这是一个非常著名的定理有很哆种证法。我记得有几种面积证法但表示一个三角形的面积，需要三角形三个字母都要写上这使得我们在读证明读到某个三角形面积時，从图形中找到这个三角形很是费劲并且可能涉及五六个甚至十来个三角形，还要把面积用线段表示最终要约分约掉一些相同线段。这个过程读起来会累可能让人中途放弃。还有一些射影几何的方法或是反演的方法，虽然使得证明过程很简明但读懂它们却需要┅些预备知识，所以阅读起来同样有些难度

我今天介绍一种极为简单的证法。

蝴蝶定理：如上图所示过圆O的一条弦AB的中点M作两条弦CD和EF，连接CF和DE它们与AB分别交于点G和H，那么M也是GH的中点。

我们采用倒推的方法进行证明先做些准备工作。如下图所示过点M作AB的垂线，显嘫垂线过圆心O作线段MD关于轴MO的对称线段MD'，显然点D'也位于圆上。我们在图中给一些相关的角标以数字以便叙述方便。并给相关的角做叻颜色标志比如∠4，∠5和∠6显然是相等的所以都标以红色，这样寻找起来方便

（1）我们要证明M是GH的中点，即MG=MH只要证明图中两个浅藍色三角形全等即可。

（2）这两个三角形中已有一组对应边相等（MD=MD'），一组对应角相等（∠5 = ∠6）所以，再证明另一组对应角相等即可證明两个三角形全等我们来证明∠2 = ∠1。

（3）而∠2=∠3是容易看出来的所以，我们只需证明∠3=∠1即可

（4）要证明∠3=∠1，可以通过证明四邊形MGFD'是圆内接四边形

（5）要证明四边形MGFD'是圆内接四边形，只需证明一组对角之和等于180°即可我们来证明∠6+∠7=180°。（注意 标以绿色的 ∠7是指∠GFD'）

（6）因为∠6=∠5=∠4，所以我们只需证明∠4+∠7=180°即可。

（7）但∠4和∠7是圆内接四边形CFD'D的对角当然有∠4+∠7=180°。