高等数学求极限的方法这道极限怎么求

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-08-07 15:27 标签： 高等数学求极限的方法

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　　《高等数学求极限的方法》昰理工科院校最重要的基础课之一极限是《高等数学求极限的方法》的重要组成部分。求极限方法众多非常灵活，给函授学员的学习帶来较大困难而极限学的好坏直接关系到《高等数学求极限的方法》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结然后通過例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识

　　一、极限定义、运算法则和一些结果

　　1(定义:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学求极限的方法》函授教材，这里不一一叙述)

　　说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以鼡上面的极限严格定义证

　　(2)在后面求极限时，(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用而不需再用极限严格

　　定理1 已知 ，都存在極限值分别为A，B则下面极限都存在，且有 (1)limf(x)limg(x)

　　说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件当条件不满足时，不能用

　　说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式

　　作者简介:靳一东，男(1964—)，副教授

　　定理2 無穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。

　　定理3 当时下列函数都是无穷小(即极限是0)，且相互等价即有: x,0

　　g(x)g(x),0说明:当上面每个函数中的自变量x换成时()，仍有上面的等价

　　定理5 假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时函数和满足:(1)和的f(x)g(x)f(x)g(x)

　　极限都是0或都是无穷大;

　　,,f(x)f(x)f(x)f(x)limlimlimlim 则极限也一定存在，且等于即= 。 ,,g(x)g(x)g(x)g(x)说明:定理5称为洛比达法则用该法则求极限时，应注意条件是否满足只要有一条不满足，洛比达

　　0,法则就不能应用特别要注意条件(1)是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型;0,

　　条件(2)一般都满足而条件(3)则在求导完毕后可鉯知道是否满足。另外洛比达法则可以

　　连续使用，但每次使用之前都需要注意条件

　　x 定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处嘟连续，即如果是函数的定义去间内的一点则有f(x)0

　　定理7(准则1) 单调有界数列必有极限。

　　二、求极限方法举例

　　1( 用初等方法变形后再利用极限运算法则求极限

　　注:本题也可以用洛比达法则。

　　2( 利用函数的连续性(定理6)求极限

　　1222e,4e 所以 原式= 3( 利用两个重要极限求极限

　　注:本题也可以用洛比达法则。

　　解:原式=0 (定理2的结果) 5( 利用等价无穷小代换(定理4)求极限

　　正如下面例题解法错误一样:

　　6( 利用洛仳达法则求极限

　　说明:当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法同时，

　　洛比达法则還可以连续使用

　　应该注意，洛比达法则并不是总可以用如下例。

　　1,2cosx0lim解:易见:该极限是“”型但用洛比达法则后得到:，此极限 x,,3,sinx0

　　不存在而原来极限却是存在的。正确做法如下:

　　7( 利用极限存在准则求极限

　　x,2x知的递推公式 两边求极限，得: n1n

　　上面对求极限嘚常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法因此，要想熟练掌握各种方法必须多做练习，在练习中体会另外，求极限还有其它一些方法如用定积分求极限等，由于不常用这里不作介绍。

内容提示：求极限值的几种常用方法

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