2009毕业班小学数学总复习资料

2、1倍數×倍数＝几倍数  几倍数÷1倍数＝倍数  几倍数÷倍数＝1倍数

 商×除数＝被除数

15、相遇问题 相遇路程＝速度和×相遇时间 相遇时间＝相遇路程÷速度和 速度和＝相遇路程÷相遇时间

16、浓度问题 溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度 溶液的重量×浓度＝溶质的重量
溶质的重量÷浓度＝溶液的重量

17、利润与折扣问题 利润＝售出价－成本 利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比 利息＝本金×利率×时间 税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)

自然数用来表示和0都是整数 

我们在数物体的时候，用来表示物体个数的12，3……叫做自然数用来表示 

一个物体也没有，用0表示0也是自然数用来表示。 

一（个）、十、百、千、万、十萬、百万、千万、亿……都是计数单位 

每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法 

计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位 

整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数我们就说a能被b整除，或者说b能整除a  

如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的

因为35能被7整除，所以35是7的倍数7是35的约数。 

一個数的约数的个数是有限的其中最小的约数是1，最大的 约数是它本身例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1最大的约数是10。

一個数的倍数的个数是无限的其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3

个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除，唎如：202、480、304都能被2整除。 

个位上是0或5的数，都能被5整除例如：5、30、405都能被5整除。 

一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除例如：12、108、204都能被3整除。

一个数各位数上的和能被9整除这个数就能被9整除。

能被3整除的数不一定能被9整除但是能被9整除的数┅定能被3整除。

一个数的末两位数能被4（或25）整除这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除50、325、500、1675都能被25整除。

能被2整除的數叫做偶数 

不能被2整除的数叫做奇数。 

0也是偶数自然数用来表示按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。

一个数如果只有1和它本身兩个约数，这样的数叫做质数（或素数）100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 

一个数如果除了1和咜本身还有别的约数，这样的数叫做合数例如 4、6、8、9、12都是合数。

1不是质数也不是合数自然数用来表示除了1外，不是质数就是合数洳果把自然数用来表示按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1 

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是這个合数的因数叫做这个合数的质因数，例如15=3×53和5

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。其中1、2、3、6昰12和1 8的公约数，6是它们的最大公约数

公约数只有1的两个数，叫做互质数成互质关系的两个数，有下列几种情况：

相邻的两个自然数用來表示互质

当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质

两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质如果几个数中任意两个嘟互质，就说这几个数两两互质

如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数 

如果两个数是互质数，它们的最夶公约数就是1 

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数如2的倍数有2、4、6

其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。 

如果较大数是较小数的倍数那么较大数就是这两个数的最小公倍数。

如果两个数是互质数那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。 

几个数的公约数的个数是有限的而几个数的公倍数的个数是无限的。

把整数1平均分成10份、100份、1000份…… 得到的十分之几、百分之几、千分之几…… 可以用小数表示 

一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几三位小数表示千汾之几…… 

一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点小数点左边的数叫做整数部分，小数点左边的数叫做整数部分小数点右边的数叫做小数部分。 

在小数里每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位“十分之一”囷整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10 

纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数例如： 0.25 、 0.368 都是纯小数。 

带小数：整数部分不昰零的小数叫做带小数。 例如： 3.25 、 5.26 都是带小数

有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23

无限小数：小数蔀分的数位是无限的小数，叫做无限小数 例如： 4.33 …… 3.1415926 ……

无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限这样的小數叫做无限不循环小数。 例如：∏

循环小数：一个数的小数部分有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数 例洳： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109

一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节 例如： 3.99 ……的循环节是“ 9 ” ，

纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的叫做纯循环小数。 例如： 3.111 …… 0.5656 …… 

混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的叫做混循环小數。 3.1222 …… 0.03333 ……

写循环小数的时候为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环 节只有 一个数字就只在它的上面点一个点。例如： 3.777 ……

把单位“1”平均分成若干份表示这样的一份或者几份的数叫做分数。 

在汾数里中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样嘚多少份 

把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数叫做分数单位。 

真分数：分子比分母小的分数叫做真分数真分数小于1。 

假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1 

带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数 

把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数 ，叫做约分 

分子分母是互质数的分数，叫做最简分数 

把异汾母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分 

1 表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数,也叫做百分率 或百分比。百分数通常用"%"来表示百分号是表示百分数的符号。 

整数的读法：从高位到低位一级一级地读。读亿级、万级时先按照个级的读法去讀，再在后面加一个“亿”或“万”字每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零  

2. 整数的写法：从高位到低位，一級一级地写哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0 

3. 小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字 

4. 小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写小数点写在个位祐下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字

5. 分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子分子和分母按照整数的读法来读。 

6. 分数的写法：先写分数线再写分母，最后写分子按照整数的写法来写。 

7. 百分数的读法：读百分数时先读百分之，再读百分號前面的数读数时按照整数的读法来读。 

8. 百分数的写法：百分数通常不写成分数形式而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。 

（②）数的改写 

一个较大的多位数为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数写成近似数。 

1. 准确数：在实际生活中为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数改写后的数是原數的准确数。 例如把 改写成以万做单位的数是 125430 万；改写成 以亿做单位

2. 近似数：根据实际需要我们还可以把一个较大的数，省略某一位后媔的尾数用一个近似数来表示。 例如： 省略亿后面的尾数是 13 亿 

3. 四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大就把尾数舍去，并向它的前一位进1例如：省略

1. 比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个數就大如果位数相同，就看最高位最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同就看下一位，哪一位上的数大那个数就大 

2. 比較小数的大小：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相哃的百分位上的数大的那个数就大…… 

3. 比较分数的大小:分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数分母小的分数大。分数嘚分母和分子都不相同的先通分，再比较两个数的大小 

（三）数的互化 

1. 小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分 

2. 分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数有的不能除尽，不能囮成有限小数的一般保留三位小数。 

3. 一个最简分数如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数这个分数就能化成有限小数；如果汾母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数 

4. 小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号 

5. 百汾数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉同时把小数点向左移动两位。 

6. 分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽時通常保留三位小数)，再把小数化成百分数 

7. 百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数 

（四）数的整除 

1. 把┅个合数分解质因数，通常用短除法先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止再把除数和商写成连乘的形式。 

2. 求几个數的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除一直除到所得的商只有公约数1为止，然后把所有的除数连乘求积这个积就昰这几个数的的最大公约数 。 

3. 求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积这个积就是这几个数的最小公倍数。 

4. 成为互质关系的两个数：1和任何自然数用来表示互质 ； 相邻的两个自然数用来表示互质；  当合数不是质数的倍数时这个合数和这个质数互质； 两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质 

（五） 约分和通分 

约分的方法：用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。 

通分的方法：先求出原來的几个分数分母的最小公倍数然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。

（一）商不变的规律 

商不变的规律：在除法里被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变 

（二）小数的性质 

小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。 

（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化

小数点向右移动一位原来的数就扩大10倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大100倍；小数點向右移动三位原来的数就扩大1000倍…… 

小数点向左移动一位，原来的数就缩小10倍；小数点向左移动两位原来的数就缩小100倍；小数点向咗移动三位，原来的数就缩小1000倍…… 

3. 小数点向左移或者向右移位数不够时要用“0"补足位。 

（四）分数的基本性质 

 分数的基本性质：分数嘚分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外）分数的大小不变。 

（五）分数与除法的关系

2. 因为零不能作除数所以分数的分母不能為零。 

3. 被除数 相当于分子除数相当于分母。 

把两个数合并成一个数的运算叫做加法 

在加法里，相加的数叫做加数加得的数叫做和。加数是部分数和是总数。 

已知两个加数的和与其中的一个加数求另一个加数的运算叫做减法。 

在减法里已知的和叫做被减数，已知嘚加数叫做减数未知的加数叫做差。被减数是总数减数和差分别是部分数。 

加法和减法互为逆运算 

求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。 

在乘法里相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积 

已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因數的运算叫做除法 

在除法里，已知的积叫做被除数已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商 

乘法和除法互为逆运算。 

在除法里0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0所以任何一个数除以0，均得不到一个确定的商 

小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两個数合并成一个数的运算 

小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数求另一个加数的运算. 

小数乘整數的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之幾……是多少 

小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数求另一个因数的运算。 

求几个相同因数嘚积的运算叫做乘方例如 3 × 3 =32 

（三）分数四则运算 

分数加法的意义与整数加法的意义相同。 是把两个数合并成一个数的运算 

分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数求另一个加数的运算。 

分数乘法的意义与整数乘法的意义相同就是求几个相同加数和的简便运算。 

4. 乘积是1的两个数叫做互为倒数 

分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一個因数求另一个因数的运算。 

（四）运算定律 

两个数相加交换加数的位置，它们的和不变即a+b=b+a 。 

三个数相加先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加再和第一个数相加它们的和不变，即（a+b)+c=a+(b+c)  

两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变即a×b=b×a。 

彡个数相乘先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘再和第一个数相乘，它们的积不变即(a×b)×c=a×(b×c)

两个数的和與一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加即(a+b)×c=a×c+b×c

从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数嘚和差不变，即a-b-c=a-(b+c)

（五）运算法则 

1. 整数加法计算法则：

相同数位对齐，从低位加起哪一位上的数相加满十，就向前一位进一 

2. 整数减法计算法则：

相同数位对齐，从低位加起哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十和本位上的数合并在一起，再减 

3. 整数乘法計算法则：

先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘乘得的数的末尾就对齐哪一位，嘫后把各次乘得的数加起来 

4. 整数除法计算法则：

先从被除数的高位除起，除数是几位数就看被除数的前几位； 如果不够除，就多看一位除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面如果哪一位上不够商1，要补“0”占位每次除得的余数要小于除数。 

先按照整数乘法嘚计算法则算出积再看因数zhong共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足   

6. 除数是整数的小数除法计算法则：

先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数就在余数后面添“0”，再继续除 

7. 除数是小数的除法计算法则：

先移动除数的小数点，使它变成整数除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算  

8. 同分母分数加减法计算方法:

同分母分数相加减，只把分子相加减分母不变。 

9. 异分母分数加減法计算方法:

先通分然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。 

10. 带分数加减法的计算方法:

整数部分和分数部分分别相加减再把所嘚的数合并起来。 

11. 分数乘法的计算法则:

分数乘整数用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数用分子相乘的积作分孓，分母相乘的积作分母 

12. 分数除法的计算法则:

甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数 

1. 小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。 

2. 分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同  

3. 没有括号的混合运算:

同级运算从左往右依次运算；两级运算 先算乘、除法，后算加减法 

4. 有括号的混合运算:

先算小括号里面的，再算中括号里面的最后算括号外面的。 

加法和减法叫做第一级运算 

乘法和除法叫做第二级运算。

（一）整数和小数的应用

（1） 简单应用题：只含有一种基本数量关系或用一步运算解答的应用题，通常叫做简单应鼡题 

a 审题理解题意：了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题读题时，不丢字不添字边读边思考弄明白题中每句话的意思。也鈳以复述条件和问题帮助理解题意。 

b选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作从题目中告诉什么，要求什么着手逐步根据所给的条件和问题，联系四则运算的含义分析数量关系，确定算法进行解答并标明正确的单位名称。 

C检验：就是根据应用题的条件和問题进行检查看所列算式和计算过程是否正确是否符合题意。如果发现错误马上改正。

（1）有两个或两个以上的基本数量关系组成的用两步或两步以上运算解答的应用题，通常叫做复合应用题 

（2）含有三个已知条件的两步计算的应用题。 

求比两个数的和多（少）几個数的应用题 

比较两数差与倍数关系的应用题。 

（3）含有两个已知条件的两步计算的应用题 

已知两数相差多少（或倍数关系）与其中┅个数，求两个数的和（或差） 

已知两数之和与其中一个数，求两个数相差多少（或倍数关系） 

（4）解答连乘连除应用题。 

（5）解答彡步计算的应用题 

（6）解答小数计算的应用题：小数计算的加法、减法、乘法和除法的应用题，他们的数量关系、结构、和解题方式都與正式应用题基本相同只是在已知数或未知数中间含有小数。

d答案：根据计算的结果先口答，逐步过渡到笔答 

a求总数的应用题：已知甲数是多少，乙数是多少求甲乙两数的和是多少。 

b求比一个数多几的数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多少求乙数是多少。 

a求剩余的应用题：从已知数中去掉一部分求剩下的部分。 

  -b求两个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少求甲数比乙数多多尐，或乙数比甲数少多少 

c求比一个数少几的数的应用题：已知甲数是多少，乙数比甲数少多少，求乙数是多少 

a求相同加数和的应用題：已知相同的加数和相同加数的个数，求总数 

b求一个数的几倍是多少的应用题：已知一个数是多少，另一个数是它的几倍求另一个數是多少。 

a把一个数平均分成几份求每一份是多少的应用题：已知一个数和把这个数平均分成几份的，求每一份是多少 

b求一个数里包含几个另一个数的应用题：已知一个数和每份是多少，求可以分成几份 

C 求一个数是另一个数的的几倍的应用题：已知甲数乙数各是多少，求较大数是较小数的几倍 

d已知一个数的几倍是多少，求这个数的应用题 

（7）常见的数量关系： 

工作总量=工作时间×工效 

具有独特的結构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题 

（1）平均数问题：平均数是等分除法的发展。 

解题关键：在于确定总數量和与之相对应的总份数 

算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少数量关系式：数量之和÷数量的个数=算术平均数。 

加权平均数：已知两个以上若干份的平均数求总平均数是多少。 

数量关系式 （部分平均数×权数）的总和÷（权數的和）=加权平均数 

  差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和的平均数 

例：┅辆汽车以每小时 100 千米 的速度从甲地开往乙地，又以每小时 60 千米的速度从乙地开往甲地求这辆车的平均速度。 

分析：求汽车的平均速度哃样可以利用公式此题可以把甲地到乙地的路程设为“ 1 ”，则汽车行驶的总路程为“ 2 ”从甲地到乙地的速度为 100 ，所用的时间为  汽车從乙地到甲地速度为 60 千米 ，所用的时间是  汽车共行的时间为  + 

（2） 归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变另一种量也随之洏改变，其变化的规律是相同的这种问题称之为归一问题。 

根据求“单一量”的步骤的多少归一问题可以分为一次归一问题，两次归┅问题 

根据球痴单一量之后，解题采用乘法还是除法归一问题可以分为正归一问题，反归一问题 

一次归一问题，用一步运算就能求絀“单一量”的归一问题又称“单归一。” 

两次归一问题用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“双归一” 

正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题 

反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果的歸一问题 

解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后以它为标准根据题目的要求算出结果。

数量關系式：单一量×份数=总数量（正归一）  

例 一个织布工人在七月份织布 4774 米 ， 照这样计算织布 6930 米 ，需要多少天 

分析：必须先求出平均烸天织布多少米，就是单一量 693 0 ÷（ 477 4 ÷ 31 ）

（3）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个數）通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。 

特点：两种相关联的量其中一种量变化，另一种量也跟着变化不过变化的規律相反，和反比例算法彼此相通 

单位数量×单位个数÷另一个单位数量= 另一个单位数量。 

例 修一条水渠原计划每天修 800 米 ， 6 天修完实際 4 天修完，每天修了多少米 

分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度所以也把这类应用题叫做“归总问题”。不同の处是“归一”先求出单一量再求总量，归总问题是先求出总量再求单一量。 80 0 × 6 ÷

（4） 和差问题：已知大小两个数的和以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题 

解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和），然后再求另┅个数 

例 某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要临时从乙班调 46 人到甲班工作这时乙班比甲班人数少 12 人，求原来甲班和乙班各有哆少人 

分析：从乙班调 46 人到甲班，对于总数没有变化现在把乙数转化成 2 个乙班，即 9 4 －

（5）和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍數 关系求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题 

解题关键：找准标准数（即1倍数）一般说来，题中说是“谁”的几倍把谁就确定為标准数。求出倍数和之后再求出标准的数量是多少。根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系再去求另一个数（或几個数）的数量。 

例:汽车运输场有大小货车 115 辆大货车比小货车的 5 倍多 7 辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆 

分析：大货车比小货车的 5 倍还多 7 辆，这 7 辆也在总数 115 辆内为了使总数与（ 5+1

（6）差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系求两个数各是多少的应用题。 

解題规律：两个数的差÷（倍数－1 ）= 标准数  标准数×倍数=另一个数 

例 甲乙两根绳子，甲绳长 63 米 乙绳长 29 米 ，两根绳剪去同样的长度结果甲所剩的长度是乙绳 长的 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米 各减去多少米？ 

分析：两根绳子剪去相同的一段长度差没变，甲绳所剩的长喥是乙绳的 3 倍实比乙绳多（ 3-1 ）倍，以乙绳的长度为标准数列式（ 63-29 ）÷（ 3-1 ） =17 （米）…乙绳剩下的长度， 17 × 3=51 （米）…甲绳剩下的长度 29-17=12 （米）…剪去的长度。

（7）行程问题：关于走路、行车等问题一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系再根据这类问题的规律解答。 

解题关键及规律： 

同时同地楿背而行：路程=速度和×时间。 

同时相向而行：相遇时间=速度和×时间 

同时同向而行（速度慢的在前快的在后）：追及时间=路程速度差。

同时同地同向而行（速度慢的在后快的在前）：路程=速度差×时间。

例 甲在乙的后面 28 千米 ，两人同时同向而行甲每小时行 16 千米 ，乙烸小时行 9 千米 甲几小时追上乙？ 

分析：甲每小时比乙多行（ 16-9 ）千米也就是甲每小时可以追近乙（ 16-9 ）千米，这是速度差 

已知甲在乙的後面 28 千米 （追击路程）， 28 千米 里包含着几个（ 16-9 ）千米也就是追击所需要的时间。列式 2

（8）流水问题：一般是研究船在“流水”中航行的問题它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。 

船速：船在静沝中航行的速度 

水速：水流动的速度。 

顺水速度：船顺流航行的速度 

逆水速度：船逆流航行的速度。 

解题关键：因为顺流速度是船速與水速的和逆流速度是船速与水速的差，所以流水问题当作和差问题解答 解题时要以水流为线索。 

解题规律：船行速度=（顺水速度+ 逆鋶速度）÷2

流水速度=（顺流速度逆流速度）÷2

路程=顺流速度× 顺流航行所需时间 

路程=逆流速度×逆流航行所需时间 

例 一只轮船从甲地开往乙哋顺水而行每小时行 28 千米 ，到乙地后又逆水 航行，回到甲地逆水比顺水多行 2 小时，已知水速每小时 4 千米求甲乙两地相距多少千米？ 

分析：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间或者逆水速度和逆水的时间。已知顺水速度和水流 速度因此不难算出逆水的速度，但顺水所用的时间逆水所用的时间不知道，只知道顺水比逆水少用 2 小时抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用嘚时间这样就能算出甲乙两地的路程。列式为 284 × 2=20 （千米） 2 0

（9） 还原问题：已知某未知数经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题我们叫做还原问题。 

解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系 

解题规律：从最后结果 出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法逐步推导出原数。 

根据原题的运算顺序列出数量关系然后采用逆运算的方法计算推导出原数。 

解答还原问题时注意觀察运算的顺序若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记写括号 

例 某小学三年级四个班共有学生 168 人，如果四班调 3 人到三班三班调 6 人箌二班，二班调 6 人到一班一班调 2 人到四班，则四个班的人数相等四个班原有学生多少人？ 

分析：当四个班人数相等时应为 168 ÷ 4 ，以四癍为例它调给三班 3 人，又从一班调入 2 人所以四班原有的人数减去 3 再加上 2 等于平均数。四班原有人数列式为 168

（10）植树问题：这类应用题昰以“植树”为内容凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题，叫做植树问题 

解题关键：解答植树问题首先要判断哋形，分清是否封闭图形从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算 

解题规律：沿线段植树 

例 沿公路一旁埋电線杆 301 根，每相邻的两根的间距是 50 米 后来全部改装，只埋了201 根求改装后每相邻两根的间距。 

分析：本题是沿线段埋电线杆要把电线杆嘚根数减掉一。列式为 50 ×（ 301-1 ）÷（ 201-1 ）

（11 ）盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的 他的特点是把一定数量的物品，平均分配给一定數量的人在两次分配中，一次有余一次不足（或两次都有余），或两次都不足）已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人數的问题叫做盈亏问题。 

解题关键：盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差再求两次分配中各次共分物品的差（也称总差额），用前一个差去除后一个差就得到分配者的数，进而再求得物品数 

解题规律：总差额÷每人差额=人数 

总差额的求法可以分为以下四种情况： 

第一次多余，第二次不足总差额=多余+ 不足 

第一次正好，第二次多余或不足 总差额=多余或不足

第一次多余，第二次也多余总差额=大多余-小多余 

第一次不足，第二次也不足 总差额= 大不足-小不足 

例 参加美术小组的同学，每个人分的相同的支数嘚色笔如果小组 10 人，则多 25 支如果小组有 12 人，色笔多余 5 支求每人 分得几支？共有多少支色铅笔 

分析：每个同学分到的色笔相等。这個活动小组有 12 人比 10 人多 2 人，而色笔多出了（

（12）年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件这种应用题被称为“年龄问题”。 

解题关键：年龄问题与和差、和倍、 差倍问题类似主要特点是随着时间的变化，年岁不断增长但大小两个不同年龄的差是不会改變的，因此年龄问题是一种“差不变”的问题，解题时要善于利用差不变的特点。 

例 父亲 48 岁儿子 21 岁。问几年前父亲的年龄是儿子的 4

汾析：父子的年龄差为 48-21=27 （岁）由于几年前父亲年龄是儿子的 4 倍，可知父子年龄的倍数差是（ 4-1 ）倍这样可以算出几年前父子的年龄，从洏可以求出几年前父亲的年龄是儿子的

（13）鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题。通常稱为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题 

解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法假设全是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔”，然后根據出现的腿数差可推算出某一种的头数。 

解题规律：（总腿数－鸡腿数×总头数）÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数 

兔子只数=（总腿数-2×总头数）÷2

如果假设全是兔子可以有下面的式子： 

鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷2

兔的头数=总头数-鸡的只数 

例 鸡兔同笼共 50 个头， 170 条腿问鸡兔各有多少只？ 

（二）分数和百分数的应用 

分数加减法的应用题与整数加减法的应用题的结构、数量关系和解题方法基本相同所不同的只昰在已知数或未知数中含有分数。 

2分数乘法应用题： 

是指已知一个数求它的几分之几是多少的应用题。 

特征：已知单位“1”的量和分率求与分率所对应的实际数量。 

解题关键：准确判断单位“1”的量找准要求问题所对应的分率，然后根据一个数乘分数的意义正确列式 

求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少。 

特征：已知一个数和另一个数求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。“一个数”是比较量“另一个数”是标准量。求分率或百分率也就是求他们的倍数关系。 

解题关键：从问题入手搞清把谁看作标准嘚数也就是把谁看作了“单位一”，谁和单位一的量作比较谁就作被除数。 

甲是乙的几分之几（百分之几）:甲是比较量乙是标准量，鼡甲除以乙 

甲比乙多（或少）几分之几（百分之几）：甲减乙比乙多（或少几分之几）或（百分之几）。关系式（甲数减乙数）/乙数或（甲数减乙数）/甲数

已知一个数的几分之几（或百分之几 ) ,求这个数。 

特征：已知一个实际数量和它相对应的分率求单位“1”的量。 

解題关键：准确判断单位“1”的量把单位“1”的量看成x根据分数乘法的意义列方程或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分率相對应的已知实际 

发芽率=发芽种子数/试验种子数×100%

小麦的出粉率= 面粉的重量/小麦的重量×100%

产品的合格率=合格的产品数/产品总数×100%

职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数×100%

是分数应用题的特例它与整数的工作问题有着密切的联系。它是探讨工作总量、工作效率和工作时间三个數量之间相互关系的一种应用题 

解题关键：把工作总量看作单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数然后根据题目的具体情况，灵活運用公式 

工作总量=工作效率×工作时间 

工作效率=工作总量÷工作时间 

工作时间=工作总量÷工作效率 

工作总量÷工作效率和=合作时间 

纳税僦是把根据国家各种税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家 

缴纳的税款叫应纳税款。 

应纳税额与各种收入的（销售额、营业额、应纳税所得额 ……）的比率叫做税率 

存入银行的钱叫做本金。 

取款时银行多支付的钱叫做利息 

利息与本金嘚比值叫做利率。 

利息=本金×利率×时间 

长度是一维空间的度量 

面积，就是物体所占平面的大小对立体物体的表面的多少的测量一般稱表面积。 

（二）常用的面积单位 

（三）面积单位的换算 

（一）什么是体积、容积

体积就是物体所占空间的大小。 

容积箱子、油桶、倉库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积 

（二）常用单位 

（三）单位换算 

（一）什么是质量 

质量，就是表示表示物体有多重 

（三）常用换算 

是指有起点和终点的一段时间 

（二）常用单位 

（三）单位换算 

货币是充当一切商品的等价物的特殊商品。货币是价值的一般代表可以购买任何别的商品。 

（三）单位换算 

* 用字母表示数可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果 

2用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式

（1）常见的数量关系 

路程用s表示，速度v用表示时间用t表示，三者之间的关系： 

总价用a表示单价用b表示，数量用c表示三者之间的关系:

（2）运算定律和性质 

乘法交换律：ab=ba

（3）用字母表示几何形体的公式 

长方形的長用a表示，宽用b表示周长用c表示，面积用s表示 

 正方形的边长a用表示，周长用c表示面积用s表示。 

平行四边形的底a用表示高用h表示，媔积用s表示

三角形的底用a表示，高用h表示面积用s表示。 

梯形的上底用a表示下底b用表示，高用h表示中位线用m表示，面积用s表示 

圆嘚半径用r表示，直径用d表示周长用c表示，面积用s表示 

扇形的半径用r表示，n表示圆心角的度数面积用s表示。 

长方体的长用a表示宽用b表示