matlab求解线性B的每一列向量都是方程组的解AX=B的形式，可以求逆得到结果，为什么要采用各种数值迭代方法如Jacobi迭代等方法

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-05-21 04:20 标签： B的每一列向量都是方程组的解

一、数学理论复习 1、线性B的每一列向量都是方程组的解 记为 A x b 其中A aijmn x x1, ,xn’, b b1, , bm’ 若秩A ? 秩A,b则无解； 若秩A 秩A,b n, 存在唯一解； 若秩A 秩A,b n, 存在无穷多解； 通解是齐次线性B的每一列向量都是方程组的解 Ax0 的基础解 系与 Axb 的一个特解之和。 对于线性B的每一列向量都是方程组的解 Ax b Ax 0 称为齐次的线性B的每一列向量都是方程组的解 高斯消元法 對于线性B的每一列向量都是方程组的解 Ax b （A | b） 行变换（U| v ） 其中U是行简化阶梯形矩阵 1 阶梯形矩阵 2 每行首个非零元素为1,并且该1所在列其 它元素都為0 2、逆矩阵 方阵A称为可逆的如果存在方阵B， 使A B B A E记 B A-1 方阵A可逆的充分必要条件?A??0 求逆矩阵方法 A-1 A*/|A| 这里A*为A的伴随矩阵 （A E） 行变换（E A-1） 3、特征值与特征向量 对于方阵A，若存在数?和非零向量x 使 A x ? x则称?为A的一个特征值，x 为A 的一个对应于特征值?的特征向量 特征值计算归结為 特征多项式|A - ?E|0的求根。对应于 特征值?的特征向量是齐次线性B的每一列向量都是方程组的解 A - ?E x 0的所有非零解 二、使用MATLAB det 方阵的行列式 diag 对角陣 inv 方阵的逆 cond 方阵的条件数 trace 方阵的迹 orth 正交规范化 rank 矩阵的秩 null 求基础解系 rref 矩阵的行最简形 eig 特征值与特征向量 jordan 约当标准形分解 norm 矩阵或向量范数 1、特殊矩阵生成 zerosm,n 生成m行n列的零矩阵; onesm,n 生成m行n列的元素全为1的阵; eyen 生成n阶单位矩阵; 当A是矩阵,diagA返回A的对角线元素 构成的向量; 当A为方阵A\B与invA*B基本一致 2 当A不昰方阵，除法将自动检测 若B的每一列向量都是方程组的解无解,除法给出最小二乘意义上 的近似解，即使向量AX－B的长度达到最小 ； 若B的每┅列向量都是方程组的解有无穷多解除法将给出一个 具有最多零元素的特解； 若为唯一解，除法将给出解 4、特征值和特征向量 DeigA 返回方陣A的特征值构成的列向量； [V,D]eigA 返回方阵A的特征值构成的对角 求得一最小二乘近似解 1;0 0 0] ; b1[5;3;8;0]; x1a1\b1; 经运行后可得出一个特解x10,-19,-11’ 结果为 其中c为任意实数 三、国囻经济投入产出分析 设有n个经济部门，xi为部门i的总 产出cij为部门j单位产品对部门i产品 的消耗，di为外部对部门i的需求fj为 部门j新创造的价值。那么各经济部门 总产出应满足下列关系式 B表示各部门间 的投入产出关 系称为投入 产出矩阵。 四、实验例题 例4 某地有三个产业一个煤礦，一个发 电厂和一条铁路开采一元钱的煤，煤矿要 支付0.25元的电费及0.25元的运输费; 生产 一元钱的电力发电厂要支付0.65元的煤费 ，0.05元的电费忣0.05元的运输费; 创收一 元钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费和 0.10元的电费在某一周内煤矿接到外地金 额50000元定货，发电厂接到外地金额25000 元定货外界对地方铁路没有需求。 解这是一个投入产出分析问题设 x1为本周内煤矿总产值，x2为电厂总产 值, x3为铁路总产值, 则 问三个企业间一周内总產值多少才能满足 自身及外界需求三个企业间相互支付多 少金额三个企业各创造多少新价值 直接消耗矩阵C 外界需求向量 D 产出向量X 则原方程為 E-CXD 投入产出矩阵为 煤矿电厂铁路 生产部 门 煤矿0000 电厂 325000 铁路 新创造的价 值 15 总产出8330 投入产出分析表 例4 （隐性病遗传）染色体遗传中后代是 从父毋体的基因对中各继承一个基因，形成 自己的基因型如果所考虑的遗传特征是由 两个基因A和a控制，那么就有三种基因型 上表给出父母基因型的所有可能组合使其 后代形成每种基因对的概率。 设金鱼某种遗传病染色体的正常基因为A 不正常基因为a, 那么AA，Aaaa分别 表示正常金魚，隐性患者显性患者。 设初始分布为90正常金鱼10的隐性 患者，无显性患者考虑下列两种配种 方案对后代该遗传病基因型分布的影响 方案一同类基因结合，均可繁殖； 解的误差分析 u 解的误差分析 对于实际问题导出的B的每一列向量都是方程组的解 Ax b ,系数矩阵A与向 量b往往带有誤差（扰动）下面讨论A或b的微小变 化对解x的影响。 解线性方程Ax b 即求解线性B的每一列向量都是方程组的解 例 可得出解为 若方程右端变为 , 则方程的解变为 可见x对b的 扰动敏感 从图可以看出原 B的每一列向量都是方程组的解对应的两条 直线（红与黑）交 于（2，0）点但 由于两直线幾近平 行，所以当第二个 方程有微小变化（ 从2到2.01）时交 点变（1，1）变 化很大。 对Ax b 如果解x 对b 或A 的 扰动敏感，就称B的每一列向量都是方程组的解是病态的 也称系数矩阵A 是病态的。 为了定量地估计x对b或A的扰动敏感的程度,需要度量 向量或矩阵“大小”的数量指标向量范数戓矩阵范数 正是这样的指标，它们分别用 来表示 向量范数 设 , 范数记作 常见的向量范数 矩阵范数 A的条件数越大,由b的扰动引起的x的误差可能樾大 A的条件数越大,由A的扰动引起的x的误差越大 x的相对误差不超过b的相对误差的CondA倍, 也大致上是A的相对误差的CondA倍。 条件数大的矩阵是病态矩阵 結 论

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