二元求函数极限的方法有哪些求極限的方法与技巧 （陕西理工学院数计学院数学与应用数学专业201级1101班陕西 汉中 ） 指导教师： [摘要]随着变量个数的增加,二元求函数极限的方法有哪些的极限比一元求函数极限的方法有哪些极限变得要复杂得多,但现教材参考书中关于二元求函数极限的方法有哪些极限求法介绍嘚不够详细,不便于初学者的学习与掌握.本文就此问题进行讨论,通过具体例子给出了求解二元求函数极限的方法有哪些极限的几种方法 . [关键詞] 二元求函数极限的方法有哪些; 极限; 领域; 方法与技巧.
著名的《庄子》 一书中有言:
“一尺之棰,日取其半,而万世不竭”.极限的思想方法贯穿于數学分析课程的始终,可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限.在几乎所有的高等数学著作中都是先介绍极限的思想方法,然后利用極限的思想方法给出连续求函数极限的方法有哪些、导数、定积分、级数的敛散性、广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念.不论是一元求函数极限的方法有哪些，二元求函数极限的方法有哪些还是多元求函数极限的方法有哪些研究的方法和工具都是极限.關于一元求函数极限的方法有哪些的极限求法各种高等数学教材中都有详细的例题和说明,
二元求函数极限的方法有哪些极限是在一元求函數极限的方法有哪些极限的基础上发展起来的,二者之间既有联系又有区别,比如：极限的四则运算法则是相同的,而且求极限是数学分析中一種最基本，最主要的运算.掌握好极限的数学,不仅可以提高学生分析问题,解决问题的能力,对后续课程也将产生深刻影响,并且可以增强学生的學习兴趣.二元求函数极限的方法有哪些的极限要比一元求函数极限的方法有哪些的极限复杂得多,但现教材参考书中关于二元求函数极限的方法有哪些极限求法介绍的不够详细,不便于初学者的学习与掌握.因而在学习这部分内容时同学们都感到很困难.我在深人学习和研究的过程Φ,总结出了几个常用的方法,这些方法在求极限时都是行之有效的,因此我愿整理成文,以其对同学们学习这部分内容有所帮助.
1二元求函数极限嘚方法有哪些极限的概念 定义[1] 设求函数极限的方法有哪些在内有定义,是内的一个聚点,是一个确定的实数.若对任给正数,总存在某正数,使得 当 時 即满足不等式 时 的一切点,都有 成立,则称为,当时的极限,记作 （1） 在对于不致产生误解时,也可简单地写作 （2） 当,分别用坐标表示时,⑵式也常寫作 （3） 那么常数称为求函数极限的方法有哪些,当趋于时的极限. 为区别二元求函数极限的方法有哪些极限与一元求函数极限的方法有哪些極限,称二元求函数极限的方法有哪些极限为二重极限.
注 该定义是指以任何方式接近于时,求函数极限的方法有哪些都无限接近于. 因此 （1）如果以某一种特殊方法（如沿某一条直线）趋于时,求函数极限的方法有哪些无限趋于某一确定值,由此还不能确定该求函数极限的方法有哪些嘚极限是存在的. （2）如果当以不同方式趋于时,求函数极限的方法有哪些趋于不同的值,则可判定此求函数极限的方法有哪些的极限是存在的. 2②重极限的运算法则
正像一元求函数极限的方法有哪些的极限一样,二重极限也有类似的运算法则,教材中并没有给出二元求函数极限的方法囿哪些极限的求法,下面也将结合教学过程给出二重极限的求法. 法则[1] 若极限与都存在,则求函数极限的方法有哪些,当时极限也存在,则 （1） （2） 若,则,当时极限存在,则有 （3） 3二元求函数极限的方法有哪些求极限的方法和技巧
二元求函数极限的方法有哪些极限是在一元求函数极限的方法有哪些极限的基础上推广得来的,两者之间既有区别又有联系.在极限的运算法则上它们是一致的,但随着变量的增加,二元求函数极限的方法囿哪些极限的求解比一元求函数极限的方法有哪些复杂得多.现总结出一些常用的二元求函数极限的方法有哪些极限求解的方法,对后面含有哽多变量的多元求函数极限的方法有哪些极限的求解打下基础. 3.1 直接证明方法 思路 直接证明法是根据求函数极限的方法有哪些的特征,用定义矗接证明验证. 例1求 解 当 时 任意地给定一个正数,取,则 当 并且
时 有 即 所以 3.2 先估值再证明法 思路 此方法的运用通常是先观察,推断出求函数极限的方法有哪些的极限,然后用定义证明. 例2 求求函数极限的方法有哪些在原点处的极限 解 分两步考虑 (1)先令,考虑,当,时的极限,则有
