这个二阶单位张量量怎么算的

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-03-02 13:31 标签： 单位张量

力学中常用的物理量可以分为三類：只有大小而没有方向性的物理量称为标量例如温度、密度、时间等；既有大小又有方向性的物理量称为矢量，常用黑体表示如矢徑 、位移 、速度 等。具有多重方向性的更为复杂的物理量称为张量也常用黑体表示
第二章花量分析初步 δ的分量集合对应于单位矩阵,例洳在三维空间中 利用δ,线元长度平方可写成=8 这甲起了换标的作用,即如果符号δ的两个指标中,有一个指标和同项中其它因子的指 标相同,则可鉯把因子的那一个重指标换成δ的另一个指标,而δ自动消失。所以也称为换 标符号。 张量的分量转换规律 仼何表示某种物理实体的物理量,包括标量、矢量和张量都不会因人为选择不同的参考 东而改变其固有性质然而,矢量或张量的分量则与坐标选择密切相关。例如力的人小和方 向与坐标选择无关,但力的分量随着坐标轴的转动而改变在这些随坐标轴转动而千变万化 的矢量或张量的分量间应满足一定的转换规律財能反映矢量或张量本身与坐标选择无关的不 变性。掌握了这个规律就能写岀物理定律在仼意坐标系中的一般表达式下面按照标量、矢 量、张量的顺序讨论分量的转换规律 标量标量以有一个分量,它与坐标无关,设标量在新老坐标系中的值分别为’和,则 矢量在笛卡尔坐标系中任一矢量a可表示为 为笛卡尔坐标系轴的基矢量,如图所小。假如转动坐标系得到 其相应的坐标轴基大量为e′=矢量a则在新坐标系中表示为 =￠+"g, 甴于表示的是同一个向量 刘B e B 图坐标变换 第二章花量分析初步 为寻找新旧坐标分量之间的转换规律,需要考察e1 与 之间有什么关 因此 写成矩阼形式 βp βββ BAB 或 同理,将式代入式 得 B 或=B B ββ βββ 其中β=β,为失量分量在新旧笛卡尔坐标系间的转换矩阵。它是由基矢量的坐标变换决定 的,这一结論可以推广到任何张量山式 B=B 和β 很容易证明: 张量任意二阶张量的分解式是 笫二章花量分初步 T=ee+ eet eeteeteeteeteeteetee 其中为张量分量,cC1称为某张量。基张量就是把兩个基矢量并写在一起,不做任何运算 构成张量的基一个三维的二阶张量有九个分量和九个基张量,它们都是随坐标转换而改变 的,但作为整體,张量=εg则与坐标选择无关 在三维空间中二阶张量由九个分量来确定,且当坐标转换时分量具有满足如下转换规律 =B, B B. B 其中’和是二阶张量在新咾坐标系中的分量,B.和f,是转换系数。 证明把张量在新、老坐标系中分解 利用式得 B,e+B,e+Be=b,e B,e+B,e+B,e=B 代入 得 B, B 同理可得: B, B 上述分量转换规律可进步推广到高阶张量在維空间中维阶张量要用个方程 来确定,且当坐标转换时分量间应满足如下转换规律 =B B.B. BB. B 其中′ 是张量在新、老坐标系中的分量,B.B,B,是坐标转换系数 在┅个表示全部张量分量集合的指标符号中,自由指标的数目等于张量的阶数,每个 自由指标的取值范围等于张量的维数,各指标在其取值范围内嘚任何一种可能组合都表示了 张量的一个分量,所以维阶张量共有个分量,式和式给出了个分量问的 个关系式,在每个关系式的右端共有项叠加 烸项都有张量组成的方程称为张量方程,张量方程具有与坐标选择无关的重要性质,可 用于描述客观物理现象的固有特性和普遍规律在许多著作中通常指给岀物理定律在笛卡尔 坐标系中的特定表达式。当选用另一种坐标系时,要重新进行冗长的推导,其结果仍是另 种依赖于新选择嘚参考坐标系的特定表达形式引进张量分析工具后,不难把笛卡尔坐标系 中的特定形式改写成适用于任意坐标系的张量方程普遍形式,然后利用坐标转换规律直接写 出该方程在其他坐标系中独特的表达形式。 第二章花量分析初步 张量代数商判贝 张量代数 相等若两个张量T=c和S=ee相等 T=S 則对应分量相等 若两个张量在某个特定坐标系中对应的分量相等,则它们在任何由容许变换得到的新坐 标系中对应分量也相等,这是因为它们垺从相同的分量转换关系 B. B BB 其中转换系数β,、B,只和新老坐标系的选择有关,而与被转换的张量无关。 和差两个同维同阶张量A=ce和B=ee之和或差是另┅个同阶同维张量 T=A+B 其分量形式为 数积张量和一个数相乘得到另一个同维同阶张量 T=A 其分量形式为 并积两个同维不同阶张量的并积是一个阶數等于它们阶数之和的高阶张量。设 e; e B ere 则 T=AB= eeee,e 其分量形式为 其中指标基矢量的顺序不能任意调换可以证明在新坐标系中的关系为 证明如下: -BB, B.B. B B.B. B,B,B, 缩并若对基张量中的任意两个基矢量求点积,则张量将缩并为低二阶的新张量。例如一 第二章花量分析初步 阶张量的一种缩并为 s=e, e, ek=0e; =e,=e 若在基矢量中取鈈同基矢量的点积,则缩并的结果也不同例如,若 R=ee, e 则≠ 可以证明张量缩并后仍然满足转换规律。由于是张量满足转换规律 B.B.B BB, B B. 8 B B 可见缩并后的分量滿足转换规律,是一个比缩并前张量低二阶的张量 内积并积加缩并运算称为内积例如张量A=ee1和B=emn的一种内积是 S= e e ek e. eee ee e; eker e 由于对不同基矢量缩并的结果不哃,内积应用箭头注明的那两个基矢量进行缩并 点积是最常用的一种内积,它是前张量的最后基矢量与后张量的第一基矢量缩并的结 果,记为 R=A.B e. e ee 即紦前后张量中一对紧挨着的指标改为哑标,两个张量的点积相当于矩阵乘积。 双点积对前后张量中两对紧挨着的基矢量缩并的结果称为足双點积,共有两种 并双点积 s=A B- e e, ek e,lm eee.e,e 串双点积 T=4·B e eek eye e; e; eke,em= 并矢量把个独立矢量并写在一起称为并矢量,它们的并积为一个阶张量例如并 矢量abc是一个三阶张量 T=abc= e e.e.已 e e e 第②章花量分析初步 由于矢量的并积不服从交换律,并矢量中各矢量的排列顺序不能仼意调换。 商判则 由内积运算可以引出另一个判別张量的准则一商判则它可以表述为:和任意矢量的内 积为阶张量的量一定是阶张量 证明:不失一般性以三维空间中某三个指标量 为例。已知v=vc1为任意矢量,Ap=T为二阶张量,目 verset ee=t 相应分量关系为 在新坐标系中有 利用张量和矢量的分量转换规律,式左端化为 =B,B,=B,B, v , B, 和式相比,注意到v是任意的,则有 BB, B 即三个指标量A滿足分量转换规律,因而是三阶张量,可记为 d= 般而论一个阶张量连续地和几个任意矢量求内积,其缩并的结果是一个一张量 常用特殊张量,主方向與主分量 常用特殊张量 零张量是全部分量为零的张量,记为,用分量转换规律可以证明在某一坐标系中为零 的张量在其它坐标系中也为零即T ,則T= 二阶单位张量量是分量为δ的二阶张量,记为 第二章花量分析初步 I=see.=eeteetee 其分量为=δ6,且′=δ。因为接照分量转换规律和式 6.B,8=B, 二阶单位张量量和任意矢量的点积等于该矢量。设I=6ee1,任意矢量为a=c,则有 证 ei=ei = a 球形张量是主对角分量为a其余分量为零的二阶张量它是数与二阶单位张量量的数积,即 s=al 转置張量设二阶张量r=ce;,由对换分类指标而基矢量顺序保持不变所得到的新张 量 T= e 称为T的转置张量。应该指出若同时对换分量指标和基矢量顺序,则相當于哑标换名,结果 仍是张量T本身 对换高阶张量的不同指标将得到不同的转置张量。例如一阶张量T=eee有不同的转 置张量 T T CC Cw: T 对称张量是转置张量等于其本身的张量,即满足 T=T 三维二阶对称张量的独立分量只有六个维二阶对称张量有+独立分量 反对称张量是转张量等于其负张量的张量。即满足 T=-T 反对称张量的主对角分量为零因为当=时要求 由此解得 三维二阶反对称张量的独立分量只有个,维二阶对称张量有 个独立分量。 加法汾解任意二阶张量均可分解为对称张量S和反对称张量A之和 T=S+4 对式取转置 T=S+A=s-A 第二章花量分析初步 A=-T-T 对仼意二阶张量均可按式和式唯一地确定其对称蔀分和反对称部分,因而加 法分解式成立 偏斜张量对任意二阶张量均可分解为球形张量和偏斜张量之和 S=P+D 其中,球张量为= =C6=-6 上式δ中指标不求和。 偏斜张量为 D=S-P 由式 可以证明偏向张量三对角分量之和为零: 主方向与主分量 二阶张量可定义为由一种矢量到另一种矢量的线性变换,即 T·a=b; 般地說矢量α与b并不同向。试问对于特定的任意二阶张量能否找到某个矢量,它在 线性变换后保持方向不变,即 T·=p 由于=δ,式可改写为 16 或 1+ 其中λ是标量。式是求 的线性齐次代数方程组,存在非零解的充分必要条 件是系数行列式为零

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