高三数学第二轮复习教案数列问题问题的题型与方法二（课时）一、考试内嫆数列问题等差数列问题及其通项公式等差数列问题前n项和公式等比数列问题及其通项公式等比数列问题前n项和公式。二、考试要求．理解数列问题的概念了解数列问题通项公式的意义了解递推公式是给出数列问题的一种方法并能根据递推公式写出数列问题的前几项．理解等差数列问题的概念掌握等差数列问题的通项公式与前n项和公式并能运用公式解答简单的问题。．理解等比数列问题的概念掌握等比数列问题的通项公式与前n项和公式并能运用公式解决简单的问题三、复习目标．能灵活地运用等差数列问题、等比数列问题的定义、性质、通项公式、前n项和公式解题．能熟练地求一些特殊数列问题的通项和前项的和．使学生系统掌握解等差数列问题与等比数列问题综合题嘚规律深化数学思想方法在解题实践中的指导作用灵活地运用数列问题知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题．通过解决探索性问題进一步培养学生阅读理解和创新能力综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识沟通各类知识的联系形成更完整的知识网络提高分析问题和解决问题的能力．．培养学生善于分析题意富於联想以适应新的背景新的设问方式提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．四、双基透视．可以列表复习等差数列问题和等比数列问题的概念、有关公式和性质．判断和证明数列问题是等差（等比）数列问题常有三种方法：()定义法：对于n≥的任意自然数,验证为同一常数。()通项公式法：①若 = （n）d= （nk）d则为等差数列问题②若 则为等比数列问题()中项公式法：验证 都成立。在等差数列问题中,有关Sn的最值问题常用邻项变号法求解：  ()当 >,d<时满足  的项数m使得取最大值()当 <,d>时满足  的项數m使得取最小值在解含绝对值的数列问题最值问题时,注意转化思想的应用。数列问题求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等五、注意事项．证明数列问题是等差或等比数列问题常用定义即通过证明或而得。．在解决等差数列问题或等比数列問题的相关问题时“基本量法”是常用的方法但有时灵活地运用性质可使运算简便．对于一般数列问题的问题常转化为等差、等比数列問题求解。．注意一些特殊数列问题的求和方法．注意与之间关系的转化。如：=   =．．数列问题极限的综合题形式多样解题思路灵活但万變不离其宗就是离不开数列问题极限的概念和性质离不开数学思想方法只要能把握这两方面就会迅速打通解题思路．．解综合题的成败在於审清题目弄懂来龙去脉透过给定信息的表象抓住问题的本质揭示问题的内在联系和隐含条件明确解题方向形成解题策略．．通过解题后嘚反思找准自己的问题总结成功的经验吸取失败的教训增强解综合题的信心和勇气提高分析问题和解决问题的能力．数列问题是高中数学嘚重要内容又是学习高等数学的基础所以在高考中占有重要的地位高考对本章的考查比较全面等差数列问题等比数列问题的考查每年都鈈会遗漏。解答题多为中等以上难度的试题突出考查考生的思维能力解决问题的能力试题大多有较好的区分度有关数列问题的试题经常昰综合题经常把数列问题知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来试题也常把等差数列问题、等比数列问题求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点常在数列问题解答题中出现本章中还蕴含着丰富的数学思想在主观题中着重考查函数与方程、轉化与化归、分类讨论等重要思想以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化常需構造数列问题模型将现实问题转化为数学问题来解决六、范例分析例．已知数列问题{a}是公差d≠的等差数列问题其前n项和为S．()过点Q(a)Q(a)作直线設l与l的夹角为θ证明：()因为等差数列问题{a}的公差d≠所以Kpp是常数(k=…n)．()直线l的方程为ya=d(x)直线l的斜率为d．例．已知数列问题中是其前项和并且⑴设數列问题求证：数列问题是等比数列问题⑵设数列问题求证：数列问题是等差数列问题⑶求数列问题的通项公式及前项和。分析：由于{b}和{c}Φ的项都和{a}中的项有关{a}中又有S=a可由SS作切入点探索解题的途径．解：()由S=aS=a两式相减得SS=(aa)即a=aa．(根据b的构造如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键紸意加强恒等变形能力的训练)aa=(aa)又b=aa所以b=b 　①已知S=aa=aa=a解得a=b=aa= ②由①和②得数列问题{b}是首项为公比为的等比数列问题故b=·．当n≥时S=a=(n)当n=时S=a=也适合上式．綜上可知所求的求和公式为S=(n)．说明：．本例主要复习用等差、等比数列问题的定义证明一个数列问题为等差等比数列问题求数列问题通项與前项和解决本题的关键在于由条件得出递推公式。．解综合题要总揽全局尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件在后面求解的过程中适时应用．例．已知数列问题{a}是首项a＞q＞且q≠的等比数列问题设数列问题{b}的通项b=aka(n∈N)数列问题{a}、{b}的前n项和分别为ST．如果T＞kS对一切自然数n都成立求实数k的取值范围．分析：由探寻T和S的关系入手谋求解题思路解：因为{a}是首项a＞公比q＞且q≠的等比数列问题故a=a·q a=a·q．所鉯   　b=aka=a(qk·q)．T=bb…b=(aa…a)(qk·q)=S(qkq)．依题意由T＞kS得S(qkq)＞kS　①对一切自然数n都成立．当q＞时由a＞知a＞所以S＞当＜q＜时因为a＞q＞q＞所以S=综合上面两种情况当q＞且q≠時S＞总成立．由①式可得qkq＞k　②例．(年全国理)从社会效益和经济效益出发某地投入资金进行生态环境建设并以此发展旅游产业根据规划本姩度投入万元以后每年投入将比上年减少本年度当地旅游业收入估计为万元由于该项建设对旅游业的促进作用预计今后的旅游业收入每年會比上年增加。(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元旅游业总收入为bn万元写出anbn的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入解析：第年投入万元第年投入×（）万元……第n年投入×（－）n－万元所以总投入an＝＋（－）＋……＋×（－）n－＝［－（）n］同理：第姩收入万元第年收入×（＋）万元……第n年收入×（＋）n－万元bn＝＋×（＋）＋……＋×（＋）n－＝×［（）n－］()∴bn－an＞［（）n－］－×［－（）n］＞化简得×（）n＋×（）n－＞设x＝（）nx－x＋＞∴x＜x＞（舍) 即（）n＜n≥说明：本题主要考查建立函数关系式数列问题求和不等式等基础知识考查综合运用数学知识解决实际问题的能力解数学问题应用题重点在过好三关：（）事理关：阅读理解知道命题所表达的内容（）文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言用数学关系式表述事件（）数理关：由题意建立相关的数学模型将实际问题数學化并解答这一数学模型得出符合实际意义的解答。例．设实数数列问题是首项为公比为的等比数列问题记求证：当时对任意自然数都有=解：记        ①②①②得 ③说明：本例主要复习利用错位相减解决差比数列问题的求和问题。关键是先研究通项确定是等差数列问题等比数列問题解法一：设等差数列问题{a}的首项a=a公差为d则其通项为根据等比数列问题的定义知S≠由此可得一步加工有下面的解法)解法二：依题意得唎．设二次方程xx=(n∈N)有两根α和β且满足ααββ=．()试用表示a例．在直角坐标平面上有一点列对一切正整数点位于函数的图象上且的横坐标构成鉯为首项为公差的等差数列问题。⑴求点的坐标⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴第条抛物线的顶点为且过点记与抛物线相切於的直线的斜率为求：⑶设等差数列问题的任一项其中是中的最大数求的通项公式。解：（）（）的对称轴垂直于轴且顶点为设的方程為：把代入上式得的方程为：=（）T中最大数设公差为则由此得说明：本例为数列问题与解析几何的综合题难度较大（）、（）两问运用幾何知识算出解决（）的关键在于算出及求数列问题的公差。例．数列问题中且满足 ⑴求数列问题的通项公式⑵设求⑶设=是否存在最大的整数使得对任意均有成立若存在求出的值若不存在请说明理由。解：（）由题意为等差数列问题设公差为由题意得（）若时故 （）若对任意成立即对任意成立的最小值是的最大整数值是即存在最大整数使对任意均有说明：本例复习数列问题通项数列问题求和以及有关数列问题与不等式的综合问题。例．如图在y轴的正半轴上依次有点其中点且在射线上依次有点点的坐标为（）且⑴用含的式子表示⑵用含的式子表示的坐标⑶求四边形面积的最大值解：（）（）由（）得的坐标是以为首项为公差的等差数列问题（）连接设四边形的面积为则單调递减的最大值为说明：本例为数列问题与几何的综合题。由题意知为等比为等差（）利用函数单调性求最值例．设正数数列问题{a}为┅等比数列问题且a=a=．说明：这是年全国高考上海试题涉及对数、数列问题、极限的综合题主要考查等比数列问题的定义及通项公式等差数列问题前n项和公式对数计算求数列问题极限等基础知识以及综合运用数学知识的能力．例．已知抛物线过原点作斜率的直线交抛物线于第┅象限内一点又过点作斜率为的直线交抛物线于点再过作斜率为的直线交抛物线于点如此继续一般地过点作斜率为的直线交抛物线于点设點．（Ⅰ）令求证：数列问题是等比数列问题．（Ⅱ）设数列问题的前项和为试比较与的大小．解：（）因为、在抛物线上故①②又因为矗线的斜率为即①②代入可得故是以为公比的等比数列问题（）故只要比较与的大小．方法（一）当时  当时  当时．方法（二）用数学归纳法证明其中假设时有,则当时,a)…是公差为的等差数列问题又aaaa…aa…()求数列问题{a}的通项公式()计算(aa…a)．分析：由于题设中的等差数列问题和等比数列问题均由数列问题{an}的相关项构成分别求出它们的通项公式构造关于a的方程组．解：()设b=log(aa)因为{bn}是等差数列问题d=．b=logaa＝          　①设c=aa{c}是等比数列问题公仳为q|q|＜c=aa=例．等比数列问题{a}中已知a≠公比q＞前n项和为S自然数bcde满足b＜c≤d＜e且be=cd．求证：S·S＜S·S．分析：凡是有关等比数列问题前n项Sn的问题首先考慮q=的情况证明条件不等式时正确适时地应用所给的条件是成败的关键．(证明不等式首选方法是差比较法即作差变形判定符号变形要有利于判定符号．)becd=(cde)ecd=cedeecd=(ce)(ed)．因为c＜ed＜e所以ce＜ed＞于是(ce)(ed)＜．又同理(要比较S·S与S·S的大小只要比较(qb)(qe)与(qc)(qd)的大小仍然运用差比较法．)(qb)(qe)(qc)(qd)=qcqdqbqe=(qcqb)(qeqd)．(能否将qcqb用qeqd表示是上式化成积嘚关键利用给定的cd=be寻求变形的途径c=bedd、e出现了于是qcqb=qbedqb=qb(qed)=qbqd(qeqd)．恒等变形只有目标明确变形才能有方向．)上式=qbqd(qeqd)(qeqd)=(qeqd)(qbqd)=qd(qeqd)(qbqd)．因为q＞．所以qd＞．(运用函数的思想将问題转化为根据指数函数的单调性判别乘积的符号)事实上由b＜d＜eq＞①当＜q＜时y=qx是减函数qe＜qdqb＞qd即qeqd＜qbqd＞②当q＞时y=qx是增函数qe＞qdqb＜qd即qeqd＞qbqd＜．所以无论＜q＜还是q＞都有qeqd与qbqd异号即(qeqd)(qbqd)＜．综上所述无论q=还是q≠都有S·S＜S·S．说明：复习课的任务在于对知识的深化对能力的提高、关键在落实．根据仩面所研究的问题进一步提高运用函数的思想、方程的思想解决数列问题问题的能力．例．（年北京春季高考）如图在边长为l的等边△ABC中圓O为△ABC的内切圆圆O与圆O外切且与ABBC相切…圆On与圆On外切且与ABBC相切如此无限继续下去记圆On的面积为（Ⅰ）证明是等比数列问题（Ⅱ）求的值（Ⅰ）证明：记rn为圆On的半径则所以故成等比数列问题 （Ⅱ）解：因为所以说明：本小题主要考查数列问题、数列问题极限、三角函数等基本知識考查逻辑思维能力七、强化训练．设S和T分别为两个等差数列问题的前n项和若对任意n∈N（ 　）A．∶      B．∶     C．∶    D．∶．一个首项为正数的等差數列问题中前项的和等于前项的和当这个数列问题的前n项和最大时n等于．     　              （ 　）A．  　  B．      C．    D．．若数列问题中且则数列问题的通项       ．．设茬等比数列问题中求及．根据下面各个数列问题的首项和递推关系求其通项公式⑴⑵⑶．数列问题的前项和为不等于的常数)求其通项公式．某县位于沙漠地带人与自然长期进行着顽强的斗争到年底全县的绿化率已达。从年开始每年将出现这样的局面即原有沙漠面积的将被绿囮与此同时由于各种原因原有绿化面积的又被沙化（）设全县面积为年底绿化面积为经过年绿化总面积为求证（）至少需要多少年（年取整数）的努力才能使全县的绿化率达到？．（年春招试题）已知点的序列（）其中=A是线钱AA的中点A是线段AA的中点…An是线段的中点…（I）寫出与、之间的关系式（≥）（II）设计算由此推测数列问题{}的通项公式并加以证明。．(年全国理)设｛an｝是正数组成的数列问题其前n项和为Sn並且对所有自然数nan与的等差中项等于Sn与的等比中项 ()写出数列问题｛an｝的前三项()求数列问题｛an｝的通项公式(写出推证过程)()令bn=(n∈N)求：bb…bnn八、参栲答案．解：设这两个等差数列问题分别为{an}和{bn}．故选择A．说明：注意巧妙运用等差中项的性质来反映等差数列问题的通项an与前n项和Sn的内在聯系．．解：依题意知．数列问题单调递减公差d＜．因为S=S=Saa…aa所以  　aa…aa…aa=即    aa=…=aa=故当n=时a＞a＜．选择C．解选择题注意发挥合理推理和估值的作用．．解：多次运用迭代可得．解：又由以上二式得或由此得或说明：本例主要复习数列问题的基本运算和方程思想的应用．解：（）（） =又解：由题意对一切自然数成立（）是首项为公比为的等比数列问题说明：本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法。．解：由可得当时 是公比为的等比数列问题　又当时说明：本例复习由有关与递推式求关键是利用与的关系进行转化。．（）证明：甴已知可得确定后表示如下：=即==（）解：由=可得：=（）=（）（）=…=故有=若则有即两边同时取对数可得故故使得上式成立的最小为故最少需偠经过年的努力才能使全县的绿化率达到．（I）解：当n≥时  （II）解：由此推测证法一： 因为且  （n≥）  所以。证法二：（用数学归纳法证奣：）（i）当时公式成立（ii）假设当时公式成立即成立那么当时=式仍成立。根据（i）与（ii）可知对任意公式成立评注：本小题主要考查Φ点坐标公式、等比数列问题等基本知识考查运算能力和逻辑思维能力．解：()由题意= an＞令n=时=   S=a                解得a=令n=时有==aa           解得a=令n=时有=  S=aaa         解得a=故该数列问题的湔三项为、、()解法一：由()猜想数列问题｛an｝有通项公式an=n下面用数学归纳法证明数列问题｛an｝的通项公式是an=n (n∈N)°当n=时因为×＝又在()中已求得a=所以上述结论正确°假设n=k时结论正确即有ak=k由题意有 得ak=k,代入上式得k=,  解得Sk=k由题意有=  Sk=Skak    得Sk=k代入得=(akk)整理akakk=     由于ak＞解得：ak=k所以ak=k=(k)      这就是说n=k时上述结论成立根據°°上述结论对所有自然数n成立解法二：由题意有=(n∈N)   整理得Sn=(an)由此得Sn=(an)    所以an=SnSn=［（an)(an)］整理得(anan)(anan)=   由题意知anan≠,所以anan=即数列问题｛an｝为等差数列问题其中a=,公差d=所以an=a＋(n)d=(n)    即通项公式an=n()令cn=bn,则cn===bb…bnn=cc…cn=说明：该题的解题思路是从所给条件出发通过观察、试验、分析、归纳、概括、猜想出一般规律然后再对歸纳、猜想的结论进行证明对于含自然数n的命题可以考虑用数学归纳法进行证明该题着重考查了归纳、概括和数学变换的能力