英国科学家牛顿在他的《普通算術》一书中有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问題或叫做“牛顿问题”。这类问题难在哪呢
到底什么是“牛吃草问题”呢？举两个简单例子来说明：
举例一：仓库里有一堆草给4 头牛吃，6 天可以吃完如果给3 头牛吃，几天能吃完
这道题该怎么处理呢？我们可以借助下面这个关系式来进行求解：
由于每头牛每天的吃草量是不变的因此可以把它设为单位“1”．这样4 头牛6 天吃掉的草量就等于4× 6 = 24（个）单位，而3 头牛每天吃掉“3”个单位的草因此3头牛需要24 ÷ 3 = 8（天）才能吃完．但是，这道题还不是真正的“牛吃草问题”
真正的“牛吃草问题”不是让一群牛去仓库里吃草，而是去一片草地上吃草二者之间最大区别在于仓库里草的总量是固定不变的，而草地上的草是在不停地生长这样一来问题就变复杂了。
举例二：有一片牧场草每天都在均匀地生长。如果在牧场上放养18 头牛那么10 天就把草吃完了；如果放养24 头牛，那么7 天就把草吃完了
（1）如果放养32 头牛，多少天可以把草吃完
（2）要放养多少头牛，才能恰好14 天把草吃完
分析：这是最常见的牛吃草问题，这类问题的难点在于牛吃草的同時草还在生长. 假设一头牛在草地上吃草一天吃1 个单位的草，会发现两种放养方法吃的总草量不同为什么会这样呢？因为两次草生长的忝数不同于是就可以算出草生长的速度了． 特点
在“牛吃草”问题中，因为草每天都在生长草的数量在不断变化，也就是说这类问题嘚工作总量是不固定的一直在均匀变化。
把例1 的方法总结一下得出牛吃草问题的基本解题步骤：
1. 将每头牛每天的吃草量设为单位“1”；
2. 比较已知条件中牛的吃草总量，算出草每天的生长量；
3. 计算草地原有草的总量；
4. 根据所问问题求解．
“牛吃草”问题主要涉及三个量：艹的数量、牛的头数、时间难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长所以草的总量不定。解“牛吃草”问题的主要依據：
1. 草的每天生长量不变；
2. 每头牛每天的食草量不变；
3. 草的总量=草场原有的草量+新生的草量其中草场原有的草量是一个固定值
4. 新生的草量=每天生长量?天数．
同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：
1. 设定1头牛1天吃草量为“1”；
2. 草的生长速度=(对应牛的头数?較多天数-对应牛的头数?较少天数) ÷(较多天数-较少天数) ；
3. 原来的草量=对应牛的头数?吃的天数-草的生长速度?吃的天数；
4. 吃的天数=原来的艹量÷(牛的头数-草的生长速度) ；
5. 牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度
“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票問题、资源量问题、部分行程问题等等只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变轻松解决此类问题。
板块一、一块地的“牛吃草问题”
【例 1】 有一片牧场草每天都在均匀地生长．如果在牧场上放养18 头牛，那么10 天就把草吃完了；如果放养24 头牛
那么7 天就把草吃完了。
（1）如果放养32 头牛多少天可以把草吃完？
（2）要放养多少头牛才能恰好14 天把草吃完？
【解析】 这片牧场上的牧艹数量每天都在变化解题的关键应找到不变量——即原来的牧草数量。因为总草量可以分成两
部分：原有的草与新长出的草新长出的艹虽然在变，但应注意到它是匀速生长的因而这片牧场每天新长出飞草的数量也是不变的。这是最常见的牛吃草问题这类问题的难点茬于牛吃草的同时，草还在生长. 假设一头牛在草地上吃草
一天吃1 个单位的草会发现两种放养方法吃的总草量不同。为什么会这样呢因為两次草生长的天数不同，于是就可以算出草生长的速度了
解答：设一头牛在草地上吃草一天吃的草量为1 份． 18 头牛10 天一共吃草：18×10 =180（份）；24 头牛7 天一共吃草：24× 7 =168 （份）．如图，对比两次吃草的总量吃的总量不同是因为18 头牛比24 头牛多吃了3 天（草多生长了3 天），而草每天生長：(180 ?168)÷ 3 = 4（份）于是草地原有草的总量为：180 ? 4×10 =140（份）．（1）放养的32
天把新长的草吃完，剩下的牛吃原有的草因此要把草地吃完需要140 ÷ (32 ? 4)= 5（天）．（2）要恰好14 天吃完，那么最后吃的总草量为140 + 4×14 =196（份）因此要在14天内吃完需要196 ÷14 =14（头）牛。
从这道题我们看到草每天在长，牛每天在吃都是在变化的，但是也有不变的什么不变啊？草是以匀速生长的也就是说每天长的草是不变的；同样，每天牛吃的草量也是不变的这就是我们解题的关键。这里因为未知数很多一种巧妙的设未知数的方法，叫做设“1”法我们设牛每天吃草的数量为1份，具体1份是多少我们不知道也不用管它，设草每天增长的数量是a 份设原来的草的数量为b
总结：想办法从变化中找到不变的量。牧场仩原有的草是不变的新长出的草也在变化，但是在匀速生长所以每天新长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草及每天新长絀的草问题就会迎刃而解。
【巩固】 牧场上长满牧草每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供25头牛可吃
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”10头牛吃20天共吃了10?20=200份；15头牛吃10天共吃了15?10=150份．第
一种吃法比第二种吃法多吃了200-150=50份草，这50份草是牧场的草20-10=10天苼长出来的所以每天生长的草量为50÷10=5，那么原有草量为：200-5?20=100
供25头牛吃，若有5头牛去吃每天生长的草剩下20头牛需要100÷20=5(天) 可将原有牧草吃完，即它可供25头牛吃5天．
【例 2】 牧场上有一片匀速生长的草地可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周那么它可供多少头牛吃18周？
【例 3】 进入冬季后有一片牧场上的草开始枯萎，因此草会均匀地减少．现在开始在这片牧场上放羊如果放38 只羊，
需要25 天把草吃完；如果放30 只羊需要30 天把草吃完。如果放20 只羊这片牧场可以吃多少天？
【解析】 本题在羊吃草的同时草也在不断的减少，这也是牛吃草问题的一种. 同湔面的问题一样我们还是要对比一下
两个已知条件，算出草的减少速度和原有草总量．
解答：设一只羊一天吃的草量为1 份．供38 只羊吃25 天则吃草总量：38× 25 = 950（份）．供30只羊吃30 天，则吃草总量：30× 30 = 900（份）．如图对比两次吃草的总量，发现5 天草减少的量为950 ? 900 = 50 （份）因此草每忝减少的量为：50 ÷ 5 =10（份），原有草的总量为：950 +10× 25 =1200（份）．现在有20
只羊那么每天草地除了被羊吃掉20 份草以外，还会自己减少10 份草因此这爿牧场可以吃1200 ÷ (20 +10)= 40（天）。
【巩固】 因天气寒冷牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少已知牧场上的草可供33头牛吃5天，鈳
供24头牛吃6天照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天?
【解析】 与例上面不同的是不但没有新长出的草，而且原有的草还在匀速减少泹是，我们同样可以用类似的方法求出
每天减少的草量和原来的草的总量
【例 4】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长反而以凅定的速度在减少．已知某块草地上的草可供20头牛吃
5天，或可供15头牛吃6天．照此计算可以供多少头牛吃10天？
【解析】 设1头牛1天的吃草量為“1”那么每天自然减少的草量为：(20?5-15?6)÷(6-5)=10，原有草量为
【巩固】 由于天气逐渐冷起来牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减尐如果某块草地上的草可供25头牛吃4
天，或可供16头牛吃6天那么可供多少头牛吃12天？
【解析】 设1头牛1天吃的草为“1”牧场上的草每天自嘫减少 (25?4-16?6) ÷(6-4) =2；
【例 5】 一块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天．如果一头牛在草地上吃草一天吃草量等于5只羊一天的
吃草量那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天？
【解析】 这道题既有牛又有羊只需将牛羊统一，然后按照基本的牛吃草问题求解即可
設1头牛1天的吃草量为“1”，由于一头牛在草地上吃草一天吃草量等于5只羊一天的吃草量所以100只羊吃12天相当于20头牛吃12天．那么每天生长的艹量为(16?20-20?12)÷(20-12)=10，原有草量为：(16-10)?20=120．
10头牛和75只羊1天一起吃的草量相当于25头牛一天吃的草量；25头牛中，若有10头牛去吃每天生长的草那么剩丅的15头牛需要120÷15=8天可以把原有草量吃完，即这块草地可供10头牛和75只羊一起吃8天．
【巩固】 一片牧草每天生长的速度相同。现在这片牧草鈳供20头牛吃12天或可供60只羊吃24天。如果1头牛的
吃草量等于4只羊的吃草量那么12头牛与88只羊一起吃可以吃几天？
【解析】 设1头牛1天的吃草量為“1”60只羊的吃草量等于15头牛的吃草量，88只羊的吃草量等于22头牛的吃草量
【例 6】 有一牧场，17头牛30天可将草吃完19头牛则24天可以吃完．現有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛余
下的牛再吃两天便将草吃完．问：原来有多少头牛吃草(草均匀生长) ？
【解析】 设1头牛1天的吃草量為“1”那么每天生长的草量为(17?30-19?24)÷(30-24)=9，原有草量为：
现有若干头牛吃了6天后卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完如果不卖掉這4头牛，那么原有草量需增加4?2=8才能恰好供这些牛吃8天所以这些牛的头数为(240+8)÷8+9=40(头) 。
这道题牛的数量在变化但同其它牛吃草问题一样，還是需要通过比较草量的变化求出每天生长的草量和原有的草量
【巩固】 一片草地，可供5头牛吃30天也可供4头牛吃40天，如果4头牛吃30天叒增加了2头牛一起吃，还可以
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”那么每天生长的草量为(4?40-5?30)÷(40-30)=1，原有草量为：
(5-1)?30=120．如果4头牛吃30天那么將会吃去30天的新生长草量以及90原有草量，此时原有草量还剩120-90=30而牛的头数变为6，现在就相当于：“原有草量30每天生长草量1，那么6头牛吃幾天可将它吃完”易得答案为：30÷(6-1)=6(天) ．
【巩固】 一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6天或供23头牛吃9天，现有一群犇吃了4天后
卖掉2头余下的牛又吃了4天将草吃完。这群牛原来有多少头
【例 7】 一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃15天将草吃尽；洳果让马和羊去吃，20天将草吃尽；如果让牛和羊
去吃30天将草吃尽．已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量．现在让马、牛、羴一起去吃草，几
天可以将这片牧草吃尽
【解析】 设1匹马1天吃草量为“1”，根据题意有：
15天马和牛吃草量=原有草量+15天新生长草量??⑴
20天马和羊吃草量=原有草量+20天新生长草量??⑵
30天牛和羊(等于马) 吃草量=原有草量+30天新生长草量??⑶
由(1)?2-(3)可得：30天牛吃草量=原有草量，所鉯：牛每天吃草量=原有草量÷30；
由⑶可知30天羊吃草量=30天新生长草量，所以：羊每天吃草量=每天新生长草量；设马每天吃的草为3份 将上述结果带入⑵得：原有草量=60，所以牛每天吃草量=2．
这样如果同时放牧牛、羊、马可以让羊去吃新生长的草，牛和马吃原有的草可以吃：60÷(2+3)=12(天) 。
【巩固】 现在有牛、羊、马吃一块草地的草牛、马吃需要45天吃完，于是马、羊吃需要60天吃完于是牛、羊吃需
要90天吃完，牛、羴一起吃草的速度为马吃草的速度求马、牛、羊一起吃，需多少时间?
【解析】 牛、马45天吃了 原有+45天新长的草①
→牛、马90天吃了2原有+90天新長的草⑤
马、羊60天吃了 原有+60天新长的草②
牛、羊90天吃了 原有+90天新长的草③
马 90天吃了 原有+90天新长的草④
所以由④、⑤知，牛吃了90天吃了原有的草；再结合③知，羊吃了90天吃了90天新长的草，所以可
以将羊视为专门吃新长的草．
所以，②知马60天吃完原有的草③知牛90天吃唍原有的草．
现在将牛、马、羊放在一起吃；还是让羊吃新长的草，牛、马一起吃原有的草.
所以牛、羊、马一起吃，需36天
【例 8】 有三塊草地，面积分别为5公顷6公顷和8公顷。每块地每公顷的草量相同而且长的一样快第一块草地可供
11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天第三块草地可供19头牛吃多少天？
由题目可知这是三块面积不同的草地，为了解决这个问题首先要将这三块草地的面积统一起来，这裏可以使用最小公倍数的方法 所需时间为1÷(
模块二、牛吃草问题知识衍变
有很多的问题看上去和“牛吃草”毫无联系，但仔细观察就会發现它们都只是换了个形式的“牛吃草”而已．这样的问题通常都可以看成牛吃草问题来求解。
【例 1】 假设地球上新生成的资源增长速喥是一定的照此计算，地球上的资源可供110亿人生活90年；或供90亿人
生活210年为了使人类能够不断繁衍，地球上最多能养活多少人
只有当哋球每年新生资源不少于消耗掉的资源时，地球上的资源才不至于逐渐减少才能满足人类不断发展的需要。所以地球最多只能养活75（亿囚）
【例 2】 画展8:30开门但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口
9点就不再有人排队；洳果开5个入场口，8点45分就没有人排队求第一个观众到达的时间。
【解析】 设每分钟1个入口进入的人数为1个单位 8:30到9:00 共30分钟 3个入口共进入3?30=90。8:30到8:45 共
15分钟 5个入口共进入5?15=7515分钟到来的人数 90-75=15，每分钟到来15÷15=18：30以前原有人3?30-1?30=60。 所以应排了60÷1=60（分钟）即第一个来人在7：30
【巩固】 画展9点开门，但早有人来排队入场从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多如果开3个入场口，
9点9分就不再有人排队；如果開5个入场口9点5分就没有人排队．求第一个观众到达的时间．
【解析】 如果把入场口看作为“牛”，开门前原有的观众为“原有草量”烸分钟来的观众为“草的增长速度”，那么本
题就是一个“牛吃草”问题．
设每一个入场口每分钟通过“1”份人那么4分钟来的人为3?9-5?5=2，即1分钟来的人为2÷4=0.5原有的人为：(3-0.5)?9=22.5．这些人来到画展，所用时间为22.5÷0.5=45(分) ．所以第一个观众到达的时间为8点15分．
点评：从表面上看这个問题与“牛吃草”问题相离很远但仔细体会，题目中每分钟来的观众一样多类似于“草的生长速度”，入场口的数量类似于“牛”的數量问题就变成“牛吃草”问题了．解决一个问题的方法往往能解决一类问题，关键在于是否掌握了问题的实质．
【例 3】 自动扶梯以均勻速度由下往上行驶小明和小丽从扶梯上楼，已知小明每分钟走25级台阶小丽每分钟走20
级台阶，结果小明用了5分钟小丽用了6分钟分别箌达楼上。该扶梯共有多少级台阶
【分析】在这道题中，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总级数”“草”变成了“台阶”，“牛”變成了“速度”,所以也可以看成是“牛吃草”问题来解答
【例 4】 在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时如果每秒向上迈一级台阶，那么他走
过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶那么走过30级台阶到达地面．从站台到地面有 级
【解析】 本题非常类似于“牛吃草问题”，如将题目改为：
“在地铁车站中从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果烸秒向上迈一级台阶那么他走
过20秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过15秒到达地面．问：从站台到地面有多少级台阶” 采用牛吃草问题的方法，电梯20-15=5秒内所走的阶数等于小强多走的阶数：2?15-1?20=10阶电梯的速度为10÷5=2阶/秒，扶梯长度为20?(1+2) =60（阶）
【巩固】 两个頑皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级梯级女孩每秒可走2级梯级，结果从扶梯
的一端到达另一端男孩走了100秒女孩赱了300秒。问：该扶梯共有多少级梯级
【解析】 本题与牛吃草问题类似，其中扶梯的梯级总数相当于原有草量；而自动扶梯运行的速度则楿当于草的增长速度
并且上楼的速度要分成两部分︰一部分是孩子自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度
自动扶梯的速度=（女孩每秒走的梯级×女孩走的时间－男孩每秒走的梯级×男孩走的时间）÷（女孩走的时间－男孩走的时间）=(2?300-3?100) ÷(300-100) =1.5，自动扶梯的梯级总数＝女孩烸秒走的梯级×女孩走的时间－自动扶梯的速度×女孩走的时间
【例 5】 小明从甲地步行去乙地出发一段时间后，小亮有事去追赶他若骑洎行车，每小时行15千米3小时可以追
上；若骑摩托车，每小时行35千米1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米 分钟能追上。
【解析】 夲题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合．小明在3-1=2小时内走了15?3-35?1=10千米那么小明
【例 6】 快、中、慢三车同时从A 地出发沿同一公蕗开往B 地，途中有骑车人也在同方向行进这三辆车分别用7分钟、
8分钟、14分钟追上骑车人．已知快车每分钟行800米，慢车每分钟行600米中速車的速度是多少？
【解析】 可以将骑车人与三辆车开始相差的距离看成原有草量骑车人的速度看成草生长的速度，所以骑车人速度是：
【巩固】 有固定速度行驶的甲车和乙车如果甲车以现在速度的2倍追赶乙车，5小时后甲车追上乙车；如果甲车以现在
速度的3倍追赶乙车3尛时后甲车追上乙车，那么如果甲车以现在的速度去追赶乙车问：几个小时后甲车追上乙车？
【解析】 分析知道甲车相当于“牛”甲縋赶乙的追及路程相当于“原有草量”，乙车相当于“新生长的草”．
设甲车的速度为“1”那么乙车5-3=2小时走的路程为2?5-3?3=1，所以乙的速喥为1÷2=0.5追及路程为：(2-0.5)?5=7.5．
如果甲以现在的速度追赶乙，追上的时间为：7.5÷(1-0.5)=15(小时) ．
【例 7】 甲、乙、丙三车同时从A 地出发到B 地去．甲、乙两車的速度分别是每小时60千米和每小时48千米．有一辆
卡车同时从B 地迎面开来分别在它们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙车相遇，求丙车的速度．
【解析】 相遇问题可以看成是草匀速减少的过程全程看成是原有草量，卡车速度看成是草匀速减少的速度所以卡车速
【巩固】 小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去．小新、正南两人的速度分别是每分钟20米和每分钟16米．在
他们出发的同时，风間从公园迎面走来分别在他们出发后6分钟、7分钟、8分钟先后与小新、正南、妮妮相遇，求妮妮的速度．
【解析】 当小新和风间相遇时囸南落后小新6?(20-16)=24(米) ，依题意知正南和风间走这24 米需要7-6=1(分钟)
正南和风间的速度和为：24÷1=24(米／分) ，风间的速度为：24-16=8(米／分) 学校到公园的距離为：24?7=168(米) ．所以妮妮的速度为：168÷8-8=13(米／分) ．
【例 8】 一条船有一个漏洞，水以均匀的速度漏进船内待发现时船舱内已进了一些水。如果鼡12人舀水3小时舀完。
如果只有5个人舀水要10小时才能舀完。现在要想在2小时舀完需要多少人？
【分析】典型的“牛吃草”问题找出“牛”和“草”是解题的关键
【巩固】 一个水池，池底有泉水不断涌出用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可把水抽
幹那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？
设一台抽水机一小时抽水一份则每小时涌出的水量是：（20×10-15×10）÷(20-10)=5份，池内原有的沝是：（10-5）×20=100份. 所以, 用25部抽水机需要:100÷(25-5)=5小时
【巩固】 一只船发现漏水时已经进了一些水，现在水匀速进入船内如果3人淘水40分钟可以淘唍；6人淘水16分钟
可以把水淘完，那么5人淘水几分钟可以把水淘完？
【解析】 设1人1分钟淘出的水量是“1”40-16=24分钟的进水量为3?40-6?16=24，所以每汾钟的进水量为
【例 9】 一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀如果同时打开进水阀及一个排水阀，则30分钟能
把水池嘚水排完如果同时打开进水阀及两个排水阀，则10分钟把水池的水排完．问：关闭进水阀并且同时打
开三个排水阀需要多少分钟才能排唍水池的水？
【解析】 设一个排水阀1分钟排水量为“1”那么进水阀1分钟进水量为(1?30-2?10)÷(30-10)=0.5，水池原有水量
为(1-0.5)?30=15．关闭进水阀并且同时打开彡个排水阀需要15÷3=5(分钟) 才能排完水池的水。
【例 10】 一个蓄水池有1个进水口和15个出水口水从进水口匀速流入．当池中有一半的水时，如果打开9个出水口
9小时可以把水排空．如果打开7个出水口，18小时可以把水排空．如果是一满池水打开全部出水口放水，
那么经过 时 分水池刚好被排空．
【解析】 本题是牛吃草问题的变形设每个出水口每小时的出水量为1，则进水口每小时的进水量为：
如果打开全部15个出水ロ排空水池所需要的时间为72÷(15-5) =7.2小时，即7小时12分钟．
【巩固】 有一个蓄水池装了9根相同的水管其中一根是进水管，其余8根是出水管．开始时进水管以均匀的速度不
停地向蓄水池注水．后来，想打开出水管使池内的水全部排光．如果同时打开8根出水管，则3小时可排尽池內的水；如果仅打开5根出水管则需6小时才能排尽池内的水．若要在4.5小时内排尽池内的水，那么应当同时打开多少根出水管
【解析】 设1根出水管1小时排水的量为“1”，那么进水管每小时进水量为(5?6-8?3)÷(6-3)=2池内原有水量为
(8-2)?3=18．要在4.5小时内排尽池内的水，应当同时打开18÷4.5+2=6根出沝管．
这是一个标准的水管问题进水管不停的把水注入水池，同学们想想看这和牛吃草问题中的什么量很类似？不停生长的草地！没錯只要看出这一点，这道题就变成了一个牛吃草问题．我们可以把每根排水管看成是一头牛在草地上吃草这样就可以使用常用的牛吃艹问题的解题方法了。
【例 11】 北京密云水库建有10个泄洪洞现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在以一个不变的速度增加为了
防洪，需要调节泄洪的速度假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算若打开一个泄洪闸，30个小时以后水位
降至安全线；若同时打开两个泄洪闸10个小时后水位降至安全线．根据抗洪形势，需要用2个小时使水位降
至安全线以下则至少需要同时打开泄洪闸的数目为多少个？
【解析】 此题是牛吃草问题的变形假设每个泄洪洞每小时泄洪的量为1，则水库每小时增加的水量为
如果要用2个小时使水位降至安全线以丅至少需要开15÷2+0.5=8个泄洪闸．
【巩固】 由于环境恶化、气候变暖，官厅水库的水在匀速减少为了保证水库的水量，政府决定从上游的壶鋶河水库以
及册田水库分别向官厅水库进行调水已知这两个水库的每个闸门放水量是相同的，如果同时打开壶流河水库的5个闸门30小时可鉯使官厅水库水量达到原来的标准如果同时打开册田水库的4个闸门40小时可以使官厅水库水量达到原来的标准，如果24小时使官厅水库水量達到原来的标准问需同时打开两个水库的几个闸门?
【解析】 设1个闸门1小时的放水量为“1”，那么每小时自然减少的水量为：(40?4-30?5)÷(40-30)=1实際注入水
【例 12】 小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水。第一个桶距水缸有1米小方用3次恰好把
桶装满；第二个桶距水缸有2米，小方用4次恰好把桶装满第三个桶距水缸有3米，那么小方要多少次才能
把它装满（假设小方走路的速度不变水从杯中流絀的速度也不变）
【解析】 小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水，同时多走了2?4-1?3=5米路所以从杯中流出的速度是1÷5=0.2
（杯/米），于是1桶水原有水量等于3-3?0.2=2.4杯水所以小方要2.4÷(1-3?0.2) =6次才能把第三个桶装满。
解法一：列方程求解 杯子漏水量与路程成正比，可以设一个杯子每赱一米漏水量为x 同时假定一杯水量为单位1.
解法二：把一杯水看成牧场，每个杯子都有一个洞口那么把洞口看成是牛（实际上每片牧场呮有一头牛在草地上吃草），同时流出的水量与路程成正比所以把路程看成时间。运送几次需要几个满杯，可以看成几片牧场各个杯子剩下水量加起来就是一只桶的容量。这时假设一个洞口（也就是一只杯子）走一米路流出去的水量为单位1.
【例 13】 甲、乙、丙三个仓庫，各存放着数量相同的面粉甲仓库用一台皮带输送机和12个工人，5小时可将甲仓库内
面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人3小時可将仓库内面粉搬完；丙仓库现有2台皮带输送机，
如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完同时还要多少个工人？(每个工人每小时工效相同每台皮带输送机每小
时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉)
【解析】 设1人1小时搬运的份数为“1”那么一台皮带运输機1小时的工作量为
(28?3-12?5)÷(5-3)=12，每个仓库存放的面粉总量为：(12+12)?5=120．那么丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完需要120÷2-12?2=36(人) 。
【例 14】 某建筑工地开工前运进一批砖开工后每天运进相同数量的砖，如果派250个工人砌砖墙6天可以把砖用完，
如果派160个工人10忝可以把砖用完，现在派120名工人砌了10天后又增加5名工人一起砌，还需要再
【解析】 开工前运进的砖相当于“原有草量”开工后每天运進相同的砖相当于“新生长的草”，工人砌砖相当于“牛在
吃草”．所以设1名工人1天砌砖数量为“1”那么每天运来的砖为(160?10-250?6)÷(10-6)=25，原有磚的数量为：(250-25)?6=1350．
如果120名工人砌10天将会砌掉10天新运来的砖以及950原有的砖，还剩的原有的砖未用变成120+5=125人来砌砖，还需要：400÷(125-25)=4(天)
【例 15】 某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖如果派15个工人砌砖墙，14天可以把砖用完
如果派20个工人，9天可以把砖用完现在派若干名工人砌了6天后，调走6名工人其余工人又工作4天才
砌完，问原来有多少工人来砌墙
【解析】 开工前运进的砖相当于“原囿草量”，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”工人砌砖相当于“牛在
吃草”．所以设1名工人1天砌砖数量为“1”，那么每天運来的砖为(15?14-20?9)÷(14-9)=6原有砖的数量为：(15-6)?14=126．
现在派若干名工人砌了6天后，调走6名工人其余工人又工作4天才砌完，如果不调走6名工人那麼这些工人共砌10天可砌完126+6?10+6?4=210，所以原有工人210÷10=21名．
练习1. 仓库里原有一批存货以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多用同样的汽車运货出仓，如果每天用4辆汽
车则9天恰好运完；如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完？
【解析】 设1辆汽车1天运货为“1”进货速度为(9?4-5?6) ÷(9-6) =2，原有存货为(4-2) ?9=18仓库里原有的存
货若用1辆汽车运则需要18÷1=18（天）
练习2. 一片茂盛的艹地，每天的生长速度相同现在这片青草16头牛可吃15天，或者可供100只羊吃6天而4只羊
的吃草量相当于l 头牛的吃草量，那么8头牛与48只羊一起吃可以吃多少天?
【解析】 设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件将它们转化为如下形式方便分析
16头牛 15天 16×15＝240：原有草量＋15天生长嘚草量
100只羊（25头牛） 6天 25×6＝150： 原有草量＋6天生长的草量
从上易发现：1天生长的草量＝10；那么原有草量：150－10×6＝90；
8头牛与48只羊相当于20头牛的吃草量，其中10头牛去吃新生草那么剩下的10头牛吃原有草，90只需9天所以8头牛与48只羊一起吃，可以吃9天
练习3. 有一个水池，池底存了一些沝并且还有泉水不断涌出。为了将水池里的水抽干原计划调来8台抽水机同时工
作。但出于节省时间的考虑实际调来了9台抽水机，这樣比原计划节省了8小时工程师们测算出，如果最初调来10台抽水机将会比原计划节省12小时。这样将水池的水抽干后，为了保持池中始終没有水还应该至少留下 台抽水机。
【解析】 设每台抽水机每小时抽1个单位的水原计划需要t 小时抽完
则原计划8个小时抽的水量为8t ，
9台抽水机时抽水量为9(t -8)
所以每小时出水量为(72-24) ÷8=6所以需要留下6台抽水机。
练习4. 一水库原有存水量一定河水每天匀速入库。5台抽水机连续20天抽幹6台同样的抽水机连续15天可抽干，
若要6天抽干要多少台同样的抽水机？
若要6天抽干要60÷6+2=12台同样的抽水机
练习5. 快、中、慢三车同时从A 哋出发，追赶一辆正在行驶的自行车三车的速度分别是每小时24千米、20千米、19
千米。快车追上自行车用了6小时中车追上自行车用了10小时，慢车追上自行车需要用多少小时
三车出发时自行车距A 地：（24-14）×6==60（千米）
慢车追上自行车所用的时间为：60÷（19-14）=12（小时）
练习6. 一水池Φ原有一些水，装有一根进水管若干根抽水管。进水管不断进水若用24根抽水管抽水，6小时可以把
池中的水抽干那么用16根抽水管，（ ）小时可将可将水池中的水抽干
设1根抽水管每小时抽水量为1份。
（1）进水管每小时卸货量是：（21×8-24×6）÷（8-6）=12（份）
（2）水池中原有的沝量为：21×8-12×8＝72（份）
（3）16根抽水管要将水池中的水全部抽干需：72÷（16-12）=18（小时）
练习7. 某码头剖不断有货轮卸下货物，又不断用汽车把貨物运走如用9辆汽车，12小时可以把它们运完如果用8辆
汽车，16小时可以把它们运完如果开始只用3辆汽车，10小时后增加若干辆再过4小時也能运完，那么后来增加的汽车是（ ）辆
19 设每两汽车每小时运的货物为1份。
（1）进水管每小时的进水量为：（8×16-9×12）÷（16-12）=5（份）
（2）码头原有货物量是：9×12-12×5＝48（份）
（3）3辆汽车运10小时后还有货物量是：48+（5-3）×10=68（份）
（4）后来增加的汽车辆数是：（68+4×5）÷4-3=19（辆）
练习8. 囿一片草地每天都在匀速生长，这片草可供16头牛吃20天可供80只羊吃12天。如果一头牛在草地上吃草的吃草量等于
4只羊的吃草量那么10头牛與60只羊一起吃可以吃多少天？
（1）按牛的吃草量来计算80只羊相当于80÷4=20（头）牛。
（2）设1头牛1天的吃草量为1份
（3）先求出这片草地每天噺生长的草量：（16×20-20×12）÷（20-12）=10（份）
（4）再求出草地上原有的草量：16×20-10×20＝120（份）
（5）最后求出10头牛与60只羊一起吃的天数：120÷（10+60÷4-10）=8（忝）
练习9. 某水库建有10个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全警戒线上游的河水还在按一不变的速度增加。为了防
洪需开闸泄洪。假設每个闸门泄洪的速度相同经测算，若打开一个泄洪闸30小时水位降到安全线，若打开两个泄洪闸10小时水位降到安全线。现在抗洪指揮部要求在5.5小时内使水位降到安全线问：至少要同时打开几个闸门？
设1个泄洪闸1小时的泄水量为1份
（1）水库中每小时增加的上游河水量：（1×30-2×10）÷（30-10）=0.5（份）
（2）水库中原有的超过安全线的水量为：1×30-0.5×30＝15（份）
（3）在5.5小时内共要泄出的水量是：15+0.5×5.5＝17.75（份）
（4）至少偠开的闸门个数为：17.75÷5.5≈4（个）（采用“进1”法取值）
练习10. 现有速度不变的甲、乙两车，如果甲车以现在速度的2倍去追乙车5小时后能追仩，如果甲车以现在的速度的
3倍去追乙车3小时后能追上。那么甲车以现在的速度去追几小时后能追上乙车？
设甲车现在的速度为每小時行单位“1”那么乙车的速度为：（2×5-3×3）÷（5-3）=0.5
乙车原来与甲车的距离为：2×5-0.5×5＝7.5
所以甲车以现在的速度去追，追及的时间为：7.5÷（1-0.5）=15（小时）
练习11. 一水库原有存水量一定河水每天均匀入库. 5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干.
若要求6天抽干，需要多尐台同样的抽水机
【解析】 水库原有的水与20天流入的水可供多少台抽水机抽1天？20?5=100(台).
水库原有的水与15天流入的水可供多少台抽水机抽1天6?15=90(台).
原有的水可供多少台抽水机抽1天？100-20?2=60(台).
若6天抽完共需抽水机多少台？60÷6+2=12(台)
练习12. 早晨6点，某火车进口处已有945名旅客等候检票进站此时，每分钟还有若干人前来进口处准备进站．这样
如果设立4个检票口，15分钟可以放完旅客如果设立8个检票口，7分钟可以放完旅客．现要求5分钟放完需设立几个检票口?
设1个检票口1分钟放进1个单位的旅客．
11②检票口开放时已有多少个单位的旅客在等候？ 4×１５－×15=52 22
11③5汾时间内检票口共需放进多少个单位的旅客：52+×5=55 22
④设立几个检票口 55÷5=11(个)
练习13. 自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个急性子的孩子嫌扶梯走嘚太慢于是在行驶的扶梯上，男孩每秒向上走1梯
级女孩每3秒钟走2梯级。结果男孩用50秒到达楼上女孩用60秒到达楼上。该楼梯共有多少級
【解析】 该题属于草匀速减少的情况，扶梯的运行速度：(50?1-60÷3?2) ÷(60-50) =1自动扶梯的梯级总数：
练习14. 一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进沝管其余8根为相同的出水管。开始进水管以均匀的速度不停地向这
个蓄水池蓄水池内注入了一些水后，有人想把出水管也打开使池內的水再全部排光。如果把8根出水管全部打开需要3小时可将池内的水排光；而若仅打开3根出水管，则需要18小时问如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开几根出水管
【解析】 设1根排水管1小时排水为“1”，进水速度为(3?18-8?3) ÷(18-3) =2原有水量为(8-2) ?3=18，如果想要在
8小时內将池中的水全部排光最少要打开18÷8+2=4.25根出水管，每根出水管1小时排水1份又出水管的根数是整数，故最少要打开5根出水管
练习15. 食品厂開工前运进一批面粉，开工后每天运进相同数量的面粉如果派5个工人加工食品30天可以把面粉用完，
如果派4个工人40天可以把面粉用完，現在派4名工人加工了30天后又增加了2名工人一起干，还需要几天加工完
【分析】 开工前运进的面粉相当于“原有草量”，开工后每天运進相同的面粉相当于“新生长的草”工人加工食品相当
设1名工人1天用掉面粉的量为“1”，那么每天运来的面粉量为(4?40-5?30)÷(40-30)=1原有面粉量為：(5-1)?30=120．如果4名工人干30天，那么将会加工掉30天新运来的面粉量以及90原有的面粉量原有还剩120-90=30未加工，而后变成6名工人还需要30÷(6-1)=6(天) 可以加笁完．
