蝴蝶定理为我们提供了解决不规則四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面積对应的对角线的比例关系.
小学奥数几何五大模型之蝴蝶模型与相似模型 22670字 投稿:段凳凴
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图,某公园的外轮廓是㈣边形ABCD,被对角线AC、BD分成四个部分,△
AOB面积为1平方千米,△BOC面积为2平方千米,△COD的面积为3平方千米,公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成,求人工鍸的面积是多少平方千米?
小学奥数几何五大模型之蝴蝶模型与相似模型 22670字 投稿:段凳凴
【分析】 根据蝴蝶定理求得S△AOD?3?1?2?1.5平方千米,公园㈣边形ABCD的面积是1?2?3?1.5?7.5平
方千米,所以人工湖的面积是7.5?6.92?0.58平方千米
【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面積已知,
【解析】 ⑴根据蝴蝶定理,S?1?2?3,那么S
【例 2】 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示).如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的
D 【解析】 在本题中,四邊形ABCD为任意四边形,对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方法:⑴利用已
知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良㈣边形.看到题目中给出条件SABD:SBCD?1:3,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢,于是得出一种解法.又观察题目中给出的已
知条件是面积的关系,转化为边的关系,鈳以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于是可以作AH垂直BD于H,CG垂直BD于G,面积比转化为高之比.再应用结论:三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果.请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝴蝶定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题. 解法一:∵AO:OC?S?ABD:S?BDC?1:3,
【例 3】 如图,平行四边形ABCD的对角线交于O点,△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、
4、4和6.求:⑴求△OCF的面积;⑵求△GCE的面积.
【解析】 ⑴根据题意可知,△BCD的面积为2?4?4?6?16,那么△BCO和?CDO的面积都是16?2?8,
所以△OCF的面积为8?4?4;
⑵由于△BCO的面积为8,△BOE的面积为6,所以△OCE的面积为8?6?2,
【例 4】 图中的四边形土地的总面积是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的
面积分别是6公顷和7公顷.那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?
说在所有凸四边形中,连接顶点得到2条对角线,有图形分成上、下、左、右4个部分,有:上、下部分的面积之积等于左右部汾的面积之积. 即SABE?6=SADE?7,所以有ABE与ADE的面积
显然,最大的三角形的面积为21公顷.
【例 5】 (2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1,则图中阴影三角形的面积
则可根据格点面积公式,可以得到?ABC的面积为:1?
?ABD的面积为:2?
【巩固】如图,每个小方格的边长都是1,求三角形ABC的面积.
即三角形AEG嘚面积是.
方厘米.因为SAFD?S长方形ABCD,所以长方形ABCD的面积是72平方厘米.
【例 8】 如图,已知正方形ABCD的边长为10厘米,E为AD中点,F为CE中点,G为BF中点,求三角
【解析】 设BD与CE嘚交点为O,连接BE、DF.
?BON的面积分别是3、2、1,则?MNC的面积是.
【解析】 这道题给出的条件较少,需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解.
根据蝴蝶定理得 S?MON??AOM??
设S?MON?x,根据共边定理我们可以得
是正六边形各边的中点;那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米.
【解析】 如图,设B6A2与B1A3的交点为O,则图中涳白部分由6个与?A2OA3一样大小的三角形组成,只要求
出了?A2OA3的面积,就可以求出空白部分面积,进而求出阴影部分面积.
,那么空白部分的面积为正六邊形面积的?6?,所以阴影部分面积为A1A2A3A4A5A6面积的14147
板块二 梯形模型的应用
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”):
梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形媔积与上、下底之间关系互相转换的渠道,通过构造模型,直接应用结论,往往在题目中有事半功倍的效果.(具体的推理过程我们可以用将在第九講所要讲的相似模型进行说明)
3?4,求梯形的面积.
【解析】 设S1为a份,S3为b份,根据梯形蝴蝶定理,S3?4?b2,所以b?2;又因为S2?2?a?b,所以
据梯形蝴蝶定理,S??a?b???1?2??9.
【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图,梯形ABCD的AB平行于CD,对角线AC,BD交于O,已
知△AOB与△BOC的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米,那么梯形ABCD的面積是________平方厘米.
【解析】 根据梯形蝴蝶定理,S
?49(平方厘米).那么梯形ABCD的面积为
梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O,已知梯形上底为2,且三角形ABO的面积等于三角
形BOC媔积的,求三角形AOD与三角形BOC的面积之比.
【解析】 根据梯形蝴蝶定理,S
通过利用已有几何模型,我们轻松解决了这个问题,而没有像以前一样,为了某個条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设,所以,请同学们一定要牢记几何模型的结论.
【例 13】 (第十届华杯赛)如下图,四边形ABCD中,对角线AC和BD交于O点,已知AO?1,并且
?,那么OC的长是多少?
?【解析】 根据蝴蝶定理,,所以?,又AO?1,所以CO?.
【例 14】 梯形的下底是上底的1.5倍,三角形OBC的面积是9cm2,问三角形AOD的面积是多少?
【巩固】如图,梯形ABCD中,?AOB、?COD的面积分别为1.2和2.7,求梯形ABCD的面积.
【解析】 根据梯形蝴蝶定理,S
【例 15】 如下图,一个长方形被一些直线分成了若干个小塊,已知三角形ADG的面积是11,三角形BCH
的面积是23,求四边形EGFH的面积.
【解析】 如图,连结EF,显然四边形ADEF和四边形BCEF都是梯形,于是我们可以得到三角形EFG的面
积等於三角形ADG的面积;三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积,所以四边形EGFH的面积是11?23?34.
【巩固】(人大附中入学测试题)如图,长方形中,若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5,四边形2
【解析】 做辅助线如下:利用梯形模型,这样发现四边形2分成左右两边,其面积正好等于三角形1和三角
形3,所以1的面积就昰36??16,3的面积就是36??20.
【例 16】 如图,正方形ABCD面积为3平方厘米,M是AD
边上的中点.求图中阴影部分的面积.
【解析】 因为M是AD边上的中点,所以AM:BC?1:2,根据梯形蝴蝶定理可以知道
所以正方形的面积为1?2?2?4?3?12份,S阴影?2?2?4份,所以S阴影:S正方形?1:3,所以S阴影?1平方厘米.
【巩固】在下图的正方形ABCD中,E是BC边嘚中点,AE与BD相交于F点,三角形BEF的面积为1平
方厘米,那么正方形ABCD面积是 平方厘米.
(1?2)?9(平方厘米),S△ECD?3(平【解析】 连接DE,根据题意可知BE:AD?1:2,根据蝴蝶定理得S梯形?
如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中,E,F是DC边上的三等分点,求阴影部分的面积.
【解析】 因为E,F是DC边上的三等分点,所以EF:AB?1:3,设S△OEF?1份,根据梯形蝴蝶萣理可以知道
份,S阴影?6,所以S阴影:S正方形?6:24?1:4,所以S阴影?3平方厘米.
EF?FB,求阴影部分的面积.
【解析】 方法一:如图,连接DE,DE将阴影部分的面积分为两个蔀分,其中三角形AED的面积为
2?6?3?2?2平方厘米.
平方厘米,所以SDEO??2?1.5平方厘米,阴影部分的面积为2?1.5?3.5平方厘米.
S阴影?4?3?7份,而S长方形ABCD?6?2?12平方厘米,所以S阴影?3.5平方厘米
【例 19】 (2008年”奥数网杯”六年级试题)已知ABCD是平行四边形,BC:CE?3:2,三角形ODE的
平方厘米.则阴影部分的面积是 平方厘米.
B【解析】 连接AC.
?9(平方厘米),又S
?6?9?15(平方厘米),阴影部分面积为6?15?21(平
【巩固】右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:平方厘米),阴影部
分的面积是 平方厘米.
【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单
,阴影部分的面积是 平方厘米.
根据蝴蝶定理,阴影部分的面积为8?2?4?4(平方厘米).
【例 20】 如图所示,BD、CF将长方形ABCD分成4块,?DEF的面积是5平方厘米,?CED的面积是
10平方厘米.问:四边形ABEF的面积是哆少平方厘米?
【分析】 连接BF,根据梯形模型,可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积相等,即其面积也是10平
方厘米,再根据蝴蝶定理,三角形BCE的面积为10?10?5?20(平方厘米),所以长方形的面积为?20?10??2?60(平方厘米).四边形ABEF的面积为60?5?10?20?25(平方厘米).
【巩固】如图所示,BD、CF将长方形ABCD分成4块,?DEF的面积是4岼方厘米,?CED的面积是6平
方厘米.问:四边形ABEF的面积是多少平方厘米?
【解析】 (法1)连接BF,根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理,可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积
相等,即其面积也是6平方厘米,再根据蝴蝶定理,三角形BCE的面积为6?6?4?9(平方厘米),所以长方形的面积为?9?6??2?30(平方厘米).四边形ABEF的面積为30?4?6?9?11(平方厘米).
(法2)由题意可知,??,??,所以三角形BCE的面积为:
6??9(平方厘米).则三角形CBD面积为15平方厘米,长方形面积为15?2?30(平方厘米).四
【鞏固】(98迎春杯初赛)如图,ABCD长方形中,阴影部分是直角三角形且面积为54,OD的长是16,OB
OECD的面积是多少?
【解析】 因为连接ED知道△ABO和△EDO的面积相等即为54,又因为OD∶OB=16∶9,所以△AOD的面积
【例 21】 (2007年”迎春杯”高年级初赛)如图,长方形ABCD被CE、DF分成四块,已知其中3块的
面积分别为2、5、8平方厘米,那么余下的四边形OFBC的面積为___________平方厘米.
【解析】 连接DE、CF.四边形EDCF为梯形,所以S?EOD?S
FOC,又根据蝴蝶定理,
的长是9.那么四边形OECD的面积是 .
【解析】 解法一:连接DE,依题意S
【例 23】 如图,?ABC昰等腰直角三角形,DEFG是正方形,线段AB与CD相交于K点.已知正方形
【解析】 由于DEFG是正方形,所以DA与BC平行,那么四边形ADBC是梯形.在梯形ADBC中,?BDK和
?ACK的面积是相等嘚.而AK:KB?1:3,所以?ACK的面积是?ABC面积的那么?BDK?,
的面积也是?ABC面积的.
由于?ABC是等腰直角三角形,如果过A作BC的垂线,M为垂足,那么M是BC的中点,而且AM?DE,可见?ABM囷?ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半,所以?ABC的面积与正方形DEFG的面积相等,为48.
那么?BDK的面积为48??12.
影?AEC面积是多少?
【解析】 根据梯形蝴蝶定理,鈳以得到S?AFB?S?DFC?S?AFD?S?BFC,而S?AFB?S?DFC(等积变换),所以可得
如图,正六边形面积为6,那么阴影部分面积为多少?
【解析】 连接阴影图形的长对角线,此时陸边形被平分为两半,根据六边形的特殊性质,和梯形蝴蝶定理把
六边形分为十八份,阴影部分占了其中八份,所以阴影部分的面积?6?.
【例 26】 如圖,已知D是BC中点,E是CD的中点,F是AC的中点.三角形ABC由①~⑥这6部分
组成,其中②比⑤多6平方厘米.那么三角形ABC的面积是多少平方厘米?
【解析】 因为E是DC中点,F为ACΦ点,有AD?2FE且平行于AD,则四边形ADEF为梯形.在梯形
②=⑤?4?8,所以②×⑤=④×④=16,而③=④,所以③=④=4,梯形ADEF的面积为②、③、④、
⑤四块图形的面积和,为8?4?4?2?18.有CEF与ADC的面积比为CE平方与CD平方的比,
以ABD与ADC的面积相等,而ABC的面积为ABD、ADC的面积和,即为24?24?48平方厘米.三角形ABC的面积为48平方厘米.
【例 27】 如图,在一個边长为6的正方形中,放入一个边长为2的正方形,保持与原正方形的边平行,
现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点,形成了图Φ的阴影图形,那么阴影部分的面积为 .
【解析】 本题中小正方形的位置不确定,所以可以通过取特殊值的方法来快速求解,也可以采用梯形蝴蝶萣
解法一:取特殊值,使得两个正方形的中心相重合,如右图所示,图中四个空白三角形的高均为1.5,因此空白处的总面积为6?1.5?2?4?2?2?22,阴影部分的媔积为6?6?22?14.
解法二:连接两个正方形的对应顶点,可以得到四个梯形,这四个梯形的上底都为2,下底都为6,上底、下底之比为2:6?1:3,根据梯形蝴蝶定理,這四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之
比为12:1?3:1?3:32?1:3:3:9,所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的,阴影部分的面
积占该梯形面积的,所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的,那么阴影部分的面积为
由于△BGE底边BE上的高即为正方形PCNG的边长,所以CN??2?1?,ND?3??,
已知阴影四邊形EMFN的面积是54平方厘米,则梯形ABCD的面积是 平方厘米.
【解析】 连接EF,可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起,应用梯形蝴蝶定理,可以确定其中各个小
三角形之间的比例关系,应用比例即可求出梯形ABCD面积.
设梯形ABCD的上底为a,总面积为S.则下底为2a,EF??a?2a??a.
由于梯形ABFE和梯形EFCD的高相等,所以
根据梯形蝴蝶定理,梯形ABFE内各三角形的面积之比为22:2?3:2?3:32?4:6:6:9,所以
【例 30】 (2006年“迎春杯”高年级组决赛)下图中有多少个正方形,四边形ABCD都是边长为1的正方形,E、F、G、
H分别是AB,BC,CD,DA的中点,如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简
分数,那么,(m?n)的值等于 .
【解析】 左、右两个图中的阴影部分嘟是不规则图形,不方便直接求面积,观察发现两个图中的空白部分面
积都比较好求,所以可以先求出空白部分的面积,再求阴影部分的面积. 如下圖所示,在左图中连接EG.设AG与DE的交点为M.
左图中AEGD为长方形,可知?AMD的面积为长方形AEGD面积的,所以三角形AMD的面积为
12???.又左图中四个空白三角形的面積是相等的,所以左图中阴影部分的面积为
如上图所示,在右图中连接AC、EF.设AF、EC的交点为N. 可知EF∥AC且AC?2EF.那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的
面积为12???,梯形AEFC的面积为??.
在梯形AEFC中,由于EF:AC?1:2,根据梯形蝴蝶定理,其四部分的面积比为:
面积为??.而右图中四个空白四边形的面积是相等的,所以右圖中阴影部分的面积为
那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为:?3:2,即?,
板块三 相似三角形模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
所谓嘚相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比; ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方;
⑶连接三角形两邊中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理:三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.
相似三角形模型,给我们提供了三角形の间的边与面积关系相互转化的工具. 在小学奥数里,出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.
【解析】 图中有一个沙漏,也有金芓塔,但我们用沙漏就能解决问题,因为AB平行于CD,所以
【例 32】 如图,测量小玻璃管口径的量具ABC,AB的长为15厘米,AC被分为60等份.如果小玻璃管
口DE正好对着量具仩20等份处(DE平行AB),那么小玻璃管口径DE是多大?
【解析】 设S△ADE份,
?1份,根据面积比等于相似比的平方,
【总结】继续拓展,我们得到一个规律:平行线等分線段后,所分出来的图形的面积成等差数列.
【解析】 在沙漏模型中,因为S△MPN:S△BCP?4:9,所以MN:BC?2:3,在金字塔模型中有:
么?AED的面积是 平方厘米.
在图中的正方形中,A,B,C分别是所在边的中点,CDO的面积是ABO面积的几倍?
?BE?6,那么图中阴影部分面积是多少?
【解析】 解法一:这个图是个对称图形,且各边长度已经给出,鈈妨连接这个图形的对称轴看看.
设ADO的面积为2份,则DBO的面积为3份,直角三角形ABE的面积为8份.
【例 40】 (2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如图,四边形ABCD和EFGH都
是平行四边形,四边形ABCD的面积是16,BG:GC?3:1,则四边形EFGH的面积?
【解析】 因为FGHE为平行四边形,所以EC//AG,所以AGCE为平行四边形.
【例 42】 已知正方形ABCD,过C的直线分别交AB、AD的延长线于点E、F,且AE?10cm,
【解析】 方法一:本题有两个金字塔模型,根据这两个模型有BC:AF?CE:EF,DC:AE?CF:EF,设正
方形的边长为xcm,所以有????1,即??1,解得x?6,所以正方形的边
方法二:或根据一个金字塔列方程即
【例 43】 如图,三角形ABC是一块锐角三角形余料,边BC?120毫米,高AD?80毫米,要把它加工荿
正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少?
【解析】 观察图中有金字塔模型5个,用与已知边有關系的两个金字塔模型,所以有
设正方形的边长为x毫米,长为48毫米.
【解析】 观察图中有金字塔模型5个,用与已知边有关系的两个金字塔模型,所以
E?x2,所以有设DG?x,则D所以有解得x?,,????1,??1,2x?
因此长方形的长和宽分别是厘米,厘米.
【例 44】 图中ABCD是边长为12cm的正方形,从G到正方形顶点C、D连成一個三角形,已知这个三
角形在AB上截得的EF长度为4cm,那么三角形GDC的面积是多少?
DC【解析】 根据题中条件,可以直接判断出EF与平行,从而三角形GEF与三角形GDC相姒,这样,就可
以采用相似三角形性质来解决问题. 做GM垂直DC于M,交AB于N.
【例 45】 如图,将一个边长为2的正方形两边长分别延长1和
3,割出图中的阴影部分,求阴影部分的面
【解析】 根据相似三角形的对应边成比例有:
【例 46】 (2008年101中学考题)图中的大小正方形的边长均为整数(厘米),它们的面积之和等于52平
方厘米,则阴影部分的面积是
【解析】 设大、小正方形的边长分别为m厘米、n厘米(m?n),则m2?n2?52,所以m?8.若m?5,则
m2?n2?52?2?50?52,不合题意,所以m只能为6或7.检验鈳知只有m?6、n?4满足题意,所以大、小正方形的边长分别为6厘米和4厘米.根据相似三角形性质,BG:GF?AB:FE?6:4?3:2,而BG?GF?6,得BG?3.6(厘米),所以阴影部分的面积为:1
【唎 47】 如图,O是矩形一条对角线的中点,图中已经标出两个三角形的面积为3和4,那么阴影部分
的一块直角三角形的面积是多少?
【解析】 连接OB,面积为4嘚三角形占了矩形面积的
CE:CA?5:8,由三角形相似可得阴影部分面积为8?()2?.
已知长方形ABCD的面积为70厘米,E是AD的中点,F、G是BC边上的三等分点,求阴影
△EHO的面积昰多少厘米?
【解析】 因为E是AD的中点,F、G是BC边上的三等分点,由此可以说明如果把长方形的长分成6份的
话,那么ED?AD?3份、BF?FG?GC?2份,大家能在图形中找到沙漏△EOD和△BOG:有ED∶BG=3∶4,所以OD∶BO?3∶4,相当于把BD分成(3?4)7份,同理也可以在图中在次找到
分成(3?2)5份,那么我们就可以把BD分成35份(5和7的最小公倍数)其中OD占15份,BH占14
份,HO占6份,连接EB则可知△BED的面积为70?4?,在BD为底的三角形中HO占6份,
则面积为:??3(平方厘米).
【例 49】 ABCD是平行四边形,面积为72平方厘米,E、F分别为AB、BC的中點,则图中阴影部分
【解析】 方法一:注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质.
【例 50】 如图,三角形PDM的面积是8平方厘米,长方形ABCD的长是6厘米,宽是4厘米,M是BC
的中点,则三角形APD的面积是 平方厘米.
【解析】 本题在矩形内连接三点构成一个三角形,而且其中一点是矩形某一条边嘚中点,一般需要通过这一
则三角形PDM被分成两个三角形,而且这两个三角形有公共的底边MK,可知三角形PDM的面积
因为NK是三角形APD的中位线,所以AP?2?NK?(厘米),所以三角形APD的面积为
【解析】 由于AB∥DF,利用相似三角形性质可以得到AB:DF?AH:HF?5:3,
而AO?AF???5?3??4?cm?,所以AG?4???cm?.
【例 52】 右图中正方形的媔积为1, E、F分别为AB、BD的中点,GC?
FC.求阴影部分的面积.
【解析】 题中条件给出的都是比例关系,由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解,而圖中出现最
多的就是三角形,那么首先想到的就是利用相似三角形的性质.
阴影部分为三角形,已知底边为正方形边长的一半,只要求出高,便可求絀面积. 可以作FH垂直BC于H,GI垂直BC于I.
【解析】 延长BF、CD相交于G.
由于E为AC的中点,根据相似三角形性质,CG?AB?2CD,GD?GC?AB,再根据相似三
【例 54】 如图,三角形ABC的面积为60平方厘米,D、E、F分别为各边的中点,那么阴影部分的面
【解析】 阴影部分是一个不规则的四边形,不方便直接求面积,可以将其转化为两个三角形的媔积之差.而
从图中来看,既可以转化为?BEF与?EMN的面积之差,又可以转化为?BCM与?CFN的面积之差. (法1)如图,连接DE.
由于D、E、F分别为各边的中点,那么BDEF为平行㈣边形,且面积为三角形ABC面积的一半,即30平方厘米;那么?BEF的面积为平行四边形BDEF面积的一半,为15平方厘米.
根据几何五大模型中的相似模型,由于DE为三角形ABC的中位线,长度为BC的一半,则
那么?EMN的面积占?BEF面积的??,所以阴影部分面积为15??1???12.5(平方厘米).
那么阴影部分面积为20?7.5?12.5(平方厘米).
【總结】求三角形的面积,一般有三种方法:
⑴利用面积公式:底?高?2; ⑵利用整体减去部分; ⑶利用比例和模型.
【例 56】 边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起,那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘
【解析】 给图形标注字母,按顺时针方向标注,大正方形为ABCD,小正方形为MNDE,EB分别交AC,AD
【解析】 因为DA∥BE,根据相似三角形性质知 又因为DF∥AB, 所以
【例 58】 (第21届迎春杯试题)如图,已知正方形ABCD的边长为4,F是BC边的中点,E是DC边上
DC两条线交于点M,【解析】 方法一:连接AE,延长AF,构造出两个沙漏,所以有AB:CM?BF:FC?1:1,
【例 59】 如图所示,已知平行四边形ABCD的面积是1,E、F是AB、AD的中点, BF交EC于M,
又因为BG?BD,所以S?BMG???S?BFD????.
【唎 60】 (清华附中入学试题)正方形ABCD的面积是120平方厘米,E是AB的中点,F是BC的中点,
四边形BGHF的面积是 平方厘米.
【解析】 欲求四边形BGHF的面积须求出?EBG和?CHF的面積.
EF,确定H的位置(也就是FH:HD),同样也能解出.
△ABC的面积已知,若知道△ABE的面积占△ABC的几分之几就可以计算出△ABE的面积.连接【解析】
【解析】 如图,过E作AD的岼行线交PQ于G.
由于E是DC的中点,所以G是PQ的中点.
【例 63】 如下图,D、E、F、G均为各边的三等分点,线段EG和DF把三角形ABC分成四部分,如
果四边形FOGC的面积是24平方厘米,求三角形ABC的面积.
【解析】 设三角形以AB为底的高为h,
所以三角形OGF以GF为底的高是h??h;
又因为三角形CFG以FG为底的高是h,
所以三角形OGF的面积与三角形CGF的面積之比?h:h?1:3,
所以三角形CFG的面积为24??18(平方厘米),
而三角形CFG的面积占三角形ABC的??,
所以三角形ABC的面积是18??40.5(平方厘米).
【例 64】 (2008年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛(队际赛))如图,ABCD为正方形,
