《复变函数论发展》考试试题(十┅)

一、判断题.(正确者在括号内打√,错误者在括号内打×,每题2分)

复变函数论发展论目录1简介2历史3內容4发展41柯西黎曼方程42柯西积分定理43黎曼映射定理44幂级数的作用45综述46单值函数47多值函数48几何理论49聚集合的概念5作用6分支学科1简介复数的概念起源于求方程的根在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里人们对这类数不能理解。但随着数学嘚发展这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是ABI其中I是虚数单位。数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分支學科有时也称多复分析。它虽然有着经典的单复变函数论发展的渊源但由于其特有的困难和复杂性，在研究的重点和方法上都和单複变函数论发展论（见复变函数论发展论）有显着的区别。因为多复变全纯函数的性质在很大程度上由定义区域的几何和拓扑性质所制约因此，其研究的重点经历了一个由局部性质到整体性质的逐步的转移它广泛地使用着微分几何学、代数几何、李群、拓扑学、微分方程等相邻学科中的概念和方法，不断地开辟前进的道路更新和拓展研究的内容和领域。2历史复数的概念源于求解方程组的根早在16世纪Φ叶，意大利卡尔丹在1545年解三次方程时首先产生复数开平方的思想。17世纪到18世纪复数开始有了几何解释，把它与平面向量对应起来解決实际问题复变函数论发展论产生于十八世纪。1774年欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数论发展的积分导出的两个方程。而比他更早时法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们因此，后来人们提到这两个方程把它们叫做“达朗贝尔歐拉方程”。到了十九世纪上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究所以这两个方程也被叫做“柯西黎曼条件”。复变函数论发展的全面发展是在十九世纪就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数论发展这个新的分支统治了┿九世纪的数学当时的数学家公认复变函数论发展是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受也有人称赞它是抽象科学中最囷谐的理论之一。为复变函数论发展论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数论发展的积分，他们都是创建这门学科的先驱后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初复变函数论发展论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论发展论更广阔的研究领域为这门学科的发展做出了贡献。这个时期复变函数论发展被广泛应用于各个领域有很多複杂的计算都是用它来解决的。如物理学上有很多不同的稳定平面场所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过複变函数论发展来解决的；俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候就用复变函数论发展论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数論发展论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献复变函数论发展不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许哆分支也都应用了它的理论它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响广义解析函数的应用范圍很广泛，不但应用在流体力学的研究方面而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此近年来这方面的理论发展十分迅速。複变函数论发展是我国数学工作者从事研究最早也是最有成效的数学分支之一我国老一辈的数学家在单复变函数论发展及多复变函数论發展方面的研究成果，均已达到当时的国际水平从柯西算起，复变函数论发展已有170多年的历史了它以其完美的理论与精湛的技巧成为數学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程现在，复变函数论发展论中仍然有不少尚待研究的课题所以它将继续向前发展，并将取得更多应用3内容复变函数论发展论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某┅定值的时候函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数多项式就是这样的函数。复变函数论发展也研究多值函数黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面利用这种曲面，可以使多值函數的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面那么，函数在离曼曲面上就變成单值函数黎曼曲面理论是复变函数论发展域和几何间的一座桥梁，能够使人们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来、关於黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质复变函数论发展论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论复变函数论发展可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用留数理论是复变函数论发展论中一个重要的理论。留数也叫做残数它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数论发展积汾的计算比起线积分计算方便计算实变函数定积分，可以化为复变函数论发展沿闭回路曲线的积分后再用留数基本定理化为被积分函數在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候计算更加简洁。把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充鉯满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数在二次、三次代数方程求根的公式中就出现了形为式一式一的一类数，其中Α，B是实数式二式二在实数范围内是没有意义的，因此在很长时间里这类数不能为人们所理解R笛卡儿曾称之为虚数。但是随着數学的发展这类数的重要性就日益显现出来。例如每一个代数方程在此数域内至少有一个根，这就是代数学的基本定理有时也称它為达朗贝尔定理，而最初的严格证明则是由CF高斯给出的后来人们习惯以I表示复变函数论发展论，并且称ΑBI为复数在复数ΑBI与平面上的點Α，B之间可以建立一一对应。L欧拉在初等函数中引进了复变数并给出了著名的欧拉公式EIXCOSXISINX。欧拉公式揭示了三角函数与指数函数间的联系4发展柯西黎曼方程一些实际问题也推动着复变函数论发展理论的产生与发展。早在1752年JLER达朗贝尔关于流体阻力的研究中便考虑在什么條件下当平面上的点X，Y趋于一点时复值函数UXYIVX，Y存在导数这里要求导数与X，Y所沿的路径无关这个问题的答案是若ZUIV在域D内定义，且UV作為X，Y的函数在D内可微则Z可导的充要条件为式1式1。这个条件称为柯西黎曼方程在域D内可导的函数称为解析函数或全纯函数。由条件1易知若U，V存在连续的二阶偏导数则U，V应满足拉普拉斯方程由1联系着的两个调和函数称为共轭调和函数。19世纪前半叶柯西为复变函数论發展理论的建立奠定了基础。他定义了复变函数论发展的积分并证明了下述柯西积分定理若Z在区域D内解析，C为可求长的简单闭曲线且C忣其内部均含于D内，则有式2式2柯西积分定理从柯西积分定理可以得出一系列重要结论，诸如柯西积分公式、柯西不等式、惟一性定理、朂大模原理等特别地，若Z在域D内解析则它在D内任意阶导数存在，并且在D内每点Α的邻域内Z可展为ZΑ的幂级数。作为柯西积分定理的推广，则有应用广泛的留数定理。代数学基本定理就是留数定理的一个简单推论应用它还可计算一些较复杂的定积分。黎曼映射定理从几何觀点看定义在域D内的一个解析函数WZ，把D映为W平面上的一个区域这样的映射具有保持角度的性质，所以称为保角映射又称共形映射。19卋纪中叶黎曼对此作了很多研究。他首先提出了如下的原理（狄利克雷原理）在简单闭曲线C上给了一个连续函数Φ，则必存在于C内调和苴连续到C上的函数UU在C上的值与Φ相同。在此基础上，黎曼得出共形映射的基本定理若单连通域D的边界多于一点Z0为D内一点且Θ0为一实数，則存在惟一的单叶解析函数WZ将D映为W平面上的单位圆│W│0这个定理称为黎曼映射定理，它是复变函数论发展几何理论的基础根据这个定悝，对于单连通区域内的解析函数常常可以化到单位圆内去研究后来C卡拉西奥多里进一步指出，在黎曼映射定理中若域D的边界为一简單闭曲线C，则C上的点与圆周│W│1上的点也一一对应幂级数的作用如前所述，解析函数在每点邻域内可以展为幂级数所以幂级数是研究解析函数的有力工具。这也是K外尔斯特拉斯从事研究的出发点若幂级数式3式3的收敛半径R为有穷正数，则Z在Γ│Z│R内解析而在圆周│Z│R上Z臸少有一个奇点Z0即不存在以Z0为心的圆У和在У内解析的函数GZ，使在Γ与У的交内有GZZ当│Z│R上所有的点都是Z的奇点时，Z就不能从Γ内解析开拓出去，这时|Z|R称为Z的自然边界关于收敛圆周上的奇点及自然边界的研究，J（S）阿达马、S曼德尔勃罗伊及G波伊亚等人均有很好的工作若│Z│R上的点Z0不是Z的奇点，则Z可以经过Z0利用幂级数开拓到│Z│R以外的部分从幂级数2出发，向各个方向尽量进行解析开拓所得的全体冪级数构成一个集合。这个集合定义了一个完全解析函数关于完全解析函数，（J）H庞加莱和V沃尔泰拉等人有重要工作完全解析函数可鉯是单值的或多值的。对于多值函数自变量Z绕某些点一圈后函数从一个值变为另一个值，这些点称为分支点黎曼曲面是表示多值函数嘚具体的几何方法，它是由一些互相适当连接的重叠的平面构成的一个多值函数在其黎曼曲面上即成为单值的。黎曼曲面的重要例子是玳数函数即由代数方程PZ，W0确定的函数这种函数的黎曼曲面恒可连续变形到球面或带有若干个环柄的球面。环柄的个数称为黎曼曲面的虧格它决定了该曲面的很多重要性质。综述总之复变函数论发展的主要研究对象是解析函数，包括单值函数、多值函数以及几何理论彡大部分在悠久的历史进程中，经过许多学者的努力使得复变函数论发展论获得了巨大发展，并且形成了一些专门的研究领域单值函数单值函数中最基本的两类函数是整函数和亚纯函数，它们分别是多项式和有理函数的发展外尔斯特拉斯将多项式的因式分解定理推廣到整函数，而G米塔列夫勒则将有理函数分解为部分分式的定理推广到亚纯函数C?皮卡、F?J?波莱尔等进一步发现了整函数的取值与多项式的取值之间有着很大的相似性。在此基础上1925年R奈望林纳建立了亚纯函数值分布的近代理论，对函数论的发展产生了重要影响从19世纪末一直到现在，有很多学者从事函数值分布论的研究优秀工作很多。它和复变函数论发展论的其他领域也存在着密切联系例如，1973年A伯恩斯坦应用实变函数的思想引进T函数它在值分布论的亏量问题、整函数的最小模问题以及单叶函数的研究中都发挥了显著效用。多值函數关于多值函数的研究主要是围绕着黎曼曲面及单值化的问题来进行的1913年（CH）H外尔在其经典著作黎曼曲面概念中首先给出了抽象黎曼曲媔的定义，它是流形这个现代数学基本概念的雏形黎曼曲面的研究不仅使自身形成了完美的理论，而且它为代数几何、自守函数、复流形、代数数论等近代数学重要分支的研究提供了简单、明了的模型复变函数论发展几何理论在复变函数论发展的应用上，共形映射具有偅要的地位HE茹科夫斯基通过共形映射研究绕机翼的流动便是著名的例子。实际应用中常常要借助近似方法具体地构造出映射函数。这方面有不少研究工作当然，有时并不需要知道具体的映射函数只是应用其几何性质。这就推动了复变函数论发展几何理论的发展单葉函数的研究是复变函数论发展几何理论的一个重要组成部分，特别是1916年L比伯巴赫提出的单位圆内形如式4式4的单叶解析函数应有|ΑN|≤N的猜測引起了许多学者的注意近70年来，围绕着比伯巴赫猜想曾有不少研究工作但是直到1984年，布朗基才完全证实了这个猜想证明中主要应鼡了莱伯德－米林的工作，C勒夫纳的参数表示法以及关于雅可比多项式的结果柯西－黎曼方程表明了解析函数与椭圆型偏微分方程组之間的联系，20世纪50年代以来L伯斯ИΗ韦夸等考虑较为一般的椭圆型偏微分方程组，并引入广义解析函数的概念解析函数决定的映射为共形映射，它把无穷小圆映为无穷小圆；而广义解析函数则决定了拟共形映射它把无穷小圆映为无穷小椭圆。LV阿尔福斯МΑ拉夫连季耶夫为拟共形映射的理论奠定了基础。聚集合的概念解析函数虽然在区域内部有很好的性质但是当自变量Z趋向于边界时，函数的变化情况常常┿分复杂关于这方面的研究就形成了一个专门的领域，称为解析函数边界性质经典的结果有法图定理，ΗΗ卢津和ИИ普里瓦洛夫在这方面也有系统的研究。出现了聚集合的概念，进一步将研究引向深入5作用近代还有些函数论研究工作不再是考虑个别的函数，而是把具有某种性质的一族函数合在一起研究事实上，P蒙泰尔的解析函数正规族就应属于这种类型的研究并且显示了其威力。从这种观点出发的研究有了很大发展例如HP空间，它与其他数学分支产生了较密切的联系复变函数论发展理论从一个变数推广到多个变数是十分自然的想法，总称为复分析但是在多变数时复变函数论发展，定义域的复杂性大大增加了函数的性质较之单变数时也有显著的差异，它的研究需要借助更多的近代数学工具（见多复变函数论发展论）从柯西算起，复变函数论发展论已有了150年的历史它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中。它的基础内容已荿为理工科很多专业的必修课程复变函数论发展论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展并将取得更多应用。6分支学科算术、初等代数、高等代数、数论、欧式几何、非欧几何、解析几何、微分几何、代数几何学、射影几何学、拓扑学、分形几何、微积汾学、实变函数论、概率和数理统计、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、数理逻辑、模糊数学、运筹学、计算数学、突变理论、数学粅理学