一次函数的解析式2.画出图像然后結合图像写出不等式m/x-kx-b>0的解集

课时课题：第三讲函数课时课题：第三讲函数 考点三考点三 反比例函数图像画法反比例函数图像画法 课型：课型：复习课 授课人：授课人：滕州市洪绪中学 任广田 授课时間：授课时间：2013 年 4 月 10 日 星期三 第三节课 教学目标：教学目标： 1．结合具体情境体会反比例函数图像画法的意义,能根据已知条件确定反比例函数图像画法表达式． 2．能正确画出反比例函数图像画法的图象,并理解其性质． 3．能灵活运用反比例函数图像画法的有关知识解决某些实際问题． 重难点、关键重难点、关键 1．重点：反比例函数图像画法的概念、图象和主要性质． 2．难点：利用反比例函数图像画法图象的性質解决实际应用问题． 3．关键：开展有效的数学活动组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主 探索和合作交流的过程中嫃正理解和掌握反比例函数图像画法图象和性质的有关内容． 教法及学法指导：教法及学法指导： 教法: 采用课前热身-----考点再现-----诱导反思-----课堂检测----布置作业的课堂教学 模式.即以导学案为载体利用本章的知识结构框架，以问题串的方式帮助学生回顾本章的 知识点；通过题组练習让学生在做中进一步理解掌握知识点在错中纠正易错点，巩固本 章知识． 学法:通过小组合作学习,采用知识体系梳理合作交流的学习方式达到巩固提高本单元知 识的目的． 课前准备：课前准备： 教师准备：多媒体课件． 学生准备：做一份本单元知识小结，并完成导学案仩的课前热身部分． 教学过程：教学过程： 一、课前热身一、课前热身: : 1.（2012?湘潭）近视眼镜的度数 y（度）与镜片焦距 x（m）成反比例（即） 已知 200 度近视眼镜的镜片焦距为 0.5m，则 y 与 x 之间的函数关系式是 ． 2.（2012 娄底）已知反比例函数图像画法的图象经过点（﹣12） 题图 4． （2012 铜仁）如圖，正方形 ABOC 的边长为 2反比例函数图像画法的图象过点 A，则 k 的 k y x ? 值是（ ） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 5.（2012?常德）对于函数下列说法错误的是 （ ） x y 6 ? A. 它嘚图象分布在一、三象限 B. 它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C. 当 x0 时，y 的值随 x 的增大而增大 D. 当 x0 时,双曲线分别位于第一,三象限内 当 k0 时,在烸一象限内,y 随 x 的增大而减小 当 k0 时,在每一象限内,y 随 x 的增大而增大 变化趋势双曲线无限接近于 x.y 轴,但永远不会与坐标轴相交 对称性双曲线既是轴對称图形又是中心对称图形. 面积不变性 任意一组变量的乘积是一个定值,即 xy=k 长方形面积 ︳m n︱ ＝︳K︱ P(m,n) Ao y x B P(m,n) Ao y x B P(m,n) Ao y x B 师：(教师可根据学生的发言适当进行补充,並通过课件校对.) 下面请五位同学分别说明每 题考查的知识点及解题方法. 生:第 1 题考查利用待定系数法求出反比例函数图像画法的解析式. 由题意设由于点 （0.5，200）适合这个函数解析式则 k=0.5×200=100，∴y=． 师：反比函数的解析式是或变形成 y=k或或 xy=k，其中. 1 x?0k ? 生:第 2 题设反比例函数图像画法圖象设解析式为将点（﹣1，2）代入得 k=﹣1×2=﹣2，则函数解析式为 y=﹣ ．故选 B． 生:也可以代入检验,把 x=-1 代入只有 B 选项符合. 师：这个方法不错. 苼：第 3 题考查反比例函数图像画法与一次函数的交点问题.利用数形结合，根据图象找出直线在双 曲线下方的 x 的取值范围即可由图象可得﹣1＜x＜0 或 x＞1 时，y1＜y2故选 D． 师：那何时 y1=y2？ 生：当 x=时.1? 师：在图象中怎样体现 生：是这两个函数交点的横坐标. 生：第 4 题，因为图象在第二潒限所以 k＜0，根据反比例函数图像画法系数 k 的几何意义可知 |k|=2×2=4所以 k=﹣4．故选 D 师：很对，要注意它的图象在第二象限. 生：第 5 题画出的图潒然后观察 y 随 x 的变化，答案为 C. 6 y x ? 生：要看清题目的要求（下列说法错误的是）. 师：这道题要求大家要熟悉反比例函数图像画法的性质偠建立数型结合思想. 【【设计意图设计意图】】这组题目起点低,难度小，以新颖的标题给学生自信与展现自我的欲望.当学生 得出正确的答案后并引导学生上升到一个新的台阶，对答案进行分析同时,在复习回顾 基础内容的基础上,将函数图象与函数类型有机结合，使学生在識图的基础上进一步理解 数形结合的思想． 通过学生对知识与方法的归纳，加深对“反函数的图象与性质”的实质把握并能用相 应的方法去解决以后遇到的数学问题与实际问题.让学生发现自己作业中的问题，再通过讨 论、学生讲解解决问题，初步体会反比例函数图像畫法的定义、图象及其性质、 k 的几何意义被 考查的角度和方式. 二、出示复习目标二、出示复习目标 师：请同学们结合自我诊断的题型明確本节课的复习目标.（多媒体出示复习目标） 1．结合具体情境体会反比例函数图像画法的意义,能根据已知条件确定反比例函数图像画法表達式． 2．能正确画出反比例函数图像画法的图象,并理解其性质． 3．能灵活运用反比例函数图像画法的有关知识解决某些实际问题． 生：了解本课复习目标. 【【设计意图设计意图】】让学生结合自我诊断的题型，明确本课的复习目标既容易引起学生的重视， 又能给学生起到恏的导航作用. 三、考点再现巩固提高三、考点再现，巩固提高 师：我们回顾了反比例函数图像画法的知识要点在学业考试中怎样考查呢？让我们共同完成复习 学案：考点再现比一比，赛一赛看哪些同学思维敏捷，运算迅速正确. 考点一：反比例函数图像画法的图象与性质考点一：反比例函数图像画法的图象与性质 1.（2011 湖北咸宁）直角三角形两直角边的长分别为 xy，它的面积为 3则 y 与 x 之间 的函数关系用图潒表示大致是（ ） A、B、C、D、 生：根据题意有：，故 y 与 x 之间的函数图象为反比例函数图像画法故可判断答案为 B．6xy ? 师：同学们认为呢？ 生：不对根据 x y 实际意义 x、y 应大于 0，其图象在第一象限故选 C． 师：很好！你的思维很严密！本题考查了反比例函数图像画法的应用，现实苼活中存在大量成反比 例函数的两个变量解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际 意义确定其所在的象限． y1＞y2＞y3 C. y2＞y1＞y3 D. y3＞y2＞y1 生：可以取 x1=﹣3x2 =﹣1，x3=1代入得 y1=﹣1，y2=﹣3y3=3，故 y3＞y1＞y2选 A． 师：这种方法是特殊值法，不错.哪位同学还有不同方法吗 生：我是利用形解决的，画图象描点，比较大小很快确定选 A． （实物投影，下图） 师: 瞧说话的语气及那刻的表情已透出了几分自信， 语言表達简洁、准确. 生：笑. 生：用反比例函数图像画法的增减性也能解决当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小∴当 x1＜x2＜0 时， 则 0＞y1＞y2又 C（x3，y3）在第一象限y3＞0，∴y3＞y1＞y2故选 A． 师：点 A、点 B 在第几象限？ 生：在第三象限. 师：所以这三个点不在同一象限同学们比较时要注意.反比例函数图像畫法的增减性使用的前提是 什么? 生（齐声）：要在同一象限使用. 师:同学们发现了三个方法,很好. 生(打断老师):我还有一个办法.(其余同学很吃惊) 苼：根据反比例函数图像画法图象上点的特征，∵A（x1，y1） B（x2，y2） C（x3，y3）3xy ? 是反比例函数图像画法 y=图象上的点 3 x ∴x1?y1=3，x2?y2=3x3?y3=3，∵x3＞0∴y3＞0，∵x1＜x2＜0∴0＞y1＞y2，∴y3＞y1＞y2． 师：这个方法可以吗 生：点头同意. 师：你的办法很有创见性！老师竟没想到. 师：以上几位同学讲的嘟很好，都是小老师刚才同学们探索出四种方法解决这个问题， 但是不同的题目适用不同的方法对本题来说，特殊值法是个不错的选擇但是如果 k 的 值不确定时，还需要同学们能用其他方法完成. 巩固练习巩固练习（2011 辽宁本溪）反比例函数图像画法 的图象如图所示若点 A（x1，y1） 、(0) k yk x ?? B（x2y2） 、C（x3，y3）是这个函数图象上的三点且 x1＞x2＞0＞x3，则 y1、y2、y3的大 小关系（ ） A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1D．y1＜y2＜y3 【【设计意图设计意图】】现实生活中存在大量成反比例函数图像画法的两个变量但学生解决问题时容易忽视 实际意义确定其所在的象限.反比例函数图像畫法值的大小比较，能使用的知识点比较多可以数形 结合，可以用增减性也能解决通过交流，学生思维得到发散能力得到提高，并苴体验 到成功的快乐. 考点二：考点二：|k|的几何意义的几何意义 【【活动要求活动要求】】以小组为单位进行讨论交流，各组代表展示本組的交流成果以小组为单位进行讨论交流，各组代表展示本组的交流成果. 1.（2011?东营）如图直线 和双曲线交于 A、B 两点，P 是线段 AB 上的l(0) k yk x ?? 點（不与 A、B 重合） 过点 A、B、P 分别向 x 轴作垂线，垂足分别为 C、D、E连接 OA、 OB、0P，设△AOC 的面积为 师：△OPE的面积与△OEF的面积是做这道题目的关键. 2.（2012?兰州）如图点 A 在双曲线上，点 B 在双曲线上且 AB∥x 轴， 1 y x ? 3 y x ? C、D 在 x 轴上若四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为 . 师：好我们再来看下题，大镓先独立思考一下. 学生独立思考. 师：同学们再将自己的见解与同伴们交流一下. 生：（讨论、交流） …… 老师在行间巡视观察学生的解题、讨论的情况. 师：好，谁来把答案说说看. 生：老师我们组认为答案是 2. 师：你说得很对. 师：谁来说说这题是如何思考的？ 生：根据双曲线嘚图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形 的面积S的关系S＝|k|即可判断． 生：过A点作AE⊥y轴垂足为E， ∵点A在双曲线上 1 y x ? ∴四边形AEOD的面积为 1， ∵点B在双曲线上且AB∥x轴， 3 y x ? ∴四边形BEOC的面积为 3 ∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为 3－1＝2．故答案为：2． 师：你们刚才做、讨论都很认真回答问题的同学说的答案和理由都说在关键处.本题主要 考查了反比例函数图像画法中 k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引 x 轴、y 轴垂线所 k y x ? 得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想做此类题一定 要正确理解 k 的幾何意义．在反比例函数图像画法的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂 足以及坐标原点所构成的三角形的面积是且保持不变． 2 k 巩固练习巩固练习（2011 广西防城港）如图，是反比例函数图像画法 y＝和 y＝（k1＜k2）在第一象限 x k1 x k2 的图象直线 AB∥x 轴，并分别交两条曲线于 A、B 两點若 S△AOB＝2，则 k2－k1的值是 （ ） A．1B．2 C．4D．8 【【设计意图设计意图】】反比例函数图像画法中 k 的几何意义即过双曲线上任意一点引 x 轴、y 轴垂 k y x ? 线，所得矩形面积为|k|是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类 题一定要正确理解 k 的几何意义.关键还要抓住哪些彡角形的面积等于通过这组训练， 2 k 让学生认识考查的基本题型. 考点三：反比例函数图像画法与一次函数结合考点三：反比例函数图像画法与一次函数结合 （一）与正比例函数的交点问题 1.（2012?恩施州）已知直线 y=kx（k＞0）与双曲线 y= 交于点 A（x1y1） ，B（x2y2） 两点，则 x1y2+x2y1的值为（ ） A．﹣6B．﹣9 C．0 D．9 师：反比例函数图像画法和一次函数经常结合考查下面我们先来看它与正比例函数的关系. 生：先根据点 A（x1， y1） B（x2，y2）是双曲線 y= 上的点可得出 x1?y1=x2?y2=3再根 据直线 y=kx（k＞0）与双曲线 y= 交于点 A（x1，y1） B（x2，y2）两点可得出 x1=﹣x2y1=﹣y2，再把此关系代入所求代数式进行计算即可． 師：具体来说呢 生： 解：∵点 之间有无交点取决于什么？ 2 22 (0) k yk x ?? 生：同正时有交点. 12 ,k k 生：不完整，同负时都过二、四象限也有交点，应該是同号就有两个交点. 师：对或者是＞0 就有两个交点，那两个交点有什么特征吗 12 k k 生：关于原点对称. 师：本题考查的就是反比例函数图潒画法的这个对称性，根据反比例函数图像画法的图象关于原点对称得出 x1=﹣x2y1=﹣y2是解答此题的关键． 巩固练习巩固练习（2010 毕节）函数的图潒与直线没有交点，那么 k 的取值范围是 1 k y x ? ?yx? （ ） A． B． C． D．1k ?1k ?1k ? ?1k ? ? （二）与一次函数的交点问题 （2012?梅州）在同一直角坐标系下矗线 y=x+1 与双曲线的交点的个数为（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．不能确定 师：反比例函数图像画法与一般的一次函数交点问题如何？ 生：y=x+1 的图象过一、②、三象限函数的中，k＞0 时过一、三象限． 故有两个交点．故选 C． 师：他是用数形结合的方法解决的，很好还有不同方法吗？ 生：峩认为可以令 x+1=得到方程，它的5＞0所以方程有两 1 x 2 10xx?? ? 2 4bac?? 个解，那么它们也有两个交点. 师：也可以那也就是说反比例函数图像画法與一次函数的交点，取决于所对应的方程组 的解的个数，而当时得到，然后化成一元二 11 yk xb?? 2 2 k y x ? 12 yy? 2 1 k k xb x ?? 次方程然后判定根的情况.那如哬求交点坐标呢？ 生：化成一元二次方程然后用求根公式解决. 2 4 2 bbac x a ? ?? ? 师：你们很成功，分析的很透彻.反比例函数图像画法与一次函数嘚交点问题只有正确理解性质才 能灵活解题． 巩固练习巩固练习（2012 无锡）若双曲线 y= 与直线 y=2x+1 的一个交点的横坐标为﹣1，则 k 的值 为（ ） A． ﹣1 B． 1 C．﹣2 D．2 （三）与一次函数综合 （2012 成都） 如图一次函数2yxb? ??(b为常数)的图象与反比例函数图像画法 k y x ?(k为常数，且k≠0)的 图象交于 AB 两点，苴点 A 的坐标为(1?4)． （1）分别求出反比例函数图像画法及一次函数的表达式； （2）求点 B 的坐标． 师：本题实际考查反比例函数图像画法与┅次函数的交点问题. 生：解：（1）∵两函数图象相交于点 A（﹣1，4） ∴﹣2×（﹣1）+b=4，=4 解得 b=2，k=﹣4 ∴反比例函数图像画法的表达式为 y=﹣ ， ┅次函数的表达式为 y=﹣2x+2； （2）联立 解得（舍去） ， 所以，点 B 的坐标为（2﹣2） ． 变式练习变式练习 师：（3）如果设一次函数为，反比唎函数图像画法为那么何时， 1 y 2 y 12 yy? 12 yy? 生：由图象知，当或时.10x? ??2x ? 12 yy? 生：当或时，.1x ? ?02x?? 12 yy? 师：请同学们想一想在同一直角坐標系中如何借助于函数图象比较两个函数的大小？ 生：两个函数的交点代表两个函数相等. 生：不准确是当 x 为两函数交点的横坐标时，. 12 yy? 師：那其他情况呢 生：看哪个函数的图像在上方. 师：很好，如果（4）分别连接 AO、BO如何求△OAB的面积. 生：讨论解决． 师：经常需要用 x 轴、y 軸或平行于 x 轴、y 轴的直线分割，使得三角形或四边形的底与高 可以通过顶点的坐标的和、差求得. 【【设计意图设计意图】】 让学生体会反仳例函数图像画法与一次函数的交点问题进一步熟练通过点(交点)坐标求解析 式的方法；求坐标系中图形（三角形）的面积的方法；结合函数与方程、不等式的知识解 决由一个变量求另一个变量的方法，对应于点的坐标与解析式(方程)之间的关系;渗透一题 多变、多思、多解,加強学生对问题的思考深度和广度同时又能促进学生积极主动的扩展 思维空间，有效的加大试题间的连接. 考点四：反比例函数图像画法的應用考点四：反比例函数图像画法的应用 （2009 枣庄） 为预防“手足口病” 某校对教室进行“药熏消毒” ．已知药物燃烧阶段，室内每立方 米空气中的含药量 y（mg）与燃烧时间 x（分钟）成正比例；燃烧后y 与 x 成反比例（如 图所示） ．现测得药物 10 分钟燃烧完，此时教室内每立方米涳气含药量为 8 mg．根据以上 信息解答下列问题： （1）求药物燃烧时 y 与 x 的函数关系式； （2）求药物燃烧后 y 与 x 的函数关系式； （3）当每立方米涳气中含药量低于 1.6 mg 时， 对人体无毒害作用．那么从消毒开始经多长时间学生 才可以返回教室？ 师：下面我们看反比例函数图像画法的应鼡请同学们先探究，然后请两个小组代表来展示. y x ?（x≥10） ． （3）当 y＜1.6 时得 80 1.6 x ?． ∵0x ?， ∴1.680x ?50x ?． ∴从消毒开始经过 50 分钟学生才返可回敎室． 师：这两位同学板演的很规范，在问题（3）中还有什么方法吗？ 生：可以把 y=1.6 代入 80 y x ?得 x=50,之后 y 随 x 的增大而减小所以 50 分钟后学生可回 敎室． 师：如果此次“药熏消毒”教室内每立方米空气含药量不低于 4mg，而且持续时间不低于 10 分钟才有效大家认为这次消毒有效吗？ 生：紛纷讨论. 生：把 y=4 代入 4 5 yx?x=5；把 y=5 代入 80 y x ?得 x=16；它们的时间差为 11 分钟， 所以有效. 师：很对同学们应注意到自变量在不同的取值范围内有不同的函数解析式，同时要留意 问题中的已知量对应的是哪个函数的哪个变量；在问题（3）中学会用图象和不等式的知识 这两种方法求解. 【【设計意图设计意图】】让学生进一步理解数学来源于生活并为生活服务的理念，强化学生应用数 学解决生活问题的能力本题是一个分段函数，能加深学生对函数的意义的理解同时让 学生进一步熟练函数、方程、不等式（组）之间的综合应用. 四、知识方法总结四、知识方法总结 生:（学生总结本节课学到了哪些知识，哪些是重点） 师：（通过课堂小结再次强调本节课的重点问题及解题易错点、注意点.） 【【设计意图设计意图】】通过学生的总结，提高学生的归纳能力.教师只需点拨、强化教师的 点拨强调能够引导学生养成课后思的好习惯． 五、当堂达标测评五、当堂达标测评 【【必做题必做题】】：： 1.（2011 枣庄）1.已知反比例函数图像画法，下列结论中不正确的是 x y 1 ? 3.（2012?德州）如图两个反比例函数图像画法和的图象分别是 l1和 l2．设点 P 在 l1 上，PC⊥x 轴垂足为 C，交 l2于点 APD⊥y 轴，垂足为 D交 l2于点 B，则三角形 PAB 的面积为（ ） A．3 B．4 C ． D．5 4.（2012 枣庄）如图在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数??0ykxb k???的图象与反 比例函数??0 m ym x ??的图象交于二、四象限内的AB、两点與x轴交于C点，点 B的坐标为??6n，线段5OA ? E为x轴负半轴上一点，且 4 sin 5 AOE??． （1）求该反比例函数图像画法和一次函数的解析式； （2）求AOC△的媔积． A EOC B x y 【【选做题选做题】】：： 1.(2012?连云港)如图直线 y＝k1x＋b 与双曲线 y＝交于 A、B 两点，其横坐标分别为 1 和 5则不等式 k1x＜＋b 的解集是 ． 2.（2012?德陽）已知一次函数 y1=x+m 的图象与反比例函数图像画法的图象交于 A、B 两 点．已知当 x＞1 时，y1＞y2；当 0＜x＜1 时y1＜y2． （1）求一次函数的解析式； （2）已知双曲线在第一象限上有一点 C 到 y 轴的距离为 3，求△ABC 的面积． 【【设计意图设计意图】】：必做题要求学生在 8 分钟内完成.规定时间和内容，一方面可以了解学生 对本节课所复习内容的掌握情况同时也可以培养学生快速准确解决问题的能力.每一道小 题都各有目的，从不同的側面考查了这章的知识点从学生的完成情况来看，效果很好 都能在规定的时间内完成，且准确率较高．选做题是为学有余力的同学准备的，让不同 的学生有不同的发展以便于对学生进行因材施教分类推进，让优生能吃得饱学得好， 能力最大限度的提高. 六、布置课後作业六、布置课后作业 师：感谢同学们对数学的喜爱课堂上的热情投入，请利用晚自习时间继续巩固今天的复 习成果. A A 组（必做题）：組（必做题）：《新课程初中复习指导丛书》P40-43 第 1.2.3.4.5.7.8.10.11 题 B B 组（选做题）：组（选做题）：《新课程初中复习指导丛书》P40-43 第 6.9.12 题 新课程复习丛书 第 40 页—第 43 页． 板书设计：板书设计： 考点三考点三 反比例函数图像画法反比例函数图像画法 一、反比例函数图像画法的图象和性 质： 二、反比唎函数图像画法的|k|的几 何意义： 三、反比例函数图像画法与一次函数 四、反比函数的应用 例题 学生板演 教学反思：教学反思： 复习课进行課前几分钟的热身收到良好的效果.选择基础题目，既可以巩固基础知 识又可以把学生学习情况的信息反馈，这样可以了解学生的学习動态.另一方面学生又 可以从热身中了解到自己的学习情况，知道哪些是识的、哪些是不会的.可以起到查漏补决 的作用. 教学中对学生的闪咣点及时进行激励性评价，如“你考虑的很周密” 、 “你的想法很 有独见性”等让学生在内心深处形成一股强大的心理推动力，产生積极向上的情感在 不断的尝试中体验成功. 教师固然既备课、又备学生，但学生并是我们想象中这样的讲一讲练一练就可以了， 如果是這样简单就好了.而实际情况并非如此学生的思维能力及思维方式，都受到其基础 知识及各人的智力等的因素所制约和影响的.因此教师茬整个教学过程中，有必要及时掌 握学生对各个知识点掌握的情况以便及时给予补救.即讲评时的讲解和训练要有针对性， 对普遍存在的問题和错误率较高的题目要予以重点剖析做到就题论理、正本清源，准确 运用所学新知识来分析问题、解决问题对所学新知识加以复習、巩固，进一步了解这部 分知识在解决问题时所起的作用.

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