关于反常积分如何计算的做法，以及以这两题为例求解！谢谢！

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-02-28 10:58 标签： 反常积分

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关于反常积分和被积函数的关系
反常积分收敛 被积函数不一定趋于0（X趋于正无穷时）.若被积函数趋于0 （x趋于正无穷）反常积分一定收敛吗?若被积函数趋于无穷（x趋于正无穷）,被积函数一定发散么?

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第一问题的答案应该是不一定,譬如无界函数积分限内的瑕点,虽然当 x 趋于正无穷时,可以取到被积函数趋于0,但当 x 取得瑕点的时候,被积函趋于无穷.
例如：求 f(x)=1/x^2 在[-1,正无穷)的定积分.x 趋于正无穷时,被积函数 f(x) 趋于 0,符合你描述的情况,但他是发散的.如果没考虑到瑕点贸然求定积分得到一个原函数 -(1/x),在积分域[-1,正无穷]求值,得到结果是 -1,这是错误的,因为在积分域内有一点 x=0 使得被积函数趋于无穷大,所以要分[-1,0)U(0,正无穷)两个区别分别求定积分,再求和得到结果,只有两个区间的各自积分都收敛时,才是收敛的.实际上,通过简单计算就可发现,在[-1,0)的区别积分是发散的,所以后一个就不用求了,整体发散.
你的后一个问题我不清楚,但粗略分析一下,x 趋于正无穷,而 f(x) 也趋于正无穷,他们围成的面积也趋于无穷大,所以估计这种积分是发散的.
不好意思 我没有说清楚~我说的反常积分是没有别的瑕点的~这种情况下上述问题该怎么分析呢？
没有瑕点也不一定收敛。如 对被积函数 f(x)=1/x 在 [1,正无穷)求定积分，此函数在 x 趋于正无穷时，f(x) 趋于0，符合你描述的情况，且积分区间内也没有瑕点，但他的积分却是发散的。他的一个 原函数是 lnx，在[1,正无穷)求结果是无穷大。
谢谢你 还有一个问题~ 定理见图片 为什么被积函数趋于0 却不符合这个定理呢？麻烦您解释一下~谢谢

是的,第一类曲面积分与定积分,重积分类似,也有相同的奇偶对称性.第二类(对坐标的曲面积分)则不具备一般的奇偶对称性,而是相反的,因为假如被积函数是奇函数,则在两片曲面上的符号相反,而把曲面积分转换成二重积分的时候,前面也要分别加上正负号,所以恰好两片上的积分相等,同理偶函数在两片曲面上的积分互为相反数.…… 再答： ?

有点乱!能放图片就更好了不过这里跟你说一下!其实上下限对调的话!运算过程中也就只相差一个“-”号!结果是一样的!可能你的做法和答案的做法都没错!只要你算出来!而且符号没搞错!可能就没错的了!你看这里：d/dx∫sinu^2(-du),有个(-du）可能你做的时候“-”没弄上去,所以搞得上下限不一样!

既然是逆时针的,那么就-3/4pi到1/4pi.至于为什么,你把每个t对应的(x,y)画出来就知道运动的趋势了.

奇函数关于原点对称所以y轴左边和右边对应的趋于一个三x轴上方,一个在x轴下方所以面积一正一负,正好抵消所以积分=0

对二重积分而言,有类似函数奇偶性的性质.但你的提法不对.如果积分区域是轴对称,在对称点的函数值绝对值相等符号相反,则积分为0.如果对称点的函数值相同,则积分值等于在一半区域上积分的二倍.D={(x,y): x^2+y^2小于等于2x}的对称轴是X轴,积分是否为0还得看被积函数是什么,并且是否符合上述给定的条件. 再问：

积分区域：不懂再问,明白请采纳. 再问： 这个我知道 后面就不会了 再答： 哪一行？再问： 过程不会 思路懂再问： 刚学的二重积分 不好意思啊 再答： 把书上的例题好好研究。仔细钻研，不懂可以问我。(ˇ?ˇ）再问： 已研究 课本例题少 没有这个题型 so... 再答： 你们学校的图书馆里肯定有相关的课外书的。

当题目中同时具备积分区域的对称性和被积函数的奇偶性时,往往可以化简积分过程.本题中,被积分区域分别关于x轴和y轴对称；被积分函数函数关于x和y都是偶函数.设D1：0≤x≤1,0≤y≤1∫∫(D)︱︱x︱+︱y︱-1︱dσ=4∫∫(D1)︱x+y-1︱dσ=4{∫(0,1)∫(0,1-x)[-x-y+1]dxdy+∫(0

不管几重积分只要被积函数是奇函数,并且积分区间关于原点对称,结果都为0.

那不是曲顶柱体的体积吗 再问： 对面积的曲面积分，只是曲面 再答： 这个应该叫第一型曲面积分 考研数学一里面的吧， 就是把三重积分化为了二重积分而已。 就好比一个平面被扭曲了，实质上是伪三重积分 可以化成二重积分的。 用一代 二换 三投影的方法就行了

对的,变上限积分就是这样求导的,脱掉积分符号,直接把x带入就可以了

看来你概念没搞清楚,首先这不是定积分,而是广义积分（反常积分）,x=0是一个瑕点（无穷间断点）,但是并不代表广义积分发散,是否发散或收敛要通过计算后看右边的极限是否都存在才能判断的!详细解答如下：

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