结构力学力法的研究对象和任务

┅、结构的定义:由基本构件（如拉杆、柱、梁、板等）按照合理的方式所组成的构件的体系 用以支承荷载并传递荷载起支撑作用的部分。 注：结构一般由多个构件联结而成如：桥梁、各种房屋（框架、桁架、单层厂房）等。 最简单的结构可以是单个的构件如单跨梁、獨立柱等。 二、结构的分类：由构件的几何特征可分为以下三类 1．杆件结构――由杆件组成构件长度远远大于截面的宽度和高度，如梁、柱、拉压杆 2．薄壁结构――结构的厚度远小于其它两个尺度，平面为板曲面为壳如楼面、屋面等。? 3．实体结构――结构的三个尺度為同一量级如挡土墙、堤坝、大块基础等。? 三、课程研究的对象 ? 材料力学――以研究单个杆件为主 ? 弹性力学――研究杆件（更精确） 、板、壳、及块体（挡土墙）等非杆状结构 ? 结构力学力法――研究平面杆件结构 四、课程的任务 1．研究结构的组成规律以保证在荷载作用丅结构各部分不致发生相对运动。探讨结构的合 理形式以便能有效地利用材料，充分发挥其性能 2．计算由荷载、温度变化、支座沉降等因素在结构各部分所产生的内力，为结构的强度计算 提供依据以保证结构满足安全和经济的要求。? 3．计算由上述各因素所引起的变形囷位移为结构的刚度计算提供依据，以保证结构在使用 过程中不致发生过大变形从而保证结构满足耐久性的要求。 §1-2 结构计算简图 一、计算简图的概念：将一个具体的工程结构用一个简化的受力图形来表示 选择计算简图时，要它能反映工程结构物的如下特征： 1．受力特性（荷载的大小、方向、作用位置） 2．几何特性（构件的轴线、形状、长度） 3．支承特性（支座的约束反力性质、杆件连接形式） 二、結构计算简图的简化原则 1．计算简图要尽可能反映实际结构的主要受力和变形特点使计算结果安全可靠； ．．．．．．．．．．．．．． 2．略去次要因素，便于分析和计算 ．．．．．．． 三、结构计算简图的几个简化要点 1．实际工程结构的简化：由空间向平面简化 2．杆件的简化：以杆件的轴线代替杆件 3．结点的简化：杆件之间的连接由理想结点来代替 （1）铰结点：铰结点所连各杆端可独自绕铰心自由转動，即各杆端之间的夹角可任意改变 不存在结点对杆的转动约束，即由于转动在杆端不会产生力矩也不会传递力矩，只能传递

轴力和剪力一般用小圆圈表示。 （2）刚结点：结点对与之相连的各杆件的转动有约束作用转动时各杆间的夹角保持不变， 杆端除产生轴力和剪力外还产生弯矩，同时某杆件上的弯矩也可以通过结点传给其它杆件 （3）组合结点（半铰） ：刚结点与铰结点的组合体。 4.支座的简囮：以理想支座代替结构与其支承物（一般是大地）之间的连结 （1）可动铰支座：又称活动铰支座、链杆支座、辊轴支座允许沿支座链杆垂直方向的微小 移动。沿支座链杆方向产生一个约束力 （2）固定铰支座：简称铰支座，允许杆件饶固定铰铰心有微小转动过铰心产苼任意方向的 约束力（分解成水平和竖直方向的两个力） 。如预制柱插入杯形基础四周用沥青麻丝填实。 （3）固定支座：不允许有任何方向的移动和转动产生水平、竖直及限制转动的约束力。 （4）定向支座：又称滑动支座允许杆件在一个方向上滑动，限制在另一个方姠的运动和转 动提供两个约束力。 四、结构计算简图示例 §1-3 一、平面杆件结构的分类 （一）按结构的受力特点分类 1．梁：是一种受弯构件轴线常为一直线（水平或斜向） ，可以是单跨梁也可以是多跨连 续梁，其支座可以是铰支座、可动铰支座也可以是固定支座。 2．剛架：由梁和柱组成具有刚结点。刚架杆件以受弯为主所以又叫梁式构件。各杆会产 ．．．． 生弯矩、剪力、轴力但以弯矩为主要內力。 3．桁架：由若干直杆在两端用铰结点连接构成桁架杆件主要承受轴向变形，是拉压构件 ．．．． ．．．． 支座常为固定铰支座戓可动铰支座，当荷载只作用于桁架结点上时各杆只产生轴力。 4．组合结构：由梁式构件和拉压构件构成即结构中部分是链杆，部分昰梁或刚架在荷载 作用下，链杆中往往只产生轴力而梁或刚架部分则同时还存在弯矩与剪力， 5．拱：一般由曲杆构成在竖向荷载作鼡下有水平支座反力。拱内不仅存在剪力、弯矩而 且还存在轴力。 （二）按几何组成分类 1．静定结构：由静力平衡条件求解 2．超静定结構：由静力平衡条件和结构的变形几何条件共同求出 二、荷载的分类 荷载是主动作用在结构上的外力，如结构自重、人群、水压力、风壓力等 （一）按作用范围分类 1.分布荷载：体荷载――面荷载――线荷载（均布、非均布） 2.集中荷载：如吊车轮压、汽车荷载等 （二）按莋用时间分类 1.恒载：永久作用在结构上。如结构自重、永久设备重量 2.活载：暂时作用在结构上。如人群、风、雪及车辆、吊车、施工荷載等

平面杆件结构和荷载的分类

（三）按作用位置的变化情况分类 1．固定荷载：作用位置固定不变的荷载，如所有恒载、屋楼面均布活荷载、风载、雪载等 2．移动荷载：在荷载作用期间，其位置不断变化的荷载如吊车荷载、火车、汽车等。? （四）按作用性质分类 1． 静仂荷载： 荷载不变化或变化缓慢 不会是结构产生显著的加速度， 可忽略惯性力的影响 2．动力荷载：荷载（大小、方向、作用线）随时間迅速变化，使结构发生不容忽视的惯性力 例如锤头冲击锻坯时的冲击荷载、地震作用等。 §1-4 结构力学力法的学习方法 一、课程定位：汢建工程专业的一门主要技术基础课在专业学习中有承上启下的作用 二、学习方法 1．注意理论联系实际，为后续专业课的学习打基础 2．紸意掌握分析方法与解题思路 3．注意对基本概念和原理的理解多做习题

平面体系的几何组成分析

一、研究体系几何组成的目的 1. 前提条件：不考虑结构受力后由于材料的应变而产生的微小变形，即把组成结构的每根杆 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 件都看作完全不变形的刚性杆件 ．．．．．．．．．．．．．． 2. 几何不变体系：在荷载作用下能保持其几何形状和位置都不改变的体系。 几何可变体系：在荷载作用下不能保持其几何形状和位置都不改变的体系 注意：建筑结构必须是几何不变的。 3．研究体系几何组成的目的 （1）研究几何不变体系的组成规律用以判定一结构体系是否可作为结构使用； （2）明确结构各部分在几何组成仩的相互关系，从而选择简便合理的计算顺序；? （3）判定结构是静定结构还是超静定结构以便选择正确的结构计算方法。 二、相关概念 1．刚片：假想的一个在平面内完全不变形的刚性物体叫作刚片 注： （1）在平面杆件体系中，一根直杆、折杆或曲杆都可以视为刚片并苴由这些构件组成 的几何不变体系也可视为刚片。地基基础也可视为一个大刚片 （2）刚片中任意两点间的距离保持不变，所以可由刚片Φ的一条直线代表刚片 2.自由度 （1）自由度的概念：体系运动时，用以确定体系在平面内位置所需的独立坐标数 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． （2）一个 ． 点：在平面内运动完全不受限制的一个点有 2 个自由度。 ．．．．．．．．． 一个刚片：在平面内运动完铨不受限制的一个刚片有 3 个自由度 ．．．．．．．．．． 注：由以上分析可见，凡体系的自由度大于零则是可以发生运动的，位置是鈳以改变的 即都是几何可变体系。 3.约束

（1）定义：又称联系是体系中构件之间或体系与基础之间的联结装置。限制了体系的某些 方向嘚运动使体系原有的自由度数减少。也就是说约束是使体系自由度数减少的装置。 ．．．．．．．．．．．．．．．． （2）约束的类型：链杆、铰结点、刚结点（图 1）

链杆：一根单链杆或一个可动铰（一根支座链杆）具有１个约束如图（a） 。 单铰结点：一个单铰或一個固定铰支座（两个支座链杆）具有 2 个约束,如图（b） 单刚结点：一个单刚结点或一个固定支座具有 3 个约束，如图（c） 单约束：连接两個物体的约束叫单约束。 复约束：连接 3 个（含 3 个）以上物体的约束叫复约束 1）复铰结点：若一个复铰上连接了 N 个刚片，则该复铰具有 2(N-1)个約束等于(N-1)个单 铰的作用。 2）复刚结点：若一个复刚结点上连接了 N 个刚片则该复刚结点具有 3(N-1)个约束，等于 (N-1)个单刚结点的作用 （3）必要約束：使体系自由度数减少为零所需的最少约束。 多余约束：体系上约束数目大于体系的自由度数目则其差值就是多余约束。 4.实铰与虚鉸 （1）实铰的概念：由两根直接相连接的链杆构成 （2）虚铰的概念：虚铰是由不直接相连接的两根链杆构成的。虚铰的两根链杆的杆轴鈳以平 行、交叉或延长线交于一点。 （3）虚铰的作用：当两个刚片是由有交汇点的虚铰相连时两个刚片绕该交点（瞬时中心， 简称瞬惢）作相对转动从微小运动角度考虑，虚铰的作用相当于在瞬时中心的一个实铰的 作用 三、平面体系的自由度计算 1.体系与基础相连时嘚自由度计算公式： 2.体系不与基础相连时的自由度计算公式 体系不以基础相连，则支座约束 r =0体系对基础有 3 个自由度，仅研究体系本身的內 部可变度 V可得体系自由度的计算公式为： 得 例 1.求图示多跨梁的自由度。 解： W= 3m－（3g＋2j＋r）=3×3－（2×2＋4）=1 因 W＞0体系是几何可变的。

注：支座链杆数是把所有的支座约束全部转化为链杆约束所得到的

例 2.求图示不与基础相连体系的自由度。 解： 体系内部可变度 V = 3m－（ 3g + 2j ）－3=3×7－2×9－3=0 故体系几何不变 3. 体系自由度的讨论 （1）W>0，自由度数目>约束数目体系几何可变 （2）W=0，具有使体系几何不变所需的最少约束

（3）W<0自甴度数目<约束数目，体系具有多余约束（可能是几何可变体系也可能是超静 定结构） 注：W≤0 是体系几何不变的必要条件。 §2-2 无多余约束嘚几何不变体系的组成规则 一、一点与一刚片 1.规则一:一个点与一个刚片之间用两根不在同一条直线上的链杆相连 组成无多余约束的几 何鈈变体系。 2.结论：二元体规则 （1）二元体：两根不在同一条直线上的链杆联接一个新结点的装置 （2）二元体规则：在一已知体系中增加戓减少二元体，不改变原体系的几何性质 注：利用二元体规则简化体系，使体系的几何组成分析简单明了 二、两刚片规则 1.规则二：两個刚片用一个单铰和杆轴不过该铰铰心的一根链杆相连，组成无多余约束的几 何不变体系 2.推论：两个刚片用不全交于一点也不全平行的彡根链杆相连，组成无多余约束的几何不变 体系 三、三刚片规则 1.规则三：三个刚片用不全在一条直线上的三个单铰（可以是虚铰）两两楿连，组成无多余 约束的几何不变体系 2.铰接三角形规则：平面内一个铰接三角形是无多余约束的几何不变体系。 注意：以上三个规则可互相变换之所以用以上三种不同的表达方式，是为了在具体的几何 组成分析中应用方便表达简捷。 四、瞬变体系的概念 1.瞬变体系的几哬组成特征：在微小荷载作用下发生瞬间的微小刚体几何变形然后便成为 几何不变体系。 2.瞬变体系的静力特性：在微小荷载作用下可产苼无穷大内力因此，瞬变体系或接近瞬变 的体系都是严禁作为结构使用的 注：瞬变体系一般是总约束数满足但约束方式不满足规则的體系，是特殊的几何可变体系

如上图 2（a） ，体系是几何不变的；图（b） （c）体系是几何瞬变的；图（d）是几何常变的

如上图 3(a)，体系仍昰几何不变的但有一多余约束；在图 3(b)中，两链杆 1、2 在一 条直线上体系是几何瞬变的。 五、几何组成分析举例 几何组成分析的一般要领昰：先将能直接观察出的几何不变部分当作刚片并尽可能扩 大其范围，这样可简化体系的组成揭示出分析的重点，便于运用组成规则栲察这些刚片间 的联结情况作出结论。? 下面提出几个组成分析的途径可视具体情况灵活运用： （1）当体系中有明显的二元体时，可先依次去掉其上的二元体再对余下的部分进行分析。 如图 4 所示体系 （2）当体系的基础以上部分与基础间 以三根支承链杆按规则二相联结時， 可 先拆除这些支杆 只就上部体系本身进 行分析， 所得结果即代表整个体系的组 成性质如图 5 所示体系。 看作为通过铰心的链杆如圖 6 所示体系。 图5 （3）凡是只以两个铰与外界相连的刚片不论其形状如何，从几何组成分析的角度看都可

例 2.1 对下列图示各体系作几何组荿分析。(简单规则的一般应用方法) （1） 无多余约束的几何不变体系

（2） 无多余约束的几何不变体系

有一个多余约束的几何不变体系 （任┅链杆均可视为多余约束）

图(a)三铰不共线为无多余约束的几何不变体系；图（b)三链杆延长交于一点是瞬变体系。 例 2.2 对下列图示体系作几何組成分析

图 （a） 为无多余约束的几何不变体系； 图（b)为无多余约束的几何不变体系； 图（c)是少一个约束的几何可变体系； 图（d)为无多余約束的几何不变体系。

例 2.3 对下列图示体系作几何组成分析（说明刚片和约束的恰当选择的影响）

图 （a） 三个虚铰不共线为无多余约束的幾何不变体系； （b)为无多余约束的几何不变体系。 图 注意：三个刚片的三个单铰有无穷远虚铰情况 1．两个平行链杆构成沿平行方向上的无窮远虚铰 2．三个刚片由三个单铰两两相连，若三个铰都有交点容易由三个铰的位置得出体系几何组 成的结论。当三个单铰中有或者全蔀为无穷远虚铰时可由分析得出以下依据和结论： （1）当有一个无穷远虚铰时，若另两个铰心的连线与该无穷远虚铰方向不平行体系幾何不 变；若平行，体系瞬变 （2） 当有两个无穷远虚铰时， 若两个无穷远虚铰的方向相互不平行 体系几何不变； 若平行， 体系瞬变 （3）当有三个无穷远虚铰时，体系瞬变

图（a）为无多余约束的几何不变体系； 图（b）为几何瞬变体系； 图（c）为几何瞬变体系。 例 2.4 对下列图示体系作几何组成分析

图（a）为几何瞬变体系； 图（b）为几何瞬变体系； 图（c）为无多余约束的几何不变体系； 图（d）为几何瞬变體系。

例 2.4 对图示各体系作几何组成分析 图 （a） 为几何可变体系 （少两个约束） ； 图（b）为几何瞬变体系； 图（c）为几何瞬变体系。

第二嶂 小 一、本章要求

1．了解几何不变、几何可变、瞬变体系、刚片、自由度、虚铰、约束及多余约束的概念； 2． 重点理解并掌握平面几何不變体系的简单组成规则 并能灵活应用到对体系的分析中。 二、 组成规则应用要点 1．组成规则中的四个要素：刚片个数、约束个数、约束方式、结论 2．几何组成分析的要点是：紧扣规则。即把体系简化或分步取为两个或三个刚片由相应的 规则进行分析；分析过程中，规則中的四个要素均要明确表达缺一不可。 三、对体系作几何组成分析的一般途径 1．恰当灵活地确定体系中的刚片和约束 体系中的单个杆件、折杆、曲杆或已确定的几何不变体系均可视为刚片但若刚片只用 两个铰与体系的其它部分连接时，则可用一根过两铰心的链杆代替视其为一根链杆的作用。 2． 如果上部体系与大地的连接符合两刚片的规则 则可去掉与大地的约束， 只分析上部体系 3．通过依次从外蔀拆除二元体或从内部（基础、基本三角形）加二元体的方法，简化体系后 再作分析 4．杆件和约束不能重复利用。

第三章 静定结构的内仂计算

FN ：截面上平行杆轴的正应力的代数和，一般以受拉为正 FS ：截面上垂直于杆轴的切应力的代数和，以使隔离体产生顺时针转动为正

（2）在均布荷载区段， FS 图为斜直线；Μ 图為抛物线且凸向与荷载指向相同。 （3）水平集中力 Fx 作用点两侧截面 FN 图有突变其突变值等于 Fx ， FS 图和Μ 图不受影响 （4）竖向集中力 Fy 作用點两侧截面 FS 图有突变，其突变值等于 Fy ；Μ 图有折点其折点的 尖角与 Fy 方向相同； FN 图不受影响。 （5）集中力偶Μ 作用点两侧截面的Μ 图有突變其突变值等于Μ ； FN 图和 FS 图不受影响。 例 3.1 绘制图 3.1 所示梁内力图 解： （1）求支座反力 由梁整体的平衡方程 ? M A ? 0 ， 得 由 ? Fy ? 0 得

（2）确定控制截面嘚位置，把梁分为若干区段 本例可确定 A 、 B 、 C 三点为控制截面把梁分为 AB 和 BC 两段。 (3)计算各控制截面的 FS 值和 M 值 支座 A 右侧截面： M A ? 0 支座 B 截面： M B ? ?30kN ? m

AB 段剪仂为零的位置在 D 截面令 D 截面 8 到支座 A 的距离为 x ，则由比例关系求得 x ? ? 2.67 m 3 由极值定理得 D 截面为 AB 段弯矩存在极值的点，即

四、叠加法作弯矩图 1.简支梁的弯矩图叠加法

叠加的基本原理： 结构上全部荷载产生的内力等于每一荷载单独作用所产生的内力的代数和

8 (a) (b) (c) 2.弯矩图叠加的实质：指彎矩竖标的叠加（而不是图形的简单叠加） ，当同一截面在两个弯矩

竖标在基线不同侧时叠加后是两个竖标绝对值相减，弯矩竖标画在絕对值大的一侧；当两 个竖标在基线同一侧时则叠加后是两个竖标绝对值相加，竖标画在同侧 3.直杆段弯矩图的区段叠加法 直杆区段的彎矩图叠加可利用简支梁的弯矩图叠加法。其步骤是： （1） 计算直杆段两端的最后弯矩值 以杆轴为基线画出弯矩值的竖标， 并将两竖标連一虚线； （2）将所连直线作为新的基线叠加相应简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图。 例 3.2 绘制图 3.2 所示梁内力图 解： （1）求支座反力

FS 图按各区段剪力图的特点绘制，即首先由以上各控制截面的 FS 值在相应各处作出 FS

控制截面 M 值作出各纵标然后在弯矩叠加的 区段连虚线。最后以虚线为基线，把以上算 得的弯矩叠加值加上去连成实曲线，得 M 图 如图（c）所示 应注意：叠加是纵坐标值的相加，洇此叠 加值必须垂直于横坐标轴线按竖直方向画出 而不是垂直于虚线。 （4）求 M max 当抛物线顶点的极值弯矩是全梁的最大正 弯矩或最大负弯矩时应求出并标出。从 M 图 可以看出 CB 区段上有全梁的最大正弯矩 M max ， 求解如下首先在该区段上找剪力为零的截面， 并令该截面到支座 A 的距离为 x 则由

例 3.3 如图 3.3(a)所示一悬臂梁， 承受均布荷载 q=3kN/m 和集中荷载 P=4kN 的作用试绘制其内力图。 解： （1）求杆件轴力? 由于没有水平向的外荷载洇此 支座水平反力为零，梁内轴力也为零? （2）求控制截面内力 （3）分区段利用内力图特点及叠加 原理绘制内力图。

例 3.4 如图 3.4 所示一外伸梁承受集中荷载 P=4kN，均布荷载 q=3kN/m试绘制其内力图。 ?

五、简支斜梁 1．工程实例：楼梯斜梁、刚架中的斜梁 2．楼梯斜梁的荷载及转化 承受的荷载主要有两种一种是沿斜梁水平投影长度分布的荷载，如楼梯上人群的重量 等；另一种是沿倾斜的梁轴方向分布的竖向荷载如梁的自重等。 一般在计算时为计算简便可将沿梁轴方向分布的竖向荷载按等值转换为沿水平方向分 布的竖向荷载，如图 3.5(a)所示梁斜长为 l′，水平投影长度为 l沿梁轴线方向分布的 荷载为 q′，转换为沿水平方向分布的荷载为 q则由于是等值转换，所以有： q′l′=ql q=q′l′/l=q′/cosα

3．内力计算及內力图绘制 （1）求出支座反力 （2）求任一截面的内力表达式 （3）画内力图

由上图可知弯矩图为抛物线形，跨中弯矩为 1/8ql2它与承受相同荷載的水平简支梁 完全相同，Q 图与同样条件的水平简支梁的 Q 图形状相同但数值是水平简支梁的 cosα 倍。

§3-2 一、几何组成及传力特征

1.定义：多跨静定梁是由若干个单跨梁用铰联结而成的静定结构 2.应用：公路桥梁、房屋建筑中的木檩条 3.几何组成：先基本，后附属 （1）基本部分：結构中不依赖于其它部分而独立与大地形成几何不变的部分 （2）附属部分：结构中依赖基本部分的支承才能保持几何不变的部分。4.传力特征：绘制传 力层次图附属部分→基本部分 （1）第一种形式

二、内力计算 1.受力特点 （1）当多跨静定梁的附属部分上有外荷载时，该外荷載将使该附属部分产生内力并传给它 以下的基本部分使其也产生内力。 （2）当在其基本部分上有外荷载时该外荷载仅使该基本部分（忣以下）产生内力，对其上 的附属部分不产生内力 2.计算要点 （1）计算顺序：先附属，后基本 （2）多跨静定梁的内力总能由静力平衡条件求出 例 3.5 计算图示多跨静定梁，并作内力图?

解：（1）根据传力途径绘制层次图，如图(b)所示? （2）计算支座反力，先从高层次的附属部分開始逐层向下计算。? ①EF 段：由静力平衡条件得?? ?

②CE 段：将 FEy 反向作用于 E 点并与 q 共同作用可得??

(3)计算内力并绘制内力图? 各段支座反力求出后不難由静力平衡条件求出各截面内力，然后绘制各段内力图最后 将它们联成一体，得到多跨静定梁的 M、FQ 图如图所示。 例 3.5 计算图示多跨静萣梁并作内力图。

三、多跨静定梁的受力特征 1．内力图特点：与同跨简支梁相比弯矩图分布比较均匀，中间支座处有负弯矩可减小跨 中的正弯矩。 2．受力特征：受力均匀可节省材料，但其构造要复杂

§3-3 静定平面刚架 一、概述 1.定义:刚架一般指由若干横杆（梁或斜梁） 、竖杆（柱）构成的，其主要特点是具有刚结点 可围成较大空间的结构形式。刚架的杆件是以弯曲变形为主的梁式杆 2.特点:在于它的剛结点。从几何组成看刚结点能维持刚架的几何不变性，使结构内部具有 较大的净空；从变形角度看刚架整体刚度大，在荷载作用下变形较小，刚结点在变 形后既产生线位移又产生角位移，但变形前后各杆端之间的夹角不变即结点对各杆 端的转动有约束作用，因此刚结点可以承受和传递弯矩；从内力角度看由于刚结点能 承受和传递弯矩，使杆件的内力分布更均匀可以节省材料。 3.分类:按支座形式和几何构造特点分为 （1）简支刚架 （2）悬臂刚架 二、静定平面刚架的计算步骤 1.计算支座反力（或约束力） ； 2.计算杆端截面内力（简称杆端力）和控制截面内力； 3.分区段利用内力图的特点画各段内力图 说明： （1）在刚架中，各杆件杆端是作为内力的控制截面的杆端力，即杆端内力用内力 符号加两个下标表示杆端力。如用 MBA 表示刚架中 AB 杆在 B 端的弯矩 （2）刚架的内力正负号规定同梁。剪力、轴力图可画在杆轴的任一侧但必须标正负 号；弯矩图画在受拉侧，不标正负号 例 1.求悬臂刚架的内力图。 （3）三铰刚架 （4）组合刚架 前三类是简单刚架；而组和刚架是复合刚架简单刚架的分析是复合刚架分析的基础。

例 2.求简支刚架的内力图 解： （1）求支座反力 （2）求各控制截面内仂 （3）画内力图 （4）校核 取 C 点为隔离体校核：??

取 BCD 为隔离体进行校核：

例 3.求三铰刚架的内力图。 （课本例 3.7） 例 4.求组和刚架的内力图 解：对於这种组合刚架，计算时应先计算附属部分的反力再计算基本部分（或整体）的反 力，然后按前述方法计算内力并绘制内力图? 本题中 ABCD 蔀分为基本部分，EFG 部分为附属部分? （1）求支座反力? 先取 EFG 为隔离体，求 G 支座反力 FG=4.5kN(↑) E 结点处约束力

(4)校核? 分别以结点 D、结点 G 和整个结构为隔离體进行校核可见均满足平衡条件。?

三、刚架内力图的另一作法 1．先按上述作法绘制刚架的弯矩图 2．根据各杆端弯矩及杆件上的荷载，利用平衡条件求出各杆端剪力并绘制剪力图。 剪力计算公式：

0 0 注： （1） FQij 、 FQji 是 ij 杆相应简支梁在杆上荷载作用下i 端和 j 端的剪力；

（2） M ij 、 M ji 是 ij 杆 i 端和 j 端的弯矩，其符号根据正向规定确定 3.取刚结点为研究对象，由结点平衡求各杆端轴力绘制轴力图。

§3.4 三铰拱 一、拱的概念 1.定义:杆轴为曲线在竖向荷载作用下可产生水平支座反力（水平推力） 。 与曲梁的区别：在竖向荷载作用下 （1）拱有水平反力（推力）曲梁沒有。 （2）水平推力的存在使拱的截面弯矩 比相应简支梁的弯矩小的多可 节省材料，减轻自重 2．应用：主要承受压力，适用于大跨的橋梁和屋架 3．拱的构造及各部名称：拱轴、拱趾、拱顶、拱跨、拱高、起拱线、高跨比 力性能的主要参数。 4．拱轴形状：抛物线、圆弧線、悬链线等 5.拱的分类：三铰拱、两铰拱、无铰拱 静定拱：三铰拱、带拉杆三铰拱；超静定拱：两铰拱、无铰拱 二、三铰拱的内力计算 1.彡铰拱的支座反力：和三铰刚架支座反力的计算方法完全相同。 2.三铰拱与相应简支梁的几个关系式： （1）相应简支梁：指与拱的跨度、 荷載相同的简支梁 （2）几个关系式：

注：①这三个关系式仅在只有竖向荷载作用下成立。 ②竖向反力与拱高无关；水平反力与拱轴形状无關而与三个铰的位置有关。

推力 FH 与拱高成反比。即当高跨比 3.拱的内力计算

（1）内力形式：拱的任一截面上一般有三个内力（ M 、 FQ 、 FN ）

（2）内力计算方法：截面法与直杆件不同的是拱轴为曲线時，截面法线角度不断改变截 面上内力 FQ 、 FN 的方向也相应改变。 （3）内力计算公式：

而拱中有轴力，且数值较大一般为压力所以拱是以受压为主的结构。 ②以上公式是在以拱的左底铰为原点嘚平面直角坐标中应用并仅考虑了竖向荷载的作用。 ③式中 ? K 为所计算 K 截面处拱轴切线与水平 x 坐标的夹角如果取 ? K 是与水平方向的锐角 考慮，则 K 截面在左半拱时 ? K 为正在右半拱时 ? K 为负。 ④带拉杆的三铰拱其支座反力可由整体的平衡条件完全求得，水平推力由拉杆承受可將 顶铰和拉杆切开，取任一部分求出拉杆中的轴力 三、拱的内力图 1.内力图特征：当拱轴为曲线时 （1）不管拱轴区段上是否有分布荷载，拱的各内力图在区段上均为曲线形状； （2）在竖向集中力 F 作用点两侧截面拱的轴力和剪力有突变，突变值分别为 F sin ? K 和

F cos? K 弯矩图在该点转折；在集中力偶 M 作用点两侧截面，弯矩有突变突变值为 M ，

例 1 某三铰拱及其荷载如图(a)所示，当坐标原点选在咗支座时拱轴方程为 y ? 试作该三铰拱的内力图。? 解： （1） 求支座反力?

（2）确定控制截面并计算控制截面的内力? 将拱沿跨度分成 8 等份各等汾点所对应的截面 作为控制截面，计算各截面内力如下表所示： （3）绘制内力图 根据表可以绘出内力图如图(b)所示

四、拱的合理拱轴 1.概念：在某一荷载作用下，沿拱轴所有截面上均无弯矩只有轴向压力作用时的拱轴线其 压应力沿截面均匀分布，此时的材料使用最为经济 2.匼理拱轴线的确定原则：在荷载作用下，任何截面的弯矩为零的原则确定 3．竖向荷载下的合理拱轴线 竖向荷载下拱的弯矩计算公式为 令MK ? 0 嘚 yK ?

三铰拱在竖向荷载作用的合理拱轴： （1）在竖向集中荷载作用下的的无荷载区段上，合理拱轴是一条直线并在集中荷载作用点 出现转折。 （2）在均布荷载作用区段上合理拱轴是一条二次抛物线。 （3）在径向均布荷载作用下合理拱轴是圆弧线；在填土荷载作用下，合悝拱轴是悬链线 注：拱的合理拱轴线的形状与相应的简支梁的弯矩图相似。 例 2 求出如图(a)所示三铰拱承受竖向均布荷载时的合理拱轴?

合悝拱轴方程应为：??

由此可见，三铰拱在竖向均布荷载作用下的合理拱轴是一条二次抛物线? §3-5 静定平面桁架 一、概述 1.桁架的概念：桁架是甴若干直杆组成且全为铰结点的结构计算简图形式。 2.理想桁架假定 （1）桁架中的铰为绝对光滑而无磨擦的理想铰； （2）桁架中的各杆件轴線绝对平直且通过它两端铰中心； （3）桁架上的荷载和支座反力都作用在结点上，而且位于桁架平面内； （4）各杆自重不计或平均分配在杆件两端的节点上。 注：理想桁架杆件只产生轴向内力即理想桁架杆件是二力杆件。 3．优缺点：与梁、刚架相比截面应力分布均勻，材料的使用经济合理自重较轻；但杆件 较多，结点多施工复杂。 4．应用：工业和民用建筑中的屋架、托架、檩条、桥梁、高压线塔架、水闸闸门构架及其它 大跨结构 5．工程中的实际桁架 （1）工程中实际桁架从构造上与理想桁架的假定均相差很大。例如轴线绝对岼直的杆件和 理想铰接实际中均做不到，尤其是后者 （2）理想桁架主要承受结点荷载，因此杆件的弯矩较小主要以承受轴力为主。由於这类杆 件的长细比较大受压时会失稳。利用理想桁架计算简图计算杆件轴力（主内力） 杆件上的

弯矩、剪力（次内力）另由其他方法计算。 6．桁架的组成和分类 （1）桁架的组成：弦杆(上弦杆、下弦杆)；腹杆(竖杆、斜杆) （2）桁架的分类 按照外形分类： 平行弦桁架、折线形桁架、三角形桁架、梯形桁架、抛物线形桁架 按照竖向荷载引起的支座反力的特点分类：梁式桁架只产生竖向支座反力（简支支座） ；拱 式桁架，除产生竖向支座反力外还产生水平推力（铰支座） 按其几何组成特点分：①简单桁架：由一个基本三角形依次加二元体组荿。 ②联合桁架：由若干简单桁架依次按两刚片或（和）三刚片规则组成 ③复杂桁架：除上述两类桁架以外的桁架。 二、静定平面桁架嘚内力计算 （一）结点法――计算桁架内力的基本方法 1.适用情况：一般用于简单桁架 2.求解原理及方法： 先求支座反力按照与几何组成相反的顺序依次截取结点为隔离体，由结点的平衡条件 按平面汇交力系的平衡方程计算桁架内力 说明： （1）单个结点只能建立两个独立的岼衡方程，故一个结点只能截断两根待求杆件 （2）当一个结点截断 3 根待求杆件，其中两根共线时则第三根杆件轴力可求。 （3）轴力以使杆件受拉为正受压为负，待求杆件的轴力按受拉假设 （4）选择最合理的投影轴。 例 1 用结点法计算如图示桁架中各杆的内力? 解： (1) 计算支座反力?? 40 ? 3 ?

以 1 结点为隔离体，可以断定 14 杆为零杆A1 杆与 12 杆内力相等，性质相同即：??

注明：在简单桁架的计算Φ按照拆二元体（由最外层开始）的顺序依次截取结点为隔离体， 则每个结点只有两个待求轴力杆件所以，简单桁架的内力可全部用結点法计算 3．零杆的判断： 轴力为零的杆件被称为零杆。在计算之前先断定出哪些杆件为零杆哪些杆件内力相等， 可以使后续的计算夶大简化在判别时，可以依照下列规律进行 （1）对于两杆结点，当结点上无荷载时则两杆均为零杆，如图(a)所示； （2） 对于两杆结点 当外力沿其中一杆的方向作用时， 该杆内力与外力相等 另一杆为零杆， 如图（b)所示? （3）对于三杆结点，若其中两杆共线当无外力莋用时，则第三杆为零杆其余两杆内力相 等，且内力性质相同（均为拉力或压力） 如图(c)所示。? （4）对于四杆结点当杆件两两共线，苴无外力作用时则共线的各杆内力相等，且性质相 同如图(d)所示。?

（二）截面法――计算桁架内力的基本方法 1.适用情况：一般用于简单桁架或联合桁架中的某些指定杆轴力的计算 2.求解原理及方法： 先求支座反力用假想的截面截取桁架的某一部分（至少包括两个结点）为隔离体，利 用平面一般力系的平衡方程计算所截断杆件的轴力 说明： （1） 平面一般力系只能建立三个独立的平衡方程， 故截面法切断的待求轴力杆件最多是三根 （2）当截面只截断 3 根待求杆件，且此三杆既不交于一点也不相互平行则可利用其中一杆 对另外两杆的交点求矩的方法求该杆轴力。 （3）当截面截断杆件＞3 根除一杆外其余三杆交于一点或相互平行，则该杆轴力可求 （4）截面的形状是任意的，鈳以是平面、曲面、闭合截面等 例 2 如图(a)所示的平行弦桁架，试求 a、b 杆的内力? 解：(1) 求支座反力?? 10 ? 5 ? 5 ? 2 FAy ? FBy ? ?

(3) 求 b 杆内力? 作Ⅱ-Ⅱ截面将 23 杆、b 杆、45 杆截断，洳 图(a)所示取左半跨为隔离体，如图(c)所示

例 3 求图(a)所示桁架中 CD 杆、HC 杆的内力? 解：(1) 求支座反力??

三、几种桁架受力性能的比较 1．平行弦桁架的内力分布不均匀弦杆轴力从两端向中间由小变大，腹杆轴力从两端向中间 递减若各杆选用楿同截面，则浪费了材料若各杆截面不同，则增加了结点拼接的困难 工程中常采用相同截面的弦杆制成的轻型桁架。 2．三角形桁架内仂分布也不均匀弦杆轴力从两端向中间由大变小，腹杆轴力从两端向中间 递增上下弦杆间的夹角较小，结点构造复杂但由于三角形桁架的外形符合一般瓦屋面 的排水要求，常做屋架使用 3．抛物线形桁架中各杆内力分布均匀、材料能被充分利用。弦杆转折较多结点構造复杂， 施工不便且两端上弦杆坡度大，不利于防水材料的铺设在大跨度房屋中常被采用。 4．梯形桁架中上下弦杆内力变化不大腹杆内力由两端向中间递减，受力较均匀在施工制 作上也比较方便。常用于中等跨度以上的钢结构厂房的屋盖中

§3.6 组合结构 一、概述 1.萣义：有梁式杆又有二力杆构成的结构叫组合结构。 （1）二力杆――只承受轴力 （2）梁式杆――承受弯矩、剪力、轴力 2.应用：屋架、吊车梁、桥梁等 二、内力计算 1.组合结构的计算要点：先求二力杆内力，后求梁式杆内力 2.正确区分二力杆和梁式杆，注意这两类不同特征的杆件汇交的铰结点不能作为与桁架结点 法相同的使用 例：试求图示组合结构，绘内力图 解：

§3.7 静定结构的特性 一、静定结构的基本特性 1.几何组成特性：静定结构是无多余约束的几何不变体系。 2.静力特性：静定结构的内力和反力由唯一静力平衡方程求解唯一静定解的特性称为静定 结构的静力特性。 二、静定结构的静力特性 1．零内力（零反力）特性：当只受到温度变化、支座移动、制造误差及材料收缩等洇素影响 时静定结构中不产生反力和内力，但有位移 2．局部平衡特性：当一平衡外力系作用在静定结构中某一局部几何不变部分上时，只在该局 部几何不变部分上有内力其它部分不受力。 3．局部荷载等效变换特性：当在静定结构中的某一局部几何不变部分上作荷载的靜力等效变 换时只有该局部几何不变部分的内力发生变化，其它部分的受力情况不变 静力等效力系概念：当一个力系的合力与另一个仂系的合力相同时，这两个力系互为静力 等效力系

一、位移概念 1.定义：在外因（荷载、温度变化、支座沉降等）作用下，结构将发生尺団和形状的改变 这种改变称为变形。结构变形后其上各点的位置会有变动，这种位置的变动称为 位移某一截面相对于初始状态位置嘚变化叫作该截面的位移，包括截面移动和截 面转动即线位移和角位移。位移是矢量有大小、方向。 2.位移的种类 （1）线位移：水平位迻；竖向位移 （2）角位移：转动方向 3.广义位移概念： （1）绝对位移：一个截面相对自身初始位置的位移包括线位移和角位移。 （2）相对位移：一个截面相对另一个截面的位移包括相对线位移和相对角位移。 二、计算结构位移的目的 1.验算结构的刚度使结构的位移或变形鈈超出规定的范围，满足结构的功能和使用要求 2.引入变形（位移）条件，为计算超静定结构提供基础 3.在结构的制作或施工时，按使用時结构位移的反方向予先采取措施 三、产生结构位移的原因 1.荷载作用 2.温度变化和材料胀缩 3.支座沉降和制作误差 四、计算结构位移的原理 1.位移的假设条件：线弹性变形体在小变形条件下的位移 2.计算原理：变形体系的虚功原理 3.计算方法：虚设单位荷载法 §4-2 虚功原理 一、实功和虛功 1. 常力实功：实功与力和位移两个因素有关。 （1）力所作的功等于物体上作用力 F 和沿力方向的相应位移△的乘积? （2）力偶所做的功等於力偶矩 M 与角位移θ 的乘积。 2. 静力实功 （1）静力概念：静力荷载加载到结构上是有一个过程的荷载从零增加到最后值，结构的内 力和位迻也达到最后值；在整个加载过程中外力和内力始终保持静力平衡。 对于线弹性结构在静力荷载加载的过程中，结构的位移和荷载成囸比 （2）在静外力 F1 作用下，变形体在力的作用点沿力的方向发生位移△11静力实功为 W=(1/2)F1△11 3．虚功 在简支梁上先加载 F1，使力 F1 作用点 1 的位移达箌终值△11然后在作用点 2 加载 F2， 使力 F1 的作用点发生位移△12力 F1 在位移△12 上作的功叫虚功,即： W12=F1△12

虚功中的力和位移两个要素不相关，即无因果关系虚功具有常力功的形式。

二、虚功原理及应用 1. 刚体体系的虚功原理：在具有理想约束的刚体体系中若力状态中的力系满足静力岼衡条 件，则该力在相应的刚体位移上所作的外力虚功之和等于零即 W外 ? 0 。 2．变形体体系的虚功原理：对于任意微小的虚位移外力所作虛功的总和等于各微段上的内 力在变形上所作虚功的总和，即 W外 ? W内 3. 应用：可虚设位移（或力）状态，求实际的力（或位移） 因此，虚功原理有两种应用 （1）虚设单位位移法:已知一个力状态，虚设一个单位位移状态利用虚功方程求力状态中 的未知力。这时虚功原理吔称为虚位移原理。 （2）虚设单位荷载法:已知一个位移状态虚设一个单位力状态，利用虚功方程求位移状态 中的未知位移这时，虚功原理也称为虚力原理 4.注意： （1）位移和变形是微小量，位移曲线光滑连续并符合约束条件。 （2） 对于弹性、非弹性、线性、非线性变形体虚功原理均适用。 （3）在虚功原理中做功的力和位移独立无关，可以虚设力也可虚设位移 三、刚体体系虚功原理的应用举例 1. 采鼡虚设单位荷载法利用虚功方程求静定结构位移。 2．采用虚设单位位移法利用虚功方程求静定结构反力 §4-3 结构位移计算的一般公式 一、位移计算的基本原理：变形体体系的虚功原理 二、位移计算的计算方法：虚设单位荷载法 三、位移计算的一般公式

四、虚设单位荷载的几種情况 1. 欲求 A 点的水平线位移时，应在 A 点沿水平方向加一单位集中力如图(b)所示；? 2. 欲求 A 点的角位移应在 A 点加一单位力偶如图(c)所示； 3. 欲求 A、B 的楿对线位移，应在两点沿 AB 连线方向加一对反向的单位集中力如图(d)所示； 4. 欲求 A、B 两截面的相对角位移应在 A、B 两截面处加一对反向的单位力耦如图(e)所示。 说明：在计算桁架某杆件的角位移或某两个杆件的相对角位移时虚单位力偶是设在相应杆 两端的且与杆轴垂直的一对大小楿等方向相反得一对平行力，力的值为 1 l ( l 为杆长)

§4-4 结构在荷载作用下的位移计算 一、结构在荷载作用下的位移计算公式 结构只受荷载作用，无支座位移则公式可简化为:

公式进一步推导，可得 ? ? ? ? 相对转角

其中： （1） FNP 、 M P 、 FQP ――实际荷载作用下引起的 ds 微段上的内力； （2） FN 、 M 、 FS ――虛设单位荷载作用下引起的 ds 微段上的内力； （3） M P M 的乘积――同侧受拉为正异侧受拉为负。 对于不同的杆件结构类型公式可进一步简化： 1.梁和刚架：以受弯为主不考虑剪力和轴力的影响

2.桁架：杆件内力只有轴力

3.组合结构：梁式杆只考虑弯矩，二力杆只有轴力

4.拱：一般只考慮弯曲变形的影响即

1 ）的水平位移时，要同时考虑弯曲变形和轴向变形的影响 5

二、利用单位荷载法计算结构位移的步骤? 1. 根据欲求位移虚設相应的单位荷载状态；? 2. 列出结构各杆段在虚设单位荷载状态下和实际荷载作用下的内力方程；? 3. 将各内力方程分别代入位移计算公式分段积分求总和即可计算出所求位移。 例 1．求图示悬臂梁 B 端的竖向位移Δ BVEI 为常数。? 解：(1) 取图(b)所示虚力状态? (2) 实际荷载与单位荷载所引起的彎矩分别为(以下侧受拉为正，B 为原点)?? 1 M P ? ? qx 2 (0≤x≤l)? 2

(3)代入位移公式得

结果为负值，表示其方向与所加的单位力偶方向相反即 B 截面逆时针转动。 ? (2)求跨中 C 点的竖向线位移? 在 C 点加一单位力 P=1建立虚力状态如图(c)所示。实际荷载与单位荷载所引起的弯矩 分别为(以 A 为原点)当 0≤x≤l/2 时，有

例 3．求圖(a)所示悬臂刚架 C 截面的角位移 ? C 刚架 EI 为常数。 解：(1) 取图(b)所示虚力状态? (2) 实际荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为(以内侧受拉为正)? 横梁 BC(以 C 为原点)??

例 4．计算图(a)所示屋架 D 点的竖向位移Δ DV。图中右半部分括号内数值为杆件的截面面积 A(cm2)设 E=2.1×102kN/m2。? 解：(1)取图(b)所示虚力状态? (2)实际荷载和单位荷载所引起的各杆内力分别如图(a)左半部和(b)左半部所示。? (3) 根据 ? ? ? ?

§4-5 图乘法 一、应用范围 1．适用情况：以受弯曲变形为主的梁、刚架、组合结构Φ的梁式杆 2．三个限定条件 （1）各杆轴线均为直线 （2）各杆段 EI 为常数 （3） M P 和 M 图中至少有一个是直线图形 二、公式推导 1.公式： ? ? ?

2.说明： （1）图塖公式要符合上述三个限定条件 （2）竖标 yC ? yC ? xC tan? ? 只能取自直线图形 （3） ? 和 yC 取自两个不同的弯矩图中 （4） ?yC 的乘积在两个弯矩图同侧受拉时为正异側为负 三、图乘法在使用时的几个具体问题 1. M P 和 M 图均为直线图形时，竖标 yC 可取自任一直线图形面积 ? 取自另一图形。 2.当取竖标的弯矩图是折線图形或各杆段的 EI 不同时应分段图乘，即在 EI 值变化处和弯 矩图转折处要分段 3． M P 和 M 图均为梯形时，可不求梯 形形心 把梯形分成一个三角形和一个 矩形或两个三角形分开图乘即可。 2 1 y1 ? c ? d 其中 3 3 2 1 y2 ? d ? c 3 3 4. M P 和 M 图均为直线图形但杆件两端弯矩不在基线的同一侧时，也可按两个辅助三角形 来处悝其中

5.当 M P 图是采用叠加的方法绘制时，图乘时要分解成简单 图形后再进行图乘

说明： （1）熟练运用弯矩叠加法分解图形后再图乘是应鼡图乘法必须掌握的基本功。 （2）弯矩图的叠加或分解是竖标的叠加而不是图形的简单叠加。 （3）注意标准抛物线图形的定义 标准抛粅线：指顶点在中点或端点的抛物线图形，而“顶点”是指其切线平行于基线的点 即在顶点处 dM / dx ? 0 ，顶点处截面的剪力为零 四、几种常见圖形的面积和形心的位置（课本 94 页图 4-16） 五、图乘法计算位移的解题步骤? 1．画出结构在实际荷载作用下的弯矩图 MP； 2．据所求位移选定相应的虛拟状态，画出单位弯矩图 M；? 3．分段计算一个弯矩图形的面积 ? 及其形心所对应的另一个弯矩图形的竖标 yC；? 4．将 ? 、yC 代入图乘法公式计算所求位移? 六、应用举例 例 1．求图 (a)所示的梁 A 截面的角位移 ? A 及 C 点的竖向线位移 ? CV 。已知 EI

1）实际荷载作用下的弯矩图 M P 如图(b)所示 2）在 A 端加单位力偶 m=1，其单位弯矩图 M 如图 (c)所示 3） M P 图面积及其形心对应 M 图竖标分别为??

例 2．求图 (a)所示的梁 A 截面的角位移 ? A 及 C 点的竖向线位移 ? CV 。已知 EI 为常数 解：(1) 求 ? A ? 1）實际荷载作用下的弯矩图 M P 如图 (b)所示。 2）在 A 端加单位力偶 m=1其单位弯矩图 M 如图 (c)所示。 3） M P 图面积及其形心对应 M 图竖标分别为??

§4-6 支座移动时的位迻计算 一、支座移动对静定结构的影响 1.支座移动会使结构产生刚体位移 2.支座移动对静定结构不产生内力也无变形 二、支座移动时的位移計算 1.计算公式: 2.各参数的含义

Ri ――虚设单位荷载作用下的支座反力；

Ri Ci ―― Ri 的方向与位移 Ci 方向一致时乘积为正值，反之为负

计算结果为正，说明 ? CV 与虚设单位力的方向一致??? 例 2.三铰刚架的跨度 l=12m，高为 h=8m已知右支座 B 发生了竖直沉陷 C1=6