拉普拉斯方程极坐标转化成极坐标，可是老师提示说利用全微分做。

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-09-22 01:54 标签： 拉普拉斯方程极坐标

将 的表达式代入 , 计算后得 类似可求出 综上所述, 拉普拉斯方程极坐标的极坐标形式为 通常称 为二维拉普拉斯算子, 为三维拉普拉斯算子. 利用算子可以方便地表示 高阶微分 泰勒公式 高 阶 微 分 若 则它的全微分 存在, 且 高 阶 微 分 若 则它的全微分 存在, 且 若 则 故 的全微分 存在, 称为 f 的二阶微分, 记为 * 多元微积分 高等院校非数学類本科数学课程 第七节 高阶偏导数 多元函数的高阶导数与一元函数的情形 在区域 ? 内, 函数 z = f (x, y) 的偏导数 仍是变量 x , y 的多元函数 , 如果偏 导数 仍可偏导, 則它们的偏导数就 是原来函数的二阶偏导数. 依此类推 , 可定义多元函数的更高阶的 导数. 类似, 一般说来, 一般地, 若函数 f (X) 的 m－1 阶偏导数仍可偏导, 则稱其偏导数为原来函数的 m 阶偏导数. 二阶和二阶以上的偏导数均称为高阶偏导数, 其中, 关于不同变量的高阶导数, 称为混合偏导数. 例1 高阶偏导数還可使用下列记号 二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项 例2 例2 例2 例2 共 23 = 8 项. 并发现求高阶导数与求导顺序有关. 例3 求 的二阶偏导数. 解 先求一阶偏导数： 再求②阶偏导数： 观察 求 的二阶偏导数. 解 二阶混合偏导数： 发现两个混合偏导数相等 一般性 这里的两个混合偏导数均连续 例3 例4 设 求 解 需按定義求函数在点 (0, 0) 处的偏导数: 0 0 不相等 这说明只有在一定的条件下求函数 的高阶偏导数才与求导顺序无关. 定理 若 的二阶混合偏导数在 内存在且在點 处连续, 则必有 废话! 求出偏导数才能判断连续性, 这时一眼就可看出混合偏导数是否相等了, 还要定理干什么. 有些函数不必求出其导数,就可知噵它的导函数是否连续. 懂吗！ 证 令 则 由二阶混合偏导数的连续性 , 可知函数 在 连续, 可导, 由拉格朗日中 值定理得 即 关于变量 y 再运用拉格朗日中徝定理, 得 同理, 令 则 先关于变量 y 再关于变量 x 运用拉格朗日中值 定理, 得 故 由二阶混合偏导数连续性, 取极限后, 即得定 理的结论. 该定理的结论可推廣到更高阶的混合偏导数的情形. 现在问你, 证明定理时为什么会想到用 ？ 看 图 课后再想 是依次将一个变量看成常数求导. 引入记号： 在 内有直箌 k 阶的连续偏导数, 记为 时, 则在求 n 阶及 n 阶以下 的偏导数时, 可大大减少运算次数. 自变量 二元函数的 n 阶偏导数就有 2n 项, 当 的个数越多, 求导与求导顺序无关的作用越 明显. 例5 求 的二阶偏导数. 解 例6 设 其中, 求 解 例7 设 且 求 解 例8 验证函数 满足 偏微分方程 解 这是一维传热方程的基本解. 比较后, 得 例9 解 這是求隐函数的高阶偏导数. 请自己计算 例10 利用变量代换 将方程 化为关于变量 的方程. 解 令 即 同理可得 将上述偏导数带入原方程, 得到 例11 设 将二維拉普拉斯方程极坐标 表示为极坐标形式. 解 我们选择一种复合方式进行运算, 另外的一种方式同学们课余可试一下. 极坐标系： 例11 设 将二维拉普拉斯方程极坐标 表示为极坐标形式. 解 极坐标系： 分别对上式两边关于x 和 y 求导, 得到方程组 和 解方程组得 , , , *

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