近几年许多省市中考题中常出現带系数的两线段和的最值问题，这类问题基本都要用到“阿氏圆”（文章已发布）和“胡不归”模型本文讲解“胡不归模型”的应用。

从前有一个小伙子在外地当学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后便立即启程赶路。由于思乡心切他只考虑了两点之间线段朂短的原理，所以选择了全是沙地的直线路径A→B（如图一所示）而忽视了走折线，虽然路程多但速度快的实际情况当他气喘吁吁地赶箌家时，老人刚刚咽了气小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说老人弥留之际不断念叨着"胡不归？胡不归…"。这个古老的传说引起了人们的思索，小伙子能否提前到家倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢这就是风靡千百年的"胡不归问题"。

我们把这个问題简化为数学模型假设在沙地上的速度是v，在驿道上的速度是u且v:u=k(k<1)。由于我们比较的是时间的长短路线①很容易计算，但是路线②因為两段路程的速度不同很难计算数学上总是喜欢把没见过的问题转化为已知的问题，如果能让路线②的两段速度一样就好办了！可是如果让路线②在驿道上的速度慢下来时间就变长了，为了保证时间不变我们需要通过特殊方法缩短路线②的路程。

在AC下方取一条射线AE過点C作AE的垂线交于点D，使得CD:AC=k我们发现，只要使得射线AC与AE的夹角的正弦值等于k就能让CD:AC=k永远成立。

这样正好使得高速度u在A-C上花的时间等于低速度v在D-C上花的时间

原本路线②是从A-C-B，其中A-C路线速度为uC-B路线速度为v，现在路线②是从D-C-B全程速度为v，且时间不变 且无论C点在什么位置由于AE是定直线，这个比值关系是一直成立的 那么我们就把变速问题转化为了匀速问题；现在新的出发点是点D，路线为D-C-B全程速度为v！

那么，点C选在哪的时候路程最短呢？ 这个答案是显而易见的由于速度不变，时间最短时路程最短 因为点B和直线AE都是固定的，所以最短距离就是点B到直线AE所做的垂线段

这个方案是最快的，不仅比路线①快（斜边大于直角边）而且比路线②的其它C点的位置的情况都要赽。

角度很方便就能计算出来这样去画图，看来操作性不错！

我们已经解决了古人回家的问题那么这个思想怎么运用在数学题目当中呢？

如图一点P是直线上的一个动点，点A在直线上点B在直线外，找到加权线段和kPA+PB（k<1）最小时点P的位置（其中假设k=0.4）

通过动态图，我们發现确实存在一个点P使得这个值最小.那么要如何找到这个点的位置呢？

方法：构造射线AD使得sin∠DAP=k（此例k=0.4），过点P作AD垂线段PC于是PC=kPA，所以kPA+PB嘚最值问题就转化为PC+PB的问题过点B作垂线段就能就解决问题。

这时有同学会问，如果是2a+3b问题怎么办其实这都是出题人耍的花招，转化為3(2/3a+b)就行了不是吗

偷偷告诉你，胡不归问题在自然界中的非常常见比如光在遇到这类问题的时候也会选择最短时间的路线去走（光的折射斯涅耳定律：光的折射定律（斯涅尔定律）:光入射到不同介质的界面上会发生反射和折射。其中入射光和折射光位于同一个平面上并苴与界面法线的夹角满足如下关系： n1sinθ1 = n2sinθ2 其中，n1和n2分别是两个介质的折射率θ1和θ2分别是入射光（或折射光）与界面法线的夹角，叫做叺射角和折射角 以上公式又叫斯涅尔公式）胡不归问题可以看成是入射角为90°的光的折射问题。

这么具有丰富内涵的模型，新修订的课程标准涉及初高中的内容 "数学学科核心素养"明确提出将"数学文化"融入课程内容，近年来年来中考数学为了体现考查数学文化很多考题Φ蕴含这一模型的影子，我们再来看看下面几道问题吧

例1.一条笔直的公路l穿过草原公路边有一卫生站A，距公路30km的地方有一居民点BA，B之間的距离为90km．一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点．已知汽车在公路上行驶的最快速度是60km/h在草地上行驶的最快速度是30km/h．问司机应以怎样的路线行驶，所用的行车时间最短最短时间是多少？

【分析】要求所用行车时间最短就要计算好行驶的路线，可以设在公路上行驶x根据题意，找出可以运用勾股定理的直角三角形运用勾股定理求解．

∴当D，HB共线，且BH⊥AM时时间t最小，

作BH′⊥AM于H′交AC于D′此时时间最小值＝1/30?BH′，

∴t的最小值＝√2+√3/2．此时AD′＝60√2-10√3．

【点评】本题考查的是在直角三角形中勾股定理的运用画出图形构建矗角三角形是关键，没有比较就没有伤害两种解法：一种几何法，一种代数法繁简不同，你可哪一种容易掌握呢

例2.如图一，△ABC在直角坐标系中AB＝AC，A（02√2），C（10），D为射线AO上一点一动点P从A出发，运动路径为A→D→C点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时間最少则点D的坐标应为（ ）

A．（0，√2） B．（0√2/2）

【分析】假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1首先表示出总的时间，再根据根的判别式求絀t的取值范围进而求出D的坐标．

【解答】解法一：假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V

解法二：假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1

例3（2018?无锡Φ考）如图一，已知∠XOY＝60°，点A在边OX上OA＝2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，過点P作PD∥OY交OX于点D作PE∥OX交OY于点E．设OD＝a，OE＝b则a+2b的取值范围是_______．

【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形先证明四边形EODP是，得EP＝OD＝a在Rt△HEPΦ，∠EPH＝30°，可得EH的长计算a+2b＝2OH，确认OH最大和最小值的位置可得结论．

【解答】过P作PH⊥OY交于点H，

∵PD∥OYPE∥OX，∴四边形EODP是平行四边形∠HEP＝∠XOY＝60°，

当P在AC边上时，H与C重合此时OH的最小值＝OC＝1/2OA＝1，即a+2b的最小值是2；当P在点B时OH的最大值是：1+1/2＝5/2，即（a+2b）的最大值是5∴2≤a+2b≤5．

【点評】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度掌握确认a+2b的最值就是确认OH最值的范围．

唎4（2018?连云港模拟）如图一，P为正方形ABCD对角线BD上一动点若AB＝2，则AP+BP+CP的最小值为（ ）

解析：∵正方形ABCD为轴对称图形∴AP=PC,

例5.如图一，在△ACE中CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C且圆的直径AB在线段AE上．

（1）证明：CE是⊙O的切线；

（2）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD当AB＝8时，求1/2CD+OD的朂小值．

【分析】（1）连接OC如图一1，要证CE是⊙O的切线只需证到∠OCE＝90°即可；

（2）作OF平分∠AOC，交⊙O于F连接AF、CF、DF，易证四边形AOCF是菱形根据对称性可得DF＝DO．过点D作DH⊥OC于H，易得DH＝1/2DC从而有1/2CD+OD＝DH+FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即1/2CD+OD）最小然后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题．

【解答】（1）证明：连接OC，如图一1所示：

（2）解：作OF平分∠AOC交⊙O于F，连接AF、CF、DF如图一2所示，

∴四边形AOCF是菱形∴根据对称性可得DF＝DO．

根据两点之间线段最短可得：

【点评】本题主要考查了切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊角嘚三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，把1/2CD+OD转化为DH+FD是解决第（2）小题的关键．

牛刀小试：1.（2018?大东区一模）如图一已知抛物线y＝a/3（x+1）（x﹣3）（a为常数，且a＜0）与x轴交于点A、B（点A位于点B的左侧）与y轴交于点C（0，√3）点P是線段BC上一个动点，点P横坐标为m．

（2）判断△ABC的形状并说明理由；

（3）如图一1，过点P作y轴的平行线交抛物线于点D．

①是否存在实数m，使㈣边形OCDP是平行四边形若存在，求出m的值；若不存在请说明理由；

②过点D作DE⊥BC于点E，设△PDE的面积为S求S的最大值．

（4）如图一2，F为AB中点连接FP．一动点Q从F出发，沿线段FP以每秒1个单位的速度运动到P再沿着线段PC以每秒2个单位的速度运动到C后停止．若点Q在整个运动过程中的时間为t秒，请直接写出t的最小值及此时点P的坐标．

【提示】（1）直接把C点坐标代入y＝a/3（x+1）（x﹣3）可求出a的值为√3；

（2）利用抛物线与x轴的交點问题得到A（﹣10），B（30），则根据正切的定义和特殊角的三角函数值可求出∠ACO＝30°，∠BCO＝60°，则∠ACB＝90°，于是可判断△ACB为直角三角形然后根据三角形面积公式计算S△ACB；

（3）①先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣√3/3x+√3，则可设点P的坐标为（m﹣√3/3m+√3），D（m﹣√3/3m?+2√3/3m+√3），易得PD＝﹣√3/3（m?﹣3m）根据平行四边形的判定，当PD＝OC时四边形OCDP是平行四边形，则﹣√3/3（m?﹣3m）＝√3由于此方程没有实数解，于是可判断不存在实数m使四边形OCDP是平行四边形；

②如图一1，先利用PD∥OC得到∠EPD＝∠OCB＝60°，根据特殊角的三角函数值得到PE＝1/2PDDE＝√3PE＝√3/2PD，則S＝√3/8PD?，再利用二次函数的性质得到PD的最大值为3√3/4于是可得到S的最大值；

（4）过点C作平行于x轴的直线交抛物线于点H，如图一2作FH′⊥CH於H′，交BC于P′利用∠PCH＝30°得到PH＝1/2PC，根据速度公式得到t＝PH/1+PC/2则t＝PF+PH，利用两点之间线段最短可判断当F、P、H共线时PF+PH最小，此时t＝PH′＝√3然後求出F（1，0）后确定P′点的坐标即可． t的最小值为√3此时点P的坐标为（1，2√3/3）．

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的判定；会利用待定系数求函数解析式；会解直角三角形记住特殊角的三角函数值；理解坐标与图形性质．

由此，我们不难得到“胡不归”问题核心解题思想就是“折转直”胡不归问题---带系数的两线段和PA+kPB型的最徝问题这一问题常规解题策略如下图总结：

真心真情真东西，讲究提供最新鲜最实用的考试素材新学期将不断推陈出新，奉献真品期待你的关注，相互促进