lim[f(x)g(x)]什么时候可以拆开_百度知道
lim[f(x)g(x)]什么时候可以拆开
lim[f(x)g(x)]什么时候可以拆开
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f（x）和g（x）都有极限的时候lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)可以分解成两个极限的乘积。但是如果f（x）和g（x）有一个或两个没有极限，那么这个式子就不能使用了。
什么情况叫有极限，比如说=0，算吗？
=任何有限数，例如=0，=3，=-4等等，都是有极限。不仅仅是=0
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求极限值的几种常用方法
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求极限lim→∞类的式子带什么值进去算?
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1、无穷大不是一个具体的数,无论代入什么数字计算,都是错的,楼下的说法不对；2、如果是单独一个式子,譬如 ：lim x = ∞x→∞lim x² = ∞x→∞我们要么采用上面的写法,要么说它们不存在.等于无穷大的极限,就是极...
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先简化式子后，X趋近什么数就带什么数运算，比如X→∞就把X当做无穷大数带进去，X→1就把X=1带进去运算
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微积分-各种求极限的方法
北京理工大学微积分-求极限单调有界准则 夹逼准则 无穷小代换 罗密达法则 泰勒定理程功 1.证明limn??nn?1?1.1n?11n?1nn?1证:xn?1?1nn?1?1?任给??0,要使xn?1??,只要nn?1??,即n??1?1,所以,取N?[]?1,则当n?N?时,就有?1??,即limn???1.2.证明:lim2nn??n!n?0证:当n?2时,2n!?2?2?2???21?2?3???n?214n?1?1???2n?4n(放大一般项)对? ??0,要使|2nn!?0|??,只要??,即n?4?,故只需取N?max{[],2},?4422则当n?N时,有n?,???lim?0n??n!?n!nn3.证明当0?a??时,lima??.x??xn?1xn解：设n为不超过x的最大整数n?x?n??，则a?a?a且xlima?0limax??x??nn?1?0?lima?0x??n4.当x?1时,求lim(1?x)(1?x2)(1?x4)?(1?x2).n??解：将分子、2同时乘以因子?1?x?，则此题可解。5.设xn?0?a?b,求limxn.n??解：???，lim?lim?b 根据夹逼定理有n??n?limxn?limn??n???bn?n?2na?1?6.设??，求limln?? n??2n(1?2a)??1?n?2na?1???11n?无穷小代换limnln1?解：limln? ?lim???n??n??n??1?2an(1?2a)?n(1?2a)?n(1?2a)??n7.求lim(x?01?tanx1?sinx1)x.3解：原式?lim[1?(x?01?tanx1?sinx1?1)]x?lim[1?x?03tanx?sinx1?sinx1]x3?limtanx?sinx1?sinx1x?0?1x3?limsinx(1?cosx)x?0(1?sinx)cosxx?13?limx?01sinx1?cosx1????22xx(1?sinx)cosx?原式?e2.8.求limn??3n(1?解（一）：原式?limn??3?3n?lim(1?n??3?3?elim3n??n?lim13n??nn?n?13(lna?lnb?lnc)?ln所以原式=e?解（二）：原式?limen??n而limnlnn??3?limnln(1?n??3?limnn??3?lim13n??nnn?13(lna?lnb?lnc)?ln?原式?e?9.设x1?3,xn?1?3?xn,(n?1,2,?), 证明数列{xn}极限存在，并求limxn.n??证明：单调性：x2?3?3?3?x1，假设 xn?xn?1,有xn?1?3?xn?3?xn?1?xn，由数学归纳法知：{xn}单增。有界性：x1?3?xn?3?1,x2?3?13?3?3?23?1?3?3?1，3?23?1?3?1假设，则xn?1?3?xn?3?1?有归纳法可知数列{xn}limxn存在 。
有界，由单调有界准则知：n??limxn?a设n，在等式xn?1???3?xnn两边取极限，得 a?1?2?limxn?n??1?2.10．求数列极限lim??x??11.求数列极限lim(cosn??.n1?n?(cos?1?n?1)n(cos?n1?2lim?()nn??2n?2原式=lim(1?cosn???ncos?1)n?1)?limen???e?e?2（注：也可以先转化为函数的极限再用洛必达法则） 12.设 xn?1011n?9??,求limxn.n??132n?1解:xn?1?xn?1011n?9?n?1?9??n????1??????? 132n?1?2n?1?132n?1?2n?1?易见当n?9时,有xn?1?xn??,即n??时,数列?xn?单调递减;又显然xn??, 由单调有界准则知limxn存在.n??得A?0?limxn?0设limxn?A,由已知可得xn?1?n??n??n?102n?1xn,两边取极限,有A?A2,即A?0.?limxn?0n??1x??x13.求极限lim?sin?cos2x?.x?02??解: 原式1x??sinx?cos2x?1?lim??1?sin?cos2x?1?2?x?02??sinx?cos2x?1xsinx2?cos2x?1x?ex?0lim?ex?1?lim?cos?2sin2x?x?0?22?1?e2或
原式?ex??ln?sin?cos2x?2??limx?0x?excos?2sin2xlimxx?0sin?cos2x211?e214.设x0?0,xn?1?解:有界性?x0?0,xn?1?1?（21?xn）(n?0,1,2,?), 求证:?xn?收敛,并求??limxn.n??2?xnxn2?xn?1，xn?1?2?21?xn?2,(n?0,1,2,?)?1?xn?????(n?1,2,?)单调性:xn?1?xn?1?2?xn?xn?1??xn?1??xn?1?xn与xn?xn?1同号?n?1,2,????1???2?xn?2?xn?1??2?xn??2?xn?1?xn?当x1?x0时，?xn?单调递增；当x1?x0时，?xn?单调递减。由单调有界准则知,?xn??收敛. 设?limxn?A,两边取极限,有A?n??2?2A2?AA????limxn?n??15.数列极限limtann(n???4?2n)?e的4次方.16.设f(x)?ln(1?x)，由拉格朗日中值定理, 得：?x??1 ,???(0 , 1)， 使得ln(1?x)?ln(1?x)?ln(1?0)?f?(?x)x?x?ln(1?x)xln(1?x)x1?x?. 求极限lim?的值.x?0解：由已知得：??1,lim??lim??0??0x?ln(1?x)xln(1?x)?lim??0x?ln(1?x)x21??lim??0x11?x?lim?.??02x(1?x)2x2nn?117.证明limn???1.证:xn?1?1nn?1?1?1n?1任给??0,要使xn?1??,只要nn?1nn?11n?1??,即n?1??1,所以,取N?[]?1,则当n?N时,就有??1??,即limn???1.18. 求数列极限limn(ntann??21n?1).tanttt2解：limn(ntann??21nx?1?????limx(xtanx??令t?121x(?1)?limt?0?1)?limt?0tant?tt3?limt?0sect?13t22?limt?02secttant6t2?13??)型.19.求limx???xen?x(n?0 ,??0).?????????????????????????(解：xlim???xen?x?limnxn?1x????e?x?limn(n?1)xn?2x????e2?x???limn!x????en?x?020.求limxeax????x(a?0 ,??0).解：这里只讨论a不为正整数的情形。 存在非负整数k使当x?1时，x?x?xkak?1，从而xek?x?xen?x?xek?1?x（用夹逼准则）由（1）limxekx????x?limxek?1x????x?0?x???limxen?x?0?g(x)?cosxx?0?21.设g(x)具有二阶连续导数，且g(0)?1, f(x)??, x?a
x?0?（1）确定a的值，使f(x)在点x?0处连续。（2）求f?(x). （3）讨论f?(x)在点x?0处的连续性。解：（1）由于limf(x)?limx?0g(x)?cosxxx?0?limg?(x)?sinx1x?0?g?(0).故当a?g?(0)时，?g(x)?cosxx?0?且g(0)?1. f(x)在点x?0处连续。
f(x)??x?g?(0)
x?0?(g?(x)?sinx)x?(g(x)?cosx)xx2（2）当x?0时，f?(x)?g(x)?cosx?xg?(0)x2g(x)?cosx当x?0时，?limf?(0)?limf(x)?f(0)x?g?(0)?limx?0x?0?limx?0g?(x)?sinx?g?(0)2xx?0?limg??(x)?cosx2x?0?g??(0)?12?(g?(x)?sinx)x?(g(x)?cosx),
x?02??x?f?(x)????g(0)?1?,
x?0??2（3）由于limf?(x)?limx?0[g?(x)?sinx]x?[g(x)?cosx]x2x?0?lim[g??(x)?cosx]x2xx?0?limg??(x)?cosx2n??x?0?g??(0)?12?f?(0)所以f?(x)在点x?0处连续。22.求lim1lnx解：由于limn??x???limxx??x?limex??x?elimx??lnxx?e?1.所以limn???1.23.求lim1).（??0型） 解：法（一）用洛必达法则分析:为用洛必达法则，必须改求limx(x?1).但对本题用此计算法很繁。x???121x法（二）原式?limn(n?1)?limn??121nen1lnn??112n???lim1nlnn?12nn???limlnnn12nn????e1nlnn?1e?1?uu3224.求limxx???解：令t?原式?limt?01x，则(1?2t)?12t?limt?0?(1?t)2t?12?limt?0?(1?2t)?32?212(1?t)?32??1425.lim解：令t?1x100?1x2x?0e50?t1x2,则原式?limtet????limt50tt???e?lim50tet49t??????lim50!ett????0（应用洛必达法则）26.计算limex2?2cosx?3x4x?0x2解：?ex2?1?x?212!x?o(x)cosx?1?442!?7x44!?o(x)4?ex2?2cosx?3?(12!?2?14!44)x?o(x)原式?limx?o(x)x444x?0?712.26.求limxx?0解：用泰勒公式将分子展到x2项，由于?2(1?342??1?3?11?1x)?2?1???x?????1??x????x???2?x??x???x?2?4?2!2?24416??4?????12?2(1?34x)?2?1234x??4916x?o(x)?原式?lim22?1?9x?o(x)216x222x?0??93227.求极限limesinx?x(1?x)xx23xx?03解：?e?1?x?x2!?x33!?o(x)sinx?x?3x3!?o(x)323333?xxx3??3?xx31?x???o(x)x??o(x)?x(1?x)??????o(x)x2!3!3!1esinx?x(1?x)?????lim?. ?lim?lim333x?0x?0x?0x3xx28求极限lim2x?0解：?分子关于x的次数为2。1??(1?5x)5?1?15(5x)?112222(?1)?(5x)?o(x)?1?x?2x?o(x)2!55?121原式?limx222x?0[1?x?2x?o(x)]?(1?x)sin6x?xf(x)x3??29．若limx?0?0,求lim336?f(x)x2x?0解：由sin6x?6x?16(6x)?o(x)??1633??0?limsin6x?xf(x)x36x??limx?0(6x)?o(x)?xf(x)x3x?0???于是lim6?f(x)x2x?0?36limx30.x?0cosx?ex解：（1）洛必达法则limx?0?limcosx?exxx?0limx?0?limsinx?e1xx?0limx?0??1（2）无穷小分析：1??212x?o(x)sinx?x?o(x)222?1x?o(x)22e?1?x?xx2?o(x)?sinx?e?1??2x12x?o(x)原式?lim22x?02122x?o(x)231．已知f(0)?0,f?(0)?3,则求极限limf(xtanx)1?cosxx?0。解：limf(xtanx)1?cosxx?0?lim2f?(xtanx)(tanx?xsecx)x?0sinx2?limf?(xtanx)limx?0(tanx?xsecx)sinx2x?0?limf?(xtanx)lim(cosx?x?0x?0xsecxsinx1)?632.求数列极限limn2?ntann??????1? n?解：limn(ntan2n??1n?1)?limx(xtanx??21x?1)t?1xlimt?0tant?tt3上下求导两次limt?02secttant6t2?13.百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网92to.com,您的在线图书馆
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