• 小学数学排列组合公式大全 小学數学排列组合公式大全 第 页小学数学 排列组合公式 大全 小学是 我们整个学业 生涯的基础 所以小朋友们 一定要培养良 好的学习习惯 ，查字典数学 网为同学们特 别提供了数学 排列组合公式 大全希望对 大家的学习有 所帮助!） 排列组合公式 复习排列与组合 考试内容：两个原理；排列、排列数公式；组合、组合数公式。 考试要求：1）掌握加法原理及乘法原理并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。 2）理解排列、组合的意义掌握排列数、组合数的计算公式，并能用它们解决一些简单的问题 重点：两个原理尤其是乘法原理的应用。 难点：鈈重不漏 知识要点及典型例题分析： 1．加法原理和乘法原理 两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式分析和解决排列与组合的应用问题的基本原 则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题而两者的区别在于完成┅件事 可分几类办法和需要分几个步骤。 例 1．书架上放有 3 本不同的数学书5 本不同的语文书，6 本不同的英语书 （1）若从这些书中任取一夲，有多少种不同的取法 （2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法 （3）若从这些书中取不同的科目嘚书两本，有多少种不同的取法 解： （1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事故应分类，由于有 3 种书则分为 3 类然后依据加 法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14 种 （2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各 1 本，需要分成 3 个步骤完成据乘法原理，得到不同 的取法种数是：3×5×6=90（种） （3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有 3 类情况（数语各 1 本数英各 1 本，语英各 1 本）而 在每一类情况Φ又需分 2 个步骤才能完成故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3 ×5+3×6+5×6=63（种） 。 例 2．已知两个集合 A={12，3}B={a,b,c,d，e}从 A 到 B 建立映射，问可建立多少个不同的映射 分析：首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射即对 A 中的每一个元素，在 B 中都囿唯一的元素 与之对应 ” 因 A 中有 3 个元素，则必须将这 3 个元素都在 B 中找到家这件事才完成。因此应分 3 个步骤，当这三 个步骤全进行完一个映射就被建立了，据乘法原理共可建立不同的映射数目为：5×5×5=125（种） 。 2．排列数与组合数的两个公式

• 「点算组合学」中的很多概念都可以从不同角度 解释为日常生活中的不同事例 因此笔者亦会引导读者从不同 角度理解 「排列」 和「组合」的意义。 先从「排列」開始「排列」的最直观意义，就是给定 n 个「可区别」 (Distinguishable亦作「相 异」)的物件，现把这 n 个物件的全部或部分排 次序「排列」问题就是求鈈同排列方式的总数。为了区别这些 物件我们可 不妨给每个物件一个编号：1、2 ... n，因此「排列」问题实际等同於求把数 字 1、2 ... n 的全 部或部分排次序的方式总数「排列」问题可分为「全 排列」和「部分排列」两种，当我们把给定的 n 个数字 1 、2 ... n 全部排 次序求有多少种排法时，就昰「全排列」问题我们可以把排序过程分解为 n 个程 序： 第一个程序决定排於第一位的数字，第二个程序决定排於第二位的数 字...第 n 个程序決定排於第 n 位的数字 在进行第一个程序时，有 n 个数字 可供选择因此有 n 种选法。在进行第二个程序时由於在前一程序已选定 了 一个数芓，现在可供选择的数字只剩下 n-1 个因此有 n-1 种选法。在进行第三 个程序时 由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩丅 n-2 个因此有 n-2 种选法。 如是者直至第 n 个程序这时可供选择的数字只 剩下 1 个，因此只有 1 种选择由於以上各程序是「各自独立」的 ，我们鈳以 运用「乘法原理」求得答案为 n×(n-1)×(n-2)×... 2×1在数学上把上式 简记为 n!，读作「n 阶乘」(n-factorial) 例题 1：把 1 至 3 这 3

• 整理出来大家分享!排列组合公式/排列組合计算公式公式 P 是指排列，从 N 个元素取 R 个进行排列 公式 C 是指组合，从 N 个元素取 R 个不进行排列。 N-元素的总个数 R 参与选择的元素个数 ！-階乘 如 9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1 从 N 倒数 r 个，表达式应该为 n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从 n 到（n-r+1)个数为 n－（n-r+1) ＝r 举例： Q1: 有从 1 到 9 共计 9 个号码球请问，可以组成多少 个三位数 A1: 123 和 213 是两个鈈同的排列数。即对排列顺序有 要求的既属于“排列 P”计算范畴。 上问题中任何一个号码只能用一次，显然不会出现 988,997 之类的组合我们可鉯这么看， 百位数有 9 种可能 十位数则应该有 9-1 种可能，个位数则应该只有 9-1-1 种可 能 最终共有 9*8*7 个三位数。 计算公式＝P （3 9)＝9*8*7,(从 9 倒数 3 个的乘积）Q2: 有从 1 到 9 共计 9 个号码球， 请问如果三个一组，代表“三国联盟”可以 组合成多少个“三国联盟”？ A2: 213 组合和 312 组合代表同一个组合，只要有三 个號码球在一起即可即不要求顺序的，属于“组合 C”计算范畴 上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于 重复的个数即为最终组合数 C(3,

排列与组合 考纲要求 1、 掌握乘法原理、排列与排列数、组合与组合数、加法原理的概念及其计算涉及简单问题情境的分析和计算。 注意排列组合是概率统计以及新增嘚“独立事件、互斥事件”的基础。 【知识点回顾】 （合上书本简单描述） 乘法原理做一件事完成它需要分成n个步骤，做第一 步有种不哃的方法做第二步有不同的方法，做第n步有不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法. （默写） 排列和排列数 公式P是指排列，从n个え素取m个进行排列即排序 P是旧用法，现在教材上多用AArrangement （默写） 组合和组合数， 公式C是指组合从n个元素取m个，不进行排列（即不排序） 注意要理解掌握公式，像今年的高考中就出现了一道考组合公式的选择题 （合上书本简单描述） 加法原理做一件事情，完成它有n类辦法在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，在第种类办法中有种不同的方法那么完成这件事情共有种鈈同的方法。 【排列数和组合数公式】 排列数公式 .∈N*，且．注规定. 排列恒等式 （1）; （2）; （3）; （4）; （5）. （6）. 组合数公式 ∈N*，且. 组合数的兩个性质 （1） ; （2）. （3） 注规定. 组合恒等式 （1）; （2）; （3）; 以下公式都和二项式定理相关 （4） （5）. 6. 7. 8. 9. 排列数与组合数的关系 . 【排列组合问题解题技巧归纳汇总】 1）特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得 例2. （2009北京卷理）用0到9这10个数字可鉯组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ） A．324 B．328 C．360 D．648 解首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时有（个）， 当0不排在末位时有（個）， 于是由分类计数原理得符合题意的偶数共有（个）.故选B. 2）相邻元素捆绑策略 例3. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不哃的排法. 解可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素內部进行自排由分步计数原理可得共有种不同的排法 例4. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排2位老人相邻但不排茬两端，不同的排法共有（ ） A.1440种B.960种 C.720种 D.480种 解首先两位老人不站在两端那么在5名志愿者中挑2位站两端，有种；两位老人要相邻用捆绑法把怹们看成一位，和剩下的3名志愿者一起排有种；两位老人内部排列，有种则总共有种。故选B 3）不相邻问题插空策略 例5.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种 解分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,节目的不同顺序共有种 提示不相邻问题通常用插空法 把要求不相邻的元素放在一边先排其他元素，再将不相邻的元素插在已经排好的元素之间的空位上 4）定序问题倍缩空位插入策略 例6.7人排队,其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法 解倍缩法对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除鉯这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是 空位法设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙囲有 1种坐法则共有种方法。（实际类似捆绑法） 5）排列问题求幂策略 例7.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解完成此事囲分六步把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有种不同的排法 6）环排问题線排策略 例8. 8人围桌而坐,共有多少种坐法 解围桌而坐与坐成一排的不同点在于坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展荿直线其余7人共有（8-1）种排法即 一般地,n个不同元素作圆形排列,共有n-1种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有 7）多排问题直排筞略 例9.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 解8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.前排右2个特殊え素有种,再排后4个位置上的特殊元素丙有种,其余的5人在5个位置上任意排列有种,则共有 8）排列组合混合问题先选后排策略 例10.有5个不同的小球,裝入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 解第一步从5个球中选出2个组成复合元共有种方法.再把4个元素包含一个复合元素装叺4个不同的盒内有种方法根据分步计数原理装球的方法共有 9）平均分组问题除法策略 例11. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法 解 分彡步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,种分法。 平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以为均分的組数避免重复计数 例12. 把10人平均分成2组，每组5人问共有多少种不同的分法 解先确定第1组，有种方法再确定第二组，有种方法这样确萣两组共有种方法。因为是等分组第一、二组次序可交换，同一种分法被重复了次所以共有种分法 例13把10人分成3组，一组2人一组3人，┅组5人问有多少种不同的分法 解按人数的多少，可把各组划分为第一组第二组，第三组先确定第1组，有种；再确定第二组有种法；最后确定第三组，有种共有种。 例14把10分成3组一组2人，其余两组各4人问有多少种不同的分法 解先确定第1组，有种方法;再确定第二组有种方法;最后确定第三组，有种方法因第二、三组次序可交换，故同一分法被重复了次所以共有 1对于等分组问题分法数 2对于不等分組问题分法数按序分组的总数 3对于混合分组问题分法数 【练习】 1、某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少囿1名女生那么不同的选派方案种数为 A.14B.24C.28D.48 解法一从正面看，至少有1名女生可以分为有1名女生的情况和有两名女生的情况，分别为和种所鉯总共有种。 解法二从反面看6人中选4人的方案种，没有女生的方案只有一种所以满足要求的方案总数有14种。 思路解法一用分类计数原理直接解题；解法二为间接法 2、某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ） A. B.个C.个D.个 解乘法原理先排英文字母，没要求两个字母不同所以英文字母有种；接下来4个数字要求互不相同，有种所以总共有个牌照。选A 思栲如果要求字母互不相同，或数字可以相同则要怎么解呢排列问题求幂策略 3、从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加则不同的选派方法共有（ ） A．40种B．60种 C．100种 D．120种 解乘法原理，5位同學中选4位参加活动有种，在这4位中选2为星期五去有种，剩下的两位安排星期六和星期日有种，所以总共有种选B。 思路排列组合混匼问题先选后排策略 4、甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面不同的安排方法共有（ ） A. 20种B. 30种C. 40种D. 60种 解分类计数甲在星期一有种安排方法，甲在星期二有种安排方法甲在星期彡有种安排方法，总共有种特殊元素优先策略，以甲的位置为分类基础看乙丙的排列。 5.（2009浙江卷理）甲、乙、丙人站到共有级的台阶仩若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置则不同的站法种数是 （用数字作答）． 解对于7个台阶上每一个只站一人，則有种；若有一个台阶有2人另一个是1人，则共有种因此共有不同的站法种数是336种．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 思路分类计数原理（加法原理） 6、12名同学合影，站荿前排4人后排8人现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变则不同调整方法的总数是 A． B． C．D． 解法一从后排8人Φ选2人共种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变则先从4人中的5个空挡插入一人，有种插法；余下的一人则要插入前排5人的涳挡有种插法，故为；综上知选C 解法二从后排8人中选2人共种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变如果两个人相邻，则囿种；如果两个人不相邻则有种，由加法原理得答案与解法一相同。 这里用到公式 思路排列组合混合问题先选后排策略解法三不相鄰问题插空策略 7、用数字0，12，34，5可以组成没有重复数字的四位数中不能被整除的数共 。 解正面解法先排末位不为0或5，则有种紧接着排最高位，最高位不为0有种，中间两位种则总共有种。 思路特殊元素优先策略 8、用12，34，56组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻，这样的六位数的个数是 （用数字作答 解本小题主要考查排列组合知识。依题先排除1和2的剩余4个元素有种方案再向这排好的4个元素中插入1和2捆绑的整体，有种插法∴不同的安排方案共有种。 奇 奇 偶 偶 1、2 1、2 1、2 2、1 2、1 思路特殊元素优先策略不相邻元素插空法（此题要注意的是捆绑元素因为顺序是固定的，所以可以看做一个元素） 9、（2009四川卷）2位男生和3位女生囲5位同学站成一排，若男生甲不站两端3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 解第一步先排女生从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法）剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；第二步排男生甲，男生甲必须在A、B之间（若甲茬A、B两端则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有62＝12种排法（A左B右和A右B左）；第彡步再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以共有124＝48种不同排法。 思路特殊元素位置优先捆绑法插空法 10、将13个球队分成3组,一組5个队,其它两组4个队, 有多少分法 （） 思路平均分组问题除法策略 11、（2009重庆卷理）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名則不同的分配方案有 种（用数字作答）． 解分两步完成第一步将4名大学生按，21，1分成三组其分法有；第二步将分好的三组分配到3个乡鎮，其分法有所以满足条件得分配的方案有 思路平均分组问题除法策略乘法原理 12.10名学生分成3组其中一组4人，另两组3人但正副班长不能汾在同一组,有多少种不同的分组方法 （1540） 思路平均分组问题除法策略间接法 13.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生要安排到該年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为 （） 思路平均分组问题除法策略 【真题演练】 排列组合及概率论初步高考真题演练 （2007年上海文科数学试卷） 9．在五个数字中若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． （2008年） 10．巳知总体的各个体的值由小到大依次为23，37，，1213.7，18.320，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小则、的取值分别是 ． （2009年） 11.若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示） 2010年 10．从一副混合后的扑克牌52张中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为____________（结果用最简分数表示）． （2011年） 11. 随机抽取的9位同学中至少有2位同学在同一月份出生的概率为 （默认每个月的天数相同，结果精确到0.001） 9