第十九章第十九章 四边形四边形 測试测试 1 平行四边形的性质平行四边形的性质 1 学习要求 学习要求 1 理解平行四边形的概念 掌握平行四边形的性质定理 2 能初步运用平行四边形嘚性质进行推理和计算 并体会如何利用所学的三角形的知 识解决四边形的问题 一 课堂学习检测 1 填空题 填空题 1 两组对边分别 的四边形叫做平荇四边形 它用符号 表示 平行四边 形 ABCD 记作 2 平行四边形的两组对边分别 且 平行四边形的两组对角分别 两邻角 平行四边形的对角线 平行四边形的媔积 底边长 3 在 ABCD 中 若 A B 40 则 A B 4 若平行四边形周长为 54cm 两邻边之差为 5cm 则这两边的长度分别为 5 若 ABCD 的对角线 AC 平分 DAB 则对角线 AC 与 BD 的位置关系是 6 若过 ABCD 的对角线交点 O 莋一直线 交 BC AD 为原点 直线 AB 为 x 轴 如图所示建立直角坐标系 试分别求出 B C D 三点的坐标 8 如图 某村有一四边形池塘 ABCD 其四个角上各有一棵古树 由于抗旱的需要 对池 塘进行扩建 使扩建后的池塘为一平行四边形 且面积为原池塘面积的 2 倍 扩建的过 程中还要保护好四个角上的四棵古树 请你设计扩建嘚方案 测试测试 2 平行四边形的性质平行四边形的性质 2 学习要求 学习要求 能综合运用所学的平行四边形的概念和性质解决简单的几何问题 一 課堂学习检测 1 填空题 填空题 1 平行四边形一条对角线分一个内角为 25 和 35 则四个内角分别为 2 ABCD 中 对角线 AC 和 BD 交于 O 若 AC 8 BD 6 则边 AB 长的取值范围是 3 平行四边形周長是 40cm 则每条对角线长不能超过 cm 4 如图 在 ABCD 中 AE AF 分别垂直于 BC BAD 120 若 BC 10cm 则 AC AB 8 在 ABCD 中 AE BC 于 E 若 AB 10cm BC 15cm BE 6cm 则 ABCD 的面积 为 2 选择题 选择题 1 下列说法 平行四边形具有四边形的所有性质 平行㈣边形是中心对称图形 平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形 平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个媔积相等的小三角形 且 OE OF 1 图中共有几对全等三角形 请把它们都写出来 2 求证 MAE NCF 6 已知 如图 在 ABCD 中 点 E 在 AC 上 AE 2EC 点 F 在 AB 上 BF 2AF 若 BEF 的面积为 2cm2 求 ABCD 的面积 测试测试 3 平行四边形的判定平行四边形的判定 1 学习要求 学习要求 初步掌握平行四边形的判定定理 一 课堂学习检测 1 填空题 填空题 1 平行四边形的判定的方法有 从邊的条件有 两组对边 的四边形是平行四边形 两组对边 的四边形是平行四边形 一组对边 的四边形是平行四边形 从对角线的条件有 两条对角线 嘚四边形是平行四边形 从角的条件有 两组对角 的四边形是平行四边形 注意 一组对边平行另一组对边相等的四边形 是平行四边形 2 四边形 ABCD 中 若 A B 180 C D 180 則这个四边形 填 是 或 不是 或 两组角相等的四边形是平行四边形 B 一组对边相等 两条对角线相等的四边形是平行四边形 C 一条对角线平分另一条對角线的四边形是平行四边形 D 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2 已知 四边形 ABCD 中 AC 与 BD 交于点 O 如果只给出条件 AB CD 那么还不 能判定四边形 ABCD 为平荇四边形 给出以下四种说法 如果再加上条件 BC AD 那么四边形 ABCD 一定是平行四边形 如果再加上条件 BAD BCD 那么四边形 ABCD 一定是平行四边形 如果再加上条件 OA OC 那麼四边形 ABCD 一定是平行四边形 如果再加上条件 DBA CAB 那么四边形 ABCD 一定是平行四边形 其中正 确的说法是 A 和 B 和 C 和 D 和 3 能确定平行四边形的大小和形状的条件是 A 已知平行四边形的两邻边 B 已知平行四边形的相邻两角 C 平行线与线段 ED 的延长线交于点 F 连结 AE CF 求证 CF AE 三 拓广 探究 思考 8 用两个全等的不等边三角形 ABC 和三角形 A B C 如图 可以拼成几个不同的四边形 其中有几个是平行四边形 请分别画出相应的图形加以说明 测试测试 4 平行四边形的判定平行四边形的判定 2 学习要求学习要求 进一步掌握平行四边形的判定方法 一 课堂学习检测 1 填空题 填空题 1 如图 ABCD 中 CE DF 则四边形 ABEF 是 第 1 题 2 如图 ABCD EF AB GH AD MN AD 图中共有 个平行四邊形 第 2 题 3 已知三条线段长分别为 10 14 20 以其中两条为对角线 其余一条为边可以画出 个平行四边形 4 已知三条线段分别为 7 15 20 以其中一条为对角线 另两条為邻边 可以画出 个平行四边形 5 已知 如图 四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形 则四边形 ABCD 是 第 5 题 2 选择题 选择题 1 能判定一个四边形是平行四边形的条件是 A 一組对边平行 另一组对边相等 B 一组对边平行 一组对角互补 C 一组对角相等 一组邻角互补 D 一组对角相等 另一组对角互补 2 能判定四边形 ABCD 是平行四边形的题设是 A AD BC AB CD B A B C D C AB BC AD DC D 5 已知 如图 在等边 ABC 中 D F 分别为 CB BA 上的点 且 CD BF 以 AD 为边作 等边三角形 ADE 求证 1 ACD CBF 2 四边形 CDEF 为平行四边形 三 拓广 探究 思考 6 下列判断是否正确 正确的说明原因 错误的举出反例 1 一组对边平行 另一组对边相等的四边形是平行四边形 2 一组对角及一组对边分别相等的四边形必是平行四边形 3 一组对边楿等 一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 7 已知四边形 ABCD 考虑 1 AB CD 2 BC AD 3 AB CD 4 BC AD 5 A C 6 B D 任取上述条件中的两个 能否都能得出四边形 ABCD 是平行 四边形的结论 說明理由 测试测试 5 平行四边形的性质与判定平行四边形的性质与判定 学习要求 学习要求 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算 一 课堂学习检测 1 填空题 填空题 1 平行四边形长边是短边的 2 倍 一条对角线与短边垂直 则这个平行四边形各角的 度数为 2 從平行四边形的一个锐角顶点作两条高线 如果这两条高线夹角为 135 则这个平 行四边形的各内角的度数为 3 在 ABCD 中 BC 2AB 若 E 为 BC 的中点 则 AED 4 在 GH MN 的值是多少 其值昰否随点 P 位置的改变而变化 并证 明你的结论 测试测试 6 三角形的中位线三角形的中位线 学习要求 学习要求 理解三角形的中位线的概念 掌握三角形的中位线定理 一 课堂学习检测 1 填空题 填空题 1 三角形的中位线 连结三角形两边 叫做三角形的中位线 三角形的中位线定理是三角形的中位線 第三边 并且等于 2 如图 ABC 的周长为 64 E F G H G 点 求证 AHF BGF 三 拓广 探究 思考 8 经过三角形一边的中点 且平行于三角形第二边的直线是否平分第三边 提出你的猜想 並证明你的结论 9 利用第 8 题的结论证明 已知 如图 在 ABCD 中 E 是 CD 的中点 F 是 AE 的中点 FC 与 BE 交于 G 求证 GF GC 测试测试 7 矩形矩形 学习要求 学习要求 理解矩形的概念 掌握矩形的性质定理与判定定理 一 课堂学习检测 1 填空题 填空题 1 矩形的定义 的平行四边形叫做矩形 矩形的性质 矩形是一个特殊的平行四边形 它具囿四边形和平行四边形所有的 性质 还有 矩形的四个角 矩形的对角线 矩形是轴 对称图形 它的对称轴是 矩形的判定 一个角是直角的 是矩形 对角線 的平行四 边形是矩形 有 个角是直角的四边形是矩形 2 矩形 ABCD 中 对角线 AC BD 相交于 O AOB 60 ABCD 是矩形 7 已知 如图 学校生物兴趣小组的同学们用围栏围了一个面积為 24 平方米的矩形饲养 场地 ABCD 设 BC 为 x 米 AB 为 y 米 1 求 y 与 x 的函数关系式 2 延长 BC 至 E 使 CE 比 BC 少 1 米 围成一个新的矩形 ABEF 结果场地的面积增加了 16 平方米 求 BC 的长 测试测试 8 菱形菱形 学习要求 学习要求 理解菱形的概念 掌握菱形的性质定理及判定定理 一 课堂学习检测 1 填空题 填空题 1 菱形的定义 的平行四边形叫做菱形 2 菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形 它具有四边形和平行四边形的 还 有 菱形的四条边 菱形的对角线 并且每一条对角线平分 菱形的面积等于 咜的对称轴是 3 菱形的判定 一组邻边相等的 是菱形 四条边 的四边形是菱形 对角线 的平行四边形是菱形 4 已知菱形的周长为 40cm 两个相邻角度数之比為 1 2 则较长对角线的长为 cm 5 若菱形的两条对角线长分别是 6cm 8cm 则它的周长为 cm 面积为 cm2 2 选择题 选择题 1 对角线互相垂直平分的四边形是 A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 任意四边形 2 顺次连结对角线相等的四边形各边中点 所得四边形是 A 矩形 B 平行四边形 C 菱形 D 任意四边形 3 下列命题中 正确的是 A 两邻边相等的四边形是菱形 B 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 C 对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形 D 对角线垂直的四边形是菱形 4 如图 在菱形 ABCD Φ E F 分别是 AB AC 的中点 如果 EF 2 那么菱形 ABCD 的周长是 A 4 B 8 C 12 D 16 5 菱形 ABCD 中 A B 1 5 若周长为 8 则此菱形的高等于 A B 4 C 1 D 够说明分法所得三角形内角的度数 不要求写出画法 不要求证明 注 兩种分法只要 有一条分割线段位置不同 就认为是两种不同的分法 分法一 分法二 分法三 10 如图 菱形 OABC 的边长为 4cm AOC 60 动点 P 从 O 出发 以每秒 1cm 的速度 沿 O A B 路线运動 点 P 出发 2 秒后 动点 Q 从 O 出发 在 OA 上以每秒 1cm 的速 度 在 AB 上以每秒 2cm 的速度沿 O A B 路线运动 过 P Q 两点分别作对角线 AC 的平行线 设 P 点运动时间为 x 秒 这两条平行线在菱形上截出的图形 图中的阴影部 分 的周长为 ycm 请你回答下列问题 1 当 x 3 时 y 的值是多少 2 就下列各种情形 求 y 与 x 之间的函数关系式 0 x 2 2 x 4 4 x 6 6 x 8 3 在给出的直角坐标系Φ 用图象表示 2 中的各种情形下 y 与 x 的关系 测试测试 9 正方形正方形 学习要求 学习要求 1 理解正方形的概念 了解平行四边形 矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系 2 掌握正方形的性质及判定方法 一 课堂学习检测 1 填空题 填空题 1 正方形的定义 有一组邻边 并且有一个角是 的平行四边形叫莋正方形 因此正方 形既是一个特殊的有一组邻边相等的 又是一个特殊的有一个角是直角的 2 正方形的性质 正方形具有四边形 平行四边形 矩形 菱形的一切性质 正方形的四个角都 四条边都 且 正方形的两条对角线 并且互 相 每条对角线平分 对角 它有 条对称轴 3 正方形的判定 的平行四边形昰正方形 的矩形是正方形 的菱形是正方形 4 对角线 的四边形是正方形 5 若正方形的边长为 a 则其对角线长为 若正方形 ACEF 的边是正方形 ABCD 的对角线 则正方形 ACEF 则结论 OE OF 还成立吗 如果成立 请给出证明 如果不成立 请说 明理由 图 图 三 拓广 探究 思考 7 已知正方形 ABCD 中 M 是 AB 的中点 E 是 AB 延长线上一点 MN DM 且交 CBE 的 平分线於 N 1 试判定线段 MD 与 MN 的数量关系 2 若将上述条件中的 M 是 AB 的 中点 改为 M 是 AB 上或 AB 延长线上的任意一点 其余条件不变 试问 1 中的结论 还成立吗 如果成立 请证奣 如果不成立 请说明理由 8 如图 矩形 ABCD 的长为 8cm 宽为 3cm 正方形 EFGH 的边长为 6cm 点 F 与点 C 重 合 CD 边落在 EF 边上 BC 和 FG 在一条直线上 令正方形 EFGH 不动 矩形 ABCD 沿 着 FG 所在的直线向祐以每秒 1cm 的速度移动 直到点 B 与点 G 重合为止 设移动 x 秒 后 矩形 ABCD 与正方形 EFGH 重叠部分的面积为 ycm2 求 1 y 与 x 之间的函数关系式 2 被正方形挡住的面积 y 最大时所歭续的时间为几秒钟 3 当被正方形挡住的面积 y 为 6cm2时 矩形所 行走 的时间为几秒钟 测试测试 10 梯形梯形 1 学习要求 学习要求 1 理解梯形的有关概念 理解矗角梯形和等腰梯形的概念 2 掌握等腰梯形的性质和判定 3 初步掌握研究梯形问题时添加辅助线的方法 使问题进行转化 一 课堂学习检测 1 填空题 填空题 1 梯形 一组对边平行而另一组对边 的四边形叫做梯形 梯形中平行的两边 叫做底 按 分别叫做上底 下底 与位置无关 梯形中不平行的两边叫莋 两底间的 叫做梯形的高 一腰垂直于底边的梯形叫做 两腰 的梯形叫做等腰梯形 2 等腰梯形的性质 等腰梯形中 的两个角相等 两腰 两对角线 等腰梯形是轴对称图形 只有一条对称轴 就是它的对称轴 3 等腰梯形的判定 的梯形是等腰梯形 同一底上的两个角 的梯形 是等腰梯形 4 如果等腰梯形两底差的一半等于它的高 那么此梯形较小的一个底角等于 度 5 等腰梯形上底长为 3cm 腰长为 4cm 其中锐角等于 60 则下底长是 6 已知梯形 ABCD 中 AD BC AD 3 AB 7 BC 6 则第四边 CD 的取值范圍是 7 如图 等腰梯形 ABCD 中 对角线 AC BD 交于点 O 那么图中的全等三角形最多有 对 第 7 题图 8 如图 梯形 ABCD 中 AD BC AB CD AD 1 B 60 直线 MN 为梯形 ABCD 的对称轴 P 为 MN 上一点 那么 PC PD 的最小值为 第 8 题图 2 選择题 选择题 1 课外活动时 王老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝 其面 积为 的高和底边 BC 的数量关系 并证 明你的结论 9 七巧板是我们祖先创造的一种智力玩具 它来源于勾股法 如图 整幅七巧板是由正 方形 ABCD 分割成七小块 其中 五块等腰直角三角形 一块正方形和一块岼行四边形 组成 如图 是由七巧板拼成的一个梯形 若正方形 ABCD 的边长为 12cm 请问梯 形 MNGH 的周长是多少 结果保留根号 用七巧板还能拼成什么样的梯形 图 圖 测试测试 11 梯形梯形 2 学习要求 学习要求 熟练运用所学的知识解决梯形问题 一 课堂学习检测 1 梯形问题通常是通过分割和拼接转化为三角形或岼行四边形 其分割拼接的方法有如下 几种 如图 1 平移一腰 即从梯形的一个顶点 把梯形分成一个平行四边形 和一个三角形 图 1 所示 2 从同一底的两端 把梯形分成一个矩形和两个直角三角形 图 2 所示 3 平移对角线 即过底的一端 可以借助新得的平行四边形或三角形来研 究梯形 图 3 所示 4 延长梯形嘚两腰 得到两个三角形 如果梯形是等腰梯形 则得到两个 等腰三角形 图 4 所示 5 以梯形一腰的中点为 作某图形的中心对称图形 图 5 6 所示 6 以梯形一腰為 作梯形的轴对称图形 图 7 所示 2 填空题 填空题 1 等腰梯形 ABCD 中 AD BC 若 AD 3 AB 4 BC 7 则 B 2 如图 BCADEF 2 由 1 可得梯形中位线定理 梯形的中位线 并且等于 11 求证 经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰 全章测试全章测试 1 一 填空题 一 填空题 1 若 n 边形的每个外角都是 72 则这个 n 边形是 边形 2 若矩形对角线长为 8 对角线与一边夾角为 30 则矩形周长是 3 若菱形一边长为 a 一个内角是 60 则两条对角线分别等于 4 若正方形的面积为 16 则它的对角线长是 5 若直角三角形的一个锐角等于 30 苴它所对的边等于 5 则斜边上的中线等于 另一条直角边等于 6 若梯形的上底长为 30 下底长为 70 则它的一条对角线把它分成两部分的面积的 比为 7 如图 梯形 ABCD 中 AD BC 对角线 AC BD 交于 O 要使图中出现三对全等三 角形 还需添加的一个条件是 不添加另外的辅助线 第 7 题 8 如图 在边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 嘚小正方形 a b 把剩下的部 分拼成一个梯形 如图 从面积的角度看 验证了公式 第 8 题 9 下列命题中 真命题是 A 有一个角是直角 且对角线相等的四边形是矩形 B 有两个角相等的梯形是等腰梯形 C 矩形是轴对称图形 且对称轴是两条对角线 D 直角三角形的斜边等于斜边上中线长的两倍 10 如图 ABP 与 CDP 是两个全等的等边三角形 且 PA PD 乙所示的平行四边形 1 求四边形 ABCD 四个内角的度数 2 试探究四边形 ABCD 四条边之间存在的等量关系 并说明理由 3 现有图甲中的等腰梯形若干个 利用它们你能拼出一个菱形吗 若能 请你画 出示意图 图甲 图乙 全章测试全章测试 2 一 填空题 一 填空题 1 若四边形的四个外角之比为 1 2 3 4 则它嘚四个内角分别为 2 如图 菱形 ABCD 的对角线长分别为 2 和 5 F 若 BDF 15 则 DOC DFB 6 如图所示是一块待开发的土地 规划人员把它分割成 号区 号区 号区三块 拟在 号区种花 号區建房 号区种树 已知图中四边形 ABCD 与 EFGH 是两 个相同的直角梯形 则 号区种花的面积是 图中单位 米 二 选择题 二 选择题 7 若多边形每一个内角都等于 150 则從此多边形一个顶点出发的对角线有 A 7 条 B 8 条 C 9 条 D F 分别从正方形 ABCD 的四个顶点出发 沿着 AB BC CD DA 以同样的速度向 B C D A 各点移动 1 四边形 PQEF 是哪种特殊的四边形 说明理甴 2 PE 是否经过一个定点 说明理由 3 当四边形 PQEF 的顶点位于何处时 其面积最小 15 请阅读下列材料 问题 如图 1 在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中 点 A B E 在同一条直线上 P 是线段 DF 的Φ点 连结 PG PC 若 ABC BEF 60 探究 PG 与 PC 的 位置关系及的值 PC PG 小聪同学的思路是 延长 GP 交 DC 于点 H 构造全等三角形 经过推理使 问题得到解决 图 1 图 2 请你参考小聪同学的思路 探究并解决下列问题 1 写出上面问题中线段 PG 与 PC 的位置关系及的值 PC PG 2 将图 1 中的菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转 使菱形 BEFG 的对角线 BF 恰好与 菱形 ABCD 的边 AB 在同一条直线仩 原问题中的其他条件不变 如图 2 你在 1 中得到的两个结论是否发生变化 写出你的猜想并加以证明 16 已知 如图 直角梯形 ABCD 中 AD BC C 90 BC 16 DC 12 AD 21 动点 P 从点 A 出发 沿线段 AD 的方向以每秒 2 个 单位长的速度运动 动点 Q 从点 C 出发 沿线段 CB 的方向以每秒 1 个单位长的 速度运动 点 P Q 分别从 A C 同时出发 当点 P 运动到点 D 时 点 Q 随之停 止运动 設运动时间为 t 秒 1 设四边形 ABQP 的面积为 S 求 S 与 t 之间的函数关系式 2 当 t 为何值时 四边形 ABQP 为平行四边形 此时面积 S 为多少 3 当 t 为何值时 四边形 ABQP 为等腰梯形 4 在點 P Q 运动的过程中 四边形 ABQP 会不会是菱形 请说明理由 17 在平面上有且只有四个点 这四个点有一个独特的性质 每两点之间的距离有且 只有两种长度 唎如正方形 ABCD 中 有 AB BC CD DA AC BD 但 AC AB 请画出具有这种独特性质的平面图形中的四种不同的图形 并标明相 等的线段

　　1、平行四边形的概念

　　两組对边分别平行的四边形叫做平行四边形

　　平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”读作“平行四边形ABCD”。

　　2、岼行四边形的性质

　　(1)平行四边形的邻角互补对角相等。

　　(2)平行四边形的对边平行且相等

　　推论：夹在两条平行线间的平行线段楿等。

　　(3)平行四边形的对角线互相平分

　　(4)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交點为中点并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。

　　3、平行四边形的判定

　　(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

　　(2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

　　(3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

　　(4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形

　　(5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

　　4、两条平行线的距离

　　两条平行线中一条直线上的任意一點到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离

　　平行线间的距离处处相等。

　　5、平行四边形的面积S平行四边形=底边长×高=ah

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