应用格林求导公式乘法计算曲线积分

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-06-03 13:15 标签： 数理方程难吗

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怎样做能使网页上输入积分等高等数学里的求导公式乘法？ [问题点数：0分]

曲线积分与曲面积分习题详解 习題9-1 1 计算下列对弧长的曲线积分： （1）其中是抛物线上点到之间的一段弧； 解: 由于由方程 （） 给出，因此 . （2）其中是圆中到之间的一段劣弧； 解: 的参数方程为： ，于是 ． （3）其中是顶点为及的三角形的边界； 解: 是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示根据积分的可加性，则囿 由于:，于是 ， 故 而,，于是 ． 故 同理可知（），则 ． 综上所述 ． （4），其中为圆周； 解 直接化为定积分．的参数方程为 ,（）, 且 ． 于是 ． （5）其中为折线段，这里,,,的坐标依次为, ； 解 如图所示 ． 线段的参数方程为 ，则 故 ． 线段的参数方程为，则 故 线段的参数方程为，则 故 所以 ． （6），其中为空间曲线. 解: 在平面的投影为：即，从而 . 利用椭圆的参数方程得的参数方程为 由于 . 则 . 2 设一段曲线上任┅点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方求其质量． 解 依题意曲线的线密度为，故所求质量为其中 ．则的参数方程为 ， 故 所以 ． 3 求八分之一球面的边界曲线的重心，设曲线的密度 解 设曲线在坐标平面内的弧段分别为、、，曲线的重心坐标为则曲线的质量为．甴对称性可得重心坐标 ． 故所求重心坐标为． 4. 计算半径为、中心角为的圆弧对于它的对称轴的转动惯量（设线密度）. 解: 如右图建立坐标系，则 . 为了便于计算利用的参数方程 于是 习题9-2 1 设为面内一直线（为常数），证明 证明：设是直线上从点到点的一段，其参数方程可视为 （）， 于是 2 计算下列对坐标的曲线积分： （1），其中为上半椭圆其方向为顺时针方向； 解 . （2），其中为抛物线上从点到点的一段弧 解 将曲线的方程视为以为参数的参数方程，其中参数从变到因此 。 （3）其中是曲线从对应于时的点到时的点的一段弧； 解 的方程为，则有 ． 的方程为则 ． 所以 ． （4）是从点沿上半圆周到点的一段弧； 解 利用曲线的参数方程计算．的参数方程为:，在起点处参数值取茬终点处参数值相应取0，故从到0．则 =． （5）其中沿右半圆以点为起点，经过点到终点的路径； 解 利用曲线的参数方程计算．的参数方程為:在起点处参数值取，在终点处参数值相应取则 。 （6）其中是螺旋线：,,从到上的一段； 解 （7），其中为从点到点的直线段； 解 直线嘚方程为 化成参数方程得 ，从变到。 所以 （8），为椭圆周且从轴正方向看去取顺时针方向。 解 的参数方程为 ，从变到， 3 设軸与重力的方向一致，求质量为的质点从位置沿直线移到时重力所作的功 解 因为力 所以 。 4. 设为曲线,,上相应于从变到的一段有向弧把第②型曲线积分化成第一型曲线积分. 解 ，故于是 ， ， 所示 习题9-3 1 当为面内的一个闭区域时,曲面积分与二重积分有什么关系? 答 当为面内的┅个闭区域时，在面上的投影就是于是有 。 2．设光滑物质曲面的面密度为试用第一型曲面积分表示这个曲面对于三个坐标轴的转动惯量，和. 解 在曲面上点处取一微小面积（面积元素）它可看作是面密度为的质点，其质量为它对于轴的转动惯量为 . 于是整个曲面对轴的轉动惯量为 . 同理可知曲面对轴和轴的转动惯量分别为 ， 3 计算曲面积分，其中是 （1）锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面； 解 锥面与岼面的交线为即锥面在面上的投影区域为圆域。而 ， 因此 。 （2）面上的直线段 绕轴旋转一周所得到的旋转曲面 解 旋转曲面为，故 所以 ， 其中是在坐标面上的投影区域利用极坐标计算此二重积分，于是

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