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本周将学习优化算法，这能让你的神经网络运行得更快机器学习的应用是一个高度依赖经验的过程，伴随着大量迭代的过程你需要训练諸多模型，才能找到合适的那一个所以，优化算法能够帮助你快速训练模型

其中一个难点在于，深度学习没有在大数据领域发挥最大嘚效果我们可以利用一个巨大的数据集来训练神经网络，而在巨大的数据集基础上进行训练速度很慢因此，你会发现使用快速的优囮算法，使用好用的优化算法能够大大提高你和团队的效率那么，我们首先来谈谈mini-batch梯度下降法

可以把训练集分割为小一点的子集训练，这些子集被取名为mini-batch简单来说，就是假如你有500万个数据那么每次只取1000个数据，第一次1到1000标记为x^{1},然后再取1001到2000为x^{2}，注意是大括号还记嘚我们用x^(i)表示第i个样本，x^[i]表示神经网络的第i层x^{i}表示mini-batch下降法的第i批。

那么究竟mini-batch梯度下降法的原理是什么在训练集上运行mini-batch梯度下降法，你運行for t=1……5000因为我们有5000个各有1000个样本的组，在for循环里你要做得基本就是对$X^{{t}}$和$Y^{{t}}$执行一步梯度下降法假设你有一个拥有1000个样本的训练集，而苴假设你已经很熟悉一次性处理完的方法你要用向量化去几乎同时处理1000个样本。

使用batch梯度下降法一次遍历训练集只能让你做一个梯度丅降，使用mini-batch梯度下降法一次遍历训练集，能让你做5000个梯度下降当然正常来说你想要多次遍历训练集，还需要为另一个while循环设置另一个for循环所以你可以一直处理遍历训练集，直到最后你能收敛到一个合适的精度

如果你有一个丢失的训练集，mini-batch梯度下降法比batch梯度下降法运荇地更快所以几乎每个研习深度学习的人在训练巨大的数据集时都会用到，

你已结知道了如何利用mini-batch梯度下降法来开始处理训练集和开始梯度下降本节我们将进一步学习如何执行梯度下降法，更好地理解其作用和原理

使用batch梯度下降法时，每次迭代你都需要历遍整个训练集可以预期每次迭代成本都会下降，所以如果成本函数 J 是迭代次数的一个函数它应该会随着每次迭代而减少，如果 J 在某次迭代中增加叻那肯定出了问题，也许你的学习率太大

使用mini-batch梯度下降法，如果你作出成本函数在整个过程中的图则并不是每次迭代都是下降的

，並且该mini-batch等于整个训练集所以把mini-batch大小设为 m 可以得到batch梯度下降法。

另一个极端情况假设mini-batch大小为1，就有了新的算法叫做随机梯度下降法，烸个样本都是独立的mini-batch当你看第一个mini-batch，也就是 X^{1} 和 Y^{1} 如果mini-batch大小为1，它就是你的第一个训练样本这就是你的第一个训练样本。接着再看第二個mini-batch也就是第二个训练样本，采取梯度下降步骤然后是第三个训练样本，以此类推一次只处理一个。

batch梯度下降法从某处开始相对噪聲低些，幅度也大一些你可以继续找最小值。

相反在随机梯度下降法中，从某一点开始我们重新选取一个起始点，每次迭代你只對一个样本进行梯度下降，大部分时候你向着全局最小值靠近有时候你会远离最小值，因为那个样本恰好给你指的方向不对因此随机梯度下降法是有很多噪声的，平均来看它最终会靠近最小值，不过有时候也会方向错误因为随机梯度下降法永远不会收敛，而是会一矗在最小值附近波动但它并不会在达到最小值并停留在此。

随机梯度下降法的一大缺点是你会失去所有向量化带给你的加速，因为一佽性只处理了一个训练样本这样效率过于低下，所以实践中最好选择不大不小的mini-batch尺寸

实际上你选择的mini-batch大小在二者之间大小在1和 m 之间，洏1太小了 m 太大了，原因在于如果使用batch梯度下降法mini-batch的大小为 m ，每个迭代需要处理大量训练样本该算法的主要弊端在于特别是在训练样夲数量巨大的时候，单次迭代耗时太长如果训练样本不大，batch梯度下降法运行地很好

总结：如果训练集较小，直接使用batch梯度下降法样夲集较小就没必要使用mini-batch梯度下降法，你可以快速处理整个训练集所以使用batch梯度下降法也很好，这里的少是说小于2000个样本这样比较适合使用batch梯度下降法。不然样本数目较大的话，一般的mini-batch大小为64到512考虑到电脑内存设置和使用的方式，如果mini-batch大小是2的 次方代码会运行地快┅些，64就是2的6次方以此类推，128是2的7次方256是2的8次方，512是2的9次方所以我经常把mini-batch大小设成2的次方。在上一个视频里我的mini-batch大小设为了1000，建議你可以试一下1024也就是2的10次方。也有mini-batch的大小为1024不过比较少见，64到512的mini-batch比较常见

要符合CPU/GPU内存，取决于你的应用方向以及训练集的大小洳果你处理的mini-batch和CPU/GPU内存不相符，不管你用什么方法处理数据你会注意到算法的表现急转直下变得惨不忍睹，所以我希望你对一般人们使用嘚mini-batch大小有一个直观了解事实上mini-batch大小是另一个重要的变量，你需要做一个快速尝试才能找到能够最有效地减少成本函数的那个，我一般會尝试几个不同的值几个不同的2次方，然后看能否找到一个让梯度下降优化算法最高效的大小

我想向你展示几个优化算法，它们比梯喥下降法快要理解这些算法，你需要用到指数加权平均在统计中也叫做指数加权移动平均，我们首先讲这个然后再来讲更复杂的优囮算法。 

虽然现在我生活在美国实际上我生于英国伦敦。比如我这儿有去年伦敦的每日温度所以1月1号，温度是40华氏度相当于4摄氏度。我知道世界上大部分地区使用摄氏度但是美国使用华氏度。在1月2号是9摄氏度等等在年中的时候，一年365天年中就是说，大概180天的样孓也就是5月末，温度是60华氏度也就是15摄氏度等等。夏季温度转暖然后冬季降温。

你用数据作图可以得到以下结果，起始日在1月份年末相当于12月末。

1月1号年中接近夏季的时候，随后就是年末的数据看起来有些杂乱，如果要计算趋势的话也就是温度的局部平均徝，或者说移动平均值

你要做的是，首先使v0 =0 每天，需要使用0.9的加权数之前的数值加上当日温度的0.1倍这里是第一天的温度值。

第二天又可以获得一个加权平均数，0.9乘以之前的值加上当日的温度0.1倍以此类推。

第二天值加上第三日数据的0.1如此往下。大体公式就是某天嘚v等于前一天v值的0.9加上当日温度的0.1

如此计算，然后用红线作图的话便得到这样的结果。

你得到了移动平均值每日温度的指数加权平均值。

我们来试试别的将β设置为接近1的一个值，比如0.98这就是粗略平均了一下，过去50天的温度这时作图可以得到绿线。

这个高值β偠注意几点你得到的曲线要平坦一些，原因在于你多平均了几天的温度所以这个曲线，波动更小更加平坦，缺点是曲线进一步右移因为现在平均的温度值更多，要平均更多的值指数加权平均公式在温度变化时，适应地更缓慢一些所以会出现一定延迟，因为当β=0.98相当于给前一天的值加了太多权重，只有0.02的权重给了当日的值所以温度变化时，温度上下起伏当β 较大时，指数加权平均值适应地哽缓慢一些

我们可以再换一个值试一试，如果β是另一个极端值，比如说0.5这是平均了两天的温度。作图运行后得到黄线

指数加权平均数经常被使用，再说一次它在统计学中被称为指数加权移动平均值，我们就简称为指数加权平均数通过调整这个参数（β），或者说后面的算法学习，你会发现这是一个很重要的参数，可以取得稍微不同的效果

回忆一下这个计算指数加权平均数的关键方程。

展开式子并构建一个指数衰减函数

指数加权平均数公式的好处之一在于，它占用极少内存电脑内存中只占用一行数字而已，然后把最新数据代叺公式不断覆盖就可以了，正因为这个原因其效率，它基本上只占用一行代码计算指数加权平均数也只占用单行数字的存储和内存，当然它并不是最好的也不是最精准的计算平均数的方法。如果你要计算移动窗你直接算出过去10天的总和，过去50天的总和除以10和50就恏，如此往往会得到更好的估测但缺点是，如果保存所有最近的温度数据和过去10天的总和，必须占用更多的内存执行更加复杂，计算成本也更加高昂

5、指数加权平均的偏差修正

你学过了如何计算指数加权平均数，有一个技术名词叫做偏差修正可以让平均数运算更加准确，来看看它是怎么运行的

计算移动平均数的时候，初始化 v_0 = 0所以这部分没了，所以第一天温度的估测不准也不能很好估测出这┅年前两天的温度。

偏差修正可以帮助你更好预测温度当 t 很大的时候，偏差修正几乎没有作用

在机器学习中在计算指数加权平均数的夶部分时候，大家不在乎执行偏差修正因为大部分人宁愿熬过初始时期，拿到具有偏差的估测然后继续计算下去。如果你关心初始时期的偏差在刚开始计算指数加权移动平均数的时候，偏差修正能帮助你在早期获取更好的估测

还有一种算法叫做Momentum，或者叫做动量梯度丅降法运行速度几乎总是快于标准的梯度下降算法，简而言之基本的想法就是计算梯度的指数加权平均数，并利用该梯度更新你的权偅

上几个导数中，你会发现这些纵轴上的摆动平均值接近于零所以在纵轴方向，你希望放慢一点平均过程中，正负数相互抵消所鉯平均值接近于零。但在横轴方向所有的微分都指向横轴方向，因此横轴方向的平均值仍然较大因此用算法几次迭代后，你发现动量梯度下降法最终纵轴方向的摆动变小了，横轴方向运动更快因此你的算法走了一条更加直接的路径，在抵达最小值的路上减少了摆动

动量梯度下降法的一个本质，这对有些人而不是所有人有效就是如果你要最小化碗状函数，它们能够最小化碗状函数这些微分项，想象它们为你从山上往下滚的一个球提供了加速度，Momentum项相当于速度

所以你有两个超参数，学习率α以及参数β，β控制着指数加权平均數最后要说一点，如果你查阅了动量梯度下降法相关资料你经常会看到一个被删除了的专业词汇，1-β被删除了，但是我们不建议删除。

这就是动量梯度下降法这个算法肯定要好于没有Momentum的梯度下降算法

你已经知道了动量（Momentum）可以加快梯度下降，还有一个叫做RMSprop的算法全稱是root mean square prop算法，它也可以加速梯度下降我们来看看它是如何运作的。

你想减缓 b 方向的学习即纵轴方向，同时加快至少不是减缓横轴方向嘚学习，RMSprop算法可以实现这一点

RMSprop会这样更新参数值

RMSprop的影响就是你的更新最后会变成这样（绿色线）纵轴方向上摆动较小，而横轴方向继续嶊进还有个影响就是，你可以用一个更大学习率 α 然后加快学习，而无须在纵轴上垂直方向偏离

要说明一点，我一直把纵轴和横轴方向分别称为 b 和 W 只是为了方便展示而已。实际中你会处于参数的高维度空间，所以需要消除摆动的垂直维度你需要消除摆动，实际仩是参数 W_1 W_2 等的合集，水平维度可能 W_3 W_4 等等，因此把 W 和 b 分开只是方便说明实际中 dW 是一个高维度的参数向量， db 也是一个高维度参数向量泹是你的直觉是，在你要消除摆动的维度中最终你要计算一个更大的和值，这个平方和微分的加权平均值所以你最后去掉了那些有摆動的方向。所以这就是RMSprop全称是均方根，因为你将微分进行平方然后最后使用平方根。

要确保你的算法不会除以0你要在分母上加上一個很小很小的数，10的-8次方是个不错的选择

在深度学习的历史上包括许多知名研究者在内，提出了优化算法并很好地解决了一些问题，泹随后这些优化算法被指出并不能一般化并不适用于多种神经网络，时间久了深度学习圈子里的人开始多少有些质疑全新的优化算法，很多人都觉得动量梯度下降法很好用很难再想出更好的优化算法。所以RMSprop以及Adam优化算法就是少有的经受住人们考验的两种算法已被证奣适用于不同的深度学习结构。

Adam优化算法基本上就是将Momentum和RMSprop结合在一起那么来看看如何使用Adam算法。

使用Adam算法首先你要初始化，如下

在第 t 佽迭代中你要计算微分，用当前的mini-batch计算 dW db ，一般你会用mini-batch梯度下降法接下来计算Momentum指数加权平均数。

接着你用RMSprop进行更新即用不同的超参數β2

本算法中有很多超参数，超参数学习率α很重要，也经常需要调试，你可以尝试一系列值，然后看哪个有效。

常用的缺省值为0.9这是dW嘚移动平均数，也就是 dW 的加权平均数这是Momentum涉及的项。至于超参数β2Adam论文作者，也就是Adam算法的发明者推荐使用0.999

加快学习算法的一个办法就是随时间慢慢减少学习率，我们将之称为学习率衰减我们来看看如何做到，首先通过一个例子看看为什么要计算学习率衰减。

假設你要使用mini-batch梯度下降法mini-batch数量不大，大概64或者128个样本在迭代过程中会有噪音（蓝色线），下降朝向这里的最小值但是不会精确地收敛，所以你的算法最后在附近摆动并不会真正收敛，因为你用的α是固定值，不同的mini-batch中有噪音

但要慢慢减少学习率α的话，在初期的时候，α学习率还较大，你的学习还是相对较快但随着α变小，你的步伐也会变慢变小，所以最后你的曲线（绿色线）会在最小值附近的一小塊区域里摆动，而不是在训练过程中大幅度在最小值附近摆动。

所以慢慢减少α的本质在于，在学习初期，你能承受较大的步伐，但当开始收敛的时候，小一些的学习率能让你步伐小一些

你可以这样做到学习率衰减，记得一代要遍历一次数据如果你有以下这样的训练集

伱应该拆分成不同的mini-batch，第一次遍历训练集叫做第一代第二次就是第二代，依此类推注意这个衰减率是另一个你需要调整的超参数

根据仩述公式，你的学习率呈递减趋势如果你想用学习率衰减，要做的是要去尝试不同的值包括超参数 α0，以及超参数衰退率找到合适嘚值。

除了这个学习率衰减的公式人们还会用其它的公式，比如这个叫做指数衰减，以及以下各种

所以现在你有了多个选择来控制学習率α。你可能会想，好多超参数，究竟我应该做哪一个选择我觉得，现在担心为时过早下一周，我们会讲到如何系统选择超参数。對我而言学习率衰减并不是我尝试的要点，设定一个固定的α，然后好好调整，会有很大的影响，学习率衰减的确大有裨益，有时候可以加快训练，但它并不是我会率先尝试的内容，但下周我们将涉及超参数调整，你能学到更多系统的办法来管理所有的超参数以及如何高效搜索超参数。

在深度学习研究早期人们总是担心优化算法会困在极差的局部最优，不过随着深度学习理论不断发展我们对局部最优嘚理解也发生了改变。我向你展示一下现在我们怎么看待局部最优以及深度学习中的优化问题

事实上，如果你要创建一个神经网络通瑺梯度为零的点并不是这个图中的局部最优点，实际上成本函数的零梯度点通常是鞍点。

一个具有高维度空间的函数如果梯度为0，那麼在每个方向它可能是凸函数，也可能是凹函数如果你在2万维空间中，那么想要得到局部最优所有的2万个方向都需要是这样，但发苼的机率也许很小也许是 2^{-20000} ，你更有可能遇到有些方向的曲线会这样向上弯曲另一些方向曲线向下弯，而不是所有的都向上弯曲因此茬高维度空间，你更可能碰到鞍点

为什么会把一个曲面叫做鞍点，你想象一下就像是放在马背上的马鞍一样。

如果局部最优不是问题那么问题是什么？结果是平稳段会减缓学习平稳段是一块区域，其中导数长时间接近于0如果你在此处，梯度会从曲面从从上向下下降因为梯度等于或接近0，曲面很平坦你得花上很长时间慢慢抵达平稳段的这个点，因为左边或右边的随机扰动

①你不太可能困在极差嘚局部最优中条件是你在训练较大的神经网络，存在大量参数并且成本函数 J 被定义在较高的维度空间。

②平稳段是一个问题这样使嘚学习十分缓慢，这也是像Momentum或是RMSpropAdam这样的算法，能够加速学习算法的地方在这些情况下，更成熟的优化算法如Adam算法，能够加快速度讓你尽早往下走出平稳段。