（蓝色曲线）的导数（切线的斜率）值为1之

的唯一值对比一下，函数

（虚线曲线）和斜率为1、

-截距为1的直线（红色）并不相切

$$，作为数学常数是自然对数函数的底數。有时被称为欧拉数（Euler's number）以瑞士数学家欧拉命名；还有个较少见的名字纳皮尔常数，用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔引进对数。它是一个无限不循环小数数值约是（小数点后20位，?A001113）：

是约翰·纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数呮有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉·奥特雷德制作。第一次把$$看为常数的是雅各布·伯努利，他尝试计算下式的值：

是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以$$表示1727年欧拉开始用$$第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》（Mechanica）虽然往后年日有研究者用字母$$较常用，终于成为标准

表示的确实原因不明，但可能因为$$是“指数”（exponential）一字的首字母另一看法则称$$

是数学中最重要的常數之一。它有几种等价定义下面列出一部分。

$\underset{}{}{\frac{}{}}^{}$

$\underset{}{0}{\frac{}{}}^{}$

为阶乘倒数之无穷级数的和：

$\underset{}{\overset{}{0}}\frac{}{}\frac{0}{}\frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}$

${}_{}^{}\frac{}{}$

$\underset{}{0}\frac{{}^{}}{}$

很多增长或衰减过程都可以用指数函数模拟指数函数${}^{}$的重偠性，在于它是唯一的函数（零多项式函数除外）与自身导数相等（乘以常数最一般的函数形式为${}^{}$

$\frac{}{}{}^{}{}^{}$

${}^{}{}^{}\underset{}{\overset{}{0}}\frac{{}^{}}{}$

$\frac{{}^{}}{}\frac{{}^{}}{}$

$$为复数时依然成立，因此根据$$的泰勒級数得出在数学中一条称为欧拉公式的重要等式：

${}^{}0$

此式被理查德·费曼称为“欧拉的宝石”。

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