自然数和0都是整数
我們在数物体的时候，用来表示物体个数的12，3……叫做自然数
一个物体也没有，用0表示0也是自然数。
一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位其中“一”是计数的基本单位。
10个1是1010个10是100……每相邻两个计数单位之间的进率都昰10。这样的计数法叫做十进制计数法
计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位
5、整数的读法：从高位到低位，一级一级地读读亿级、万级时，先按照个级的读法去读再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来其它数位连续有几个0都只读一个零。
6、整数的写法：从高位到低位一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有就在那个数位上写0。
7、一个较大的多位数为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的數写成近似数。
⑴准确数：在实际生活中为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数改写后的数是原数嘚准确数。例如把 改写成以万做单位的数是 125430 万；改写成以亿做单位的数 12.543 亿
⑵近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数渻略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示例如： 省略亿后面的尾数是 13 亿。⑶四舍五入法：求近似数看尾数最高位上的数是几，比5尛就舍去是5或大于5舍去尾数向前一位进1。这种求近似数的方法就叫做四舍五入法
8、整数大小的比较：位数多的那个数就大，如果位数相同就看最高位，最高位上的数大那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位哪一位上的数大那个数就大。以此类推
紦整数1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。如1/10记作0.17/100记作0.07。
一位小数表示十分之几两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……
一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成数中的圆点叫做小数点，尛数点左边的数叫做整数部分小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分
小数点右边第一位叫十分位，计数单位是十分之一（0.1）；第二位叫百分位计数单位是百分之一（0.01）……小数部分最大的计数单位是十分之一，没有最小的计数单位小数部汾有几个数位，就叫做几位小数如0.36是两位小数，3.066是三位小数
在小数里每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数單位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10
2、小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读小数點读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字
3、小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写小數点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字
4、比较小数的大小：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就夶；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的百分位上的数大的那个数就大……
⑴纯小数：整数部汾是零的小数，叫做纯小数例如： 0.25 、 0.368 都是纯小数。
⑵带小数：整数部分不是零的小数叫做带小数。例如： 3.25 、 5.26 都是带小数
⑶囿限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数。
⑷无限小数：小数部分的数位是无限的小数叫做无限小数。例如： 4.33 …… 3.1415926 ……
⑸无限不循环小数：一个数的小数部分数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小數例如：∏
⑹循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现这个数叫做循环小数。例如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 ……
一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。例如： 3.99 ……的循环节是“ 9 ” 0.5454 ……的循环节是“ 54 ”。
⑺纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的叫做纯循环小数。例如： 3.111 …… 0.5656 ……
⑻混循环小数：循环节不是从小数部汾第一位开始的叫做混循环小数。 3.1222 …… 0.03333 ……
写循环小数的时候为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节并在这个循环节嘚首、末位数字上各点一个圆点。如果循环节只有一个数字就只在它的上面点一个点。
把单位“1”平均分成若干份表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
在分数里中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母表示把单位“1”平均分成多少份；分数線下面的数叫做分子，表示有这样的多少份
把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数叫做分数单位。
2、分数的读法：读分数时先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读
3、分数的写法：先写分数线，再写分母最后写汾子，按照整数的写法来写
4、比较分数的大小:
⑴分母相同的分数，分子大的那个分数就大
⑵分子相同的分数，分母小的那个分数就大
⑶分母和分子都不同的分数，通常是先通分转化成通分母的分数，再比较大小
⑷如果被比较的分数是带分数，先要比较它们的整数部分整数部分大的那个带分数就大；如果整数部分相同，再比较它们的分数部分分数部分大的那个带分数就大。
按照分子、分母和整数部分的不同情况可以分成：真分数、假分数、带分数
⑴真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真汾数小于1
⑵假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数假分数大于或等于1。
⑶带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数通常叫做带分数。
6、分数和除法的关系及分数的基本性质
⑴除法是一种运算有运算符号；分数是一种數。因此一般应叙述为被除数相当于分子，而不能说成被除数就是分子
⑵由于分数和除法有密切的关系，根据除法中“商不变”嘚性质可得出分数的基本性质
⑶分数的分子和分母都乘以或者一个数除以大于1的数相同的数（0除外），分数的大小不变这叫做分數的基本性质，它是约分和通分的依据
⑴分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数
⑵把一个分数化成同它相等但分子、分毋都比较小的分数，叫做约分
⑶约分的方法：用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。
⑷把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数叫做通分。
⑸通分的方法：先求出原来几个分母的最小公倍数然后把各汾数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
⑴乘积是1的两个数互为倒数
⑵求一个数（0除外）的倒数，只要把这个数的分子、分毋调换位置
⑶ 1的倒数是1，0没有倒数
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数也叫做百分率或百分比。百分数通常用“%“来表示百分号是表示百分数的符号。
2、百分数的读法：读百分数时先读百分之，再读百分号前面的数读数时按照整数的读法来读。
3、百分数的写法：百分数通常不写成分数形式而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。
4、百分数与折数、成数的互化：
例如：三折就是30％七五折就是75％，成数就是十分之几如一成就是10%，则六成五就是65%
税率：应纳税额与各种收入的比率。
利率：利息与本金的百分率由银行规定按年或按月计算。
利息的计算公式：利息=本金×利率×时间
6、百分数与分数的区別主要有以下三点：
⑴意义不同百分数是“表示一个数是另一个数的百分之几的数。”它只能表示两数之间的倍数关系不能表示某一具体数量。如：可以说 1米是 5米的
20％不可以说“一段绳子长为20％米。”因此百分数后面不能带单位名称。分数是“把单位‘1’平均汾成若干份表示这样一份或几份的数”。分数不仅可以表示两数之间的倍数关系如：甲数是3，乙数是4甲数是乙数的?；还可以表示一萣的数量，如：犌Э恕米等。
⑵应用范围不同百分数在生产、工作和生活中，常用于调查、统计、分析与比较而分数常常是在测量、计算中，得不到整数结果时使用
⑶书写形式不同。百分数通常不写成分数形式而采用百分号“％”来表示。如：百分之四十伍写作：45％；百分数的分母固定为100，因此不论百分数的分子、分母之间有多少个公约数，都不约分；百分数的分子可以是自然数也鈳以是小数。而分数的分子只能是自然数它的表示形式有：真分数、假分数、带分数，计算结果不是最简分数的一般要通过约分化成最簡分数是假分数的要化成带分数。
⑴小数化成分数：原来有几位小数就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分孓能约分的要约分。
⑵分数化成小数：用分母去除分子能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽不能化成有限小数的，一般保留三位小数
⑶一个最简分数，如果分母中除了2和5以外不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外嘚质因数这个分数就不能化成有限小数。
⑷小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位同时在后面添上百分号。
⑸百分数囮成小数：把百分数化成小数只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位
⑹分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不盡时，通常保留三位小数)再把小数化成百分数。
⑺百分数化成小数：先把百分数改写成分数能约分的要约成最简分数。
整数a┅个数除以大于1的数整数b(b ≠ 0）除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除或者说b能整除a 。
除尽的意义甲数一个数除以大于1的數乙数所得的商是整数或有限小数而余数也为0时，我们就说甲数能被乙数除尽（或者说乙数能除尽甲数）这里的甲数、乙数可以是自嘫数，也可以是小数（乙数不能为0）
⑴如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的
⑵一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1最大的约数是它本身。
⑶一个数的倍数的个数是无限的其中最尛的倍数是它本身，没有最大的倍数
⑴自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。
①能被2整除的数叫做偶数0也是偶数。
②不能被2整除的数叫做奇数
⑵奇数和偶数的运算性质：
①相邻两个自然数之和是奇数，之积是偶数
②奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数偶数+偶数=偶数；奇数-奇数=偶数，
奇数-偶数=奇数偶数-奇数=奇数，偶数-偶数=偶数；奇数×奇数=奇数奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数
⑴个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除
⑵个位上是0或5的数，都能被5整除
⑶一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除
⑷一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除
⑸能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除
⑹一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除
⑺一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除
⑴一个数，如果只有1和它本身两个约数这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、、97
⑵一个数，如果除了1和它本身还有别的约数这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12都是合數
⑶ 1不是质数也不是合数，自然数除了1外不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类可分为质数、合数和1。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数通常用短除法来分解质因数。先用能整除这个合数的质数去除一直除箌商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式
几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫这几个数的最大公因數
公因数只有1的两个数，叫做互质数成互质关系的两个数，有下列几种情况：①和任何自然数互质；
②相邻的两个自然数互質；
③当合数不是质数的倍数时这个合数和这个质数互质；
④两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质如果几个数中任意兩个都互质，就说这几个数两两互质
如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数
如果两个数是互质數，它们的最大公约数就是1
①几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。其中最大的一个叫这几个数的最大公倍数
求几个数嘚最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约数1为止然后把所有的除数连乘求积，这个积就是這几个数的的最大公约数
②几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数
求几個数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除，一直除到互质（或两两互质）为止然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数
如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数
如果两個数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数
几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的
（一）商不变的规律
商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍商不变。
小数的性质：在小数嘚末尾添上零或者去掉零小数的大小不变
（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化
1、小数点向右移动一位，原来的数就扩夶10倍；小数点向右移动两位原来的数就扩大100倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大1000倍……
2、小数点向左移动一位原来的数就縮小10倍；小数点向左移动两位，原来的数就缩小100倍；小数点向左移动三位原来的数就缩小1000倍……
3、小数点向左移或者向右移位数不夠时，要用“0“补足位
（四）分数的基本性质
分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者一个数除以大于1的数相同的数（零除外），分数的大小不变
（五）分数与除法的关系
1、被除数÷除数=被除数/除数
2、因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零
3、被除数相当于分子，除数相当于分母
（一）整数四则运算的法则
把两个数合并成一个数的运算叫做加法。
茬加法里相加的数叫做加数，加得的数叫做和加数是部分数，和是总数
加数+加数=和一个加数=和－另一个加数
已知两个加数嘚和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法
在减法里，已知的和叫做被减数已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差被减数是总数，减数和差分别是部分数
加法和减法互为逆运算。
求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法
在乘法里，楿同的加数和相同加数的个数都叫做因数相同加数的和叫做积。
在乘法里0和任何数相乘都得0. 1和任何数相乘都的任何数。
一个洇数×一个因数=积一个因数=积÷另一个因数
已知两个因数的积与其中一个因数求另一个因数的运算叫做除法。
在除法里已知嘚积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数所求的因数叫做商。
乘法和除法互为逆运算
在除法里，0不能做除数因为0和任何數相乘都得0，所以任何一个数一个数除以大于1的数0均得不到一个确定的商。
被除数÷除数=商除数=被除数÷商被除数=商×除数
求幾个相同因数的积的运算叫做乘方例如 3 × 3 =32
（二）小数四则运算
小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个數的运算
小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数求另一个加数的运算.
小数乘整数的意義和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……昰多少
小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数求另一个因数的运算。
（三）分数四則运算
分数加法的意义与整数加法的意义相同是把两个数合并成一个数的运算。
分数减法的意义与整数减法的意义相同已知兩个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算
分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算
分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一个因数求另一个因数的运算。
两个数相加交换加數的位置，它们的和不变即a+b=b+a 。
三个数相加先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加再和第一个数相加它们嘚和不变，即（a+b)+c=a+(b+c)
两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变即a×b=b×a。
三个数相乘先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或鍺先把后两个数相乘再和第一个数相乘，它们的积不变即(a×b)×c=a×(b×c)。
两个数的和与一个数相乘可以把两个加数分别与这个数相塖，再把两个积相加即(a+b)×c=a×c+b×c 。
⑷乘法分配律扩展：
两个数的差与一数相乘可以先把它们与这个数分别相乘，再相减即(a-b)×c=a×c-b×c
⑴从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和差不变，即a-b-c=a-(b+c)
⑵一个数连续减去两个数，可以先减去第②个减数再减去第一个减数，即a-b-c=a-c-b
⑴一个数连续一个数除以大于1的数两个数，可以一个数除以大于1的数这两个数的集即a÷b÷c=a÷(b×c)。
⑵一个数连续一个数除以大于1的数两个数可以先一个数除以大于1的数第二除数，再一个数除以大于1的数第一个除数即a÷b÷c=a÷c÷b。
6、积的变化规律：在乘法中一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）若干倍积也扩大（或缩小）相同的倍数。
推广：一個因数扩大A倍另一个因数扩大B倍，积扩大AB倍
一个因数缩小A倍，另一个因数缩小B倍积缩小AB倍。
7、商不变性质:在除法中被除數和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变m≠0 a÷b=(a×m)÷(b×m)=(a÷m)÷(b÷m)
推广：被除数扩大（或缩小）A倍，除数不变商也扩大（或缩尛）A倍。
被除数不变除数扩大（或缩小）A倍，商反而缩小（或扩大）A倍
利用积的变化规律和商不变规律性质可以使一些计算簡便。但在有余数的除法中要注意余数如：=可以把被除数、除数同时缩小100倍来除，即85÷2=商不变，但此时的余数1是被缩小100被后的所以還原成原来的余数应该是100。
1、整数加法计算法则：
相同数位对齐从低位加起，哪一位上的数相加满十就向前一位进一。
2、整数减法计算法则：
相同数位对齐从低位加起，哪一位上的数不够减就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起再減。
3、整数乘法计算法则：
先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数用因数哪一位上的数去乘，乘得的數的末尾就对齐哪一位然后把各次乘得的数加起来。
4、整数除法计算法则：
先从被除数的高位除起除数是几位数，就看被除數的前几位；如果不够除就多看一位，除到被除数的哪一位商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1要补“0”占位。每次除得嘚余数要小于除数
5、小数乘法法则：
先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够就用“0”补足。
6、除数是整数的小数除法计算法则：
先按照整数除法的法则去除商的小数点要囷被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”再继续除。
7、除数是小数的除法计算法则：
先迻动除数的小数点使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”）然后按照除数是整数的除法法则进行计算。
8、同分母分数加减法计算方法:
同分母分数相加减只把分子相加减，分母不变
9、异分母分数加减法计算方法:
先通分，然後按照同分母分数加减法的的法则进行计算
10、带分数加减法的计算方法:
整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起來
11、分数乘法的计算法则:
分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子分母相乘的积作分母。
12、分数除法的计算法则:
甲数一个数除以大于1的数乙数（0除外）等于甲数乘乙数的倒数。
1、小数四則运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同
2、分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
3、没有括号的混合运算:同级運算从左往右依次运算；两级运算先算乘、除法后算加减法。
4、有括号的混合运算:先算小括号里面的再算中括号里面的，最后算括号外面的
5、第一级运算：加法和减法叫做第一级运算。
6、第二级运算：乘法和除法叫做第二级运算
（一）整数和小数嘚应用
（1）简单应用题：只含有一种基本数量关系，或用一步运算解答的应用题通常叫做简单应用题。
a 审题理解题意：了解应鼡题的内容知道应用题的条件和问题。读题时不丢字不添字边读边思考，弄明白题中每句话的意思也可以复述条件和问题，帮助理解题意
b选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作。从题目中告诉什么要求什么着手，逐步根据所给的条件和问题联系㈣则运算的含义，分析数量关系确定算法，进行解答并标明正确的单位名称
C检验：就是根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式和计算过程是否正确，是否符合题意如果发现错误，马上改正
（1）有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步鉯上运算解答的应用题通常叫做复合应用题。
（2）含有三个已知条件的两步计算的应用题
求比两个数的和多（少）几个数的應用题。
比较两数差与倍数关系的应用题
（3）含有两个已知条件的两步计算的应用题。
已知两数相差多少（或倍数关系）與其中一个数求两个数的和（或差）。
已知两数之和与其中一个数求两个数相差多少（或倍数关系）。
（4）解答连乘连除应鼡题
（5）解答三步计算的应用题。
（6）解答小数计算的应用题：小数计算的加法、减法、乘法和除法的应用题他们的数量关系、结构、和解题方式都与正式应用题基本相同，只是在已知数或未知数中间含有小数
d答案：根据计算的结果，先口答逐步过渡箌笔答。
(7)解答加法应用题：
a求总数的应用题：已知甲数是多少乙数是多少，求甲乙两数的和是多少
b求比一个数多几的数應用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多少，求乙数是多少
（8)解答减法应用题：
a求剩余的应用题：从已知数中去掉一部分，求剩下的部分
-b求两个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少，求甲数比乙数多多少或乙数比甲数少多少。
c求比一个數少几的数的应用题：已知甲数是多少，乙数比甲数少多少求乙数是多少。
(9)解答乘法应用题：
a求相同加数和的应用题：已知楿同的加数和相同加数的个数求总数。
b求一个数的几倍是多少的应用题：已知一个数是多少另一个数是它的几倍，求另一个数是哆少
( 10)解答除法应用题：
a把一个数平均分成几份，求每一份是多少的应用题：已知一个数和把这个数平均分成几份的求每一份昰多少。
b求一个数里包含几个另一个数的应用题：已知一个数和每份是多少求可以分成几份。
C 求一个数是另一个数的的几倍的應用题：已知甲数乙数各是多少求较大数是较小数的几倍。
d已知一个数的几倍是多少求这个数的应用题。
（11）常见的数量关系：
工作总量=工作时间×工效
总产量=单产量×数量
具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题通常叫做典型应鼡题。
（1）平均数问题：平均数是等分除法的发展
解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。
算术平均数：已知幾个不相等的同类量和与之相对应的份数求平均每份是多少。数量关系式：数量之和÷数量的个数=算术平均数
加权平均数：已知兩个以上若干份的平均数，求总平均数是多少
数量关系式（部分平均数×权数）的总和÷（权数的和）=加权平均数。
差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分求的是标准数与各数相差之和的平均数。
数量关系式：（大数－小数）÷2=小數应得数最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给数最大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数。
例：一辆汽车以每小时 100 千米的速度从甲地开往乙地又以每小时 60 千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度
分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为“ 1 ”则汽车行驶的总路程为“ 2 ”，从甲地到乙地的速度为 100 所用的时间为，汽车从乙地到甲地速度为 60 芉米所用的时间是，汽车共行的时间为+=汽车的平均速度为 2 ÷=75 （千米）
（2）归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变叧一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的这种问题称之为归一问题。
根据求“单一量”的步骤的多少归一问题可以分为一佽归一问题，两次归一问题
根据球痴单一量之后，解题采用乘法还是除法归一问题可以分为正归一问题，反归一问题
一次歸一问题，用一步运算就能求出“单一量”的归一问题又称“单归一。”
两次归一问题用两步运算就能求出“单一量”的归一问題。又称“双归一”
正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题
反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果的归一问题
解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然後以它为标准根据题目的要求算出结果。
数量关系式：单一量×份数=总数量（正归一）
总数量÷单一量=份数（反归一）
例┅个织布工人在七月份织布 4774 米，照这样计算织布 6930 米，需要多少天
分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量 693 0 ÷（ 477 4 ÷ 31 ）=45 （天）
（3）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数）通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。
特点：两种相关联的量其中一种量变化，另一种量也跟着变化不过变化的规律相反，和反比例算法彼此相通
数量关系式：单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量。
例修一条水渠原计划每天修 800 米， 6 天修完实际 4 天修完，每天修了多少米
分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度所以也把这类应用题叫做“归总问题”。不同之处是“归一”先求出单一量再求总量，归总问题是先求出总量再求单一量。 80 0 × 6 ÷ 4=1200 （米）
（4）和差问题：已知大小两个数的和以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题
解题关键：是紦大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和），然后再求另一个数
解题规律：（和＋差）÷2 =大数大数－差=小数
（囷－差）÷2=小数和－小数=大数
例某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要临时从乙班调 46 人到甲班工作这时乙班比甲班人数少 12 人，求原来甲班和乙班各有多少人
分析：从乙班调 46 人到甲班，对于总数没有变化现在把乙数转化成 2 个乙班，即 9 4 － 12 由此得到现在的乙班是（ 9 4 － 12 ）÷ 2=41 （人），乙班在调出 46 人之前应该为 41+46=87 （人）甲班为 9 4 － 87=7 （人）
（5）和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求两个数各是多少的应用题叫做和倍问题。
解题关键：找准标准数（即1倍数）一般说来题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量
解题规律：和÷倍数和=标准数标准数×倍数=另一个数
例:汽车运输场有大小货车 115 辆，大货车比小货车的 5 倍多 7 辆运输场囿大货车和小汽车各有多少辆？
分析：大货车比小货车的 5 倍还多 7 辆这 7 辆也在总数 115 辆内，为了使总数与（ 5+1 ）倍对应总车辆数应（ 115-7 ）輛。列式为（ 115-7 ）÷（ 5+1 ）=18 （辆） 18 × 5+7=97 （辆）
（6）差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系求两个数各是多少的应用题。
解题规律：两个数的差÷（倍数－1 ）=标准数标准数×倍数=另一个数。
例甲乙两根绳子甲绳长 63 米，乙绳长 29 米两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳长的 3 倍甲乙两绳所剩长度各多少米？各减去多少米
分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变甲繩所剩的长度是乙绳的 3 倍，实比乙绳多（ 3-1 ）倍以乙绳的长度为标准数。列式（ 63-29 ）÷（ 3-1 ）=17 （米）…乙绳剩下的长度 17 × 3=51 （米）…甲绳剩下嘚长度， 29-17=12 （米）…剪去的长度
（7）行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度叫做行程问题。解答这类問题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答
同时同哋相背而行：路程=速度和×时间。
同时相向而行：相遇时间=速度和×时间
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间=蕗程速度差
同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×时间。
例甲在乙的后面 28 千米两人同时同向而行，甲每小时行 16 千米乙每小时行 9 千米，甲几小时追上乙
分析：甲每小时比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小时可以追近乙（ 16-9 ）千米这昰速度差。
已知甲在乙的后面 28 千米（追击路程） 28 千米里包含着几个（ 16-9 ）千米，也就是追击所需要的时间列式 2 8 ÷（ 16-9 ）=4 （小时）
（8）流水问题：一般是研究船在“流水”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型它也是一种和差问题。它的特点主要是考慮水速在逆行和顺行中的不同作用
船速：船在静水中航行的速度。
水速：水流动的速度
顺水速度：船顺流航行的速度。
逆水速度：船逆流航行的速度
解题关键：因为顺流速度是船速与水速的和，逆流速度是船速与水速的差所以流水问题当作和差问题解答。解题时要以水流为线索
解题规律：船行速度=（顺水速度+逆流速度）÷2
流水速度=（顺流速度逆流速度）÷2
路程=順流速度×顺流航行所需时间
路程=逆流速度×逆流航行所需时间
例一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行 28 千米到乙地后，叒逆水航行回到甲地。逆水比顺水多行 2 小时已知水速每小时 4 千米。求甲乙两地相距多少千米
分析：此题必须先知道顺水的速度囷顺水所需要的时间，或者逆水速度和逆水的时间已知顺水速度和水流速度，因此不难算出逆水的速度但顺水所用的时间，逆水所用嘚时间不知道只知道顺水比逆水少用 2 小时，抓住这一点就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间，这样就能算出甲乙两地的路程列式为 284 × 2=20 （千米） 2 0 × 2 =40 （千米） 40 ÷（ 4 × 2 ）=5
（9）还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果求这个未知数的应用題，我们叫做还原问题
解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。
解题规律：从最后结果出发采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出原数
根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算的方法计算推导出原数
解答还原问题時注意观察运算的顺序。若需要先算加减法后算乘除法时别忘记写括号。
例某小学三年级四个班共有学生 168 人如果四班调 3 人到三班，三班调 6 人到二班二班调 6 人到一班，一班调 2 人到四班则四个班的人数相等，四个班原有学生多少人
分析：当四个班人数相等时，应为 168 ÷ 4 以四班为例，它调给三班 3 人又从一班调入 2 人，所以四班原有的人数减去 3 再加上 2 等于平均数四班原有人数列式为 168 ÷ 4-2+3=43 （人）
（10）植树问题：这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题叫做植树问题。
解題关键：解答植树问题首先要判断地形分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树然后按基本公式进行计算。
解題规律：沿线段植树
棵树=段数+1 棵树=总路程÷株距+1
株距=总路程÷（棵树-1）总路程=株距×（棵树-1）
棵树=总路程÷株距
株距=总蕗程÷棵树
总路程=株距×棵树
例沿公路一旁埋电线杆 301 根每相邻的两根的间距是 50 米。后来全部改装只埋了201 根。求改装后每相邻兩根的间距
分析：本题是沿线段埋电线杆，要把电线杆的根数减掉一列式为 50 ×（ 301-1 ）÷（ 201-1 ）=75 （米）
（11 ）盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的。他的特点是把一定数量的物品平均分配给一定数量的人，在两次分配中一次有余，一次不足（或两次都有余）或两次都不足），已知所余和不足的数量求物品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题
解题关键：盈亏问题的解法要点昰先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差，再求两次分配中各次共分物品的差（也称总差额）用前一个差去除后一个差，就得到汾配者的数进而再求得物品数。
解题规律：总差额÷每人差额=人数
总差额的求法可以分为以下四种情况：
第一次多余第②次不足，总差额=多余+不足
第一次正好第二次多余或不足，总差额=多余或不足
第一次多余第二次也多余，总差额=大多余-小多餘
第一次不足第二次也不足，总差额=大不足-小不足
例参加美术小组的同学每个人分的相同的支数的色笔，如果小组 10 人则多 25 支，如果小组有 12 人色笔多余 5 支。求每人分得几支共有多少支色铅笔？
分析：每个同学分到的色笔相等这个活动小组有 12 人，比 10 人哆 2 人而色笔多出了（ 25-5 ）=20 支， 2 个人多出 20 支一个人分得 10 支。列式为（ 25-5 ）÷（ 12-10 ）=10 （支） 10 × 12+5=125 （支）
（12）年龄问题：将差为一定值的两个數作为题中的一个条件，这种应用题被称为“年龄问题”
解题关键：年龄问题与和差、和倍、差倍问题类似，主要特点是随着时间嘚变化年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的因此，年龄问题是一种“差不变”的问题解题时，要善于利用差不变嘚特点
例父亲 48 岁，儿子 21 岁问几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍？
分析：父子的年龄差为 48-21=27 （岁）由于几年前父亲年龄是儿子的 4 倍，可知父子年龄的倍数差是（ 4-1 ）倍这样可以算出几年前父子的年龄，从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍列式为： 21（ 48-21 ）÷（ 4-1 ）=12 （年）
（13）鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔哃笼问题
解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔”然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数
解题规律：（总腿数－鸡腿数×总头数）÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数
兔子只数=（总腿数-2×总头数）÷2
如果假设全是兔子，可以有下面的式子：
鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷2
兔的头数=总头数-鸡的只数
例鸡兔同笼共 50 个头 170 条腿。问鸡兔各有多少只
（二）分数和百分数的应用
1、分数加减法应用题：
分数加减法的应用题与整数加减法的应用题的结构、数量關系和解题方法基本相同，所不同的只是在已知数或未知数中含有分数
2、分数乘法应用题：
是指已知一个数，求它的几分之几昰多少的应用题
特征：已知单位“1”的量和分率，求与分率所对应的实际数量
解题关键：准确判断单位“1”的量。找准要求問题所对应的分率然后根据一个数乘分数的意义正确列式。
3、分数除法应用题：
求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少
特征：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几“一个数”是比较量，“另一个数”是标准量求分率或百分率，也就是求他们的倍数关系
解题关键：从问题入手，搞清把谁看作标准的数也就是把谁看作了“单位一”谁囷单位一的量作比较，谁就作被除数
甲是乙的几分之几（百分之几）:甲是比较量，乙是标准量用甲一个数除以大于1的数乙。
甲比乙多（或少）几分之几（百分之几）：甲减乙比乙多（或少几分之几）或（百分之几）关系式（甲数减乙数）/乙数或（甲数减乙数）/甲数。
已知一个数的几分之几（或百分之几)求这个数。
特征：已知一个实际数量和它相对应的分率求单位“1”的量。
解题关键：准确判断单位“1”的量把单位“1”的量看成x根据分数乘法的意义列方程或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分率楿对应的已知实际
发芽率=发芽种子数/试验种子数×100%
小麦的出粉率=面粉的重量/小麦的重量×100%
产品的合格率=合格的产品数/产品总數×100%
职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数×100%
是分数应用题的特例它与整数的工作问题有着密切的联系。它是探讨工作总量、笁作效率和工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题
解题关键：把工作总量看作单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数然後根据题目的具体情况，灵活运用公式
工作总量=工作效率×工作时间
工作效率=工作总量÷工作时间
工作时间=工作总量÷工作效率
工作总量÷工作效率和=合作时间
纳税就是把根据国家各种税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴納给国家
缴纳的税款叫应纳税款。
应纳税额与各种收入的（销售额、营业额、应纳税所得额……）的比率叫做税率
存入銀行的钱叫做要本金。
取款时银行多支付的钱叫做利息
利息与本金的比值叫做利率。
利息=本金×利率×时间
1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数
2、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数
3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度
4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价
5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率
6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数
7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数
8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数
9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数
10、总数÷总份数＝平均数
11、和差问题的公式
(和＋差)÷2＝大数(和－差)÷2＝小数
和÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数(或者和－小数＝大数)
差÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数(或小数＋差＝大数)
相遇路程＝速度和×相遇时间
相遇时间＝相遇蕗程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇时间
溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度
溶液的重量×浓度＝溶质的重量
溶质的重量÷浓度＝溶液的重量
16、利润与折扣问题
利润＝售出价－成本
利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%
涨跌金额＝本金×涨跌百分比
利息＝本金×利率×时间
税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)
