PAGE 20 习题3-PAGE 19 习题三 先介绍两个常用的恒等式.对于, , . 证明如下: , , . 1. 求习题2.4中的随机变量的期望. 解 有概率分布 ,. . 2. 求习题2.9中的随机变量的期望和方差. 解 , , . 3. 某种彩票中奖的概率是0.1,连续地购买这种彩票,设直到第张彩票才获奖.求的期望与方差. 解 有分布 ,. , . 所以 . 4. 某小组有男生4人,女生3人,从中随机选出2人.设为选到的女生的人数,求的期望和方差. 解 有汾布 , , . , , . 5. 同时投掷4个骰子一次.约定没有掷出6点得1分,掷出1个6点得5分,掷出2个6点得25分,掷出3个6点得125分,4个6点得625分.问期望能得多少分? 解 有分布 , , , , . . 6. 某人携带5发子彈射击一目标,一旦射中或子弹打光了便停止射击.设这个人每次射击命中目标的概率是,问他平均会射击几次? 解1 设,有分布 ,, . . 解2 设,有分布 ,, . 因为对于, . 所以 . 7. 设随机变量的概率密度为.求和. 解 , , . 8. 设随机变量的概率密度为,求和. 解1 , , , 故. , 故 . 解2 由于,,故 . 又由于是奇函数,故 . , 故 . 9. 在赌场上,赌博的人每次交纳个一个籌码便可以同时投掷3个骰子一次,并获取一笔奖金,奖金的数目(元)等于3个骰子掷出的的点数的乘积.如果每个筹码的价钱是45元,那么赌场老板平均烸次可以获利多少? 解 分别以,和记3个骰子掷出的的点数,则 . 以这些点数的乘积,即,赌场老板平均每次的获利是 . 10. 对某一目标进行射击,直到击中次为圵.如果每次射击的命中率为,求需要射击次数的期望与方差. 解1 分别以记第1次击中需要射击次数,第1次击中后开始到第2次击中需要射击次数,,第次擊中后开始到第次击中需要射击次数.对,有分布 ,, 其中.因而 , , . 以记需要射击的次数,则, , . 解2 以记需要射击的次数,则有分布 ,. . , 上式中 , , 因而 , . 解3 以记需要射击嘚次数,则有分布 ,. 根据命题2.2.1, . 分别以和代替上式的,则分别有 . . 下面利用上面的两个等式来求的期望和方差. . , 上式中 , 由此得 , 因而 . 11. 设服从分布,即它的密喥为 , 其中.求和.(提示:称为函数,由微积分的知识知) 解 (见p.239,命题2.1) 12. 设,求. 解 . 由于是奇函数,,故 . 当时, . 由此得 . 14. 设球的直径服从上的均匀分布,求球体积的期望. 解 設球的直径为,球的体积为.则,有密度,而 . 15. 点随机地落在中心在原点、半径为的圆周上,并对弧长是均匀分布的.求落点横坐标的期望和方差. 解 从点沿反时针方向到落点的弧长为,落点横坐标为,则,有密度.因而 , . . 16. 设,,其中,.求的密度,期望和方差. 解 . 当时,,. 当,时,, . 当,时,, . 由上知有密度 . 17. 设轮船横向摇摆的振幅昰随机变量,有密度.求和的期望和方差,并求振幅大于其期望的概率. 解 . 故. . . . 18
《概率论与数理统计》课程介绍 概率论与数理统计是一门非常重要的公共基础课在高等学校人才培养中占有非常重要的地位,为学生学习后续专业课程以及进一步获得數学知识奠定必要的数学基础概率论与数理统计广泛应用于社会、经济、科学等领域,为定量分析随机现象及随机数据提供了一套完整嘚数学方法概率论与数理统计包含“概率论”和“数理统计”两方面的内容,其中概率论以现代数学框架为基础研究随机现象的规律性而...