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<em id="authorposton12-7-5 18:58
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【】即时消息
关键字：对小升初有作用的证书 二十八中考最高分 四十三中考最高分
Q:哪些证书对小升初作用较大？
A:每个学校的要求是不一样的，大部分学校都喜欢奥星杯、素质杯、华杯赛的证书，尤其是特等奖和一等奖，有的学校对其他的证书也有兴趣。
Q:28中最高分多少分？
Q:43中今年中考成绩怎么样？
A:全市前五名中有三人，那三名也有两个加了20分，一个加了5分。最高裸分是637。
以上信息根据聊天记录整理的，如有错误或者有想法和你不一样的欢迎跟帖讨论。
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<em id="authorposton12-7-5 23:06
加分对大多数孩子不公平
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<em id="authorposton12-7-5 23:07
我今天去二中看了，高考最好加分竟然达到60分，晕啊！
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<em id="authorposton12-7-6 08:04
各学校最高分相差的不多，还得看整体水平
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<em id="authorposton12-7-6 09:25
以后应该评选裸分最高分，那才是真本事！
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<em id="authorposton12-7-6 09:33
虽然有好多孩子的加分也是凭本事，不过加分真是破坏人的心态。
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<em id="authorposton12-7-6 14:41
都是什么条件加的分？
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《高中数学总复习四十三讲》(下)
第三十四讲 分类计数原理与分步计数原理 最 新 命 题 特 点 对本部分内容的考查呈现以下特点： 1．分类计数原理和分步计数原理是排列组合问题的基础和依据，虽然不是每年都单独命题，但是 其中的思想贯穿于整个排列组合中． 2．考查内容：两个原理． 3．考查形式：选择题居多，通常是贯穿于排列组合的其他题目中出现．难度一般不大，属于中低 档题型． 预计：典型例题仍然要有题目涉及，综合出现在解答题中的可能性较大．应 试 高 分 瓶 颈两个原理看起来简单，但是要真正学会并能理解应用不是很容易的事，特别是两个原理的整合应 用是高考中丢分的关键因素．命题点 1 命题点 2 命题点 1分类计数原理(加法原理) 分步计数原理（乘法原理） 分类计数原理（加法原理）本类考题解答锦囊 解答“分类计算原理”一类试题应注意： 1．分类计数原理是强调完成一件事情的几类方法互不干扰，彼此之间的交集是空集，并集是全集．不论哪类方法中的哪 一种方法都能单独完成这件事，办法中的各种方法也是相互独立的． 2．正确区分分步计数原理与分类计数原理． I 高考最新热门题 1(典型例题)从 1，3，5，7 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6，8 中任取 2 个数学组成没有重复数字的四位数，其中能被 5 整除的四位数共有――个．(用数字作答)命题目的与解题技巧：①本题主要考查分步计数原理与排列的基本知识． ②抓住 0 不能在首位且个位只能是 0 或 5 来讨论是正确解题的关键． [解析] ①当个位是 0 时，_______________0__ CCA＝4?3?4?3＝144． ②当个位不是 0 且含 0，_____________5_ 则个位必为 5，先为 0 选位置． CCCA＝2?3?4?2=48． ③当不含 0 时，个位必为 5，______________5 CCA＝3?6?3?2＝108． ∴共有 144+48+108＝300 个． [答案] A．8 种 答案： C 300 B．12 种 C．16 种 D．20 种 2(2002?广东、河南)[文理]从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有 指导：甲→A→B→C→D→甲由上表知 A，D 不为甲． (1)若 B 为甲，则不同传法=4 种． (2)若 B 不为甲，而 C 为甲，则不同传法 C1 ? C1 ? C1 =4 种． 2 2 2 (3)若 9 不为甲，C 不为甲，则 C1 ? 2 ． 2 综上知，共有传球方法 4+4+2=10 种． 3(典型例题)从长度分别为 1，2，3，4，5 的五条线段中，任取三条的不同取法共有 n 种．在这些取法中，以取出的三条 线段为边可组成的钝角三角形的个数为 m，则 m 等于 A.1 10B.1 5C.3 10D．2 5答案： A2 2 2 2 指导：若选择三个不同的数，(且不含 0)共有 A8 ? A7 ? A6 ? ? A2 =168 种．若选择三个不同的数(含 0) 共有 8+7+6+5+?+1=36 种若选择二个数，共有 8+7+6+?+1=36 种．∴共有 168+36+36=240 种 4(典型例题)在由数学 1、2、3、4、5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中，大于 23145 且小于 43521 的数共有 A．56 个 答案： D B．57 个 C．58 个 D．60 个 指导：从 01 至 10 中连续选 3 个，共有 8 种选法，从 11 至 20 个连续选 2 个，共有 9 种选法， 从 21 至 30 个选 1 个，共有 10 种选法， 从 31 至 36 中选 1 个，共有 6 种选法． ∴共有 8?9?10?6 种号码 ∴共有 8?9?10?6?2=8640 元 个．(用数字作答) Ⅱ A．8 [解析] 题点经典类型题 B．9 C．10 D．1l 1(典型例题)等腰三角形的三边均为正数．它们周长不大于 10．这样不同形状的三角形的种数为 命题目的与解题技巧：①考查分类计数原理；②合理分类，注意条件“周长不大于 10” 设三边为 x,y，z，则 x+y+z≤10，由三边关系共有 (1，1，1)，(1，2，2)，(1，3，3)，(1，4，4)，(2，2，2)，(2，2，3)， (2，3，3)，(2，4，4)，(3，3，3)，(3，3，4)共 10 种． [答案] A．6 种 A.240 个 C B．8 种 B．285 个 C 10 种 D．16 种 D.243 个 2(典型例题)三人传球，由甲开始发球，并作第一次传球，经过 5 次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有 3(典型例题)如果三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字，则这样的三位数一共有 C. 231 个 4(典型例题)某体育彩票规定： 01 至 36 共 36 个号中抽出 7 个号为一注， 从 每注 2 元。 某人想从 01 至 10 中选 3 个连续的号， 从 1l 至 20 中选 2 个连续的号，从 21 至扣中选 1 个号，从 31 至 36 中选 1 个号组成一注，则这个人把这种特殊要求的号买 全，至少要 A．3 360 元 B．6 720 元 Ⅲ 新高考命题探究 C．4 320 元 D．8 640 元 故选 D． 5(典型例题)从 0， 2， 4， 中任取 3 个数字， l， 3， 5 组成没有重复数字的三位数， 其中能被 5 整除的三位数共有__________1 如图 34―1―1，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的 花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案 A.180 种 B．240 种 C. 360 种 D．420 种D3 指导：(1)当 1；2,4；3,5．仅三种花卉时，有 A5 种．4 (2)当 1；2，4；3，5 恰四种时，有 A5 种．4 (3)当 1；2，4；3，5 恰四种时，有 A5 种．(4)当栽种五种时，有种． 2 在编号为 1，2，3，4 的四块土地上分别试种编号为 1，2，3，4 的四个品种的小麦，但 1 号地不能种 l 号小麦，2 号地不 能种 2 号小麦，3 号地不能种 3 号小麦，那么有多少不同的试种方案? 分两类．04 号地种 4 号小麦，1 号地有 2 种试种方法，2、3 号 地只有 1 种试种方法，∴共有 2 种种法．②土地编号与小麦 编号都不相同，第 1 号土地有 3 种试种方法，若 1 号地种的 是第 1．号小麦，则第 1．号土地有 3 种种法，余下的两块地只有 1 种种法，共有 3?3=9 种试种方法．由分类计数原理试种方 案共有 2+9=11 种． 命题点 2 分步计数原理(乘法原理) 本类考题解答锦囊 解答“分类计数原理”一类试题要弄清以下两问题： 1．分步计数原理强调各个步骤缺一不可，需要一次完成所有的步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步使 用什么方法不影响后一步采取什么方法，也就是步与步之间相互依存，只有连续性，但每步中的不同方法却相互独立，互不 干扰． 2．通常把完成题设事件的所有方法分为若干个“互斥类” ，又在同一类中将完成事件的方法分成若干个“独立步” ，以 保证“不重、不漏” ． I 高考最新热门题 1(典型例题)将 3 种作物种植在如图 34―1―2，5 块试验田里，每块种植一种作物且 相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有――种。(以数字作答) 命题目的与解题技巧：①本小题主要考查分类、分步计数原理等基础知识，以及运用 所学知识解决实际问题的能力． [解析] ②抓住了 3 种种子都种在试验田中这一特点，是正确解题的关键． 分别用 a，b，c 表示 3 种作物，先安排第一块田，有 3 种方法，不妨设先放入 a，再安排第二块田有 b 或 c 两种作物，有 2 种方法，不妨设放入 A，下面对第三块田种。或 c 进行分类： (1)若第三块田种 c，则第四、五块田分别有 2 种方法，共 2?2 种方法； (2)若第三块田种 a，则第四块田仍有 b 或 c 两种作物可放； ①若第四块田放 c，则第五块田有 2 种方法； ②若第四块田放 b，则第五块田只能放 c，有 2 种方法．综上，共有 3x2x[2x2+(2+1)]=42 种方法． [答案] 42 2(典型例题)某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单 中，那么不同插法的种数为 A．42 B．30 C．20 D．12 答案： A 指导：第一步，先插入第一个节目，有 6 种插入法．第二步，再插入第二个节目，有 7 种插人法． 故共有 7?6=42 种． 3(典型例题、河南)圆周上有 2n 个等分点(n&1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为_________? 答案：2n(n―1) 指导：2n(n―1)圆周上有 2n 个等分点，因此，有 n 条直径，每条直径为斜边，有 2n―2 个直角三角形， 故共有 n?(2n-2)=2n(n-1)个直角三角形．4(典型例题)设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿 x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳 1 个单位，经过 5 次跳动质点落 在点(3，0)(允许重复过此点)处，则质点不同的运动方法共有________种(用数字作答)． 答案：5 指导：设每次跳动的值为 x(i=1，2，2，3，5)，则根据题意得 5=3．必有 4 个 1 和一个-1，共有方法 =5(种)． 5(典型例题)如图 10―1―3 所示，一个地区分为 52 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有___________种．(以数字作答) 答案：72 指导：先排 1 区，有 4 种方法；再排 2 区，有 3 种方法；接着排 3 区，有 2 种排法．下 面对 4 区涂色情况进行分类；若 4 区与 2 区同色，有 1 种方法，此时 5 区有 2 种方法，若 4 区与 2 区不同色，则 1、2、3 区不同色，故 4 区也只有 1 种方法，此时 5 区只有 1 种方法，故共有 4?3?2?(1?2+1?1)=72(种)． Ⅱ 题点经典类型题 1(典型例题)甲乙丙三个单位分别需要招聘工作人员 2 人、1 人、1 人，现从 10 名应聘人员中招聘 4 人到甲乙丙三个单位， 那么不同的招聘方法共有 A．1260 种 B．2025 种 C.2520 种 D．5040 种 命题目的与解题技巧：①考查分步计数原理与组合知识；②合理分步是解决此类问题的关键 [解析] 第一步先从 10 人中选 2 个有 种， 再从 8 人中选 1 个人有 种， 再从 7 人中选 1 个人有 种， 故共有 C102 1 1 ? C8 ? C7＝2 520 种方法． [答案] C 2(典型例题)某文艺团体下基层进行宣传演出，原准备的节目表有 6 个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，在它们之 间再插入 2 个小品节目，并且这 2 个小品节目在节目表中既不排头，也不排尾，那么不同的插入方法有 A．20 种 答案：B B．30 种 C.42 种 D．56 种1 指导：由题意知，将第一个小品节目插人节目单中，有 C5种插法．1 将第二个小品节目插入节目单中，有 C6 种插法．1 1 则共有 C5C6 =30 种安排方法．3(典型例题)由 0，l，2，?，9 这十个数字组成的、无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于 8 的个 数为 A．180 答案： C B．196 C。210 D．224 指导：由题意知可能情况有(1)___08_，(2)____8_0，(3)____1__9_，(4)____9__1_2 对(1)、(2)都有不同数字 A8 =8?7=56 种．1 1 对(3)、(4)都有不同数字 C7C7 =49 种．则共有(56+49) ?2=210 种不同四位数． 4(典型例题)某电子器件的电路中，在 A、B 之间有 C、D、E、F 四个焊点(如图 34―1-5)．如果焊点脱落，则有可 能导致电路不通，今发现工 A、B 间电路不通，则焊点脱落的不同情况有_________种． 答案：13 指导：焊点 C 是否脱落有 12 种选法． D、E、F 均有 2 种选法．则有 Z =16 种方案．2而全不脱落电路畅通，有 1 种方案，恰 D、E 中一个脱落， 种方案．故断路方案有 16-1- C1 =13 种． 2Ⅲ新高考命题探究1.某银行储蓄卡的密码是一个 4 位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位、个位上的数字（如 2816）的方法设 计密码，当积为一位数时，十位上数字选 0.千位、百位上都能取 0.这样设计出来的密码共有 A.90 个 答案： C B.99 个 C.100 个 D.112 个1 指导：千位上数字的取法引 C10 ，百位上数字的取法共设计方案=100 种，也即有 100 个密码．2.如图 34-1-6 所示，用不同的五种颜色分别为 A、B、C、D、E 五部分着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜 色可以重复使用，也可不使用，则符合这种要求的不同着色的方法种数是 A.120 答案： D B.240 C.480 D.5401 指导：为 A 着色有 C5 种，为 B 着色有 C1 种为 C 着色 41 种，为 E 着色有 C3 种．1 1 1 1 为 D 着色有 C3 种．故共有 C5C1C3C3 =540 种 4第三十五讲排列与组合 最 新 命 题 特 点 对本部分内容的考查呈现以下特点： 1．排列组合不仅是高中数学的重点问题，同时在实际中有很大的用处，因比在高考中经常有题目涉 及． 2．考查内容：排列、组合的概念、排列数与组合数、排列组合的应用． 3．考查形式：单独命题是通常出现在选择或填空题中，有时候和组合及概率相结合出现在解答题 中．难度相对较小，属于高考中的中低档题目‘ 预计：典型例题仍然要有题目涉及，出现在解答题中的可能性较大．应 试 高 同 分 瓶 颈 一．1．排列中读不清题目中的关键字(如“在”与“不在”“邻”与“不邻”等)是导致丢分的因素之 、 2．组合中读不清题目中的关键字(如“恰好”“至多”“至少”“既有?又有?”等)是导致丢分 、 、 、 的因素之一． 3．针对于不同类型的题目灵活使用不同的方法是本部分的难点．命题点 1 命题点 2 命题点 1排列 组台 排列本类考题解答锦囊 解答“排列”一类试题应注意以下几方面： 1．本题考查二次函数的一般式，函数性质和排列组合的应用． 2．关键是对二次函数、偶函数弄清楚． 3． “在”与“不在”的问题应该使用“优先法” ．优先考虑特殊位置或者特殊元素，对这些特殊位置或者特殊元素进行 优先排列． 4． “邻”与“不邻”的问题中： “邻”的问题应使用“捆绑法”“不邻”的问题应使用“插空法” ； ． I 高考最新热门题21(典型例题)从―1，0，1，2 这四个数中选三个不同的数作为函数 f(x)=ax +6x+c 的系数，可组成不同的二次函数共有___________个，其中不同的偶函数共有_________个．(用数字作答) 命题目的与解题技巧：①本题考查二次函数的一般式，函数性质和排列组合的应用②关键是对二次函数，偶函数弄清楚． [解析] ∵a≠0,∴a 应从除 0 外的三个数中任取一个有 C3 个．b、c 应从剩下的三个中任取 2 个，有 A3 种取法．则组1 2 2 1 2成不同的二次函数共有 C3 A3 =18 个，组成偶数函数必满足 a≠0,b=0，则有 A3 =6 个． [答案] 62(典型例题)某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的 安排方案种数为 A． A6 C4 答案： B2 2B．1 2 2 A6 C 4 2C． A6 C422D． 2A62指导：分两步：①把 4 名学生平均分成两组，有方法：1 2 2 A6 C4 种，选 B 22 2 C4 ? C2 ? 2 ； ? C4 ;②把两组学生分到六个班级的两个班中， 2 22 A6 种方法，故共有方案3(典型例题)有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就座，规定前排中间的 3 个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是 A.234 B．346 C. 350 D．363答案： B2 2 指导： 前排中间的 3 个座位不能坐， 有排法 A20 ， 其中左； 相邻的分三类， 在前排的其中的 4 个座位有 3 A2 ； ，2 2 2 2 则符合条， 的排法的种数中 A20 ? 3A2 ? 3A2 ? 11A2 =346，故选 B 另解：分三类：①两人坐在前排，按要求有 4?6+4?5=44种坐法．2 ②两人坐在后排，按要求有： A11 =110 种坐法．③两人分别坐在前后排，有 8?12?2=192 种 ∴共有 346 种排法． 4(2002?京皖)从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作．若其中甲、乙两名志愿者都不能 从事翻译工作，则选派方案共有 A.280 种 答案：指导： 翻译 因为甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，因此，翻译工作从余下的四名志愿者选一人有种，再从余下的 5 人中选 3 人从3 事导游、导购、保洁有 A1 种，因此 A1 A5 =240 题点经典类型题 4 4B.240 种C．180 种D．96 种Ⅱ题点经典类型题1(典型例题)5 人排一个 5 天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法 的总数为 A.120 [解析] [答案] A．20 B．324 C.720 D．1280 命题目的与解题技巧：考查排列知识，用“涂色原理” ． 分五步：5?4?4?4?4＝1280，故选 D D B．60 C．120 D．902(典型例题)用 1 个 1，2 个 2，3 个 3 这样 6 个数字可以组成多少个不同的 6 位数答案： B指导：由题有6 A6 3 2 A3 A2=60 故选 B．3(典型例题)有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，而不同的站法有 A.24 种 答案： B 占 B．36 种 C.60 种 D．66 种3 2 指导：先排甲、乙外的 3 人，有 A3 种排法，再插入甲、乙两人，有 A4 种方法，又甲排乙的左边和甲排乙右边各1 1 3 2 故不同方法数有 A3 ? A4 =36 种． 2 24(典型例题)用 0，3，4，5，6 排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是 A．36 答案： D B．32 C．24 D．203 2 2 指导：按首位数字的奇偶分两类：若首位是奇数，则共有种方法，若首位是偶数，则共有 ( A3 ? A2 ) A2 种方2 3 3 2 2 法．． ．．这样的五位数共有 A2 A3 ? ( A3 ? A2 ) A2 =20 种．Ⅲ新高考命题探究 B．240 C．120 D．481 百米决赛有 6 名运动员 A、B、C、D、E、F 参赛，每个运动员速度不同，则运动员 A 比运动员 9 先到终点的比赛结果共有 A．360答案： A A6 指导： A 比 F 先到终点． A 与 F 先到终点的机会均等， 由 又 故只需对六人全排后除以 2 即 A6 / 2 =360． 选2 6 名运动员站在 6 条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站在第一道也不能站在第二道，乙必须站在第五或第六道，则不同 排法种数共有 A．144 B．96 C．72 D．48答案： A1 4 1 4 指导：先为乙选一道 C1 ，再为甲选一道 C3 余下 4 人排法有 A4 ，则共有 C1C3 A4 =144． 2 23 从 6 名短跑运动员中选出 4 人参加 4x100 米接力赛，如果甲、乙两人都不跑第一棒，那么不同的参赛方案有 A.180 种 B．240 种 C. 300 种 D．360 种4 1 4 答案：指导： 分三种情况：(1)甲、乙都不参加，有 A4 =24 种；(2)甲、乙仅有 1 人参加．有 2C3 A4 =144 种；2 2 (3)甲、乙两人都参加，有 A3 A4 72 种．由分类计数原理∴共有 24+144+72=240 种．命题点 2组合本类考题解答锦囊 解答“组合”一类试题应注意以下几点： 1．读清题意，确定是排列还是组合．此时应该注意的地方是：选出的元素是否有各自不同的顺序或者位置． 2．与排列数不同，组合数有较多的性质(剩余性质和连加性质)，与以前或以后的很多知识点都有密切的联系，就引起 特别注意。 3．注意组合中的关键字： “恰好”“至多”“至少”“既有?又有?” 、 、 、 ． 4． “多面手”问题：分类讨论，分类的依据应该是看多面手分到两边中其中一边的人数． 5．几何问题：考虑(1)所给点的特点；(2)所构成图形的要求． I 高考最新热门题 1(典型例题)直角坐标 xOy 平面上，平行直线 x=n(n=0，1，2，?，5)与平行直线 y=n(n=0，1，2，?，5)组成的图形中， 矩形共有 A.25 个 B．36 个 C.100 个 D．225 个命题目的与解题技巧：①考查排列组合的计算问题，以及分析问题、解决问题的能力． ②解决计数问题的关键是选择计数 的出发点，即“完成一个事件”的策略是什么?本题“完成矩形”的构造，考虑的着眼点是矩形是由四条边构成，这四条边 从何而来． [解析] 矩形是从平行直线 x=n(n=0，1，2，?，5)中选择两条，作为一组对边．再从平行直线 y=n(n=l,0，1，2，?，5)2 2 ? C6中选择两条，作为另一组对边形成的．每一种选择方案确定一个不同的矩形，故矩形共有 C 6 [答案] D=225 个．2(典型例题)在 100 件产品中有 6 件次品，现从中任取 3 件产品，至少有 1 件次品的不同取法的种数是 A． C6 C94 C. C100 答案： C3 3 ? C94 1 2B． C6 C99 D． A1003 3 ? A94123 3 3 指导：任取 3 件产品有 C100 种方法，其中无次品有种方法，故至少有 1 件次品的方法数为 C100 ? C94 .3(典型例题)从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 A.140 种 答案： D 种3 1 3 2 3 选法，则总的不同的选法有 C4 ? C3 ? C4 ? C3 ? C1 ? C3 =34(种) 4B．120 种C 35 种D．34 种2 2 3 1 3 指导：既有女生又有男生，可以分类表示，三男一女有 C4 ? C3 种选法，二男二女有 C4 C4 种，一男三女有 C1 ? C5 44(2002?北京)[理]12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案共有 A.种 答案： A Ⅱ B．3 种 C．种 D．种 指导：先分配 4 个人到第一个路口，再分配 4 个人到第二个路口，最后分配 4 个人到第三个路口．题点经典类型题 A．140 种 [解析] [答案] B．84 种 C．70 种 D．35 种1 (典型例题)从 4 名男生和 5 名女生中任意选出 3 人参加一个会议，其中至少有 1 名男生和一名女生，则不同的选派方案有 命题目的与解题技巧：①考查组合问题．②合理使用加法原理． 若选两女一男，则有?种方法，若选两男一女，则有 C?种方法，故共有 C?+?=70 种． C2(典型例题三校)高三年级有文科、理科共 9 个备课组，每个备课组的人数不少于 4 个，现从这 9 个备课组中抽出 12 人，每 个备课组至少 1 人，组成“年级核心组”商议年级的有关事宜，则不同的抽调方案共有 A.129 种 答案： C B．148 种 C.165 种 D．585 种8 3 指导：本小题可看成将 12 个人排成一排，插入 8 块板，分成 9 部分．有 C11 ? C11 =165 种．3(典型例题)一次考试中，要求考生从试卷上的 9 个题目中选 6 个进行答题，要求至少包含前 5 个题目中的 3 个，则考生答 题的不同选法的种数是 A．40 答案： B B．74 C．84 D．2005 指导：若前 5 题中包含 3 个，则共有种，若前 5 题中包含 4 个，则共有种，若前 5 题中包含 5 个，则共有 C5 C1 43 3 4 2 5 种，∴不同的选法种数为 C5 ? C4 ? C5 ? C4 ? C5 ? C1 =74 种． 44(典型例题)将 1，2，3，?，9 这 9 个数填在如图 35―2―1 中的 9 个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下依次 增大，当 3、4 固定在图中位置时，所填写空格的方法有A．6 答案： AB．12C．18D．24指导：由题意知数字 1，2，9 的位置也是固定的，如图：5，6，7，8 四个数字在 A、B、C、D 四个位置上，A、B2 2 2 2 位置上的填法 C4 ，C、D 位置上的填法 C2 ，共有 C4 ? C2 =6 种，故选 AⅢ新高考命题探究 A．252 种 B．112 种 C．70 种 D．56 种 故选 B1 将 7 名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排 2 名学生，那么互不相同的分配方案共有答案： B2 5 3 4 4 3 5 2 指导：由题知，总分配方法有： C7 C5 ? C7 C7 ? C7 C3 ? C7 C2 =112 种．2 圆周上有 12 个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多是 A.4 A12B.2 2 A12 A12C.2 2 C12 C12D.4 C12答案： D指导：圆周上任意四个点的交叉连线交点均在圆内且惟一，故只需确定这样四点的种数．由这四点选法有，故在4 圆内交点个数为 C12 ，所以选 n3 设含有 10 个元素的集合的全部子集数为 S，其中由 3 个元素组成的子集数为 T，由 答案： 考场 热身 探究性命题综合测试 )种3 15 T C10 15 指导 : ? 0 ? 1 10 128 S C10 ? C10 ? ... ? C10 128T S的值为_______?1 一架间谍飞机侵入我领空，空军某部奉命派出三架战机跟踪拦截，作战部要求我战机分别位于敌机的左右两翼和后方成三 角之势夹击敌机，这样，我三架战机的不同排列方式有( A．3 答案： B B．6 C．9 D．123 指导：即三架飞机三种不同占位，故 A3 =6(种)2 要排出一张 6 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单，任何两舞蹈节目不得相邻，不同的排法共有( A． A10 答案： D10)种B． A664 ? A4C． A662 ? A7D． A664 ? A7指导：先排 6 个歌唱节目有种排法，这 6 个节目有 7 个空隙(首尾各一个，中间 5 个)，在这七个空隙中将 4 个舞6 4 蹈节目插入有种插法，由分步计数原理，共有 A6 A7 种方法．3 现从某校 5 名学生中选出 4 人参加数学、物理、化学三个课外活动小组，要求每个小组至少有一人参加，且每人只参加一 个活动小组，则不同的参加方案种数是 A．180 答案： A B．120 C．60 D．304 2 3 指导乙丛 5 名学生中选 4 人有 C5 种选法，然后 4 人分成 3 组参加数理化三个课外活动小组，有 C4 ? A3 种，则共4 2 3 有 C5 ? C4 ? A3 =180（种）选A4 某人手中有 5 张扑克牌，其中 2 张为不同花色的 2，3 张不同花色的 A，有 5 次出牌的机会，每次只能出一种点数的牌，但 张数不限，此人有多少种不同的出牌方法?5 3 2 4 2 3 3 2 4 答案： A5 ? A5 ? A5 ? A3 A5 ? A5 ? C3 ? A5 =860 种指导：出牌的方法可分为以下几类：①5 张牌全部分开出，有 A5 种方法；4 4 欧张 2 一起出，3 张 A 分开出，有 A5 种方法；③2 张 2 一起出，3 张 A 分开出，有 A5 种方法；④2 张 2 一起出，3 张 A 分两3 2 4 2 3 次出，有 C3 ? A5 种方法；⑤2 张 2 分开出，3 张 A 一起出，有 A5 种方法；⑥2 张 2 分开出，3 张 A 分两次出，有 C3 A5 种方法，因此共有不同的出牌方法 5 已知 y=f(x)是定义域为 A={x|1≤x≤7，x∈N｝ ，值域为 B={0，1｝的函数 (1)试问这样的函数 f(x)共有多少个? (2)若对于定义域中的 4 个不同元素，对应的函数值都是 1，那么这样的函数共有多少个? 答案：(1)函数是非空数集到非空数集上的一个映射，根据映射的 定义，只要对集合 A 中的 7 个元素在 9 中都有唯一的元素 与之对应即可，根据分步计数原理，共有 2?2?2???2= 2 7 =128 个，又 0 或 1 没有原象的映射各有一个，故这样的函数 f(x)共有
个．4 (2)因为定义域中的 4 个元素对应于值域中的 1， 那么其余 3 个元素都对应值域中的 0， 故这样的函数 f(x)有 C7 =35(个)．第三十六讲 二项式定理 最 新 命 题 特 点 对本部分内容的考查呈现以下特点： 1．二项式定理是高中数学中的重点内容，也是高考中每年必考的内容． 2．考查内容：(1)二项展开式；(2)二项展开式的通项公式；(3)二项式系数、二项式系数和；(4) 展开式系数、系数和． 预计：20％年高考可能有题目涉及，出现在选择填空中的可能性较大．应 试 高 分 瓶 颈1．二项展开式的通项公式容易出错．第 r 十 1 项的二次式系数为．2．二项式系数、系数的区别与使用是本部分的难点内容，也是高考中丢分的关键因素之一．命题点 1 命题点 2 命题点 1通项公式 二项展开式的系数与系数和 通项公式本类考题解答锦囊解答“通项公式”一类试题要注意以下几方面： 1．熟悉通项公式 2．在二项式的题目中出现“项”的问题(如常数项、含 x 的项、含 的项、有理项等)，通常都要用通项公式． 3．用通项公式解题，通常是解方程的问题，要注意方程的选取． I 高考最新热门题1(典型例题) x?1 x展开式中 x 的系数为____________.5命题目的与解题技巧：①本小题主要考查二项式定理、指定项系数等基本知识． ②利用好二项展开式的通项公式 Tr+1 使问 题简化． [解析] Tr+1 ? Cr 8 8? rx(?1 r)&#39; ? C xr 83 8? r . 2令 8-3 r ? 5 得 r＝2． 2∴展开式中 x 的系数为 C8 ＝28． [答案] 28x 9522(典型例题)若(1―2 ) 展开式的第 3 项为 288，则 lim(n ??1 1 1 ? 2 ??? n ) x x x的值是A.2 答 案B．1 ：C. A1 2D.2 5指 导 ： （ a+b ）n展开式中第r+1项为r 2 Tr ?1 ? Cn ? a(a ?r )br ,由此知288 ? C9 ? (?2 x )2 解之 : x ?3 1 2 则数列{ n }是公比为 的等比数列 2 3 x2 2 2 [1 ? ( ) n ] 1 1 3 3 ,?lim ( 1 ? 1 ? ... 1 ) ? 3 ? 2 ? ..... ? n ? n ?? 2 2 x x x2 x xn 1? 1? 3 33(典型例题)已知(xA.28a 8 ) 展开式中常数项为 1120，其中实数。是常数，则展开式中各项系数的和是 xC.1 或 38B．38D．1 或 28答案： Ca r r 指导： 设第 r+1 项为常数项，则有 Tr ?1 ? C8 ? x8? r ? (? )r ? C8 ? (?a)r ? x8?2r当r ? 4时, Tr ?1为常数项 x2 4 即： C8 ? (?a)4 ? 1120解 : a ? ?2当a ? ?2时, ( x ? )8 展开式中各项系数和(1 ? 2)8 x 2 2 当 a=2 时， ( x ? )8 展开式中各项系数和为(1 ? )8 ? 1 x 134(典型例题)已知 ( x 2 答案：35 Ⅱ? x 3 ) n 的展开式中各项系数的和是 128，则展开式中 x 的系数是_______.(以数字作答)5?1r 指导：各项系数和为 2n , 则2n ? 128, n ? 7, Tr ?1 ? Cn ? ( x 2 ) n ? r ? ( x3?1 3 ) r , 令 9n ? 11r6r 3 ? 5, r ? 3.Cn ? C7 ? 35.题点经典类型题1(典型例题)已知(1 30 x? 5 x ) n 的二项展开式的第六项是常数项，那么 n 的值是D．35 ②灵活使用通项．? 1 ( n ?5) ?1 30A．32B．33C．34命题目的与解题技巧：①考查二项式定理．5 ? Cn ? ([解析] T6 ∴? ∴1 30 x5 ) n ?5 ? ( 5 x ) 5 ? C n ? x1 (n ? 5) ? 1 ? 0. ? n ? 35. 30故选 D． D3[答案]2(典型例题)(x + A．210 答案： A1 n ) 的展开式中，第 6 项系数最大，则不含 x 的项为 x2C．462 D．252B．10指导：第六项系数即为第六项的二项式系统。r ? n ? 10.Tr ?1 ? C10 ? ( x3 )10?r ? (1 x2r r 6 )r ? C10 .x30?3r ?2r 令30 ? 3r ? 2r ? 0, r ? 6,? C10 ? C10 ? 2103(典型例题)设 f(x)=1+x+(1+x)2+?+(1+x)n 的展开式中 x 项的系数和为 Tn，则 A.1 8B.1 4C.1 2D.l答案： C1 指导： Tn ? 1 ? C1 ? C3 ? ...C1 ? 2 nn2 ? n lim T 1 . ?n?? 2 n ? . 2 n ?n 2-14(典型例题)已知 ( x A．0 答案： B B．11 15 x ? ) 6 的展开式的第五项等于 ，则 lim (x n?? x 2C．2 D．33 ? ( x 2 )6 ? 4 4 C6 (? x ?1 ) 4+x +?+x )等于-2-n指导： T5 ?? 15 x ?1 ?15 1 . ? x ?1 ? ? 2?1 2 21 ?lim ? n? (x?1?x?2?x?3? .... ? x?n)?lim ? n?1 1 1 1 ( ? 2 ? 3 ? ... ? n ) ?lim ? n? 2 2 2 22(1 ?12n 1 1? 2) ?lim ? (1 ? n?1 2n) ?15(典型例题)若(x2+)n 的展开式中，只有第四项的系数最大，那么这个展开式中的常数项是________3 答案：20 指导：由题知 n=6，∴常数项为 C6 ? 206(典型例题)若 (x?2 x) n 的展开式中的第 5 项为常数项，则 n=______________n?4 2 4 2.84 指导： T5 ? Cn ? ( x )n ? 4 ? (2 x4 ) 4 ? Cn ? 24 ? x?x?∴第 5 项为常数项 Ⅲ?n?4 4 ? (? ) ? 0,? n ? 8. 2 2新高考命题探究1 在(1+x)3+(1+x)4+?+(1+x)典型例题式中 x3 的系数等于 A． C 200434B． C 20054C． 2C20043D． 2C200533 3 3 3 4 3 3 3 4 B 指导： x 的系数等于 C3 ? C4 ? C5 ? ... ? C2004 ? C4 ? C4 ? C5 ? .... ? C2004 ? C2005故选B2 在(x +3x+2) 展开式中 x 的系数为 A．160 B．240 C．360 D．800251 4 答案：B 零 指导：由题知 x 的系数为 C5 (3x) ? C4 ? 24 ? 240 ? x命题点 2二项展开式的系数与系数和本类考题解答锦囊 解答“二项展开式的系数与系数和”一类试题要注意： 1．区分二项式系数与系数的区别与联系，不要将两者混为一谈． 2．二项式系数和与系数和：二项式系数和式是结论性的，记住结论即可．系数和的求法是“赋值法” ，针对不同的问题 赋不同的值，通常是“1，-1，0” ． 3．注意系数和与二项式系数和中的“全和”与“半和” ．I 答)高考最新热门题典型例题1(典型例题)若(1―2x)+a1x+a2x +?+a 典型例题 (x∈R)，则(ao 十 a1) +(ao+a2) +(ao+a3)+?+(ao 十 a 典型例题_______.(用数字作204命题目的与解题技巧：①本小题主要考查二项式定理的基本知识，以及赋值法等基本方法． ②观察式子特点，寻找 x 赋值 为多少时使已知所得等式更接近所求，从而使问题迎刃而解． [解析] 令 x=0，得 a0=1； 故(a0+a1) +(a0+a2) +(a0+a3) +?+(a0+a 典型例题 003+a0+a1+a2+?+a 典型例题 04． 令 x=1，得 1=ao+a1+a2+?+a 典型例题 [答案] 典型例题(典型例题) lim2 2 2 C2 ? C32 ? C4 ? ? ? Cn ? n?? (C 1 ? C 1 ? C 1 ? ? ? C 1 ) 2 3 4 nA．3B.1 3C.1 6D．63 Cn ?1 3? 2 ? ?lim ? ? n? (n ? 1)(2 ? n) 3 n(2 ? 3 ? ... ? n) n? 2答案： B指导：原式 ?lim ? n?3(2002 ? 上 海 ) 在 二 项 式 (1+3x) 和 (2x+5) 的 展 开 式 中 ， 各 项 系 数 之 和 分 别 记 为 an 、 bn ， n 是 正 整 数 ， 则liman ? 2bn ? _________. n ?? 3a ? 4b n n4 ( )n ? 2 1 an ? 2bn lim 4n ? 2 ? 7 n 1 n n lim lim 7 指导 : 由二项式定理得 : an ? 4 , b ? 7 ?n ?? ? n ?? ? n ?? ? 答案： 4 n 2 3an ? 4bn 3 ? 4n ? 4 ? 7 n 3? ( ) ? 4 2 74(典型例题)若(x+2) =x +?+ax ++bx +cx+2 (n∈N，且 n≥3)，且 a:b=3:2，则 n=__________.0 n n n n 答案：指导： ( x ? 2)n ? Cn xn ? C1 xn ? C1 xn?1 ? 21 ? ... ? Cn ?3x3 ? 2n?3 ? Cn ?2 x2 ? Cn ?1x1 ? 2n?1 ? Cn ? 2n , n nn 故 a= 2n ?3 ? Cn ? 2n ?3 ?nn32nn(n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) a 1 n ? 2 3 n b ? 2n ?2 Cn ?2 ? ? ? ? ? . ? m ? 11 3 ? 2 ?1 2 ?1 b 2 3 2Ⅱ题点经典类型题 A．81 C．243 [解析] [答案] B．27 D．729 ②灵活运用“半和”公式 ③合理使用“赋值法” 由题知 2n+6=n+2，∴n=-4(舍)或 2n 十 6n 十 2=20∴n=4．n 41(典型例题)若(n∈N+)，且(2―x)n=a0+alx+a2x2+?+anXn，则 a0-a1+a2-?+(-1)nan 等于命题目的与解题技巧：①考查二次式定理此时令 x=―1，a0-a1+a2-a3+?(-1) an=3 =81． A2( 典 型 例 题 ) 已 知? aii?mn=am+am+1+ ? +an( 其 中m 、 n ∈ Z ， 且0 ≤ m&n) ． 若f(x)=? (?1) i Cni (3 ? x) i ? ? aixn?1则; ? ai ?i ?0 i ?0 i ?1nnnA．0 B．-2C.(-1) 答nnD．n 为偶数时为 0，n 为奇数时为-2 案n：i i n iDn i n i指导：由题知，只需令x=1则? a ? ? (?1) C (3 ? 1) ? ? C (?2)i i ?0 i ?0 i ?00 n ? Cn (?2)0 ? C1 (?2)1 ? ...Cn (?2)n ? (1 ? 2)n ? (?1)n n??i ?0nai ? (?1)n ? a0 ? (?1)n ? 1?当n为奇数时,?i ?1nai ? ?2,?当n为偶数时,? a ? 0,i i ?1n3(典型例题)若 n 是奇数，则 7 + ? Cn 7n1n?12 n ? Cn 7 n?2 ? ? ? Cn ?1 7 被 9 除的余数是A．0 答B．2 案C．7 ：D．8 C 指 导 ： 原 式0 n n 0 n ? C7 7n ? C1 ? 7n?1 ? ...Cn ?1 ? 7 ? Cn ? 1. ? (7 ? 1)n ? 1 ? 8n ? 1 ? (9 ? 1)n ? 1 ? Cn (?1)0 9n ? C1 9n?1(?1)1 ? 1.... ? Cn (?1)n ? 1. n n∵n 为奇数，故侨余数为 7。 4(典型例题)若(2―x) =a0+a1x+a2x +?al0x , 则 log2a0+log2a8+log45=__________. 答案：12 Ⅲ8 指导， log2 a0 ? log2 a8 ? log2 45 ? log2 210 ? log2 C10 ? 22 ? log2 45 ? 10 ? 2 ? log2 45 ? log2 45 ? 12 ；l0 2 10新高考命题探究n 2 n1 在(1+x) (n 为正整数)的二项展开式中，奇数项的和为 A，偶数项的和为 B，则(1-x ) 的值为 A．0 C．A -B 答案： C2 2B．AB D．A +B1 2指导：由题知 (1 ? x)n ? A ? B(1 ? x)n ? A ? B ? (1 ? x2 )n ? (1 ? x)n (1 ? x)n ? ( A ? B)( A ? B) ? A2 ? B25 32 多项式(1―2x) (2+x)中含 x 的系数是 A．120 C. 100 答案：D 考场 热身*B．―100 D．―1203 2 指导：因为 (1 ? 2x)5 (2 ? x)的展开式x3的系数C5 (?2)3 2 ? C5 (?2)2 ? ?120.探究性命题综合测试2 4n-11 当 n∈N 且 n≥2 时，1+2+2 +?+2 A．0 C. 3 答案： A B．1 D．与 n 有关=5p+q(其中 p、q 为非负整数，且 0≤q&5)，则 q 的值为4n 指导：由于 1+2+ 22 ? ... ? 24n ? 24n ?1 ? 24n ? 1 ∴问题转化为求 2 -1 被 5 除的余数。2 n ∵ 24n ? 1 ? 16n ? 1 ? (1 ? 15)n ? 1 ? C1 ? 15 ? Cn ? 152 ? ... ? Cn ? 15n n2 已知(2x + A．4 C．9 答案： B21 n ) (n∈N )的展开式中含有常数项，则 n 的最小值是 x3*B．5 D．10r r 指导： Tr ?1 ? Cn (2x2 )n?r ? x?3r ? 2n?r ? Cn ? x2n?5r , 则2n ? 5r ? 0 ? n的最小值是5故选B3(1―3a+2b) 展开式中不含 b 的项系数之和是___________. 答案：指导：令 a=1,b=0 即得不含 b 的项系数之和为 (1 ? 3)5 ? ?32 第三十七讲 最 新 命 题 特 点 概 率5对本部分内容的考查呈现以下特点： 1．概率是高中数学中与现实生活联系非常密切的一部分，在历年的高考中占很大的比重． 2．考查内容：(1)等可能性事件；(2)互斥事件有一个发生的概率；(3)相互独立事件同时发生的 概率；(4)对立事件；(5)独立重复试验． 3．考查形式：选择题、填空题、解答题都有可能出现．难度较大，是高考中的中档题． 预计：典型例题可能有题目涉及，出现在选择填空中的可能性较大．应 试 高 同 分 瓶 颈 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 l 等可能性事件的概率 互斥事件有一个发生的概率 朔互独立事件同时发生的概率 等可能性事件的概率 1．区分题目属于哪一种概率，针对不同的概率类型灵活使用不同的方法． 2．等可能性事件的概率是难点之一，区分好“排列型”“组合型”“乘方型” 、 、 ． 3．独立重复试验是难点和重点，也是高考丢分的重要因素之一．本类考题解答锦囊 解答“等可能性事件的概率”一类试题的方法如下：1．等可能性事件概率的求法是“除法”P＝符合条件的“情况”数 总的“情况”数2．根据题目中给出的“放回?‘不放回?‘逐次抽取?‘一次抽取” ，可将等可能性事件的概率分成三种“排列型” “组 合型” “乘方型” ，注意它们的区别与联系． I 高考最新热门题 1(典型例题)从数字 1，2，3，4，5 中，随机抽取 3 个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于 9 的概率为 A.13 125B.16 125C.18 125D.19 125命题目的与解题技巧：①本小题主要考查排列组合的应用，以及等可能性事件的概率等基本知识． ②先将数字和为 9 的数 字分组，再对每组数字求解三位数个数．使问题迎刃而解． [解析] [答案] 从数字 1，2，3，4，5 中，随机抽取 3 个数字(允许重复)组成三位数，有 5’个，其中各位数字之和等于 9， D 可能有(3，3，3)，(3，2，4)，(2，2，5)，(1，3，5)，(4，4，1)五组数，共有 l+6+3+6+3＝19 个，故概率为． 2(典型例题)某校高三年级举行一次演讲比赛共有 10 位同学参赛，其中一班有 3 位，二班有 2 位，其它班有 5 位．若采取抽 签的方式确定他们的演讲顺序， 则一班的 3 位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连)， 而二班的 2 位同学没有被排在一起的 概率为 A.1 10B.1 20C.1 40D.1 120答案： B6 指导：先把一班的三位同学捆绑在一起和其他班的 5 位同 学排列有 A6 种排法，从 7 个空档中选出 2 个位置给2 3 二班的 2 位同学有种排法， 最后的 3 位排在一起的同学又有 A7 种排法， 故共有 A3 ` 种排法， 所以所求概率为6 2 3 A6 A7 A3 10 A10?1 .． 203(典型例题)将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数 1，2，3，4，5，6 的正方体玩具)先后抛掷 3 次，至少出 现一次 6 点向上的概率是 A.5 216B.25 216C.31 216D.91 216答案： D指导： “至少出现一次 6 点向上”的事件有 1 次向上、2 次 向上、3 次向上等 3 类可能，正面作答运算比较烦琐，这种情形下，可以从它的对立面出发，考虑“一次也不出现 6 点向上”的事件的概率．解法一：把一颗骰子先后抛掷 3 次，向上的点数为 o，6，c，记 事件的结果为(o，6，c)，则一颗骰子先后抛掷 3 次的结果有 6?6?6=216 种可能，其中“至少出现一次 6 点向上”的事 件 有 1 次向上、2 次向上、3 次向上等 3 类结果，共 3(1?5?5) +3(1?1?5)+1?1?1=91 种可能． 故至少出现一次 6 点向上的概率为91 ． 216解法二：一颗骰子先后抛掷 3 次的结果有 6?6?6=216 种可能，其中“至少出现一次 6 点向上”的对立事件“没有 6 点向 上”共有 5?5?5=125 种可能，故至少出现一次 6 点向上 的概率为 1125 91 ? . 216 2164(典型例题)已知盒中装有 3 只螺口与 7 只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡 使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第 3 次才取得卡口灯泡的概率为 A.21 40B.17 40C.3 10D.7 120答案： D2 指导：前两次取出的是螺口灯泡，有 A3 种取法，第三次取 得的是卡口灯泡，有种取法，据分步原理，共有的2 1 A3 A7 3 A10排法，所以所求的概率为?7 1205(典型例题)一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文 5 篇和非试点学校的论文 3 篇．若任意排列交流次序，则最 先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________.(结果用分数表示) 答案：2 6 A5 A6 8 A85 145 . 148 指导：8 篇论文任意次序进行交流有 A8 种方案，其中最先和最后交流的论文为试点的方案数为，故其概率为?6(典型例题)已知 8 支球队中有 3 支弱队，以抽签方式将这 8 支球队分为 A，B 两组，每组 4 支．求： (1)A、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率； (2)A 组中至少有两支弱队的概率． 答案：(1)三支弱队在同一组的概率为 故有一组恰有两支弱队的概率为： 1 ? (2)A 组中至少有两支弱队的概率为．1 C5 4 C8 1 C54 1 ? . Cj 8 7?1 6 ? 7 72 C3 2 C5?3 1 C3 C5 4 C8?1 . 27（典型例题)从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛： (1)求所选 3 人都是男生的概率； (2)求所选 3 人中恰有 1 名女生的概率； (3)求所选 3 人中至少有 1 名女生的概率．答案：(1)所选 3 人都是男生的概率为3 C4 3 C6?1 52 C 1C 4 2 3 C6(2)所选 3 人中恰有 1 名女生的概率为?3 . 5? 4 5(3)所选 3 人中至少有 1 名女生的概率为 Ⅱ 题点经典类型题2 2 C 1C 4 ? C 2 C 1 2 4 3 C61(典型例题)从分别写有 A、B、C、D、E 的 5 张卡片中，任取两张，这两张卡片上的字母恰好是按字母顺相邻的概率为 A.1 5B.2 5C.3 10D.7 10命题目的与解题技巧：①本题主要考查组合、概率等基本概念，相互独立事件和互斥事件等概率的计算以及运用数学知识解 决问题的能力． [解析] A、B、C、D、E 五张卡片中 2 张按字母顺序相邻的情况有 4 种，则所求概率为 P＝4 2 ? . 2 C5 5故选 B [答案] B 2(典型例题)某班委会由 4 名男生与 3 名女生组成，现从中选出 2 人担任正副班长，其中至少有 1 名女生当选的概率是 __________.(用分数作答) 答案：5 2 指导：解法一：从 4 名男生与 3 名女生中选出 2 人担任正副班长，有 A7 =42 种方法，其中至少有 1 名女生当 7 30 5 ? . 42 71 1 2 0 2 选有 C1C3 A2 ? C1 A3 =30 种方法，故至少有 1 名女生当选的概率是3(典型例题)为了支持三峡工程建设，我市某镇决定接收一批三峡移民，其中有 3 户互为亲戚关系，将这 3 户移民随意安置 到 5 个村民组． (1)求这 3 户恰好安置到同一村民组的概率； (2)求这 3 户中恰好有 2 户安置到同一村民组的概率； 答案： (1)3 户任意分配到 5 个村民组， 共有 5 种不同分法： 3 户都在同一村民组共有 5 种方法； 户在同一村民组的 概 3 率为35 53户分在同一村民组的概率为5 530．04．2 2 (2)恰好有 2 户分在同一村民组的结果有 C3 A5 种，2 2 C3 A553? 0.48 ∴恰有 2 户分在同一村民组的概率为 0。484(典型例题)有九张卡片分别写着数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9，甲、乙二人依次从中各抽取一张卡片(不放回)． 试求： (1)甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率； (2)甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的概率． 答案：(1)甲、乙二人依次从九张卡片各抽取一张的可能结果有； ，甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的 结果有种，设甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率为 P1，则． P ? 1 (2)甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的事件包含下面三个事件：1 “甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片”有 C5 ? C1 种； 41 C5 ? C1 4 1 1 C9 ? C8?20 5 ? . 72 181 “甲抽到写有偶数数字卡片，且乙抽到写有奇数数字卡片”有 C5 ? C1 种； 41 “甲、乙二人均抽到写有奇数数字卡片”有 C5 ? C1 种． 4设甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的事件为 P2，则 P2 ? Ⅲ 新高考命题探究1 1 1 C5 ? C1 ? C1 ? C5 ? C5 ? C1 4 4 4 1 1 C9C8?60 5 ? 72 61 某省举行的一次民歌大奖赛中，全省六个地区各选送一对歌手参赛，现从这 12 名选手中选出 4 名优胜者．则选出的 4 名 优胜者，恰有两人是同一地区送来的歌手的概率是 A. 答案： C8 33B.64 165C.16 33D.6 112 2 指导： 名歌手来自三个赛区， 4 则先确定赛区， C6 种， 有 3 再确定哪区出一人， 哪区出两人及是谁， 则 C3 C2 ? C1C1 2 23 2 2 C6 C3 C2 C1C1 2 2 4 C123 2 2 则共有 C6 C3 C2 C1C1 则相应概率 2 2?16 .． 331 2 C 32 C 4 2 一个盒子里装有相同大小的红球 32 个，白球 4 个，从中任取两个，则概率为 2 C 36的事件是A.没有白球 C.至少有一个是白球 答案： CB．至少有一个是红球 D．至多有一个是白球1 2 C32C1 ? C4 4 2 C3621 2 指导：至少一个白球的种数为 C32C1 ? C4 则至少一个白球的概率为 423 若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的坐标，则点 P 落在圆 x +y =16 内的概率是________ 答案：2 1 1 指导：基本事件总数为 C6 ? C6 =36，记事件 A={P(m，n)落在圆=16 内}，则 A 所包含的基本事件为(1，1)，(1，2)， 9 8 2 ? 。 36 9(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，共 8 个，故 P(A)= 命题点 2 互斥事件有一个发生的概率本类考题解答锦囊 解答“互斥事件的概率”一类试题应注意： 1．互斥事件是指“不可能同时发生的两个事件” ，求法是“加法” ：P(A+B)=P(A)+P(B)． 2．互斥事件解决的关键是“分类” ，满足条件的情况共有几个互斥的事件，然后一一求其概率，相加即可． I 高考最新热门题 (1)求恰有一件不合格的概率； (2)求至少有两件不合格的概率．(精确到 0．001) 命题目的与解题技巧：①本题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力． ②对问题分类处理是解 题关键． [解析] 设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为 A、B 和 C 1（典型例题、天津)有三种产品，合格率分别是 0．90，0．95 和 0．95，各抽取一件进行检验．(1)P(A)=0．90，P(B)=P(C)=0．95，P(A )=0．10，P( B )=P( C )=0．05．因为事件 A、B、C 相互独立，所以恰有一件不 A ?B?C)=P(A)?P(B)?P( C )+P(A)?P( B )?P(C)十 P(合格的概率为 P(A?B? C )+P(A? B ?C)+P(A )?P(B)?P(C)=2?O．90?0．95?0．05+0．10?O．95?O．95=0．176．(2)解法一：至少有两件不合格的概率为 P(A?B?C)+P(A?B?C)+P(A?B?C+PCA?B?C)=0．90 ? 0.05 +2 ? 0．10? 60．05?0．95 解法二：三件产品都合格的概率为 P(A?B?C)=P(A)?P(B)?P(C)=O.90?O．05 =0．812．由(1)知，恰有一件不合格的概率为 0．176，所以至少有两件不合 格的概率为 1―[P(A?B?C)+0．176]=1―(0．812 十 0.176)=0．012． [答案] (1)0．176；(2)0．012 2(典型例题)口袋内装有 10 个相同的球，其中 5 个球标有数字 0．其他 5 个球标有数字 1，若从袋中摸出 5 个球，那么摸出 的 5 个球所标数字之和小于 2 或大于 3 的概率是__________.(以数值作答) 答案：13 指导：考虑对立事件：摸出的 5 个球所标数字之和 2 或 3(从标有数字的 0 的 5 个球中摸出 3 个．标有数字 1 的 633 2 2 3 C5 C5 ? C5 C5 5 C102 2+0．10? 0．05 =0．012．25 个球中摸出 2 个或从标有数字 0 的 5 个球中摸出 2 个、标有数字 1 的 5 个球中摸出 3 个)的概率是 以摸出 5 个球所标数字之和小于 2 或大于 3 的概率是 1 ?50 13 ? 63 63?50 ，所 633(典型例题)某同学参加科普知识竞赛，需回答 3 个问题．竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得到 100 分、100 分、200 分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为 0．8、0．7、0．6，且各题答对与否相互之 间没有影响． (1)求这名同学得 300 分的概率； (2)求这名同学至少 300 分的概率． 答 案 ： (1) 这 名 同 学 得 300 分 的 概 率 为P ? P( A1 A2 A3 )? ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1) P( A2 ) P( A3 ) ? P( A1) P( A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? 038 ? 0 ． 3 ? 0 ． 6+0 ． 2 ? 0 ． 7 ? 10．6=0．228 (2)这名同学至少得 300 分的概率为 P2 ? P ? p( A1 A2 A3 ) ? 0.228 ? P( A1) P( A2 ) P( A3 ) ? 0.564 1 4(典型例题)设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为 0．7、0．6 和 0．5． (1)三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率； (2)若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率． 答案：至少一人命中目标的概率为 0．94，恰好两人命中目标的概率 为 0．44． (1)设表示“第众人命中目标” ，k=1,2，3，这里独立，且P( A1 ) ? 0.7, P( A2 ) ? 0.6, P( A3 ) ? 0.5 P( A1 ? A2 ? A3 ? A1 ? A2 ? A3 ? A1 ? A2 ?A3 ) ? 0.7 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.7 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.44从而，至少有一人命中目标的概率为1 ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? 1 ? P( A1) P( A2 ) P( A3 ) ? 1 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.94恰 有 两 人 命 中 目 标 的 概 率 为(2)恰好两次命中的概率为 0.441 设甲每次射击一次试验， 从而该问题构成三次独立重复试验， 又已知每次命中概率为 0． 7．2 故所求概率为 P ( A) ? C3 0.72 ? 0.31 ? 0.441 3Ⅱ题点经典类型题1(典型例题)某售货员负责在甲、 乙、 丙三个柜组上售货， 如果某一小时内各柜组不需要售货员照顾的概率分别是 0.9、 8、 0． 0．7，假定各个柜组是否需要照顾相互之间没有影响，求在这个小时内： (1)只有丙柜组需要售货员照顾的概率; (2)三个柜组最多有一个需要售货员照顾的概率； (3)三个柜组至少有一个需要售货员照顾的概率． 命题目的与解题技巧：①考查相互独立事件同时发生的概率．②注意题目中“只有” “至多” “至少”的意义，合理分类，每类之间为互斥事件． [解析] 解：设事件 A 表示“某一小时内甲柜组不需要售货员照顾” ；事件 B 表示“某一小时内乙柜组不需要售货员照 顾” ；事件 C 表示“某一小时内丙柜组不需要售货员照顾” ． 则事件 A、B、C 相互独立，且 P(A)=0．9，P(B)=0．8，P(C)=0．7． (1)设事件 D 表示“某一小时内只有丙柜组需要售货员照顾，则 D=A?B? C 且此三事件相互独立． ∴P(D)=P(A?B? C )=P(A)?P(B)?P( C )=0．9?0．8?0．3=0．216(4 分) (2)设事件 E 表示“某一小时内三个柜组最多有一个需要售货员照顾” ，则 E=A?B?C+A ?B?C+A?B?C+A?B．A、C.又 A?B?C、A?B?C、A?B?C、A?B?C彼此互斥，A、B、C，B、C相互独立，故P(C)=P(A? C)+P( B?A ?B?C )+P(A?B ?C)+P(A?B?C )=0．9?0．8?0．7?+0．1?O．8?0．7 十 0．9?0． 2?0． 7+0． 9?0．8 ?0．3=0．902 (3)设事件 F 表示“某一小时内三个柜组至少有一个需要售货员照顾” ，则 F F=A?B?C，又 A、B、C 相互独立，故 P( F )=P(A?B?C)=P(A)?P(B)?P(C) =0．9?0．8 ?0．7=0．504 ∴P(E)=1-P(F)=1-0．504=0．496． [答案] (1)0．216；(2)0．902；(Ⅲ)0．446 B．0．90 C．0．95 D．0．99 2(典型例题)一患者服用某种药品后被治愈的概率是 95％，则患有相同症状的四位病人中至少有 3 人被治愈的概率为 A．0．86 为 0．44． (1)设表示“第众人命中目标” ，k=1,2，3，这里独立，且P( A1 ) ? 0.7, P( A2 ) ? 0.6, P( A3 ) ? 0.5 P( A1 ? A2 ? A3 ? A1 ? A2 ? A3 ? A1 ? A2 ?A3 ) ? 0.7 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.7 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.44答案：至少一人命中目标的概率为 0．94，恰好两人命中目标的概率从而，至少有一人命中目标的概率为1 ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? 1 ? P( A1) P( A2 ) P( A3 ) ? 1 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.94恰 有 两 人 命 中 目 标 的 概 率 为(2)恰好两次命中的概率为 0.441 设甲每次射击一次试验， 从而该问题构成三次独立重复试验， 又已知每次命中概率为 0． 7．2 故所求概率为 P ( A) ? C3 0.72 ? 0.31 ? 0.441 D 3P=C 4（0.95） ?0.05+C 4（0.95） =0.9933443(典型例题)甲、乙两个排球队进行比赛，采取 5 局 3 胜制．若甲队获胜概率为 ，乙队获胜的概率为 ，求以下事件的概率． (1)甲队以 3：0 获胜； (2)甲队以 3：1 获胜； (3)甲队获胜． 答案：至少一人命中目标的概率为 0．94，恰好两人命中目标的概率 为 0．44． (1)设表示“第众人命中目标” ，k=1,2，3，这里独立，且P( A1 ) ? 0.7, P( A2 ) ? 0.6, P( A3 ) ? 0.5从而，至少有一人命中目标的概率为1 ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? 1 ? P( A1) P( A2 ) P( A3 ) ? 1 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.94 P( A1 ? A2 ? A3 ? A1 ? A2 ? A3 ? A1 ? A2 ?A3 ) ? 0.7 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.7 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.44恰 有 两 人 命 中 目 标 的 概 率 为(2)恰好两次命中的概率为 0.441 设甲每次射击一次试验， 从而该问题构成三次独立重复试验， 又已知每次命中概率为 0． 7．1 ?1? 2 故所求概率为 P ( A) ? C3 0.72 ? 0.31 ? 0.441 (1)队以 3：0 获胜， P ? ? ? ? 1 3 27 ?3?3(2)若甲队以 3：1 获胜，则甲胜前 3 局中的 2 局且胜第 4 局，2 1 2 2? 1 ? P2 ? C3 ? ? ? ? ? 3 ? 3 3 27 ?2(3)若甲队以 3：2 获胜，则甲胜前 4 局中的 2 局，且胜第 5 局；8 ?2? 1 2? 1 ? P3 ? C4 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 3 812 2甲队获胜的概率： P ?1 2 8 17 ? ? ? .． 27 27 81 814(典型例题)甲、乙两支足球队经过加时赛比分仍为 0：0，现决定各派 5 名队员，每人射一个点球决定胜负，假设两支球队 派出的队员每人的点球命中概率均为 0．5(相互独立) (1)如果不考虑乙球队，那么甲球队 5 名队员中有连续三名队员射中，而另两名队员未射中的概率是多少? (2)甲、乙两队各射完 5 个点球后，再次出现平局的概率是多少? 答案：至少一人命中目标的概率为 0．94，恰好两人命中目标的概率 为 0．44． (1)设表示“第众人命中目标” ，k=1,2，3，这里独立，且P( A1 ) ? 0.7, P( A2 ) ? 0.6, P( A3 ) ? 0.5 P( A1 ? A2 ? A3 ? A1 ? A2 ? A3 ? A1 ? A2 ?A3 ) ? 0.7 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.7 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.44从而，至少有一人命中目标的概率为1 ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? 1 ? P( A1) P( A2 ) P( A3 ) ? 1 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.94恰 有 两 人 命 中 目 标 的 概 率 为(2)恰好两次命中的概率为 0.441 设甲每次射击一次试验， 从而该问题构成三次独立重复试验， 又已知每次命中概率为 0． 7．2 故所求概率为 P ( A) ? C3 0.72 ? 0.31 ? 0.441 (1) P? A?3 ? 0.53 ? ?1 ? 0.5?2 ? 33 32(2) 可 能 的 情 况 有0 5 52 1 5 126种 ： 均 未 中 球 ， 均 中5 5 5 2 2 2 101球 ， ? 均 中5球 ， 概 率 为?C ?1 ? 0.5? ? ? ?C 0.5?1 ? 0.5? ? ? ? ? ?C ?0.5 ?? ? 21 ?1 ? 5Ⅲ 新高考命题探究? 102 ? 52 ? 12 ??63 2561 一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数 1，2，3，4，5，6(俗称骰子)，将这个玩具向上抛掷一次，设事件 A 表示向 上的一面出现奇数点(指向上一面的点数是奇数)，事件 B 表示向上的一面出现的点数不超过 3，事件 C 表示向上的一面出 现的点数不少于 4，则 A.A 与 B 是互斥而非对立事件 B．A 与 B 是对立事件 C.B 与 C 是互斥而非对立事件 D．B 与 C 是对立事件 答案：至少一人命中目标的概率为 0．94，恰好两人命中目标的概率 为 0．44． (1)设表示“第众人命中目标” ，k=1,2，3，这里独立，且P( A1 ) ? 0.7, P( A2 ) ? 0.6, P( A3 ) ? 0.5 P( A1 ? A2 ? A3 ? A1 ? A2 ? A3 ? A1 ? A2从而，至少有一人命中目标的概率为1 ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? 1 ? P( A1) P( A2 ) P( A3 ) ? 1 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.94 ?A3 ) ? 0.7 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.7 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.44恰 有 两 人 命 中 目 标 的 概 率 为(2)恰好两次命中的概率为 0.441 设甲每次射击一次试验， 从而该问题构成三次独立重复试验， 又已知每次命中概率为 0． 7．2 故所求概率为 P ( A) ? C3 0.72 ? 0.31 ? 0.441 (1) P? A?3 ? 0.53 ? ?1 ? 0.5?2 ? 33 32(2) 可 能 的 情 况 有0 5 52 1 5 126种 ： 均 未 中 球 ， 均 中5 5 5 2 2 2 101球 ， ? 均 中5球 ， 概 率 为?C ?1 ? 0.5? ? ? ?C 0.5?1 ? 0.5? ? ? ? ? ?C ?0.5 ?? ? 21 ?1 ? 57；5，7，9；3，7，9 这三种可能，故所求概率为： 1 ?? 102 ? 52 ? 12 ?? 7 10?63 指导： 能拼成三角形的三条线段仅有 3， 5， 25633 C52 有五条线段，长度分别为 1，3，5，7，9，从这五条线段中任取三条，则所得的三条线段不能拼成三角形的概率是 3 袋中 有 5 个白球，3 个黑球，从中任意摸出 4 个，求下列事件发生的概率； (1)摸出 2 个或 3 个白球； (2)至少摸出 1 个白球； (3)至少摸出 1 个黑球； 答案：至少一人命中目标的概率为 0．94，恰好两人命中目标的概率 为 0．44． (1)设表示“第众人命中目标” ，k=1,2，3，这里独立，且P( A1 ) ? 0.7, P( A2 ) ? 0.6, P( A3 ) ? 0.5 P( A1 ? A2 ? A3 ? A1 ? A2 ? A3 ? A1 ? A2 ?A3 ) ? 0.7 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.7 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.44从而，至少有一人命中目标的概率为1 ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? 1 ? P( A1) P( A2 ) P( A3 ) ? 1 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.94恰 有 两 人 命 中 目 标 的 概 率 为(2)恰好两次命中的概率为 0.441 设甲每次射击一次试验， 从而该问题构成三次独立重复试验， 又已知每次命中概率为 0． 7．2 故所求概率为 P ( A) ? C3 0.72 ? 0.31 ? 0.441 (1) P? A?3 ? 0.53 ? ?1 ? 0.5?2 ? 33 32(2) 可 能 的 情 况 有0 5 52 1 5 126种 ： 均 未 中 球 ， 均 中5 5 5 2 2 2 101球 ， ? 均 中5球 ， 概 率 为?C ?1 ? 0.5? ? ? ?C 0.5?1 ? 0.5? ? ? ? ? ?C ?0.5 ?? ? 21 ?1 ? 5为事件 A4，恰有 i 个黑球为事件 Bi，则 (1)摸出 2 个或 3 个白球的概率P ? P? A2 ? A3 ? ? P? A2 ? ? P? A3 ? ? 12 2 C5 C3 4 C8? 102 ? 52 ? 12 ??63 4 指导：从 8 个球中任意摸出 4 个共有 C 8 种 256不同的结果，记从 8 个球中任取 4 个，其中恰有 1 个白球为事件 Al，恰有 2 个白球为事件 A3，3 个白球为事件 A3，4 个白球?3 1 C5 C3 4 C8?3 3 6 ? ? 7 7 7(2)至少摸出 1 个白球的概率P2 ? 1 ? P?B4 ? ? ?1 ? 0 ? 1(3)至少摸出 1 个黑球的概率P3 ? 1 ? P ? A4 ? ? 1 ?4 C5 4 C8?13 14命题点 3相互独立事件同时发生的概率本类考题解答锦囊 解答“相互独立事件同时发生的概率”一类试题要注意以下两方面：1．相互独立事件是指“一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响的两个事件” ．其求法是“乘法” ： P(A?B)=P(A)?P(B)． 2．相互独立事件的关键是“顺序” ，满足事件的条件需要分成几个子事件，分别求其概率，相乘即可． I 高考最新热门题 1(典型例题)为防止某突发事件，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用．单独采用甲、乙、丙、丁预防措施 后此突发事件不发生的概率(记为 P)和所需费用如下表： 预防措施 P 费用（万元） 甲 0.9 90 乙 0.8 60 丙 0.7 30 丁 0.6 10预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施．在总费不超过 120 万元的前提下，请确定一下预计方案，使得 此突发事件不发生的概率最大。 命题目的与解题技巧： ①本题主要考虑概率的基本知识以及运用概率知识解决实际问题的能力． ②弄清题意及考虑好诸多 方面情况是解题关键． [解析] 方案一：单独采用一种预防措施的费用均不超过 120 万元，由表可知，采用甲措施，可使此突发事件不发生的 概率最大，其概率为 O．9． 方案二：联合采用两种预防措施，费用不超过 120 万元．由表可知，联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概 率最大，其概率为 1-(1-0．9)(1-0．7)=0．97． 方案三：联合采用三种预防措施，费用不超过 120 万元．故只能联合乙、丙、丁三种预防措施，此时突发事件不发生的概 率为 1-(1-0．8)(1-0．7)(1-0．6)=0．976． 综合上述三种预防方案可知，在总费用不超过 120 万元的前提下，联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使突发事件不发生 的概率最大． [答案] 见解析 2(典型例题)甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是 P1，乙解决这个问题的概率是 P2，那么恰好有 1 人解 决这个问题的概率是 A.P1P2 C．1-P1P2 为 0．44． (1)设表示“第众人命中目标” ，k=1,2，3，这里独立，且P( A1 ) ? 0.7, P( A2 ) ? 0.6, P( A3 ) ? 0.5 P( A1 ? A2 ? A3 ? A1 ? A2 ? A3 ? A1 ? A2 ?A3 ) ? 0.7 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.7 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.44B．P1(1-P2)+P2(1-P1) D．1-(1-P1)(1-P2)答案：至少一人命中目标的概率为 0．94，恰好两人命中目标的概率从而，至少有一人命中目标的概率为1 ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? 1 ? P( A1) P( A2 ) P( A3 ) ? 1 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.94恰 有 两 人 命 中 目 标 的 概 率 为(2)恰好两次命中的概率为 0.441 设甲每次射击一次试验， 从而该问题构成三次独立重复试验， 又已知每次命中概率为 0． 7．2 故所求概率为 P ( A) ? C3 0.72 ? 0.31 ? 0.441 (1) P? A?3 ? 0.53 ? ?1 ? 0.5?2 ? 33 32(2) 可 能 的 情 况 有0 5 52 1 5 1265 5种 ： 均 未 中 球 ， 均 中5 2 2 2 101球 ， ? 均 中5球 ， 概 率 为?C ?1 ? 0.5? ? ? ?C 0.5?1 ? 0.5? ? ? ? ? ?C ?0.5 ?? ? 21 ?1 ? 5则在一小时内至多 2 台机床需要工人照看的概率是 A．0．1536 B.0．1808 C．0．5632? 102 ? 52 ? 12 ??63 B 256指导：记甲解决这个问题的事件为 A，乙解决这个问题的事件为 B，则 P(A?B+A?B)=P(A?B)+P(A?B)=P (A)P(B)+P(A)P(B)=Pl(1- P2)+ P2(1- Pl)． 3(典型例题)一台 X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为 0．8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作， D．0．9728答案：至少一人命中目标的概率为 0．94，恰好两人命中目标的概率 为 0．44． (1)设表示“第众人命中目标” ，k=1,2，3，这里独立，且P( A1 ) ? 0.7, P( A2 ) ? 0.6, P( A3 ) ? 0.5 P( A1 ? A2 ? A3 ? A1 ? A2 ? A3 ? A1 ? A2 ?A3 ) ? 0.7 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.7 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.44从而，至少有一人命中目标的概率为1 ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? 1 ? P( A1) P( A2 ) P( A3 ) ? 1 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.94恰 有 两 人 命 中 目 标 的 概 率 为(2)恰好两次命中的概率为 0.441 设甲每次射击一次试验， 从而该问题构成三次独立重复试验， 又已知每次命中概率为 0． 7．2 故所求概率为 P ( A) ? C3 0.72 ? 0.31 ? 0.441 (1) P? A?3 ? 0.53 ? ?1 ? 0.5?2 ? 33 32(2) 可 能 的 情 况 有0 5 52 1 5 126种 ： 均 未 中 球 ， 均 中5 5 5 2 2 2 101球 ， ? 均 中5球 ， 概 率 为?C ?1 ? 0.5? ? ? ?C 0.5?1 ? 0.5? ? ? ? ? ?C ?0.5 ?? ? 21 ?1 ? 5人 照 看 ” 的 事 件 ， 有 0 、 1 、 2? 102 ? 52 ? 12 ??63 D 256指导： “一小时内至多 2 台机床需要工台 需 要 照 看 三 种 可 能 ， 因 此 ， 所 求 概 率 为0 2 3 4 C4 0.200.84 ? C1 0.210.83 ? C4 0.220.82 ? 0.9728, 或1 ? C4 0.280.8 ? C4 0.240.80 ? 0.9728. ． 4??4(典型例题)某射手射击 1 次，击中目标的概率是 0．9，他连续射击 4 次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响， 有以下结论： ①他第 3 次击中目标的概率是 0．9； ②他恰好击中目标 3 次的概率是 0．93x0．1； ③他至少击中目标 1 次的概率是 I―0．14． 其中正确结论的序号是_____________.(写出所有正确结论的序号) 答案：至少一人命中目标的概率为 0．94，恰好两人命中目标的概率 为 0．44． (1)设表示“第众人命中目标” ，k=1,2，3，这里独立，且P( A1 ) ? 0.7, P( A2 ) ? 0.6, P( A3 ) ? 0.5 P( A1 ? A2 ? A3 ? A1 ? A2 ? A3 ? A1 ? A2 ?A3 ) ? 0.7 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.7 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.44从而，至少有一人命中目标的概率为1 ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? 1 ? P( A1) P( A2 ) P( A3 ) ? 1 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.94恰 有 两 人 命 中 目 标 的 概 率 为(2)恰好两次命中的概率为 0.441 设甲每次射击一次试验， 从而该问题构成三次独立重复试验， 又已知每次命中概率为 0． 7．2 故所求概率为 P ( A) ? C3 0.72 ? 0.31 ? 0.441 (1) P? A?3 ? 0.53 ? ?1 ? 0.5?2 ? 33 32(2) 可 能 的 情 况 有0 5 52 1 5 1265 5种 ： 均 未 中 球 ， 均 中5 2 2 2 101球 ， ? 均 中5球 ， 概 率 为?C ?1 ? 0.5? ? ? ?C 0.5?1 ? 0.5? ? ? ? ? ?C ?0.5 ?? ? 21 ?1 ? 5? 102 ? 52 ? 12 ??63 ①③“射手射击 1 次，击中目标的概率是 2560．9”是指射手每次射击击中目标的概率都是 0．9，由于他各次射击是否击中目 标相互之间没有影响，因此他在连续射击 4 次时，第 1 次、第 2 次、第 3 次、第 4 次击中目标的概率都是 0．9，①正确；3 “他恰好击中目标 3 次”是在 4 次独立重复试验中有 3 次发生，其概率是 C4 ? 0.93 ? 0.1 ，②不正确； “他至少击中目标 1次”的反面是“1 次也没有击中” ，而“1 次也没有击中”的概率是 0．1 ，故至少击中目标 1 次的概率是 1-0.1 ③正确． 5(典型例题)从 10 位同学(其中 6 女、4 男)中随机选出 3 位参加测试．每次女同学通过测试的概率均为444 5，每位男同学能通过测验的概率均为3 .试求： 5(1)选出的 3 位同学中，至少有一位男同学的概率； (2)10 位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测试的概率． 答案：至少一人命中目标的概率为 0．94，恰好两人命中目标的概率 为 0．44． (1)设表示“第众人命中目标” ，k=1,2，3，这里独立，且P( A1 ) ? 0.7, P( A2 ) ? 0.6, P( A3 ) ? 0.5 P( A1 ? A2 ? A3 ? A1 ? A2 ? A3 ? A1 ? A2 ?A3 ) ? 0.7 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.7 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.44从而，至少有一人命中目标的概率为1 ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? 1 ? P( A1) P( A2 ) P( A3 ) ? 1 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.94恰 有 两 人 命 中 目 标 的 概 率 为(2)恰好两次命中的概率为 0.441 设甲每次射击一次试验， 从而该问题构成三次独立重复试验， 又已知每次命中概率为 0． 7．2 故所求概率为 P ( A) ? C3 0.72 ? 0.31 ? 0.441 (1) P? A?3 ? 0.53 ? ?1 ? 0.5?2 ? 33 32(2) 可 能 的 情 况 有0 5 52 1 5 126种 ： 均 未 中 球 ， 均 中5 5 5 2 2 2 101球 ， ? 均 中5球 ， 概 率 为?C ?1 ? 0.5? ? ? ?C 0.5?1 ? 0.5? ? ? ? ? ?C ?0.5 ?? ? 21 ?1 ? 5一位男同学的概率为 1 ?3 C6 3 C10? 102 ? 52 ? 12 ??63 指导：(1)随机选出的 3 位同学中，至少有 256?5 61 C8 3 C10(2)甲、乙被选中且能通过测验的概率为P? A1 ? ? 0.8, P? A2 ? ? 0.7, P? A3 ? ? 0.6 ．?4 3 4 ? ? 记“这名同学答对第 i 个问题”为事件 Ai(i=1，2，3)，则 5 5 125Ⅱ题点经典类型题1(典型例题)箱子里有 5 个黑球，4 个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球．则放回箱中，重新取球；若取出白球，则 停止取球，那么在第 4 次取球之后停止的概率为3 1 C5 ? C 4 A． C54B. (5 3 4 ) ?( ) 9 91C.3 1 ? 5 4D． C 45 4 ? ( )3 ? ( ) 9 9 5 4 ，取出白球的概率为 9 9,第 4 次取球之后停止说明前三次取出的都为黑球，则所求概率为：命题目的与解题技巧：考查相互独立事件同时发生的概率． [解析] P= ( 取出黑球的概率为5 3 4 ) ? ．故选 B． 9 9B[答案]2(典型例题)某型号的高射炮每一发炮弹命中飞机的概率为 0．6，若要使命中率达 99％，则同时发射炮弹发数的最小值为 _________________.(其中 lg2=0．3010) 答案：6 指导：令同时发射击 n 枚炮弹，则由题有 1 ? ?1 ? 0.6?n ? 99% ? n ?2 又由=0.3010，有 n 最小值为 6。 1 ? 2 lg3(典型例题)一个通讯小组有两套通讯设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯；每套设备由 3 个部件组成， 只要其中有 1 个部件出故障，这套设备就不能正常工作．如果在某段时间内每个部件不出故障的概率就是 P，计算在这段时 间内能进行通讯的概率．答案：在这段时间内能进行通讯的概率为 2p -p 每套设备不能正常工作的概率是 1-p336 3指导：依题意，每套设备正常工作的概率都是 p两套设备在这段时间内同时不能正常工作的概率是(1-p ) 故在这段时间内能进行通讯的概率为 1-(1-P ) =2P -P ．3 2 3 63 24(典型例题)当使用一仪器去测量一个高为 70 单位长的建筑物 50 次时，所得数据为： 测量值 次数 68 单位长 5 69 单位长 15 70 单位长 10 71 单位长 15 72 单位长 5(1)根据以上数据，求测量 50 次的平均值； (2)若再用此仪器测量该建筑物一次，求得到数据为 70 单位长的概率； (Ⅲ)假如再使用此仪器测量该建筑物三次，求恰好一次测得数据为 71 单位长，两次测得数据为 70 单位长的概率(三次测量 互不影响)．? 68 ? 5 ? 69 ? 16 ? 70 ? 10 ? 71? 15 ? 72 ? 5 ? 70 50即测量平均值为 70 单位长② P ? 即测得 70 单位长的概率为1 510 1 ? 50 5③设每一次测得 71 单位长的概率为 p&#39; ,? ?1 3 3 27 1 ? p0 ? C3 p ? p&#39;? p&#39; ? 3 ? ? ? ? 5 10 10 10015 3 ? . 50 10Ⅲ新高考命题探究1 10 颗骰子同时掷出，共掷 5 次，则至少有一次全部出现一个点的概率是5 ) ] 6 5 5 10 C.[1- ( ) _ ] 6A.[1―(10 5B．1―[1- ( D．1-(1-1 10 5 ) ] 6答案：B指导：用 n 次独立试验 k 发生．的概率公式便知为 B．2 在 4 次独立重复试验中，随机事件 A 恰好发生 1 次的概率 B．[0，0．6] D．[0．6，1]不大于其恰好发生两次的概率，则事件 A 在一次试验中发生的概率户的取值范围是 A．[0．4，1] C．[0，0．4] A 答案：2 指导： C1 P?1 ? P?3 ? C4 P2 ?1 ? P?2 ,4?1 ? P? ? 6P, P ? 0. 4，又 0&P&1，∴0．4≤P&1． 4考场热身探究性命题综合测试 1 甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是 Pl，乙解决这个问题的概率是 P2，那么其中至少 1 人解决这个 问题的概率是 A.P1+P2 C.1-P1?P2 答案： D B．P1?P2 D.1-(1-P1)?(1-P2) 指导： 由于甲、 乙各自独立地解决这个问题的概率分别是 P1,P2 所以甲、 乙各自不能解决这个问题的概率分别为(1-P1),(1- P2) ，于是甲、乙两人均不能解决这个问题的概率为(1- P1)(1- P2)，故其中至少 1 人解决这个问题的概率是 1-(1P1)(1- P2)．应选(D) 2 一个口袋有 9 张大小相同的票，其号数分别为 1，2，3，?，9，从中任取 2 张，其号数至少有 1 个为偶数的概率等于A.5 9B.4 9C.5 18?2 C4 2 C9D.?13 18答案：D 指导：所求概率为1 C1C5 4 2 C913 C 2 13 或1 ? 5 ? 2 18 C9 183 袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取 3 次，则下列事件中概率是 A．颜色全同 C．颜色全不同 答案：B 率为1 9 1 8 ? 9 98 的是 9B．颜色不全同 D．颜色无红色31 ?1? 指导：由于颜色全相同有三种可能，即颜色全红、全黄及全白，它们的概率均为 ? ? ? ．故颜色全相同的概 27 ?3?因此，颜色不全相同的概率为 1-4 某商场开展促销抽奖活动，摇奖器摇出的一组中奖号是 8，2，5，3，7，1，参加抽奖的每位顾客从 0，1，2，3，4，5，6， 7，8，9 这十个号码中任意抽出六个组成一组，如果顾客抽出的六个号码中至少有 5 个与摇奖器摇出的号码相同(不计顺序) 就可以得奖，一位顾客从中抽出了一组号码，试求他获奖的概率． 解：中奖号由 8，2，5，3，7，1 六个数字组成，故可构成中奖号码组有两类，一类是抽出的六个号码中恰有 5 个与摇出的5 号码相同；另一类是抽出的六个号码全部与摇出的号码相同，因此，构成中奖号码组共有 C6 C16 ? C6 =25 组．而从 0-9 这十 45 6 C6 C1 ? C6 4 6 C106 个号码中一共可组成的号码组有 C10 =210 组，所以所求概率为：?25 5 ? . 210 42第三十八讲 离散性随机变量的分布列 最 新 命 题 特 点 对本部分内容的考查呈现以下特点： A. 离散型随机变量的问题与生产生活事件联系密切，同时是统计的预备知识，在高考中占有重要 的地位。 B. 考查内容： （1）写出离散型随机变量的分布列;(2)根据分布列求期望与方差;（3）期望与方差 的实际应用. C. 考查形式：解答题居多，有时也出现在选择题或填空题中，难度相对较小，是高考中的中低档 题。 预计：典型例题可能有题目涉及，出F在解作题中的可能性较大.应 度 高 分 瓶 颈第一节 第二节分布列的正确写出是本部分的难点，应该说只要正确地写出分布列，本部分的问题就解 公式的记忆容易模糊。期望的公式、方差的公式在学生等在学生的印象中较为模糊。决了一大半.命题点 1 命题点 2 命题点 1利用分布列求概率 期望与方差 利用分布列求概率本类考题解答锦囊解答“利用分布列求概率”一类试题要注意以下两点： 1．正确的选取随机变量，准确地写出随机变量的可能取值，精确的计算出随机变量的概率． 2．掌握概率的求法：分布列中满足条件的“列”的概率的和． I 高考最新热门题 1(典型例题)甲、 乙两人参加一次英文口语考试， 已知在备选的 10 道试题中， 甲能答对其中的 6 题， 乙能答对其中的 8 题． 规 定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试，至少答对 2 题才算合格． (1)求甲答对试题数(的概率分布及数学期望； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率． 命题目的与解题技巧：①主要考查概率统计的基础知识，离散型随机变量的概念，数学期望的定义．首选要弄清(的取值范 围＝0，1，2，3，4，然后再求概率．②要分清对立事件与互斥事件的关系，独立事件、互斥事件的相互区别． [解析] （1）依题意，3 3 C 1C 2 C 2 ? C1 1 C6 1 C4 1 3 ? , P(? ? 1) ? 6 3 4 ? , P(? ? 2) ? 6 3 4 ? , P(? ? 3) ? 3 ? , 则甲答 3 10 2 C10 30 C10 C10 C10 6P(? ? 0) ?对试题数 ? 的概率分布如下:?P01231 303 101 21 6甲答对试题数 ? 的数学期望 E＝ 0 ?1 3 1 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 30 10 2 6 52 1 3 C6 C4 ? C6 60 ? 20 2 ? ? , 3 120 3 C10(2)设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A、B，则 P(A)＝1 C82 C2 56 ? 56 14 P(B)＝ ? ? . 3 120 15 C10因为事件 A、B 相互独立， 方法一∵甲、乙两人考试均不合格的概率为 P ( A ? B)2 14 1 ? P( A) P( B) ? (1 ? )(1 ? ) ? . 3 15 45 1 44 ? . 45 45∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ?方法二：∵甲乙两人至少有一人考试合格的概率为 P＝P(A? B) ? P( A ? B) ? P( A ? B)? P( A) P( B) ? P( A) P( A ? B) 2 1 1 14 2 14 44 ? ? ? ? ? ? ? . 3 15 3 15 3 15 45答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 2(典型例题)已知随机变量(的概率分布如下：44 . 45?P123456789102 32 322 332 342 352 362 372 382 38m则 P( ? =10)= A.2 39B.2 310C.1 39D.1 310答案：C指导：由题意要求 P(=10)即求 m 的值，由离散型分布列相关概念知其概率和为 1，2 2 2 2 2 2 2 2 2 即 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? m ? 1, 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2? 1 1 1? 即 ?1 ? ? 2 ? ? ? 8 ? ? m ? 1 ? 3? 3 3 3 ? ? ? ? 1 ?9 ? 1 ? ?1 ? ? ? ? 9 ? ?3? ? 2 ? ? m ? 1,?1 ? ? 1 ? ? m ? 1 即 ? ? ? ? 1 3 ?3? 1? 3 1 ?m ? 9 33(典型例题)设随机变量 ? 的概率分布为 P( ? =K)=a 5k，a 为常数，K=1，2，?，则 a=_______.答案：指导：本题考查随机变量分布列的有关性质，易知?a lim ? a a a ? P?? ? k ? ? 1 ? ? ? ? n ? ? 1 ? 5 ? 1 ? a ? 4. ? ? ? 1 n ? ? ? 5 52 5 ? ? 1? ? 5 k ?14(典型例题)从装有 3 个红球、2 个白球的袋中随机取出 2 个球，设其中有个红球，则随机变量 ? 的概率分布为 2?P01答案：指导：本题考查随机变量分布列的有关性质，易知?a lim ? a a a ? P?? ? k ? ? 1 ? ? ? ? n ? ? 1 ? 5 ? 1 ? a ? 4. ? ? ? 1 n ? ? ? 5 52 5 ? ? 1? ? 5 k ?1`5(典型例题)设一汽车在前进途中要经过 4 个路口， 汽车在每个路口遇到绿灯(允许通行)的概率为 的概率为 (1)3 4， 遇到红灯(禁止通行)1 4.假定汽车只在严到红灯或到达目的地时才停止前进，f 表示停车时通过的路口数，求：? 的概率分布列及期望 E ? ；(2)停车时最多已通过 3 个路口的概率． 答案：从而 ? 有分布列?01 413 1629 64327 256481 256PE ? ? 0?1 3 9 9 27 81 525 ? 1? ? 3 ? ?2 ? 3? ? 4? ? 4 16 64 64 256 256 25681 175 （2） P?? ? 3? ? 1 ? P?? ? 4? ? 1 ? 256 ? 256 . 175 停车时最多已通过 3 个路口的概率为 256 .Ⅱ题点经典类型题1(典型例题)(理)设随机变量 ? ～B(5， A.1 2)，则 P( ? ＝2) 等于 D．5 16B.3 16 1 2C.5 83 8命题目的与解题技巧：①考查二次分布 [解析]∵ ? ～B(5， [答案] A②联系独立重复试验解决问题2)，∴P( ? ＝2)＝ C 51 1 5 ? ( )2 ? ( )2 ? . 2 2 162(典型例题)已知随机变量 ? 的分布列为：?P-2-101231 3 4 1 12 12 12 12 11 若 P( ? ＜x＝＝ ，则实数 x 的取值范围是_____________. 1222 121 12答案： 4 ? x ? 9指导 : 若P ? 2 ? x ???11 , 则?要改遍,0,?1,?2各个值,当x ? 4, ? 2 ? 9时, ? 2 ? 3, ?取不到 ? 2.当x ? 9时, ? 2 ? 9时, ? 12取到 3。均与已知矛盾，∴4&x≤9。 3(典型例题)有 A，B 两个口袋，A 袋中有 6 张卡片，其中 1 张写有 0，2 张写有 1，3 张写有 2，B 袋中 7 张卡片，其中 4 张 写有 0，1 张写有 1，2 张写有 2．从 A 袋中取 1 张卡片．B 袋中取 2 张卡片，共 3 张卡片，求： (1)取出的 3 张卡片都写 0 的概率； (2)取出的 3 张卡片数字之积是 4 的概率； (3)取出的 3 张卡片数字之积的数学期望．1 6 32 答案： （1） 21 （2） 64 ; 631 2 C1 ? C4 1 指导： （1）P= C1 ? C 2 ? 21 ; 6 7（2）P=2 1 1 C1 ? C2 ? C3 ? C1 ? C1 2 2 1 C6 2 ? C7?4 ; 63（3）记 ? 为取出的 3 张卡片的数字之积则 ? 的分布列为： ? 0 2 P37 42 37 2 4 1 32 ? 2? ? 4? ? 8? ? 42 63 63 42 63 2 6344 6381 42E? ? 0 ?4(典型例题)(理科)有红蓝两粒质地均匀的正方体形状骰子，红色骰子有两个面是 8，四个面是 2，蓝色骰子有三个面是 7， 三个面是 1，两人各取一只骰子分别随机投掷一次，所得点数较大者获胜． (1)分别求出两只骰子投掷所得点数的期望． (2)投掷蓝色骰子者获胜的概率是多少? 答案： （1）4；1 （2） 3指导：是z机变量，其分布列如下?181 322 3PE?1 ? 8 ?1 2 ? 2? ? 4 3 3蓝色骰子投掷所得点数 ? 2 是随机变量，其分布如下 ? 2 7 P1 211 2E? 2 ? 7 ?1 1 1 ? 1? ? 1? ? 4 2 2 21 2 1 ? ? （Ⅱ） 2 3 3Ⅲ新高考命题探究1 盒子中有大小相同的球 10 个，其中标号为 1 的球 3 个，标号为 2 的球 4 个，标号为 5 的球 3 个，第一次从盒子中任取 1 个球，放回后第二次再任取 1 个球(假设取到每个球的可能性都相同)．记第一次与第二次取到球的标号之和为 ? . (1)试用列举法表示随机变量 ? 的取值集合 M； (2)求随机变量 ? 任取集合 M 中每一个值的概率．? 答案： （1）由题意可得，随机变量 的取值集合是 M={2、3、4、6、7、10}。（2）?答案：? 随机变量 取集合 M={2、3、4、6、7、10}中的每一个值时，其概率如下：2346710P（ ? ）0.090.240.160.180.240.092 甲、乙两人独立地破译 1 个密码，他们能译出密码的概率分别为 (1)求甲和乙至多有一人译出密码的概率； (2)求甲和乙译出密码的人数 ? 的数学期望．1 2和2 3.2 7 （1） ; （2） 指导：设“甲译出密码”为事件 A， “乙译出密码”为事件 B。 3 6 答案：指导： 1 2 2 ? ? （1）甲和乙至多有一个译出密码的概率为 1-P（A?B）=1-P（A）P（B）=1- 2 3 3?（2）?的分布列为： 01 611 221 3P? E? ? 0 ?1 1 1 7 ? 1? ? 2 ? ? . 6 2 3 63 口袋里装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字 1，三张标有数字 2．二张标有数字 3，第一次从口袋里任意抽取― ―张．放回口袋里后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为 Ee． (1)? 为何值时，其发生的概率最大?说明理由；(2)求随机变量 ? 的期望 E ? ．15 原因见解析（２） 4? 2、 、 、 、 3456答案：(1)4指导： （1）依题意，随机变量2 因为 P（ =2）= 8?32?4 ; 6421 所以，当 ? =4 时，其发生的概率 P（ ? =4）= 64 最大 9 18 21 12 15 （2） E? ? 2 ? 64 ? 3 ? 64 ? 4 ? 64 ? 5 ? 64 ? 4命题点 2期望与方差本类考题解答锦囊 解答“期望与方差.”一类试题应注意以下方面： 1．牢记公式：期望的口诀可记为“上乘下，连相加” ．方差的公式中不要忘记乘以概率． 2．掌握期望与方差的应用：先看期望，再看方差． I 高考最新热门题 1(典型例题)一接待中心有 A、B、C、D 四部热线电话．已知某一时刻电话 A、B 占线概率为 0．5，电话 C、D 占线的概率均 为 0．4，各部电话是否占线相互之间没有影响．假没该时刻有(部电话占线，试求随机变量? 的概率分布然后求它的期望．命题目的与解题技巧：①本题考查的知识面很广，既考查了互斥事件、相互独立事件、独立重复试验的内容，又考查了离散 型随机变量的分布列、数学期望等概念，是概率统计的一道综合题．从本题的设计来看，题的难度不是很大，而考查的知识 点却很多，这充分反映了考纲中“注重对数学能力的考查，同时兼顾试题的基础性、综合性，重视试题的层次性，合理调控 难度，坚持多角度、多层次的考查，实现全面考查综合数学素养”的指导思想． ②求期望。必先求出(的概率分布列和它的期望．求分布列的问题，最应注意的问题是最好写出过程，这样有利于在高考中得到较高的分数． [解析] P( ? =0)=0．5 ?0．6 =0.09，2 2 2 2P( ? =1)=?0．5 ?0．6 +2 21 C 2 ?0．5 12?0．4?0．6=0．3，2 2P( ? =2)=?0．5 ?0．6 + C 2 P( ? =3)=1 2 C2 C2 ?2 2 21 2 C 2 ?0．5 ?0．4?0．6+ C 2 ?0．5 1?0．4 =0．37，20．5 ?0．4?0．6+ C 22 C 2 ?0．5 ?20．4 =0．2，2P(