 这完全不同 于两个物体在同一参考系中的速度的矢量差(相对速度)的计算。 8-8 一把米尺沿其纵向相对于实验室运动时，测得的长度为 0.63 m，求该尺的运动 速率。 解 该尺的运动长度可以表示为 , 将 . 8-9 飞船以相对于地球为 0.950c 的速率在宇宙中飞行， 飞船上的观察者测得飞船的 长度为 55.2 m，问地球上的观察者测得该飞船的长度为多少？ 解 地球上的观察者测得该飞船的长度为 . 、 代入上式，就可求得该尺的运动速率，为558-10 静止长度为 l0 的杆子在 s 系中平行于 x 轴并以速率 u 沿 x 轴正方向运动。现 有 s?系相对于 s 系沿 x 轴正方向以速率 v 运动，求 s?系中的观察者所测得的杆长。 解 首先求得杆子相对于 s?系的运动速率 u?， 这实际上是将杆子相对于 s 系的运动速 率 u 变换到 s?系中去的问题。根据速度变换公式(8-22)，u?可由下式表示 . s?系中的观察者所测得的杆长度为. 这个问题是杆相对于两个参考系之间的速度变换问题，必须利用洛伦兹变换。如果 认为，由于 s?系和杆分别相对于 s 系以速度 v 和 u 运动， 所以杆相对于 s?的速度就是(u ? v )，于是就用(u ? v)代替上面求得的 u?，这是不对的。如果问题是这样的：杆相对于 s 系以速度 u 运动，s?相对于 s 系以速度 v 运动，问在 s 系的观察者所测得的杆子的长度 为多大？这时的回答就是(u ? v )。上面的 8-7(3)、(4)和(5)就属于这种情况。 8-11 飞船以 0.960c 的速率从地球飞向宇宙中的一个天体，飞船上的时钟指示所用 时间为一年。问地球上的时钟记录这段时间为多长？ 解 地球上的时钟记录这段时间为 , 即 3 年 6 个月 26 天。 8-12 夫妻同龄， 岁时生一子。 30 儿子出生时丈夫要乘坐速率为 0.86c 的飞船去半人 马座?星，并且立即返回。已知地球到半人马座 ?星的距离是 4.3 l.y. (光年)，并假设飞 船一去一回都相对地球作匀速直线运动。问当丈夫返回地球时，妻子、儿子和丈夫各多 大年龄？ 解 解答见上面[例题分析]中的例题 8-1。 8-13 欧洲核研中心(cern)测得以 0.9965c 的速率沿圆形轨道运行的 ?粒子的平均寿 命为 26.15?10?6 s。求?粒子的固有寿命。 解 ?粒子的固有寿命为 . 8-14 求火箭以 0.15 c 和 0.85 c 的速率运动时，其运动质量与静止质量之比。 解 当火箭以 0.15 c 的速率运动时：56. 当火箭以 0.85 c 的速率运动时： .[物理学 9 章习题解答]9-3 两个相同的小球质量都是 m，并带有等量同号电荷 q，各用长为 l 的丝线悬挂于同一点。由于电荷的斥力作用，使小球 处于图 9-9 所示的位置。如果?角很小，试证明两个小球的间距 x 可近似地表示为.解小球在三个力的共同作用下达到平衡，这三个力分别是重力 mg、绳子的张力 t 和库仑力 f。于是可以列出下面的方程式,(1)图 9-9 ,(2)(3)因为?角很小，所以,.利用这个近似关系可以得到,(4). (5)将式(5)代入式(4)，得,57由上式可以解得.得证。 ，m = 0.010 kg，x = 5.0 cm，问每个小球所带的电量 q 为多大？9-4 在上题中， 如果 l = 120 cm解在上题的结果中，将 q解出，再将已知数据代入，可得.9-5 氢原子由一个质子和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，轨道半径是 r0 = 5.29 10??11m。质子的质量 m = 1.67?10?27kg，电子的质量m = 9.11?10?31? kg，它们的电量为 ?e =1.60?10 19c。(1)求电子所受的库仑力；(2)电子所受库仑力是质子对它的万有引力的多少倍？(3)求电子绕核运动的速率。解(1)电子与质子之间的库仑力为.(2)电子与质子之间的万有引力为.所以.(3)质子对电子的高斯引力提供了电子作圆周运动的向心力，所以,从上式解出电子绕核运动的速率，为 58.9-6 边长为 a的立方体，每一个顶角上放一个电荷 q。(1)证明任一顶角上的电荷所受合力的大小为.(2) f 的方向如何？解立方体每个顶角上放一个电荷 q，由于对称性，每个电荷的受力情况均相同。、 和 大小也是相等对于任一顶角上的电荷，例如 b 角上的 qb，它所受到的力图 9-10 的，即.首先让我们来计算的大小。由图 9-10 可见，、和对的作用力不产生 x方向的分量；对的作用力 f 的大小为1,? f1 的方向与 x 轴的夹角为 45 。对的作用力 f 的大小为2,? f2 的方向与 x 轴的夹角为 0 。对的作用力 f3 的大小为,? f3 的方向与 x 轴的夹角为 45 。59对的作用力 f4 的大小为,f4 的方向与 x 轴的夹角为?，。于是.所受合力的大小为.(2) f 的方向：f 与 x 轴、y 轴和 z 轴的夹角分别为?、? 和?，并且,.9-7 计算一个直径为 1.56 cm的铜球所包含的正电荷电量。解根据铜的密度可以算的铜球的质量.铜球的摩尔数为.该铜球所包含的原子个数为.每个铜原子中包含了 29 个质子，而每个质子的电量为 1.602?10?19c，所以铜球所带的正电荷为.609-8 一个带正电的小球用长丝线悬挂着。如果要测量与该电荷处于同一水平面内某点的电场强度 e 定 f/q0。问 f/q0，我们就把一个带正电的试探电荷 q0 引入该点，测是小于、等于还是大于该点的电场强度 e？ 是小于该点的电场强度 e 的。因为正试探电荷使带正电的小球向远离试探电荷的方向移动，q0 受力 f 减小了。解这样测得的 f / q09-9 根据点电荷的电场强度公式,当所考查的点到该点电荷的距离 r 接近零时，则电场强度趋于无限大，这显然是没有意义的。对此应作何解释？ 解 ? 0 时，带电体 q 就不能再视为点电荷了，只适用于场源为点电荷的场强公式不再适用。这时只能如实地当r将该电荷视为具有一定电荷体密度的带电体。 处的电场强度的大小为 2.0 n?c?9-10 离点电荷 50 cm1。求此点电荷的电量。解由于,所以有.9-11 有两个点电荷，电量分别为 5.0 10 7c 和 2.8 10 8c，相距 15 cm????。求：(1)一个电荷在另一个电荷处产生的电场强度；(2)作用在每个电荷上的力。解已知= 5.0 10??7c、= 2.8 10 8c，它们相距 r = 15 cm??，如图 9-11 所示。图 9-11(1)在点 b 产生的电场强度的大小为,方向沿从 a 到 b 的延长线方向。在点 a 产生的电场强度的大小为61,方向沿从 b 到 a 的延长线方向。(2)对的作用力的大小为,方向沿从 b 到 a 的延长线方向。对的作用力的大小为.方向沿从 a 到 b 的延长线方向。 的 ?q 电荷所组成的电偶极子，在下面的两个特殊空间内产生的电场强度： 处，并且 r &&l；9-12 求由相距 l(1)轴的延长线上距轴心为 r(2)轴的中垂面上距轴心为 r处，并且 r &&l。图 9-12解(1)在轴的延长线上任取一点 p，如图 9-12 所示，该点距轴心的距离为 r。p 点的电场强度为.在 r && l 的条件下，上式可以简化为.(1)令,(2)这就是电偶极子的电矩。这样，点 p 的电场强度可以表示为图 9-1362.(3)(2)在轴的中垂面上任取一点 q，如图 9-13 所示，该点距轴心的距离为 r。q 点的电场强度为也引入电偶极子电矩，将点 q 的电场强度的大小和方向同时表示出来：.9-13 有一均匀带电的细棒，长度为 l，所带总电量为 q。求： 处的电场强度，并且 a&&l；(1)细棒延长线上到棒中心的距离为 a(2)细棒中垂线上到棒中心的距离为 a处的电场强度，并且 a&&l。解(1)以棒中心为坐标原点建立如图 9-14所示的坐标系。在 x 轴上到 o 点距离为 a 处取一点 p，，该棒元到点 p在 x 处取棒元 dx，它所带电荷元为?dx 场强度为图 9-14的距离为 a? x，它在 p 点产生的电.整个带电细棒在 p 点产生的电场强度为63图 9-15,方向沿 x 轴方向。(2)坐标系如图 9-15所示。在细棒中垂线(即 y 轴)上到 o 点距离为 a 处取一点 p，由于对称性，整个细棒在 p 点产生的电场强度只具有 y 分量 ey。所以只需计算 ey 就够了。 仍然在 x 处取棒元 dx，它所带电荷元为?dx，它在 p 点产生电场强度的 y 分量为.整个带电细棒在 p 点产生的电场强度为,方向沿 x 轴方向。 的圆环均匀带电， 线电荷密度为?。求过环心并垂直 的一点的电场强度。9-14 一个半径为 r于环面的轴线上与环心相距 a解以环心为坐标原点，建立如图 9-16 所示的坐标系。在 x 轴上取一点 p，p点到盘心的距离为 a 图 9-16 强度的大小为。在环上取元段 dl，元段所带电量为 dq = ? dl，在 p 点产生的电场.由于对称性，整个环在 p 点产生的电场强度只具有 x 分量 ex。所以只需计算 ex 就够了。所以.9-15 一个半径为 r的圆盘均匀带电，面电荷密度为?。求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心相距 a 的一点的电场强度。64解取盘心为坐标原点建立如图 9-17所示的坐标系。在 x 轴上取一点p，p 点到盘心的距离为 a。为计算整个圆盘在 p 点产生的电场强度，可先在圆盘上取一宽度为 dr 结果，即的圆环，该圆环在 p 点产生的电场强度，可以套用上题的图 9-17,的方向沿 x轴方向。整个圆盘在 p 点产生的电场强度，可对上式积分求得.9-16 一个半径为 r的半球面均匀带电，面电荷密度为?。求球心的电场强度。解以球心 o为坐标原点，建立如图 9-18 所示的坐标系。在球面上取宽度为 dl 的圆环，圆环的半径为 r。显然,圆环所带的电量为图 9-18 .根据题 9-14 的结果，该圆环在球心产生的电场强度为,方向沿 x 轴的反方向。由图中可见，,, 将这些关系代入上式，得.所以,e 的方向沿 x 轴的反方向。9-19 如果把电场中的所有电荷分为两类，一类是处于高斯面 s内的电荷，其量用 q 表示，它们共同在高斯面上产生的电场强度为 e?，另一类是处于高斯面 s 外的电荷，它们共同在高斯面上产生的电场强度为 e ?，显然高斯面上任一点的电场强度 e = e ?+ e?。试证明：65(1)；(2)。解高斯面的电通量可以表示为.显然，上式中的第一项是高斯面内部电荷对高斯面电通量的贡献，第二项是高斯面外部电荷对高斯面电通 量的贡献。 高斯定理表述为“通过任意闭合曲面 s 的电通量，等于该闭合曲面所包围的电量除以?0，而与 s 以外的电荷无关。”可见， 高斯面 s 以外的电荷对高斯面的电通量无贡献。这句话在数学上应表示为. (1)所以，关系式 因为的成立是高斯定理的直接结果。,于是可以把高斯定理写为.将式(1)代入上式，即得. (2)9-20 一个半径为 r的球面均匀带电，面电荷密度为?。求球面内、外任意一点的电场强度。解由题意可知，电场分布也具有球对称性，可以用高斯定理求解。在球内任取一点， 到球心的距离为 r ，以 r1 为半径作带电球面的同心球面 s ， 如图 9-191 1所示，并在该球面上运用高斯定理，得图 9-1966,由此解得球面内部的电场强度为.在球外任取一点，到球心的距离为 r ，以 r2 为半径作带电球面的同心球面 s ，如图 9-19 所示，并在该球面上运用高斯定理，得2 2,即.由此解得,e2 的方向沿径向向外。9-21 一个半径为 r的无限长圆柱体均匀带电，体电荷密度为?。求圆柱体内、外任意一点的电场强度。 解显然，电场的分布具有轴对称性，圆柱体内、外的电场强度呈辐射状、沿径向向外，可以用高斯定理求解。在圆柱体内部取半径为 r 、长度为 l 的同轴柱面 s1(见图 9-20)作为高1斯面并运用高斯定理图 9-20.上式左边的积分实际上包含了三项，即对左底面、右底面和侧面的积分，前两项积分由于电场强度与面元 相垂直而等于零，只剩下对侧面的积分，所以上式可化为,于是得67,方向沿径向向外。用同样的方法，在圆柱体外部作半径为 r 、长度为 l 的同轴柱面 s ，如图 9-20 所示。在 s2 上运用高斯定理，得2 2.根据相同的情况，上面的积分可以化为,由上式求得,方向沿径向向外。 ??，两板相距 d。当 d 比平板自身线度小得多时，可以认为两平行板之间的电场是匀强电场，并且电荷是均匀9-22 两个带有等量异号电荷的平行平板，面电荷密度为 分布在两板相对的平面上。(1)求两板之间的电场强度；(2)当一个电子处于负电板面上从静止状态释放，经过 1.5 10??8s 的时间撞击在对面的正电板上，若 d = 2.0 cm，求电子撞击正电板的速率。解(1)在题目所说情况下， 带等量异号电荷的两平行板构成了一个电容器， 并且电场都集中在两板之间的间隙中。 作底面积为 s? 的柱状高斯面，使下底面处于两板间隙之中，而上底面处于两板间隙之外，并且与板面相平行，如图 9-21 所示。在此高斯面上运用高斯 定理，得图 9-21,由此解得两板间隙中的电场强度为.(2)根据题意可以列出电子的运动学方程68,.两式联立可以解得.9-24 一个半径为 r的球体均匀带电，电量为 q，求空间各点的电势。解先由高斯定理求出电场强度的分布，再由电势的定义式求电势的分布。在球内：，根据高斯定理，可列出下式,解得,方向沿径向向外。在球外：，根据高斯定理，可得,解得,方向沿径向向外。 球内任意一点的电势：69, ().球外任意一点的电势：,().9-25 点电荷+q和?3q 相距 d = 1.0 m，求在它们的连线上电势为零和电场强度为零的位置。解 的右侧， 也可能处于+q 的左侧，先假设在+q 的右侧 x(1)电势为零的点：这点可能处于+q 图 9-221处的 p 点，如图 9-22 所表示的那样可列出下面的方程式1.从中解得.在+q 左侧 x2 处的 p 点若也符合电势为零的要求，则有2.解得.(2)电场强度为零的点：由于电场强度是矢量，电场强度为零的点只能在 +q 的左侧，并设它距离+q 为 x，于是有.解得.709-26 两个点电荷 q1 = +40 10 9c 和 q2 = 点b???70?10?9c，相距 10 cm。设点 a 是它们连线的中点， 。求：的位置离 q 为 8.0 cm，离 q21为 6.0 cm(1)点 a的电势；图 9-23(2)点 b的电势；(3)将电量为 25 10-9? c 的点电荷由点 b 移到点 a 所需要作的功。 。解根据题意，画出图 9-23(1)点 a的电势：.(2)点 b的电势：.(3)将电荷 q从点 b 移到点 a，电场力所作的功为,电场力所作的功为负值， 表示外力克服电场力而作功。 的圆盘均匀带电， 面电荷密度为?。求过盘心并 的一点的电势， 再由电势求该点的电场9-27 一个半径为 r垂直于盘面的轴线上与盘心相距 a强度。解以盘心为坐标原点、以过盘心并垂直于盘面的轴线为 x轴， 建立如图 9-24所示的坐标系。在 x轴上任取一点 p，点 p 的坐标为 x。在盘上取半径为 r、宽为 dr 的同心圆环，该圆环所带电荷在点 p 所产生的电势可以表示为图 9-24.整个圆盘在点 p 产生的电势为.71由电势求电场强度.9-28 一个半径为 r的球面均匀带电，球面所带总电量为 q。求空间任意一点的电势，并由电势求电场强度。解在空间任取一点 p， 与球心相距 r。在球面上取薄圆环，如图 9-25 中阴影所示，该圆环所带电量为. 图 9-25该圆环在点 p 产生的电势为. (1)式中有两个变量，a 和?，它们之间有下面的关系：,微分得. (2)将上式代入式(1)，得.如果点 p 处于球外，，点 p的电势为. (3)其中q = 4?r2? .如果点 p 处于球内，，点 p的电势为. (4)72由电势求电场强度： 在球外，,,方向沿径向向外。在球内，：.9-30 如图 9-26所示，金属球 a 和金属球壳 b 同心放置，它们原先都不带电。设球 a 的半径为 r0 ，球壳 b 。求在下列情况下 a、b 的电势差：的内、外半径分别为 r1 和 r2(1)使 b 带+q；(2)使 a 带+q 图 9-26 (3)使 a 带+q；，使 b 带?q；(4)使 a 带 q? ，将 b 的外表面接地。解(1)使 b 带+q：这时 a 和 b 等电势，所以.(2)使 a 带+q：这时 b 的内表面带上了?q，外表面带上了+q，a、b 之间的空间的电场为,方向沿径向由内向外。所以.(3)使 a 带+q，使 b 带?q：这时 b 的内表面带?q，外表面不再带电，a、b 之间的空间的电场不变，所以电势差也不变，即与(3)的结果相同。(4)使 a 带 q? ，将 b 的外表面接地：这时 b 的内表面感应了+q，外表面不带电，a、b 之间的空间的电场为73,方向沿径向由外向内。所以.9-31 两平行的金属平板 a 和 b，相距 d = 5.0 mm，两板面积都是 s =150 cm2 ，带有等量异号电荷?q = 2.66?10-8 c，正极板 a 接地，如图 9-27所示。忽略边缘效应，问：(1) b 板的电势为多大？(2)在 a、b之间且距 a 板 1.0 mm 处的电势为多大？解(1)可以证明两板之间的电场强度为图 9-27.于是可以求得 b 板的电势，为.(2)根据题意，a 板接地，电势为零，两板之间的任何一点的电势都为负值。所求之点处于 a、b 之间、且到 a 板的离距为处，所以该点的电势为.9-32 三块相互平行的金属平板 a、b 地，如图 9-28和 c，面积都是 200 cm2 ，a、b 相距 4.0 mm，a、c 相距 2.0 mm，b、c 两板都接所示。若使 a 板带正电，电量为 3.0?10-7c，略去边缘效应，求：(1) b、c 两板上感应电荷的电量；(2) a 板的电势。图 9-28解 ?? ，c 板与 a1(1) a 板带电后，电荷将分布在两个板面上，其面电荷密度分别为?1 和?2。由于静电感应，b 板与 a 板相对的面上面电荷密度为对的面上面电荷密度为板相?? 。c 板和 b 板都接地，电势为零。所以2,74即. (1)式中 e 和 d 是 a、b 之间的电场强度和板面间距，e 和 d 是 a、c 之间的电场强度和板面间距。另外1 1 2 2. (2)式(1)、(2)两式联立，可以解得,.b 板上的电量为,c 板上的电量为.(2) a 板的电势.9-33 如图 9-29所示，空气平板电容器是由两块相距 0.5 mm 的薄金属片 a、b 所构成。若将此电容器放在一个金属盒 k 内，金属盒上、下两壁分别与 a、b都相距 0.25 mm，电容器的电容变为原来的几倍？解设原先电容器的电容为 c0，放入金属盒中后，形成了如图 9-30 所示的电容器的组合。根据题意，有图 9-29.75ca 与 cb 串联的等效电容为.cab 与 c0 并联的等效电容 c 就是放入金属盒中后的电容：图 9-30 .可见，放入金属盒中后，电容增大到原来的 2 倍。 、半径为 r 的圆柱形电介质，沿轴线方向均匀极化，极化强度为 p，求轴线9-34 一块长为 l上任意一点由极化电荷产生的电势。解式以圆柱体轴线的中点为坐标原点建立如图 9-31所示的坐标系，x 轴沿轴线向右。根据公图 9-31,圆柱体的右端面(a 端面)的极化电荷密度为+??，b 端面的极化电荷密度为???。它们在轴线上任意一点(坐标为 x)产生的电势可以套用题 9-27 的 结果。a 面上的极化电荷在该点产生的电势为.b 面上的极化电荷在该点产生的电势为.该点的电势应为以上两式的叠加，即.9-35 厚度为 2.00 mm的云母片，用作平行板电容器的绝缘介质，其相对电容率为 2。求当电容器充电至电压为 400 v 时，云母片表面的极化电荷密度。解云母片作为平行板电容器的电介质，厚度等于电容器极板间距。根据极板间电压，可以求得云母片内的电场强度：.云母片表面的极化电荷密度为 76.9-36 平行板电容器两极板的面积都是 s = 3.0 10-2 m2 ，相距 d = 3.0 mm。用电源对电容器充电至电压?u0 = 100 v， 然后将电源断开。现将一块厚度为 b = 1.0 mm、相对电容率为?r = 2.0 的电介质，平行地插入电容器中，求：(1)未插入电介质时电容器的电容 c0 ；(2)电容器极板上所带的自由电荷 q； ；(3)电容器极板与电介质之间的空隙中的电场强度 e1(4)电介质内的电场强度 e2 ；(5)两极板之间的电势差 u；(6)插入电介质后电容器的电容 c。解(1)未插入电介质时电容器的电容为.(2)电容器极板上所带的自由电荷为.(3)电容器极板与电介质之间的空隙中的电场强度为.(4)电介质内的电场强度为.(5)两极板之间的电势差为.(6)插入电介质后电容器的电容为.779-37 半径为 r的均匀电介质球，电容率为?，均匀带电，总电量为 q。求：(1)电介质球内、外电位移的分布；(2)电介质球内、外电场强度和电势的分布；(3)电介质球内极化强度的分布；(4)球体表面和球体内部极化电荷的电量。解电介质球体均匀带电，电荷体密度为.(1)电介质球内、外电位移的分布球内，即：,,方向沿径向向外。球外，即 ：,,方向沿径向向外。(2)电介质球内、外电场强度和电势的分布电场强度的分布球内，即：,方向沿径向向外。球外，即 ：78,方向沿径向向外。 电势的分布球内，即：.球外，即：.(3)电介质球内极化强度的分布球内，即：,方向沿径向向外。在球外 p = 0。(4)球体表面和球体内部极化电荷的电量球体表面的极化电荷密度为,极化电荷的总量为.因为整个球体的极化电荷的代数和为零，所以球体内部的极化电荷总量为?q?。 、电容率为?的均匀电介质球的中心放有点电荷 q，求： 799-38 一个半径为 r(1)电介质球内、外电位移的分布；(2)电介质球内、外电场强度和电势的分布；(3)球体表面极化电荷的密度。解(1)电介质球内、外电位移的分布,,方向沿径向向外。无论在电介质内还是在球外的真空中上式都是适用的。(2)电场强度的分布：,方向沿径向向外。：,方向沿径向向外。 电势的分布：.：80.(3)球体表面极化电荷的密度紧贴点电荷的电介质极化电荷总量为.电介质球表面上的极化电荷总量为,所以电介质表面的极化电荷密度为.9-39 图 9-32中 a 是相对电容率为?r 的电介质中离边界极近的一点，已知电介质外的真空中的电场强度为 e，其方向与界面法线 n 的夹角为?，求：(1) a 点的电场强度；(2)点 a附近的界面上极化电荷密度。解(1)求解点 a的电场强度可以分别求出点 a 电场强度的切向分量和法向分量， 而这两个分量可以根据边界条件求得。根据电场强度的切向分量的连续性可得图 9-32.根据电位移矢量的法向分量的连续性可得.点 a 的电场强度的大小为,81电场强度的方向与表面法向 n 的夹角??满足下面的关系.(2)点 a附近的界面上极化电荷密度为.9-40 一平行板电容器内充有两层电介质， 其相对电容率分别为?r1 = 4.0 和?r2= 2.0， 厚度分别为 d = 2.0 mm 和 d = 3.0 mm，1 2极板面积为 s = 5.0?10-3m2 ，两板间的电势差为 u0 = 200 v。(1)求每层电介质中的电场能量密度；(2)求每层电介质中的总电场能；(3)利用电容与电场能的关系，计算电容器中的总能量。解(1)两板间的电势差可以表示为,所以.于是可以求得电介质中的电场强度,.电介质中的能量密度为,.82(2)第一层电介质中的总电场能为.第二层电介质中的总电场能为.(3)题意所表示的电容器相当于两个电容器的串联，这两个电容器的电容分别为和.它们串联的等效电容为.电容器中的总能量为.也可以利用上面的结果来计算.两种计算方法所的结果一致。[物理学 10 章习题解答] 10-3 两个相同的小球质量都是 m，并带有等量同号电荷 q，各用长为 l 的丝线悬挂 于同一点。由于电荷的斥力作用，使小球处于图 10-9 所示的位置。如果?角很小，试证 明两个小球的间距 x 可近似地表示为 . 解 小球在三个力的共同作用下达到平衡， 这三个力分别 是重力 mg、绳子的张力 t 和库仑力 f。于是可以列出下面的 方程式 ,(1) 图 10-9 ,(2)83(3) 因为?角很小，所以 , . 利用这个近似关系可以得到 ,(4) . (5) 将式(5)代入式(4)，得 , 由上式可以解得 . 得证。 10-4 在上题中， 如果 l = 120 cm，m = 0.010 kg，x = 5.0 cm，问每个小球所带的电 量 q 为多大？ 解 在上题的结果中，将 q 解出，再将已知数据代入，可得 . 10-5 氢原子由一个质子和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电子绕 核作圆周运动，轨道半径是 r0 = 5.29?10?11m。质子的质量 m = 1.67?10?27kg，电子的质 量 m = 9.11?10?31kg，它们的电量为 ?e =1.60?10?19c。 (1)求电子所受的库仑力； (2)电子所受库仑力是质子对它的万有引力的多少倍？ (3)求电子绕核运动的速率。 解 (1)电子与质子之间的库仑力为 . (2)电子与质子之间的万有引力为 . 所以84. (3)质子对电子的高斯引力提供了电子作圆周运动的向心力，所以 , 从上式解出电子绕核运动的速率，为 . 10-6 边长为 a 的立方体，每一个顶角上放一个电荷 q。 (1)证明任一顶角上的电荷所受合力的大小为 . (2) f 的方向如何？ 解 立方体每个顶角上放一个电荷 q，由于对称性，每 个电荷的受力情况均相同。对于任一顶角上的电荷，例如 b 图 10-10 . 首先让我们来计算 由图 10-10 可见， 对 的大小。 、 和 对 的作用力不产生 x 方向的分量； 角上的 qb，它所受到的力 即 、 和 大小也是相等的，的作用力 f1 的大小为 ,f1 的方向与 x 轴的夹角为 45?。 对 的作用力 f2 的大小为 , f2 的方向与 x 轴的夹角为 0?。 对 的作用力 f3 的大小为 , f3 的方向与 x 轴的夹角为 45?。 对 的作用力 f4 的大小为 ,85f4 的方向与 x 轴的夹角为?， 于是。. 所受合力的大小为 . (2) f 的方向：f 与 x 轴、y 轴和 z 轴的夹角分别为?、?和?，并且 , . 10-7 计算一个直径为 1.56 cm 的铜球所包含的正电荷电量。 解 根据铜的密度可以算的铜球的质量 . 铜球的摩尔数为 . 该铜球所包含的原子个数为 . 每个铜原子中包含了 29 个质子， 而每个质子的电量为 1.602?10?19 c， 所以铜球所带 的正电荷为 . 10-8 一个带正电的小球用长丝线悬挂着。如果要测量与该电荷处于同一水平面内 某点的电场强度 e，我们就把一个带正电的试探电荷 q0 引入该点，测定 f/q0。问 f/q0 是 小于、等于还是大于该点的电场强度 e？ 解 这样测得的 f / q0 是小于该点的电场强度 e 的。因为正试探电荷使带正电的小球 向远离试探电荷的方向移动， q0 受力 f 减小了。 10-9 根据点电荷的电场强度公式 , 当所考查的点到该点电荷的距离 r 接近零时，则电场强度趋于无限大，这显然是没 有意义的。对此应作何解释？ 解 当 r? 0 时，带电体 q 就不能再视为点电荷了，只适用于场源为点电荷的场强公 式不再适用。这时只能如实地将该电荷视为具有一定电荷体密度的带电体。 10-10 离点电荷 50 cm 处的电场强度的大小为 2.0 n?c?1 。求此点电荷的电量。86解 由于 , 所以有 . 10-11 有两个点电荷，电量分别为 5.0?10 c 和 2.8?10?8c，相距 15 cm。求： (1)一个电荷在另一个电荷处产生的电场强度； (2)作用在每个电荷上的力。 解 已知 = 5.0?10?7c、 = 2.8?10?8c， 它们相距 r = 15 cm ，如图 10-11 所示。 图 10-11 (1) 在点 b 产生的电场强度的大小为 , 方向沿从 a 到 b 的延长线方向。 在点 a 产生的电场强度的大小为 , 方向沿从 b 到 a 的延长线方向。 (2) 对 的作用力的大小为 , 方向沿从 b 到 a 的延长线方向。 对 的作用力的大小为 . 方向沿从 a 到 b 的延长线方向。 10-12 求由相距 l 的 ?q 电荷所组成的电偶极子，在下面的两个特殊空间内产生的 电场强度： (1)轴的延长线上距轴心为 r 处，并且 r &&l； (2)轴的中垂面上距轴心为 r 处，并且 r &&l。 解 图 10-12 (1)在轴的延长线上任取一点 p，如图 10-12 所示， 该点距轴心的距离为 r。p 点的电场强度为?7. 在 r && l 的条件下，上式可以简化为87.(1) 令 ,(2) 这就是电偶极子的电矩。 这样， p 的电场强度可以表示 点 为 图 10-13 轴心的距离为 r。q 点的电场强度为 .(3) (2)在轴的中垂面上任取一点 q，如图 10-13 所示，该点距也引入电偶极子电矩，将点 q 的电场强度的大小和方向同时表示出来： . 10-13 有一均匀带电的细棒，长度为 l，所带总电量为 q。求： (1)细棒延长线上到棒中心的距离为 a 处的电场强度，并且 a&&l； (2)细棒中垂线上到棒中心的距离为 a 处的电场强度，并且 a&&l。 解 (1)以棒中心为坐标原点建立如图 10-14 所示的坐标系。 在 x 轴上到 o 点距离为 a 处取一点 p，在 x 处取棒元 dx，它 图 10-14 产生的电场强度为 . 整个带电细棒在 p 点产生的电场强度为 所带电荷元为?dx ，该棒元到点 p 的距离为 a? x，它在 p 点, 方向沿 x 轴方向。 (2)坐标系如图 10-15 所示。 在细棒中垂线(即 y 轴)上到 o 点距 离为 a 处取一点 p， 由于对称性， 整个细棒在 p 点产生的电场强度 只具有 y 分量 ey。所以只需计算 ey 就够了。 仍然在 x 处取棒元 dx，它所带电荷元为?dx，它在 p 点产生电 场强度的 y 分量为 图 10-1588. 整个带电细棒在 p 点产生的电场强度为, 方向沿 x 轴方向。 10-14 一个半径为 r 的圆环均匀带电， 线电荷 密度为?。求过环心并垂直于环面的轴线上与环心 相距 a 的一点的电场强度。 解以环心为坐标原点， 建立如图 10-16 所示的 图 10-16 在 p 点产生的电场强度的大小为 . 由于对称性，整个环在 p 点产生的电场强度只具有 x 分量 ex。所以只需计算 ex 就够 了。所以 . 10-15 一个半径为 r 的圆盘均匀带电，面电荷密度为?。求过盘心并垂直于盘面的 轴线上与盘心相距 a 的一点的电场强度。 解 取盘心为坐标原点建立如图 10-17 所示 的坐标系。在 x 轴上取一点 p，p 点到盘心的距 离为 a。为计算整个圆盘在 p 点产生的电场强 度，可先在圆盘上取一宽度为 dr 的圆环，该圆 环在 p 点产生的电场强度，可以套用上题的结 图 10-17 , 的方向沿 x 轴方向。整个圆盘在 p 点产生的电场强度，可对上式积分求得 . 果，即 坐标系。在 x 轴上取一点 p，p 点到盘心的距离为 a。在环上取元段 dl，元段所带电量为 dq = ? dl，8910-16 一个半径为 R 的半球面均匀带电，面电荷密度为?。求球心的电场强度。解 以球心 o 为坐标原点，建立如图 10-18 所示的坐标 系。在球面上取宽度为 dl 的圆环，圆环的半径为 r。显然 , 圆环所带的电量为 . 图 10-18 根据题 10-14 的结果，该圆环在球心产生的电场强度为 , 方向沿 x 轴的反方向。由图中可见， . 所以 , e 的方向沿 x 轴的反方向。 10-19 如果把电场中的所有电荷分为两类，一类是处于高斯面 s 内的电荷，其量用 q 表示，它们共同在高斯面上产生的电场强度为 e?，另一类是处于高斯面 s 外的电荷， 它们共同在高斯面上产生的电场强度为 e ?，显然高斯面上任一点的电场强度 e = e ?+ e?。 试证明： (1) (2) ； 。 , , 将这些关系代入上式，得解 高斯面的电通量可以表示为 . 显然，上式中的第一项是高斯面内部电荷对高斯面电通量的贡献，第二项是高斯面 外部电荷对高斯面电通量的贡献。 高斯定理表述为“通过任意闭合曲面 s 的电通量，等于该闭合曲面所包围的电量除 以?0，而与 s 以外的电荷无关。”可见，高斯面 s 以外的电荷对高斯面的电通量无贡献。 这句话在数学上应表示为 . (1) 所以，关系式 因为 ,90的成立是高斯定理的直接结果。于是可以把高斯定理写为 . 将式(1)代入上式，即得 . (2) 10-20 一个半径为 r 的球面均匀带电，面电荷密度为?。 求球面内、外任意一点的电场强度。 解 由题意可知，电场分布也具有球对称性，可以用高斯 定理求解。 在球内任取一点，到球心的距离为 r1，以 r1 为半径作带电 球面的同心球面 s1，如图 10-19 所示，并在该球面上运用高斯 图 10-19 定理，得 , 由此解得球面内部的电场强度为 . 在球外任取一点，到球心的距离为 r2，以 r2 为半径作带电球面的同心球面 s2，如图 10-19 所示，并在该球面上运用高斯定理，得 , 即 . 由此解得 , e2 的方向沿径向向外。 10-21 一个半径为 R 的无限长圆柱体均匀带电，体电荷密度为?。求圆柱体内、外 任意一点的电场强度。 解 显然，电场的分布具有轴对称性，圆柱体内、 外的电场强度呈辐射状、沿径向向外，可以用高斯定 理求解。 在圆柱体内部取半径为 r1、长度为 l 的同轴柱面 图 10-20 s1(见图 10-20)作为高斯面并运用高斯定理 .91上式左边的积分实际上包含了三项，即对左底面、右底面和侧面的积分，前两项积 分由于电场强度与面元相垂直而等于零，只剩下对侧面的积分，所以上式可化为 , 于是得 , 方向沿径向向外。 用同样的方法，在圆柱体外部作半径为 r2、长度为 l 的同轴柱面 s2，如图 10-20 所 示。在 s2 上运用高斯定理，得 . 根据相同的情况，上面的积分可以化为 , 由上式求得 , 方向沿径向向外。 10-22 两个带有等量异号电荷的平行平板，面电荷密度为 ??，两板相距 d。当 d 比平板自身线度小得多时，可以认为两平行板之间的电场是匀强电场，并且电荷是均匀 分布在两板相对的平面上。 (1)求两板之间的电场强度； (2)当一个电子处于负电板面上从静止状态释放，经过 1.5?10?8 s 的时间撞击在对面 的正电板上，若 d = 2.0 cm，求电子撞击正电板的速率。 解 (1)在题目所说情况下， 带等量异号电荷的两平行板构 成了一个电容器，并且电场都集中在两板之间的间隙中。 作底面积为?s 的柱状高斯面，使下底面处于两板间隙之 图 10-21 中，而上底面处于两板间隙之外，并且与板面相平行，如 图 10-21 所示。在此高斯面上运用高斯定理，得 , 由此解得两板间隙中的电场强度为 . (2)根据题意可以列出电子的运动学方程92, . 两式联立可以解得 . 10-24 一个半径为 r 的球体均匀带电，电量为 q，求空间各点的电势。 解 先由高斯定理求出电场强度的分布，再由电势的定义式求电势的分布。 在球内： ，根据高斯定理，可列出下式, 解得 , 方向沿径向向外。 在球外： ，根据高斯定理，可得 , 解得 , 方向沿径向向外。 球内任意一点的电势：, ().球外任意一点的电势： ,( 的位置。 解 (1)电势为零的点：这点可能处于+q 的右侧，也可能处 图 10-22 于+q 的左侧，先假设在+q 的右侧 x1 处的 p1 点，如图 10-22 所表示的那样可列出下面的方程式 .93).10-25 点电荷+q 和?3q 相距 d = 1.0 m， 求在它们的连线上电势为零和电场强度为零从中解得 . 在+q 左侧 x2 处的 p2 点若也符合电势为零的要求，则有 . 解得 . (2)电场强度为零的点： 由于电场强度是矢量， 电场强度为零的点只能在 +q 的左侧， 并设它距离+q 为 x，于是有 . 解得 . 10-26 两个点电荷 q1 = +40?10?9c 和 q2 = ?70?10?9c， 相距 10 cm。设点 a 是它们连线的中点，点 b 的位置离 q1 为 8.0 cm，离 q2 为 6.0 cm。求： (1)点 a 的电势； 图 10-23 要作的功。 解 根据题意，画出图 10-23。 (1)点 a 的电势： . (2)点 b 的电势： . (3)将电荷 q 从点 b 移到点 a，电场力所作的功为 , 电场力所作的功为负值，表示外力克服电场力而作功。 (2)点 b 的电势； (3)将电量为 25?10-9c 的点电荷由点 b 移到点 a 所需94图 10-2410-27 一个半径为 r 的圆盘均匀带电， 面电荷 密度为?。 求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心 相距 a 的一点的电势，再由电势求该点的电场强 度。 解 以盘心为坐标原点、 以过盘心并垂直于盘 面的轴线为 x 轴，建立如图 10-24 所示的坐标系。在 x 轴上任取一点 p，点 p 的坐标为 x。在盘上取半径为 r、宽为 dr 的同心圆环，该圆 环所带电荷在点 p 所产生的电势可以表示为 . 整个圆盘在点 p 产生的电势为 . 由电势求电场强度 . 10-28 一个半径为 r 的球面均匀带电，球面所 带总电量为 q。求空间任意一点的电势，并由电势 求电场强度。 解 在空间任取一点 p，与球心相距 r。在球面 上取薄圆环，如图 10-25 中阴影所示，该圆环所带 图 10-25 该圆环在点 p 产生的电势为 . (1) 式中有两个变量，a 和?，它们之间有下面的关系： , 微分得 . (2) 将上式代入式(1)，得 . 如果点 p 处于球外， ，点 p 的电势为 . (3) 电量为 .95其中 q = 4?r2? . 如果点 p 处于球内， ，点 p 的电势为 . (4) 由电势求电场强度： 在球外， , 方向沿径向向外。 在球内， . 10-30 如图 10-26 所示，金属球 a 和金属球壳 b 同心放置，它 们原先都不带电。设球 a 的半径为 r0 ，球壳 b 的内、外半径分别 为 r1 和 r2。求在下列情况下 a、b 的电势差： (1)使 b 带+q； 图 10-26 (2)使 a 带+q； (3)使 a 带+q，使 b 带?q； ： ,(4)使 a 带?q，将 b 的外表面接地。 解 (1)使 b 带+q：这时 a 和 b 等电势，所以 . (2)使 a 带+q：这时 b 的内表面带上了?q，外表面带上了+q，a、b 之间的空间的电 场为 , 方向沿径向由内向外。所以 . (3)使 a 带+q，使 b 带?q：这时 b 的内表面带?q，外表面不再带电，a、b 之间的空 间的电场不变，所以电势差也不变，即与(3)的结果相同。 (4)使 a 带?q，将 b 的外表面接地：这时 b 的内表面感应了+q，外表面不带电，a、b 之间的空间的电场为 , 方向沿径向由外向内。所以96. 10-31 两平行的金属平板 a 和 b，相距 d = 5.0 mm，两板面积都是 s =150 cm2 ，带有等 量异号电荷?q = 2.66?10-8 c，正极板 a 接地，如图 10-27 所示。忽略边缘效应，问： (1) b 板的电势为多大？ (2)在 a、b 之间且距 a 板 1.0 mm 处的电势为多大？ 解 (1)可以证明两板之间的电场强度为 图 10-27 . 于是可以求得 b 板的电势，为 . (2)根据题意，a 板接地，电势为零，两板之间的任何一点的电势都为负值。所求之 点处于 a、b 之间、且到 a 板的离距为 . 10-32 三块相互平行的金属平板 a、b 和 c，面积都是 200 cm2 ， a、b 相距 4.0 mm，a、c 相距 2.0 mm，b、c 两板都接地，如图 10-28 所示。若使 a 板带正电，电量为 3.0?10-7c，略去边缘效应，求： (1) b、c 两板上感应电荷的电量； (2) a 板的电势。 图 10-28 解 (1) a 板带电后，电荷将分布在两个板面上，其面电荷密度分别 为?1 和?2。由于静电感应，b 板与 a 板相对的面上面电荷密度为 ??1，c 板与 a 板相对 的面上面电荷密度为??2。c 板和 b 板都接地，电势为零。所以 , 即 . (1) 式中 e1 和 d1 是 a、b 之间的电场强度和板面间距，e2 和 d2 是 a、c 之间的电场强度 和板面间距。另外 . (2) 式(1)、(2)两式联立，可以解得 处，所以该点的电势为,97. b 板上的电量为 , c 板上的电量为 . (2) a 板的电势 . 10-33 如图 10-29 所示，空气平板电容器是由两块相距 0.5 mm 的薄金属片 a、b 所 构成。 若将此电容器放在一个金属盒 k 内， 金属盒上、 下两壁分别与 a、 都相距 0.25 mm， b 电容器的电容变为原来的几倍？ 解 设原先电容器的电容为 c0， 放入金属盒中后， 形成 了如图 10-30 所示的电容器的组合。根据题意，有 . 图 10-29 ca 与 cb 串联的等效电容为 . cab 与 c0 并联的等效电容 c 就是放入金属盒中后的电容： . 图 10-30 可见，放入金属盒中后，电容增大到原来的 2 倍。 10-34 一块长为 l、半径为 r 的圆柱形电介质，沿轴线方向均匀 解 以圆柱体轴线的中点为坐标原点建立如图 10-31 所示的坐标系，x 轴沿轴线向右。根据公式 , 图 10-31 圆柱体的右端面(a 端面)的极化电荷密度为+??， 端 b 面的极化电荷密度为???。 它们在轴线上任意一点(坐标为极化，极化强度为 p，求轴线上任意一点由极化电荷产生的电势。x)产生的电势可以套用题 10-27 的结果。a 面上的极化电荷在该点产生的电势为 . b 面上的极化电荷在该点产生的电势为 . 该点的电势应为以上两式的叠加，即98. 10-35 厚度为 2.00 mm 的云母片，用作平行板电容器的绝缘介质，其相对电容率为 2。求当电容器充电至电压为 400 v 时，云母片表面的极化电荷密度。 解 云母片作为平行板电容器的电介质，厚度等于电容器极板间距。根据极板间电 压，可以求得云母片内的电场强度： . 云母片表面的极化电荷密度为 . 10-36 平行板电容器两极板的面积都是 s = 3.0?10 m ，相距 d = 3.0 mm。用电源 对电容器充电至电压 u0 = 100 v， 然后将电源断开。现将一块厚度为 b = 1.0 mm、相 对电容率为?r = 2.0 的电介质，平行地插入电容器中，求： (1)未插入电介质时电容器的电容 c0 ； (2)电容器极板上所带的自由电荷 q； (3)电容器极板与电介质之间的空隙中的电场强度 e1 ； (4)电介质内的电场强度 e2 ； (5)两极板之间的电势差 u； (6)插入电介质后电容器的电容 c。 解 (1)未插入电介质时电容器的电容为 . (2)电容器极板上所带的自由电荷为 . (3)电容器极板与电介质之间的空隙中的电场强度为 . (4)电介质内的电场强度为 . (5)两极板之间的电势差为 . (6)插入电介质后电容器的电容为 .-2 29910-37 半径为 r 的均匀电介质球，电容率为?，均匀带电，总电量为 q。求： (1)电介质球内、外电位移的分布； (2)电介质球内、外电场强度和电势的分布； (3)电介质球内极化强度的分布； (4)球体表面和球体内部极化电荷的电量。 解 电介质球体均匀带电，电荷体密度为 . (1)电介质球内、外电位移的分布 球内，即 ： , , 方向沿径向向外。 球外，即 ： , , 方向沿径向向外。 (2)电介质球内、外电场强度和电势的分布 电场强度的分布 球内，即 ： , 方向沿径向向外。 球外，即 , 方向沿径向向外。 电势的分布 球内，即 ： ：. 球外，即 ：100. (3)电介质球内极化强度的分布 球内，即 ： , 方向沿径向向外。 在球外 p = 0。 (4)球体表面和球体内部极化电荷的电量 球体表面的极化电荷密度为 , 极化电荷的总量为 . 因为整个球体的极化电荷的代数和为零，所以球体内部的极化电荷总量为?q?。 10-38 一个半径为 r、电容率为?的均匀电介质球的中心放有点电荷 q，求： (1)电介质球内、外电位移的分布； (2)电介质球内、外电场强度和电势的分布； (3)球体表面极化电荷的密度。 解 (1)电介质球内、外电位移的分布 , , 方向沿径向向外。 无论在电介质内还是在球外的真空中上式都是适用的。 (2)电场强度的分布 ： , 方向沿径向向外。 ： , 方向沿径向向外。 电势的分布101： . ： . (3)球体表面极化电荷的密度 紧贴点电荷的电介质极化电荷总量为 . 电介质球表面上的极化电荷总量为 , 所以电介质表面的极化电荷密度为 . 10-39 图 10-32 中 a 是相对电容率为?r 的电介质中离边界极近的一点，已知电介质 外的真空中的电场强度为 e，其方向与界面法线 n 的夹角为?，求： (1) a 点的电场强度； (2)点 a 附近的界面上极化电荷密度。 解 (1)求解点 a 的电场强度可以分别求出点 a 电场强度的切 向分量 求得。 根据电场强度的切向分量的连续性可得 图 10-32 . 根据电位移矢量的法向分量的连续性可得 . 点 a 的电场强度的大小为 , 电场强度的方向与表面法向 n 的夹角??满足下面的关系 . (2)点 a 附近的界面上极化电荷密度为 .102和法向分量，而这两个分量可以根据边界条件10-40 一平行板电容器内充有两层电介质，其相对电容率分别为?r1 = 4.0 和?r 2= 2.0， 厚度分别为 d1 = 2.0 mm 和 d2= 3.0 mm，极板面积为 s = 5.0?10-3m2 ，两板间的电势差为 u0 = 200 v。 (1)求每层电介质中的电场能量密度； (2)求每层电介质中的总电场能； (3)利用电容与电场能的关系，计算电容器中的总能量。 解 (1)两板间的电势差可以表示为 , 所以. 于是可以求得电介质中的电场强度 , . 电介质中的能量密度为 , . (2)第一层