y=x-1/x是对勾函数吗?函数不学但又必栲！ mxb08 来源 阅 984 转 51 小数老师说 y=x-1/x是对勾函数吗?函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现 但考试总喜欢考的函数，一般会單独考察或与圆锥曲线结合考察也就是在 圆锥曲线求取值范围时会应用y=x-1/x是对勾函数吗?函数的性质求解。 一、y=x-1/x是对勾函数吗?函数的概念与圖像 形如 的函数因为其图像类似于平时的y=x-1/x是对勾函数吗?，因此称 这种函数为y=x-1/x是对勾函数吗?函数图像见下图。 当 a>0,b>0 时 当 a<><>时， 当 a,b 异号时函数不是y=x-1/x是对勾函数吗?函数，关于此时函数的图像与性质有机 会小数老师再向大家介绍。 二、y=x-1/x是对勾函数吗?函数的性质（下面我们只研究 a>0,b>0 时的情况其他情况可以根 据函数的对称性进行研究。） 1定义域与值域： 很明显，定义域是 ； 下面研究值域对于值域的研究，有多種方法下面小数老师介绍最常 用的――均值定理 当 x>0 时， 当且仅当 时，等号成立此时 ； 当 x<>时， 因为 x<>，所以-a>0所以 ，即 当且仅当 时，等号成立此时 ； 所以此函数的值域是： 2，顶点： 由（1）可得两顶点坐标为： 3，单调性： 对于函数单调性的判断可以利用导数法或鍺定义法，下面小数老师采 用导数法 令 f’(x)=0， 所以 x f’(x) f(x) 4奇偶性： 很明显，函数 f(x)是奇函数 5，渐近线： 通过图像我们可以看到，对于函数 f(x)有两条渐近线， y=ax, y=0 函数与这两条直线无限接近但永不相交。 三、例题 + 单调递增 单调递减 单调递减 + 单调递增 y=x-1/x是对勾函数吗?函数 具有以下性質： 当 x≥1 时y 随 x 增大而增大， 如：2≤x≤4那么当 x=2，y 有最小值 2+ （1/2）=5/2； 当 x=4 时y 有最大值为 4+（1/4）=17/4. 请根据上述材料，完成以下问题： （1 ） 当 3≤x≤5 时求函数 的最大值和最小值； （2） 0≤x≤2 时，求函数 的最大值和最小值

第十周 y=x-1/x是对勾函数吗?函数模型 重点知识梳理 1．y=x-1/x是对勾函数吗?函数定義 b y=x-1/x是对勾函数吗?函数是指形如：y＝ax＋ x(ab>0)的一类函数，因其图象形态极像y=x-1/x是对勾函数吗?因此 被称为“y=x-1/x是对勾函数吗?函数”， 又被称为“双勾函数”、 “勾函数”、 “耐克函数”或“耐克曲线”． b 2．y=x-1/x是对勾函数吗?函数 y＝ax＋x(a>0b>0)的性质 (1)定义域：(－∞，0)∪(0＋∞)． (2)值域：(－∞， ]∪[ 特殊嘚a>0 时，y＝x＋ 的单调区间的分界点：± a. x 4． y=x-1/x是对勾函数吗?函数应用时主要是利用y=x-1/x是对勾函数吗?函数单调性求其最值 解题时要先找出对应的單调区间， 然后求解． 5．利用y=x-1/x是对勾函数吗?函数求最值常常用到如下的重要不等式： b 若 a>0，b>0则 x>0 时，ax＋ ≥2 ab. x b 当且仅当 ax ＝ x＝ x b 时取等号． a 在应鼡这个不等式时，要注意使用的前提条件是“一正、二定、三相等”即加号两边的项 b b ax 和 都是正项，且二者乘积为定值同时 ax＝ 中等号可取到．若等号取不到，则应根据 x x y=x-1/x是对勾函数吗?函数单调性求解． 典型例题剖析 5 例 1 已知 f(x)＝x＋ 求 f(x)在下列区间的最小值． x (1)[1,2]; (2)[3,4]; (3)[－3，－1]． 【解析】如圖

专题y=x-1/x是对勾函数吗?函数及其应用 1．y=x-1/x是对勾函数吗?函数定义 b y=x-1/x是对勾函数吗?函数是指形如：y＝ax＋ (a>0,b>0)的一类函数，因其图象形态极像y=x-1/x是对勾函數吗?因此被称为“y=x-1/x是对勾函数吗?函数”。 x b 2．y=x-1/x是对勾函数吗?函数 y＝ax＋ (a>0b>0)的性质 x (1)定义域：(－∞，0)∪(0＋∞)． (2)值域：(－∞，－2 ab ]∪[2 ab＋∞)． (3)奇偶性：在定义域内为奇函数． 4．y=x-1/x是对勾函数吗?函数应用时主要是利用y=x-1/x是对勾函数吗?函数单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间嘫后求解． 5．利用y=x-1/x是对勾函数吗?函数求最值，常常用到如下的重要不等式： b 若 a>0b>0，则 x>0 时ax＋ ≥2 ab. x b 当且仅当 ax ＝ ，x＝ x b 时取等号． a 5 例 1 已知 f(x)＝x＋ 求 f(x)茬下列区间的最小值． x (1)[1,2];

全国名校高考数学复习优质学案汇编 （理科， 附详解） b 函数 y＝ax＋ (a≠0 且 b≠0)性质的讨论． x 当 a>0b>0 时 1 [特例] 当 a＝b＝1 时，函数化為 f(x)＝x＋ . x ①定义域为(－∞0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f(－x)＝－x＋ 1 ＝－ －x ?x＋1?＝－f(x) 函数为奇函数． 之后只需讨论 x>0

y=x-1/x是对勾函数吗?函数图象性质 y=x-1/x是对勾函数吗?函数 : 数学中一种常见而又特殊的函数。如图 一、y=x-1/x是对勾函数吗?函数 f(x)=ax+ 的图象与性质 y=x-1/x是对勾函数吗?函数是数学中一种常见而又特殊的函數它在高中教材上不出现，但考试总 喜欢考的函数所以也要注意它和了解它。 ( 一 ) y=x-1/x是对勾函数吗?函数的图像 y=x-1/x是对勾函数吗?函数是一种类姒于反比例函数的一般函数 形如 f(x)=ax+ （接下来写作 f(x)=ax+b/x ） 。 当 a≠0 b≠0 时， f(x)=ax+b/x 是正比例函数 f(x)=ax 与反比例函数 f(x)= b/x “ 叠加 ” 而成的函数这个观点，对于理解咜的性质绘制它的图象，非常重要 当 a ，b 同号时f(x)=ax+b/x 的图象是由直线 y ＝ ax 与双曲线 y= b/x 构成，形状 酷似双勾故称 “ y=x-1/x是对勾函数吗?函数 ” ，也称 “ 勾勾函数 ” 、 “ 海鸥函数 ” 如下图所示： a>0 b>0 a<0 b<0 y=x-1/x是对勾函数吗?函数的图像（ab 同号） 当 a ， b 异号时 f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是我们依然可鉯看作 是两个函数“叠加”而成。 （请自己在图上完成：他是如何叠加而成的 ） y=x-1/x是对勾函数吗?函数的图像（ab 异号） 一般地，我们认为y=x-1/x是對勾函数吗?函数是反比例函数的一个延伸即y=x-1/x是对勾函数吗?函数也是双曲线的 一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了 接下來，为了研究方便我们规定 a>0 ，b>0 之后当 a<0，b<0 时根据对称就很 容易得出结论了。 (二) y=x-1/x是对勾函数吗?函数的顶点 y=x-1/x是对勾函数吗?函数性质的研究離不开均值不等式利用均值不等式可以得到： 当 x>0 时， 当 x<0 时 即y=x-1/x是对勾函数吗?函数的定点坐标： 当且尽当 当且尽当 时取等号 ，此时 时取等號 此时 。 、 (三) y=x-1/x是对勾函数吗?函数的定义域、值域 由（二）得到了y=x-1/x是对勾函数吗?函数的顶点坐标，从而我们也就确定了y=x-1/x是对勾函数吗?函數的定义域、值 域等性质 定义域： 值域： (四) y=x-1/x是对勾函数吗?函数的单调性 y 或 ； O y=ax X 对于函数 单调增区间： (五) y=x-1/x是对勾函数吗?函数的渐进线 对于函數 由图像我们不难得到： ： ；单调减区间： ，它的渐进线有两条： ； ； (六) y=x-1/x是对勾函数吗?函数的奇偶性 二、类y=x-1/x是对勾函数吗?函数性质探讨 函數 y ? ax ? ：y=x-1/x是对勾函数吗?函数在定义域内是奇函数 b ，在 a ? 0或b ? 0时 为简单的单调函数

y=x-1/x是对勾函数吗?函数 f(x)=ax+错误！未找到引用源的图象与性质 繁华分享 y=x-1/x昰对勾函数吗?函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现但考试总喜欢考的 函数，所以也要注意它和了解它 ( 一 ) y=x-1/x是對勾函数吗?函数的图像 y=x-1/x是对勾函数吗?函数是一种类似于反比例函数的一般函数 ，形如 f(x)=ax+ 错误！未找到引用源 （接 下来写作 f(x)=ax+b/x） 。 当 a≠0b≠0 时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数 f(x)=ax 与反比例函数 f(x)= b/x “叠加”而成的函数这 个观点，对于理解它的性质绘制它的图象，非常重要 当 a， b 同号时 f(x)=ax+b/x 的图象是由矗线 y＝ax 与双曲线 y= b/x 构成， 形状酷似双勾 故称“对 勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”如下图所示： a>0 b>0 a<0 b<0 y=x-1/x是对勾函数吗?函数的图像（ab 哃号） 当 a，b 异号时f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是我们依然可以看作是两个函数“叠 加”而成。 （请自己在图上完成：他是如何叠加而荿的 ） y=x-1/x是对勾函数吗?函数的图像（ab 异号） 一般地，我们认为y=x-1/x是对勾函数吗?函数是反比例函数的一个延伸即y=x-1/x是对勾函数吗?函数也是双曲線的一种，只 不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了 接下来，为了研究方便我们规定 a>0 ， b>0 之后当 a<0，b<0 时根据对称就很容易得出 结論了。 (二) y=x-1/x是对勾函数吗?函数的顶点 y=x-1/x是对勾函数吗?函数性质的研究离不开均值不等式 利用均值不等式可以得到： 当 x>0 时，错误！未找到引用源 。 当 x<0 时错误！未找到引用源。 即y=x-1/x是对勾函数吗?函数的定点坐标： (三) y=x-1/x是对勾函数吗?函数的定义域、值域 由（二）得到了y=x-1/x是对勾函数嗎?函数的顶点坐标，从而我们也就确定了y=x-1/x是对勾函数吗?函数的定义域、值域等性质 (四) y=x-1/x是对勾函数吗?函数的单调性 (五) y=x-1/x是对勾函数吗?函数的漸进线 由图像我们不难得到： y O y=ax (六) y=x-1/x是对勾函数吗?函数的奇偶性 y=x-1/x是对勾函数吗?函数在定义域内是奇函数， X 利用对号函数以上性质在解某些数學题时很简便，下面举例说明： 1、求函数 y ? x

y=x-1/x是对勾函数吗?函数的几点分析 y=x-1/x是对勾函数吗?函数的几点分析 y=x-1/x是对勾函数吗?函数是一种类似于反比唎函数的一般函数 又被称为“双 勾函数”、"勾函数"等。也被形象称为“耐克函数” 奇偶性与单调性 当 x>0 时f(x)= ax + b 有最小值（这里为了研究方便，规 x 定 a>0b>0） ，即当 x = 奇函数 奇函数 令k = b a b a 的时候 ，那么： 增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}； 减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0<x≤k} 变化趋势：在 y 轴左边增减，在 y 轴右边减增，是兩个 变化趋势 勾 渐近线：耐克函数的图像是分别以 y 轴 渐近线 和 y=ax 为渐近线的两支双曲线。 y=x-1/x是对勾函数吗?函数：图像性质，单调性 均值不等式 均值不等式 导数求解， 导数求解 其它解法 对于这个函数 f(x)= ax + b , x （1）它的单调性与奇偶性有何应用而值域问题恰好与 单调性密切相关，所鉯命题者首先想到的问题应该与值域有 关； （2）函数与方程之间有密切的联系所以命题者自然也 会想到函数与方程思想的运用； （3）众所周知，双曲线中存在很多定值问题所以很容 易就想到定值的存在性问题。因此就由特殊引出了一般结 论；继续拓展下去用所猜想、探索的结果来解决较为复杂 的函数最值问题。 高考例题： 高考例题： 已知函数 y=x+a/x 有如下性质：如果常数 a>0那么该 函数在 (0,√a] 上是减函数，在 [√a,+∞ )上是增函数． （1）如果函数 y=x+(2^b)/x （x>0）的值域为 [6,+∞)， 求 b 的值； （2）研究函数 y=x^2+c/x^2

(0,??) 2.值域：R 3.奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限无最大值也无最小值. 5.單调性：增区间为（- ? ，0） （0，+ ? ）. ② a ? 0, b ? 0 作图如下： 1.定义域： (??,0) ? (0,??) 2.值域：R 3.奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限无最大值也无最小值. 5.单调性：减区间為（- ? ，0） （0，+ ?

(0,??) 2.值域：R 3.奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限无最大值也无最小值. 5.单调性：增区间为（- ? ，0） （0，+ ? ）. 1 ② a ? 0, b ? 0 作图如下： 1.定义域： (??,0) ? (0,??) 2.徝域：R 3.奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限无最大值也无最小值. 5.单调性：减区间为（- ? ，0） （0，+ ?

y=x-1/x是对勾函数吗?函数 f(x)=ax+错误！未找到引用源嘚图象与性质 繁华分享 y=x-1/x是对勾函数吗?函数是数学中一种常见而又特殊的函数。 它在高中教材上不出现 但考试总喜欢考的函数， 所以也要紸意它和了解它 ( 一 ) y=x-1/x是对勾函数吗?函数的图像 y=x-1/x是对勾函数吗?函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如 f(x)=ax+ 错误！未找到引用源 （接下來 写作 f(x)=ax+b/x） 。 当 a≠0b≠0 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加” 而成 （请自己在图上完成：他是如哬叠加而成的。 ） 一般地我们认为y=x-1/x是对勾函数吗?函数是反比例函数的一个延伸，即 y=x-1/x是对勾函数吗?函数也是双曲线的一种只不过它的焦點和渐进线的位 置有所改变罢了。 接下来 为了研究方便， 我们规定 a>0 b>0 。 之后当 a<0 b<0 时，根据对称就很容易得出结论了 (二) y=x-1/x是对勾函数吗?函數的顶点 y=x-1/x是对勾函数吗?函数性质的研究离不开均值不等式。 利用均值不等式可以得到： 当 x>0 时错误！未找到引用源。 当 x<0 时，错误！未找箌引用源 。 即y=x-1/x是对勾函数吗?函数的定点坐标： y=x-1/x是对勾函数吗?函数的图像（ab 异号） (三) y=x-1/x是对勾函数吗?函数的定义域、值域 由（二）得到了y=x-1/x是對勾函数吗?函数的顶点坐标从而我们也就确定了y=x-1/x是对勾函数吗?函数的定义域、值域等性质。 (四) y=x-1/x是对勾函数吗?函数的单调性 (五) y=x-1/x是对勾函数嗎?函数的渐进线 由图像我们不难得到： y O y=ax (六) y=x-1/x是对勾函数吗?函数的奇偶性 y=x-1/x是对勾函数吗?函数在定义域内是奇函数 X 利用y=x-1/x是对勾函数吗?函数以上性质，在解某些数学题时很简便下面举例说明： 1、求函数 y ? x 2 ? 2x ? 4 x 2 ? 2x ? 3

上单调递减， ? b ] 上单调递增 在 [ b ,??) 上单调递增。在(0+∞)上的最小值在 b 处取得，最小徝是 2 b 由于是奇 函数，在第三象限有最大值同理。（证明它的单调区间需要用到导数法用一般的方法不 是很严谨，也很难所以我直接给出来了。）那么我给出它在第一象限的图像 Tip: ①y=x-1/x是对勾函数吗?函数 f ( x ) ? ax ? b 中的 a,b 都大于 0， 若a x 小于 0 或 b 小于 0就不是y=x-1/x是对勾函数吗?函数。（你可以洎 己在几何本上描点验证） ②y=x-1/x是对勾函数吗?函数经常出现在求最值类的题目中，例如： 2 b 求y? x 在(0+∞)的最值。你可以自己 x ? 2x ? 2 2 完成 如果你这道題完成了的话， 月考试卷最后一 题你也应该会做了 那道题目还需要关于二次函数 的一些知识。 b 另：关于函数 y ? cx ? d 你可以自己研究一下 ad，bc 的夶小关系对函数单调性的影响 ax ? b 你研究的结果可以作为一个定理直接在题目中使用。 有兴趣的话可以尝试一下下面的题目： x 在(0，+∞)的最徝 x ? 2x ? 2 1 ②证明函数 g ( x ) ? x ? 是奇函数。 x ①求 y ? 2 ③如果函数 y=x+ ④求函数 y ? 2b （x>0）的值域为[6,+∞）求 b 的值。 x cx ? d 中参数对函数单调性的影响当 ad>bc 时，求函数的单调减区間；当 ax ? b ad<bc 时求函数的单调增区间。