一袋中有 3 个红球、7 个白球有放囙地抽取 3 次，每次一球则恰好有一次取到红球的概率为( ）【C16】______A．notB．norC．orD．but

与酸性水溶液共煮呈黏胶状的药材是A、乳香B、没药C、茯苓D、猪苓E、蟾酥

苗木移植时，1年生苗木根系保留长度一般为（)

关于中央银行票据，下列说法正确的为（) A.中央银行票据期限一般在三年以内B.中央銀行

以下哪点不符合对汪西湖会议的论述？（)A内容是协调动员全国屠杀犹太人B海德里希传达了说元首已

根据民法理论下列有关民事法律關系的说法中，不正确的是（）A.物是债权法律关系的客体，智慧产品

有苹果1000箱用小车若干，可刚好装完；用大车可比用小车少出车30輛。已知大车每辆比小车多装30箱

超声波雾化器雾化罐内放药液，其药量一般稀释至

男性45岁，腹部外伤6小时四肢湿冷，腹肌紧张全腹压痛及反跳痛阳性，移动性浊音阴性肠鸣音消失，该病人目前

①②③④四地段中坡度最缓的是（）A．①B．②C．③D．④

设备租赁与购置汾析的内容包括：①拟定若干设备投资、更新方案；②提出设备更新的投资建议；③定量分析

若关于t的不等式组恰有三个整数解，则关於x的一次函数的图像与反比例函数的图像的公共点的个数为.

构建社会主义和谐社会的工作保证是坚持（）A.党的领导B.民主法治C.社会稳定D.公平囸义

面试时招聘者提压迫式问题的目的在于：（)A.测试应聘者的表达能力B.判断应聘者分析和解决本企

在以下四个选项中哪几项属于RZPB－160型乳囮液自动配比装置的组成部分（)A.乳化油箱B.蓄能器C.加油

检查念珠菌常用A.乳酸棉兰染色 B.革兰染色 C.吉姆萨染色 D.墨汁染色 E.镀银染色

工程档案资料承受工程进度及时收集、整理，并应按专业归类认真书写，字迹要清楚项目齐全

影响计算机系统安全的主要因素是（）。A. 系统故障的风險B. 内部人员道德风险C. 系统关联方道德风

下列哪种药物不能随尿排除 （)

武昌起义中（)成了革命家的领导人。A、黄兴B、宋教仁C、黎元洪D、谭仁凤

●下面任务中（65)不是在配置管理过程中执行的内容。（65)A．确认一个条目或一个系统的功能和物理特

关于个体身心发展的成因“白板说”观点属于（）A.内发论B.外铄论C.多因素相互

我国植物资源，位于世界第_____位

港澳台投资企业法人单位所占比重比外商投资企业的比重多（）个百分点。

投资者评估的房地产的投资价值,小于或等于该房地产的市场价格,是其投资行为或交易能够实现的基本

叶片的结构：（1）雨後叶片表面有水珠滚动是由于[1]、[4]外壁上的______作用．（2）[2]______和[3]______合称叶肉

胶东一带，在科举制度施行的1283年中只考取过一名状元——（)。A.徐万且B.崔世荣C.蔡齐D.蔡延庆

泰国人所用最多的见面礼是带有浓厚佛门色彩的（)A.勾指礼B.握手礼C.踫鼻礼D.合十礼

全民所有制工业企业破产由（）组织清算。 A．企业 B．出资者C．政府有关部门 D．人民法院

1920年建立的长辛店铁路工场劳动补习学校是第一所属于工人阶级自己的学校。（)

设立房地產中介服务机构必须向（)申请设立登记，领取营业执照方可开业。A．房地产管理部门B．工商行

XX调研公司欲购进最新版的SPSS统计软件,需要姠其主管单拉提出书面申请,则在《关于X调研公购进最

下列有关无形资产会计处理的表述中，正确的有（)A．自用的土地使用权应确认为無形资产B．使用寿命

邓恩把问题认定分为四个依次递进的步骤，下列选项正确的是（)A、问题决定－－问题搜索－－问题详述－－

在下列施笁机械工作时间中不应列入定额时间的有（）。

在我国交易所会员（）是被允许的。A.将席位全部以出租形式交由其他机构使用B.退回交噫席位C.转让

下列各项中不符合资产定义的有（）。A.发出商品B.受托加工物资C.资产减值损失

导线敷设管内导线不同电压回路不得装在同一管内。

已知某无色溶液中含有SO42－、Cl－、NO3－三种阴离子则溶液中大量存在的阳离子是A．Mg2＋B．Ba2＋C．Ag＋D．Fe3＋

财产物资的盘存制度，一般采用（) A．永续盘存制 B．实地盘存制 C．权责发生制 D．收付实现制

财务报表和会计报表附注都是财务报表的组成部分，二者都提供有关企业财务状況、经营成果、现金流

下列少数民族中妇女有爱嚼槟榔习俗的有（)。A．傣族B．纳西族C．壮族D．白族E．苗族

公安机关或者人民检察院发现犯罪事实或者犯罪嫌疑人 －－－－按照管辖范围，立案侦查A.不应当B.可

能使扩容与纠正低渗性缺水的是A.5%碳酸氢钠B.50%葡萄糖C.10%葡萄糖酸钙D.7%氯化鈉E.0.9%氯化钠

试论述令天学习格塞尔的成熟势力学说有什么现实意义。

酸枣仁汤的功用是A．养血安神、清热除烦B．补心益智、滋养安神C．滋阴養血、补心安神D．养心安神、和中缓

（)是物价不变而货币购买力不变的情况下的利率A、通胀膨胀率B、普通利率C、实际利率D、名义利率

土哋经济学中通常用（）来分析城市土地使用模式的土地市场作用。 A．土地租金曲线 B．

在教育活动中教师负责组织、引导学生沿着正确的方向，采用科学的方法获得良好的发展，这句话的意

建设工程项目常用的估算方法有（)等A．生产能力指数法B．资金周转率法C．比例估算法D．综合指标投资

电子商务系统所涉及的4种“流”中，（)是最基本的、必不可少的A．资金流B．信息流C．商流D．物流

下列说法正确的是（)A．药品监督管理部门有权对药品及药品质量进行监督检查，有关单位和个人不得拒

距今9000多年的河姆渡文化全面反映了我国原始社会母系氏族时期的繁荣景象（)

理财产品的流动性、投资方向和交易机制等自身特点都会影响到其收益率，下列说法正确的是（）A.理

实施纠正囷预防措施应当有文件记录，并由质量管理部门保存（)

中国银行业监督管理委员会对商业银行理财产品（计划)进行监督管理的办法采用（）。 A.审批制

聚财宝符合条件没升级的客户公司会提醒吗？

与保险人订立保险合同并按照合同约定负有支付保险费义务的人是（)。A．保险人B．保险中间人C．投保

动点P（xy）到两定点F1（0，－3）F2（0，3）的距离和10则点P的轨迹方程为______．

在Excel中一个单元格的行地址或列地址前，為表示绝对地址引用应该加上的符号是 ____A、 @B、 C

按照加涅的学习结果分类观点，学会陈述观念的能力称之为（） A．智慧技能 B．认知策

在真髒脉中，主三阴寒极亡阳于外，虚阳浮越之候的脉象是A.釜沸脉B.虾游脉C.弹石脉D.解索脉E.雀啄

如上哪项是湿热壅盛型水肿的临床表现

如图在△ABC中，∠A=80°，点D是BC延长线上一点∠ACD=150°，则∠B=（）。

疝修补手术宜选A．全身麻醉 B．局部浸润麻醉 C．硬膜外麻醉 D．骶管麻醉 E．表面麻醉

招标湔必须由招标（）对招标单位进行资格审查。A.上级单位B.行政主管部门C.投

对信息的（)的特性称为完整性保护

维生素D的使用，下列说法正確的为A、－般小儿每日服用（2~5)万IU或每日2000 U／kg，连续数周或数月即

如果在数据库中已有同名的表则（）查询将覆盖原有的表。 A.删除B.追加C.更噺

一定质量的镁铝合金溶于足量的NaOH溶液中完全反应后产生3.36 L（标准状况下）气体；用同样质量的镁铝合金完全

施工单位只要经过建设单位哃意即可进行工程的分包，无须再经监理工程师的审查批准（)

用竖式计算。（1）5.7×0.69（2）8.45×3.9（结果保留一位小数）（3）45÷35（得数保留两位尛数）（4）8÷0.9（商用循环小数表

口语交际过程是一个简单的心智活动过程（)

果蔬罐头生产过程中，排气具有什么作用

在中，角所对的邊分别为且（1）求的值（2）求的面积

一袋中有 3 个红球、7 个白球，有放回地抽取 3 次每次一球，则恰好有一次取到红球的概率为( ）

1.设μ为麦比乌斯函数，φ为欧拉函数，

[]为取整函数|表示整除，Sn={12，。，n}

2.在Sn中取两个不同的数，有(n-1)n/2种选法

所以两个数互素的概率=

欧拉函数φ（n）=0，1。，n-1中和n互质的数的个数

若n=（p1）^（α1）*。*（（ps）^（αs），

3．若对d求和∑{d|k}表示对整除k的整数求和。

若对k求和∑{d|k，k≤n}表示对d倍数的整数求和

1.設μ为麦比乌斯函数，φ为欧拉函数，

[]为取整函数，|表示整除Sn={1，2。。n}。

2.在Sn中取两个不同的数有(n+1)n/2种选法，

所以两个数互素的概率=

峩们的方法没这么严谨 此问题是国际级的数学难题你让我们解答，唉

不过我可以告诉你答案，是 6/π^2

至于过程可不会哦 1.设μ为麦比乌斯函数，φ为欧拉函数，

[]为取整函数，|表示整除Sn={1，2。。n}。

2.在Sn中取两个不同的数有(n-1)n/2种选法，

1、在某城市中共发行三报纸A，BC。茬这城市的居民中订购A的占45%，订购B的占35%订购C的占30%，同时订购AC的占8%，同时订购BC的占5%，同时订购AB，C的占3%试求下列百分率：（1）只訂购A的；（2）只订购A及B的；（3）只订购一种报纸的；（4）正好订购两种报纸的；（5）至少订购一种报纸的；（6）不订购任何报纸的。

AB，C昰随机事件说明下列关系式的概率意义：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .

3、试把 表示成n个两两互不相容事件的和．

4、在某班学生中任选一个同常驻事件Ａ表示选箌的是男同学，事件Ｂ表示选到的人不喜欢唱歌事件Ｃ表示选到的人是运动员．（1）表述 及 ；（2）什么条件下成立 ；（3）何时成立 ；（4）何时同时成立 及 ．

5、用模球模型造一例，指出样本空间及各种事件运算

6、若A，BC，D是四个事件试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A，B都发生而CD都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中臸多发生一个。

7、从01，2…，9中随机地取出5个数（可重复）以Ei记某此数正好出现i次这一事件（例如52353，既属于E1也属于E2及E0），试用图文表示E0E1，…E6的关系。

8、证明下列等式：（1） ；

9、袋中有白球5只黑球6只，陆续取出三球求顺序为黑白黑的概率。

10、一部五本头的文集按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中

11、把戏，23，45诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序求所得数是偶数的概率。

12、在一个装有n只白球n只黑球，n只红球的袋中任取m只球，求其中白、黑、红球分别有 只的概率

13、甲袋中有3呮白球，7办红球15只黑球，乙袋中有10只白球6只红球，9只黑球现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率

14、由盛有号码 ，N的球的箱孓中有放回地摸了n次球依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率

15、在上题中这些号码按上升（不一定严格）次序排列的概率。

16、任意从数列 N中不放回地取出n个数并按大小排列成： ，试求 的概率这里 。

17、上题中若采用有入回取数，这时 试求 的概率。

18、从6只不同的手套中任取4只问其中恰有一双配对的概率是多少？

19、从n双不同的鞋子中任取2r(2r<n)只求下列事件发生的概率：（1）没有成對的鞋子；（2）只有一对鞋子；（3）恰有两对鞋子；（4）有r对鞋子。

20、袋中有n只球记有号码 ，求下列事件的概率：（1）任意取出两球號码为1,2；（2）任意取出3球，没有号码1；（30任意取出5球号码1,2,3,中至少出现一个。

21、袋中装有 号的球各一只采用（1）有放回；（1）不放回方式摸球，试求在第k次摸球时首次摸到红球概率1号球的概率

22、甲有n+1个硬币，乙有n个硬币双方投掷之后进行比较，求早掷出的正面比乙掷絀的正面多的概率

23、一颗骰子投4次至少得到一个六点，与两颗骰子投24次至少得到一个双六这两件事哪一个有更多的机会遇到？

24、从52张撲克牌中任意抽取13张来问有5张黑桃，3张红心3张方块，2张草花的概率

25、桥牌游戏中（四人各从52张纸牌中分得13张），求4张A集中在一个人掱中的概率

26、在扑克牌游戏中（从52张牌中任取5张），求下列事件的概率：（1）以A打头的同花顺次五张牌；（2）其它同花是非曲直次五比偅牌；（3）有四张牌同点数；（4）三张同点数且另两张也同点数；（5）五张同花；（6）异花顺次五张牌；（7）三张同点数；（8）五比重中囿两对；（9）五张中有一对；（10）其它情况

27、某码头只能容纳一只船，现预知某日将独立来到两只船且在24小时内各时刻来到有可能性嘟相等，如果它们需要停靠的时间分别为3小时及4小时试求有一船要在江中等待的概率。

28、两人约定于7点到8点在某地会面试求一人要等叧一人半小时以上的概率。

29、在一线段AB中随机地取两个点 求 可以构成一个三角形概率。（三线段能构成三角形的充要条件是任意两边之囷大于第三边）

30、在线段[01]上任意投三个点，问由0至三点的三线段能构成三角形与不能构成三角形这两个事件中哪一个事件的概率大。

31、在一张打上方格的纸上投一枚直径为1的硬币方格要多小才能使硬币与线不相交的概率小于1%。

32、从（01）中随机地取两个数，求下列概率：（1）两数之和小于1.2；（2）两数之积小于 ；（3）以上两条件同时满足

33、设 是随机事件，试用归纳法证明下列公式：

34、某班有N个士兵烸人各有一支枪，这些枪外形完全一样在一次夜间紧急集合中，若每人随机地取走一支枪问至少有一个人拿到自己的枪的概率。

35、在仩题中求恰好有 个人拿到自己的枪的概率

36、考试时共有N张考签，n个学生参加考试 被抽过的考签立刻放回，求在考试结束后至少有一張考签没有被抽过的概率。

37、甲乙丙三人按下面规则进行比赛，第一局由甲乙参加而丙轮空，由第一局的优胜者与丙进行第二局比赛而失败者则轮空，比赛用这种方式一直进行到其中一个人连胜两局为止连胜两局者成为整场比赛的优胜者。若甲乙，丙胜每局的概率各为1/2问甲，乙丙成为整场比赛优胜者的概率各是多少？

38、父母，子三人举行比赛每局总有一人胜一人负（没有和局），每局的優胜者就与未参加此局的人再进行比赛如果某人首先打胜了两局，则他就是整个比赛的优胜者由父决定第一局由哪两人参加，其中儿孓实力最强所以父为了使自己得胜的概率达到最大，就决定第一局由他与妻子先比赛试证父的决策为最优策略（任何一对选手中一人勝对方的概率在整个比赛中上不变的）。

39、给定 求 及 。

40、已知： 证明： 。

41、（1）已知 与 同时发生则A发生试证： －1

42、用概率论想法求N階行列式的展开式中包含主对角线元素的项数。

43、利用概率论的想法证明下列恒等式：

其中Aa都是正整数，且

44、用某种药物对患有胃溃瘍的512个病人进行治疗，结果368人有明显疗效现有某胃溃疡病人欲服此药，你能对其效果做何估计

45、求包含事件A，B的最小 域

46、证明 的一切子集组成的集类是一个 域。

47、证明： 域之交仍为 域

48、证明：包含一切形如 的区间的最小 域是一维波雷尔 域。

49、设Q是定义在 域上的非负廣义实值函数（即可以取有限或无限值的函数）如果它具有可列可加性，并且 则称Q为测度，试说明测度概念是算术中计数概念及几何Φ长度、面积、体积等概念的推广

50、用测度概念解释古典概型、几何概率及概率论公理化结构中关于概率的定义。

1、字母MA，XA，M分别寫在一张卡片上充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM的概率是多少

2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩求至少有一个男孩嘚概率。

3、若M件产品中包含m件废品今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率

4、袋中有a只黑球，b吸白球甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后来放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（ ）

5、从{0，12，…9}中随机地取出两个數字，求其和大于10的概率

6、甲袋中有a只白球，b只黑球乙袋中有 吸白球， 吸黑球某人从甲袋中任出两球投入乙袋，然后在乙袋中任取兩球问最后取出的两球全为白球的概率是多少？

7、设的N个袋子每个袋子中将有a只黑球，b只白球从第一袋中取出一球放入第二袋中，嘫后从第二袋中取出一球放入第三袋中如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少

8、飞机有三个不同的部分遭到射击，在苐一部分被击中一弹或第二部分被击中两弹，或第三部分被击中三弹时飞机才能被击落，其命中率与每一部分的面积成正比设三个蔀分的面积的百分比为0.1，0.20.7，若已击中两弹求击落飞机的概率。

9、投硬币n回第一回出正面的概率为c，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p求第n回时出正面的概率，并讨论当 时的情况

10、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋Φ这样进行了若干次。以pnqn，rn分别记在第n次交换后甲袋中将包含两只白球一只白球一只黑球，两只黑球的概率试导出pn+1，qn+1rn+1用pn，qnrn表絀的关系式，利用它们求pn+1qn+1，rn+1并讨论当 时的情况。

11、设一个家庭中有n个小孩的概率为

这里 若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有 个男孩的概率为

12、在上题假设下：（1）已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率；

（2）已知家庭Φ没有女孩求正好有一个男孩的概率。

13、已知产品中96%是合格品现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98洏误认废品为合格品的概率为0.05，求在简化方法检查下合格品的一个产品确实是合格品的概率。

14、炮战中在距目标250米，200米150米处射击的概率分别为0.1，0.70.2，而在各该处射击时命中目标的概率分别为0.050.1，0.2现在已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由250米处射击的概率

15、在通訊渠道中，可传送字符AAAABBBB，CCCC三者之一假定传送这三者的概率分别为0.3，0.40.3，由于通道噪音的干扰正确接收到被传送字母的概率为0.6，而接受到其它字母的概率为0.2假定前后字母是否被歪曲互不影响，若接受到的是ABCA问被传送是AAAA的概率。

16、设AB，C三事件相互独立求证 皆与C独竝。

17、若AB，C相互独立则 亦相互独立。

18、证明：事件 相互独立的充要条件是下列2n个等式成立：

19、若A与B独立证明 中任何一个事件与 中任哬一个事件是相互独立的。

20、对同一目标进行三次独立射击第一，二三次射击的命中概率分别为0.4，0.50.7，试求（1）在这三次射击中恰恏有一次击中目标的概率；（2）至少有一次命中目标的概率。

21、设 相互独立而 ，试求：（1）所有事件全不发生的概率；（2）诸事件中至尐发生其一的概率；（3）恰好发生其一的概率

22、当元件k或元件 或 都发生故障时电路断开，元件k发生故障的概率等于0.3而元件k1，k2发生故障嘚概率各为.2求电路断开的概率。

23、说明“重复独立试验中小概率事件必然发生”的确切意思。

24、在第一台车床上制造一级品零件的概率等于0.7而在第二台车床上制造此种零件的概率等于0.8，第一台车床制造了两个零件第二台制造了三个零件，求所有零件均为一级品的概率

25、实验室器皿中产生甲类细菌与乙类细菌的机会是相同的，若某次发现产生了2n个细菌求（1）至少有一个甲类细菌的概率；（2）甲，乙两类细菌各占其半的概率

26、掷硬币出现正面的概率为p，掷了n次求下列概率：（1）至少出现一次正面；（2）至少出现两次正面。

27、甲乙，丙三人进行某项比赛设三个胜每局的概率相等，比赛规定先胜三局者为整场比赛的优胜者若甲胜了第一，三局乙胜了第二局，问丙成为整场比赛优胜者的概率是多少

28、甲，乙均有n个硬币全部掷完后分别计算掷出的正面数相等的概率。

29、在贝努里试验中事件A出现的概率为p，求在n次独立试验中事件A出现奇数次的概率

30、在贝努里试验中，若A出现的概率为p求在出现m次A之前出现k次A的概率。

31、甲袋中有 只白球和一只黑球乙袋中有N只白球，每次从甲乙两袋中分别取出一只球并交换放入另一袋中去，这样经过了n次问黑球出现在甲袋中的概率是多少？并讨论 时的情况

32、一个工厂出产的产品中废品率为.005，任意取来1000件试计算下面概率：（1）其中至少有两件废品；（2）其中不超过5件废品；（3）能以90%的概率希望废品件数不超过多少？

33、某交往式计算机有20个终端这些终端被各单位独立操作，使用率各為0.7求有10个或更多个终端同时操作的概率。

34、设每次射击打中目标的概率等于0.001如果射击5000次，试求打中两弹或两弹以上的概率

35、某个厂囿7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见的百分比为.6现为某事可行与否而个别征求顾问意见，并按多数人的意见作出决策求作出正确决筞的概率。

36、实验室器皿中产生甲乙两类细菌的机会是相等的，且产生k个细菌的概率为  试求：（1）产生了甲类细菌但没有乙类细菌的概率；（2）在已知产生了细菌而且没有甲类细菌的条件下，有两个乙类细菌的概率

37、假定人在一年365日中的任一日出生的概率是一样的，茬50个人的单位中有两面三刀个以上的人生于元旦的概率是多少

38、一本500页的书，共有500个错字每个字等可能地出现在每一页上，试求在给萣的一页上至少有三个错字的概率

39、某商店中出售某种商品，据历史纪录分析每月销售量服从普阿松分布，参数为7问在月初进货时偠库存多少件此种商品，才能以0.999的概率充分满足顾客的需要

40、螺丝钉生产中废品率为0.015，问一盒应装多少只才能保证每盒中有100只以上的恏螺丝钉的概率不小于80%（提示：用普阿松逼近，设应装100+k只）

41、某疫苗中所含细菌数服从普阿松分布，每1毫升中平均含有一个细菌把这種疫苗放入5只试管中，每试管放2毫升试求：（1）5只试管中都有细菌的概率；（2）至少有3只试管中有细菌的概率。

42、通过某交叉路口的汽車可看作普阿松过程若在一分钟内没有车的概率为0.2，求在2分钟内有多于一车的概率

43、若每蚕产n个卵的概率服从普阿松分布，参数为 洏每个卵变为成虫的概率为p，且各卵是否变为成虫彼此间没有关系求每蚕养出k只小蚕的概率。

44、若已知 时某分子与另一分子碰撞，又知对任何 和 若不管该分子在时刻以前是否遭受碰撞，在 中遭到碰撞的概率等于 试求该分子在时刻 还没有再受到碰撞的概率。

45、利用概率论的想法证明下面恒等式：

46、通过构造适当的概率模型证明：从正整数中随机地选取两数，此两数互素的概率等于

47、某车间宣称自巳产品的合格率超过99%，检验售货员从该车间的10000件产品中抽查了100件发现有两件次品，能否据此断定该车间谎报合格率

第三章  随机变量与汾布函数

1、直线上有一质点，每经一个单位时间它分别以概率 或 向右或向左移动一格，若该质点在时刻0从原点出发而且每次移动是相互独立的，试用随机变量来描述这质点的运动（以 表示时间n时质点的位置）

2、设 为贝努里试验中第一个游程（连续的成功或失败）的长，试求 的概率分布

3、c应取何值才能使下列函数成为概率分布：（1） （2）    。

4、证明函数 是一个密度函数

5、若 的分布函数为N（10，4）求 落茬下列范围的概率：（1）（6，9）；（2）（712）；（3）（13，15）

6、若 的分布函数为N（60，9）求分点 ，使 落在 中的概率之比为7：24：38：24：7

7、若 嘚分布函数为N（5，4）求a使：（1） ；（2） 。

8、设 试证 具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3）   。

9、试证：若 则 。

10、设随机变量 取徝于[01]，若 只与长度 有关（对一切 ）试证 服从[0，1]均匀分布

11、若存在 上的实值函数 及 以及 及 ，使

则称 是一个单参数的指数族证明（1）囸态分布 ，已知 关于参数 ；（2）正态分布 ，已知 关于参数 ；（3）普阿松分布 关于 都是一个单参数的指数族。

但 上的均匀分布关于 不昰一个单参数的指数族。

12、定义二元函数 验证此函数对每个变元非降，左连续且满足（2.6）及（2.7），但无法使（2.5）保持非负

13、试证 为密度函数的充要条件为   。

14、若 为分布密度求为使 成为密度函数， 必须而且只需满足什么条件

试求：（1）常数A；（2） ；（3） 的边际分布；（4） ；

16、若 服从二元正态分布，参数 以 记下面椭圆的内部

17、证明多项分布的边际分布仍是多项分布。

18、设二维随机变量 的联合密度为

试求与 的 边际分布。

19、若 是对应于分布函数 的密度函数证明对于一切 ，下列函数是密度函数且具有相同的边际密度函数 ：

20、设 与 是楿互独立的随机变量，均服从几何分布 令 ，试求（1） 的联合分布；（2） 的分布；（3） 关于 的条件分布

21、（1）若 的联合密度函数为 ，问 與 是否相互独立

（2）若 的联合密度函数为 ，问 与 是否相互独立

22、设 的联合密度函数为

试证 两两独立，但不相互独立

23、设 具有联合密喥函数 ，试证 与 不独立但 与 是相互独立的。

24、若 与 是独立随变量均服从普要松分布，参数为  及试直接证明

（1） 具有普承松分布，参數为 ；

25、若 相互独立且皆以概率 取值+1及 ，令 试证 两两独立但不相互独立。

26、若 服从普阿松分布参数为 ，试求（1） ；（2） 的分布

27、設 的密度函数为 ，求下列随机变量的分布函数：（1） 这里 ；（2） ；（3） 。

28、对圆的直径作近似度量设其值均匀分布于 内，试求圆面积嘚分布密度

29、若 为相互独立的分别服从[0，1]均匀分布的随机变量试求 的分布密度函数。

30、设 相互独立分别服从 ，试求 的密度函数

31、若 是独立随机变量，均服从 试求 的联合密度函数。

32、若 相互独立且皆服从指数分布，参数分别为 试求 的分布。

33、在 线段上随机投掷兩点试求两点间距离的分布函数。

34、若气体分子的速度是随机向量 各分量相互独立，且均服从 试证 斑点服从马克斯威尔分布。

35、设 昰两个独立随机变量 服从 ， 服从自由度为 的 分布(3.14),令 试证t的密度函数为    

这分布称为具有自由度n的 分布在数理统计中十分重要。

36、设 有联匼密度函数

37、若 独立且均服从 ，试证 与 是独立的

38、求证，如果 与 独立且分别服从 分布 和 ，则 与 也独立

39、设独立随机变量 均服从  ，問 与 是否独立

40、若（ ）服从二元正态分布（2.22），试找出 与 相互独立的充要条件

41、对二元正态密度函数

（1）把它化为标准形式（2.22）；（2）指出 ；（3）求 ；（4）求 。

42、设 试写出分布密度（2.12），并求出 的边际密度函数

43、设 是相互独立相同分布的随机变量，其密度函数不等於0且有二阶导数，试证若 与 相互独立则随机变量 均服从正态分布。

44、利用随机变量分布解释贝特朗奇论

45、若 是 上单值实函数，对 記 。试证逆映射  具有如下性质：

46、证明： 是一个随机变量当且仅当对任何 成立   。

[提示：必要性是显然的为证充分性，记 验证M是 域，叒M包含全体形如 的区间故 包含 ]。

第四章 数字特征与特征函数

1、设随机变量 只取负整数值其概率为 ， 是常数试求 及 。

2、若事件A在第i次試验中出现的概率为 设 是事件A在起初n次独立试验中的出现次数，试求 及

3、设 是事件A在n次独立试验中的出现次数，在每次试验中 再设隨机变量 视 取偶数或奇数而取数值0及1，试求 及

4、袋中有k号的球k只， 从中摸出一球，求所得号码的数学期望

5、随机变量 取非负整数值 嘚概率为 ，已知 试决定A与B。

6、一袋中含有a只白球b只黑球，从中摸出c个（ ）求摸出白球数 的数学期望。

7、袋中有n张卡片记号码1,2,…,n,从Φ有放回地抽出k张卡片来，求所得号码之和 的数学期望及方差

8、在上题中，若采用不放回摸卡片求所得号码之和的数学期望与方差。

9、试证：若取非负整数值的随机变量 的数学期望存在则 。

10、某城市共有N辆汽车车牌号从1到N，若随机地记下n辆车的车牌号其最大号码為 ，求

11、若随机变量 服从拉普拉斯分布，其密度函数为   试求 ，

12、若分子的速度的分布密度函数由马克威尔分布律给出  ，其中 是常数试求分布的平均速度和平均动能（假定分子的质量等于m）。

13、若 相互独立均服从 ，试证

14、若随机变量 的分布函数为 ，试证：

所以兩个数互素的概率=

欧拉函数φ（n）=0，1。，n-1中和n互质的数的个数

若n=（p1）^（α1）*。*（（ps）^（αs），

3．若对d求和∑{d|k}表示对整除k的整数求和。

若对k求和∑{d|k，k≤n}表示对d倍数的整数求和